- چرا نمونه‌برداری از قطار ضربه‌ای - ضرب در \(p(t)=\sum_k\delta(t-kT)\) - مدل درست نمونه‌بردار است و چگونه کل مسئله را در زمان‌پیوسته نگه می‌دارد، جایی که تبدیل فوریه همچنان اعمال می‌شود.
- نتیجه اصلی قسمت 6: نمونه‌برداری طیف \(X_p(j\omega)=\tfrac1T\sum_k X\big(j(\omega-k\omega_s)\big)\) را که از سری فوریه قطار ضربه ای و خاصیت ضرب فصل 14 مشتق شده است، تکرار می کند.
- خود قضیه نمونه‌برداری: \(\omega_s \gt 2\omega_M\)، نرخ Nyquist، و اینکه چرا مورد برابری \(\omega_s = 2\omega_M\) واقعاً به اندازه کافی خوب نیست.
- چگونه یک فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل بهره \(T\) سیگنال اصلی را بیرون می‌کشد و چرا یک باند محافظ گسترده‌تر فیلتر ملایم‌تری می‌خرد.
- نمونه‌برداری طبیعی و تخت - کاری که سخت‌افزار واقعی انجام می‌دهد - و اثر دیافراگم که نمونه‌برداری سطح تخت معرفی می‌کند.
- نمونه‌برداری باند گذر، که در آن یک کانال رادیویی 4 مگاهرتز در 24 مگاهرتز را می توان در 8 مگاهرتز به جای 48 مگاهرتز نمونه‌برداری کرد، و سمپلر ترجمه فرکانس را به صورت رایگان انجام می دهد.
- پل \(\Omega = \omega T\) که سیگنال نمونه‌برداری شده را به یک دنباله تبدیل می کند و در نهایت توضیح می دهد که چرا DTFT فصل 16 \(2\pi\)-تناوبی است.
یک پیوستار در یک لیست
هر بخش از این کتاب تا کنون دارای دو مسیر موازی بوده است. فصل 6 سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان را در زمان‌پیوسته و در زمان‌گسسته ساخته است. فصل 7 دو بار کانولوشن را ایجاد کرد. فصل های 13 و 16 تبدیل فوریه را دو بار ساخته اند. این دو آهنگ عمداً از هم جدا شده‌اند، با قیاس توسعه یافته‌اند اما هرگز به هم نپیوسته‌اند. این فصل به آنها می پیوندد.
دلیل مهندسی آنی است. یک میکروفون، یک ترموکوپل، یک آنتن و یک فشار سنج همگی ولتاژ متغیری را تولید می کنند. یک پردازنده اعداد را نگه می‌دارد، فهرستی محدود از آنها، که با سرعت محدودی به‌روزرسانی می‌شوند. بین دنیای فیزیکی و پردازنده دستگاهی قرار دارد که در لحظه به ولتاژ \(t = 0, T, 2T, \dots\) نگاه می کند و آنچه را که می بیند ثبت می کند. آن دستگاه یک نمونه‌برداری است و \(T\) دوره نمونه‌برداری است.
به صراحت گفته شد، کاری که نمونه‌بردار انجام می‌دهد باید فاجعه باشد. بین هر دو نمونه نمونه، بازه‌ای وجود دارد که مقادیر غیرقابل شمارش \(x(t)\) را شامل می‌شود و هر یک از آنها دور ریخته می‌شود. سیگنال می تواند هر کاری را در آنجا انجام دهد - میخ، هزار بار نوسان، علامت تغییر - و نمونه ها عاقلانه تر نیستند. در ظاهر، بازسازی \(x(t)\) از \(\{x(nT)\}\) صرفاً دشوار نیست، بلکه بی معنی است، زیرا سیگنال‌های بی نهایت مختلف از هر مجموعه ای از نقاط عبور می کنند.
و با این حال دیسک فشرده کار می کند. موسیقی ضبط شده به صورت 44 100 عدد در ثانیه در هر کانال ذخیره می شود و به صورت صدایی پخش می شود که هیچ شنونده ای نمی تواند آن را از اصلی تشخیص دهد. در استدلال بدبینانه باید چیزی اشتباه باشد و آنچه اشتباه است عبارت "سیگنال می تواند هر کاری را در آنجا انجام دهد" است. سیگنال‌های واقعی نمی توانند. سیگنالی که دارای باند محدود است - سیگنالی که تبدیل فوریه آن بالاتر از فرکانس \(\omega_M\) ناپدید می شود - به دلیل همین واقعیت از تکان دادن خودسرانه سریع منع می شود. مقید است و کل محتوای این فصل این است که محدودیت دقیقاً به اندازه کافی قوی است.
نمونه‌برداری ضربه ای قطار
قبل از اینکه بتوان چیزی را ثابت کرد، نمونه‌گر به یک مدل ریاضی نیاز دارد و مدل بدیهی ناجور است. نوشتن \(x[n] = x(nT)\) مطمئناً همان چیزی است که نمونه‌گر تولید می‌کند، اما \(x[n]\) یک دنباله است، شیئی که در دنیای زمان‌گسسته با تبدیل خاص خود و متغیر فرکانس خاص خود زندگی می‌کند. مقایسه طیف آن با \(X(j\omega)\) به معنای مقایسه مقادیر تعریف شده در محورهای مختلف است، که دقیقاً هنگام ایجاد استدلال باید از سردرگمی اجتناب شود.
دستگاه استاندارد برای معرفی یک سیگنال میانی است که نمونه ها را حمل می کند اما همچنان در زمان‌پیوسته زندگی می کند. قطار ضربه ای را انتخاب کنید - رشته ای دوره ای از ضربه های واحد با فاصله \(T\) که گاهی اوقات تابع نمونه‌برداری یا شانه دیراک نامیده می شود - و سیگنال را در آن ضرب کنید.
برابری دوم چیزی نیست جز ویژگی نمونه‌برداری ضربه از فصل 3: \(x(t)\delta(t-kT) = x(kT)\delta(t-kT)\)، زیرا ضربه‌ای که یک سیگنال را ضرب می‌کند فقط به مقدار سیگنال در جایی که ضربه می‌نشیند اهمیت می‌دهد. نتیجه یک قطار از ضربه ها است که وزن آنها دقیقاً مقادیر نمونه است. هیچ چیز اضافه نشده است و چیزی از دست نمی رود - \(x_p(t)\) و لیست \(\{x(kT)\}\) حاوی اطلاعات یکسان هستند - اما \(x_p(t)\) یک سیگنال زمان‌پیوسته است، بنابراین \(X_p(j\omega)\) وجود دارد و می تواند در کنار \(X(j\omega)\) تنظیم شود.
دو نکته در مورد مدل قبل از شروع جبر شایسته تاکید است. اول، \(x_p(t)\) یک داستان ریاضی است. هیچ ابزار آزمایشگاهی ضربه تولید نمی کند. به این دلیل استفاده می شود که آرگومان دامنه فرکانس را کوتاه و دقیق می کند و بخش 20-6 به همان کاری که سخت افزار واقعی انجام می دهد برمی گردد. دوم، قطار ضربه ای دوره ای است، با دوره \(T\). به همین دلیل است که استدلال کار می‌کند: همه چیزهایی که در مورد سیگنال‌های دوره‌ای از فصل 10 شناخته شده‌اند، در شرف اعمال شدن به آن هستند.
طیف سیگنال نمونه‌برداری شده
سیگنال نمونه‌برداری حاصل از دو سیگنال زمان‌پیوسته است، و فصل 14 مشخص می کند که یک محصول در حوزه فرکانس چه می کند: این تبدیل ها را با ضریب \(1/2\pi\) در جلوی خود در هم می پیچد. بنابراین اولین کار پیدا کردن تبدیل فوریه قطار ضربه ای است.
از آنجایی که \(p(t)\) با دوره \(T\) دوره ای است، سری فوریه (فصل 10) با فرکانس اساسی \(\omega_s = 2\pi/T\) دارد و ضرایب آن ساده ترین ضرایب در کل موضوع است. در یک دوره با محوریت مبدا، تنها ضربه موجود \(\delta(t)\) است و الک بقیه را انجام می دهد.
هر هارمونیک وجود دارد، و وزن هر یک \(1/T\) یکسان است - یک طیف خط مسطح که تا بی نهایت در هر دو جهت امتداد دارد، که علامت دامنه فرکانس یک شی به تیز بودن یک ضربه است. تبدیل ترم به ترم با جفت \(e^{\,j\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)\) از فصل 13، سری را به تبدیل تبدیل می کند.
حالا خاصیت ضرب را اعمال کنید. در هم پیچیدن هر تبدیل با یک ضربه جابجا شده به سادگی آن را حرکت می دهد - \(X(j\omega) * \delta(\omega-k\omega_s) = X\big(j(\omega-k\omega_s)\big)\) - بنابراین در هم پیچیدن با یک قطار کامل از آنها، یک قطار کامل از کپی های جابجا شده تولید می شود.
طیف سیگنال نمونه‌برداری شده طیف سیگنال اصلی است که در هر مضرب صحیح فرکانس نمونه‌برداری کپی شده و با \(1/T\) مقیاس بندی شده است. کپی در \(k=0\) خود طیف اصلی است، بدون تغییر از آن فاکتور مقیاس.
این یک خط کل قسمت 6 است. هر آنچه در این فصل و قسمت بعدی می آید نتیجه خواندن تصویری است که توضیح می دهد. نمونه‌برداری طیف را تار نمی کند، آن را ضعیف نمی کند، شکل آن را مخدوش نمی کند. کپی می کند. بنابراین، هر آسیبی که نمونه‌برداری می‌تواند انجام دهد، باید از کپی‌هایی باشد که روی یکدیگر فرود می‌آیند، و از هیچ چیز دیگری.
ارزش بررسی ضریب مقیاس برای سلامت عقل را دارد. نمونه‌برداری سریعتر به معنای \(T\) کوچکتر، در نتیجه \(1/T\) بزرگتر، در نتیجه کپی های بلندتر است - که درست است، زیرا \(x_p(t)\) سپس حاوی ضربه های بیشتری در ثانیه است و "مساحت" بیشتری را در واحد زمان حمل می کند. همچنین به معنای بزرگتر \(\omega_s\) است، از این رو کپی ها بیشتر از هم فاصله می گیرند. هر دو اثر به طور همزمان در جهت مفید حرکت می کنند، و به همین دلیل است که نمونه‌برداری سریع تر همیشه ایمن تر است.
قضیهٔ نمونه‌برداری
فرض کنید \(x(t)\) باند محدود است، یعنی \(X(j\omega) = 0\) برای \(|\omega| \gt \omega_M\). سپس کپی \(k=0\) باند \([-\omega_M, \omega_M]\) را اشغال می کند، کپی \(k=1\) \([\omega_s-\omega_M,\ \omega_s+\omega_M]\) را اشغال می کند و به همین ترتیب برای هر \(k\). زمانی که لبه سمت چپ نسخه دوم در سمت راست لبه سمت راست نسخه اول قرار دارد، این دو نسخه دقیقاً همپوشانی ندارند.
اگر برای نزدیکترین جفت کپی صدق می کند، برای هر جفت هم صدق می کند، زیرا همه کپی های دیگر هنوز از هم دورتر هستند. و هنگامی که هیچ کپی با هم تداخل نداشته باشد، کپی باند پایه به تنهایی در \([-\omega_M,\omega_M]\) قرار می گیرد، با مقیاس \(1/T\) اما در غیر این صورت دست نخورده است - بنابراین \(X(j\omega)\) می تواند مستقیماً از \(X_p(j\omega)\) خوانده شود، و سیگنالی که تبدیل آن مشخص است خود شناخته شده است. قضیه همین است.
یک باند سیگنال محدود به \(\omega_M\) از نمونه هایی که سریعتر از \(2\omega_M\) در واحد زمان گرفته شده، کاملاً قابل بازیابی است. آستانه \(2\omega_M\) نرخ Nyquist است. نیمی از فرکانس نمونه‌برداری، \(\omega_s/2\)، فرکانس Nyquist یا فرکانس تاشو نمونه‌بردار است.
این دو اصطلاح دائماً اشتباه گرفته می شوند و اکنون ارزش دارد که آنها را از هم جدا کنیم. نرخ Nyquist یکی از ویژگی های سیگنال است: دو برابر بالاترین فرکانس آن، کندترین نمونه‌برداری که تا کنون می تواند کار کند. فرکانس Nyquist یکی از ویژگی‌های نمونه‌گر است: نیمی از نرخی که در حال اجرا هستید، بالاترین فرکانس سیگنالی است که نمونه‌گر خاص می‌تواند از عهده آن برآید. یک سیگنال 20 کیلوهرتز دارای نرخ Nyquist 40 کیلوهرتز است. یک نمونه گیر 48 کیلوهرتز دارای فرکانس Nyquist 24 کیلوهرتز است.
نابرابری شدید، فتنه گری نیست. در \(\omega_s = 2\omega_M\) دقیقاً، نسخه‌های مجاور لبه به لبه برخورد می‌کنند، و اگر طیف یک ضربه در \(\pm\omega_M\) حمل کند - یعنی اگر سیگنال حاوی یک سینوسی خالص دقیقاً در لبه باند باشد - دو ضربه روی هم قرار می‌گیرند و اضافه می‌شوند. بعد از آن چه اتفاقی می افتد بستگی به فاز دارد و در بدترین حالت کل است.
هر نمونه دقیقاً روی یک گذرگاه صفر فرود می آید. رکورد نمونه‌برداری شده از سیگنال \(x(t)=0\) قابل تشخیص نیست، و هیچ روشی برای بازسازی وجود ندارد که بتواند آنها را از هم متمایز کند. نمونه‌برداری از یک سینوس 1 کیلوهرتز با فرکانس 2 کیلوهرتز می تواند سکوت را بازگرداند. نمونه‌برداری از آن در 2.001 کیلوهرتز نمی تواند. به همین دلیل است که نرخ های عملی همیشه دارای حاشیه هستند و چرا استاندارد صوتی 44.1 کیلوهرتز به جای 40 کیلوهرتز برای باند 20 کیلوهرتز است.
| مقدار | نماد | متعلق به | معنی |
|---|---|---|---|
| بالاترین فرکانس سیگنال | \(\omega_M\), \(f_M\) | سیگنال | محدودیت باند؛ \(X(j\omega)=0\) فراتر از آن |
| نرخ Nyquist | \(2\omega_M\), \(2f_M\) | سیگنال | کندترین نرخ نمونه‌برداری که می تواند کار کند |
| فرکانس نمونه‌برداری | \(\omega_s = 2\pi/T\), \(f_s = 1/T\) | نمونه بردار | نرخ واقعا استفاده شده است |
| فرکانس نایکیست | \(\omega_s/2\), \(f_s/2\) | نمونه بردار | بالاترین فرکانسی که این نمونه‌گر می‌تواند نشان دهد |
| باند نگهبانی | \(\omega_s - 2\omega_M\) | جفت | اتاق طیفی برای فیلتر بازیابی باقی مانده است |
هنگامی که شرایط ناموفق بود - زمانی که \(\omega_s \lt 2\omega_M\) - کپی ها به یکدیگر می روند و دنباله های همپوشانی آنها اضافه می شود. در ناحیه همپوشانی، مقدار \(X_p(j\omega)\) مجموع مشارکت‌های دو بخش مختلف از طیف اصلی است و پس از اضافه شدن، نمی‌توان آنها را دوباره از هم جدا کرد. محتوای با فرکانس بالا هویت محتوای کم فرکانس را به خود گرفته است. این همپوشانی طیفی است و فصل 21 عمدتاً به آن اختصاص دارد. نمودار زیر به نظر می رسد.
بازیابی سیگنال
این قضیه بیان می کند که نمونه ها \(x(t)\) را تعیین می کنند. فیلتر بازیابی می گوید چگونه. با نگاهی دوباره به نمودار طیف اول، عملیات مورد نیاز واضح است: کپی باند پایه را نگه دارید، هر چیز دیگری را دور بریزید، و مقیاس بندی \(1/T\) را اصلاح کنید. این یک فیلتر پایین گذر ایده آل با بهره بسیار خاص است.
برای \(x_p(t)\) اعمال می شود، این دقیقاً \(x(t)\) را برمی گرداند. بهره باید \(T\) باشد، نه 1، تا \(1/T\) که تکرار معرفی شده لغو شود.
تأیید یک خط جبر است. در داخل باند عبور، فقط عبارت \(k=0\) مجموع تکرار غیر صفر است، زیرا هر کپی دیگر به دلیل شرط عدم همپوشانی فراتر از \(\omega_c\) قرار گرفته است. بنابراین \(H(j\omega)X_p(j\omega) = T \cdot \tfrac1T X(j\omega) = X(j\omega)\) برای \(|\omega| \lt \omega_c\)، و صفر در خارج - که خود \(X(j\omega)\) است، زیرا سیگنال در وهله اول به \(\omega_M \lt \omega_c\) محدود شده بود. تبدیل خروجی برابر با تبدیل ورودی است، بنابراین سیگنال خروجی برابر با سیگنال ورودی است.
توجه کنید که بریدگی چقدر آزادی دارد. هر \(\omega_c\) دقیقاً بین \(\omega_M\) و \(\omega_s-\omega_M\) به همان اندازه خوب کار می کند و عرض آن بازه باند محافظ \(\omega_s - 2\omega_M\) است. نمونه‌برداری دقیقاً با نرخ Nyquist فاصله را تا یک نقطه کوچک می کند و نیاز به فیلتری با یک دامن عمودی دارد - از نظر فیزیکی غیرممکن است. نمونه‌برداری با نرخ دو برابر Nyquist یک باند محافظ به پهنای خود باند سیگنال باقی می گذارد و یک فیلتر آنالوگ معمولی با نظم متوسط انجام می دهد. نمونه‌برداری بیش از حد، مرتبه فیلتر را خریداری می کند، و فصل 21 اعدادی را در آن معامله قرار می دهد.
نمونه‌برداری طبیعی و تخت
نمونه‌گرهای واقعی با ضربه‌ها ضرب نمی‌شوند. یک سوئیچ برای مدت زمان کوتاه اما غیر صفر \(\tau\) بسته می شود و یا سیگنال بدون تغییر در زمانی که سوئیچ بسته است عبور می کند یا یک خازن به مقدار سیگنال شارژ می شود و آن را نگه می دارد. اینها به ترتیب نمونه‌برداری طبیعی و تخت هستند، و در حوزه فرکانس بسیار متفاوت رفتار می کنند - یکی خوش خیم، دیگری نه.
نمونه‌برداری طبیعی قطار ضربه ای را با قطاری از پالس های مستطیلی با عرض \(\tau\) و ارتفاع واحد جایگزین می کند. حاصلضرب هنوز یک ضرب است، بنابراین تجزیه و تحلیل بخش 20-3 دوباره با ضرایب فوریه جدید اجرا می شود. برای یک قطار پالس مستطیلی، ضرایب مقادیر Sinc آشنا هستند.
ماکت‌ها باقی می‌مانند، اما هر کدام اکنون با یک ثابت متفاوت \(c_k\) به جای ضریب مشترک \(1/T\) مقیاس‌بندی می‌شوند. نکته مهم این است که در هر کپی، مقیاس بندی ثابت است - \(c_k\) به \(\omega\) بستگی ندارد. بنابراین کپی بیس باند \(c_0 X(j\omega) = (\tau/T)X(j\omega)\) است، یک نسخه تحریف نشده اصلی، و فیلتر پایین گذر بهره \(T/\tau\) دقیقاً \(x(t)\) را بازیابی می کند. نمونه‌برداری طبیعی هزینه ای جز تعدیل سود ندارد.
نمونه‌برداری از سطح صاف همان چیزی است که باعث آسیب می شود، و همچنین همان چیزی است که هر مدار نمونه‌برداری و نگه داشتن عملی انجام می دهد. در اینجا سیگنال در \(t=nT\) اندازه گیری می شود و آن مقدار واحد برای \(\tau\) ثانیه ثابت می ماند. هر پالس خروجی یک مستطیل است که ارتفاع آن یک مقدار نمونه است، بنابراین خروجی به هیچ وجه یک محصول با \(x(t)\) نیست - این سیگنال نمونه‌برداری ضربه‌ای است که با یک پالس مستطیل شکل در هم می‌پیچد.
کانولوشن در زمان ضرب در فرکانس است، بنابراین \(X_{ft}(j\omega) = H(j\omega)X_p(j\omega)\)، و تبدیل یک مستطیل با عرض \(\tau\) که از مبدأ شروع می شود، در فصل 14 محاسبه شد.
هر ماکت، باند پایه که شامل آن می شود، در این بزرگی سینک شکل ضرب می شود. برخلاف \(c_0\)، در باند متفاوت است: فرکانس‌های بالا ضعیف‌تر از فرکانس‌های پایین هستند. سیگنال قابل بازیابی است، اما تنها پس از خنثی شدن افت توسط اکولایزر پاسخ \(1/H(j\omega)\).
میزان جدی بودن افتادگی کاملاً به نسبت کار \(\tau/T\) بستگی دارد. یک دیافراگم باریک، \(\tau \ll T\)، \(\sin(\omega\tau/2)/(\omega\tau/2)\) را تقریباً روی باند سیگنال صاف می کند و اثر دیافراگم ناچیز می شود - دقیقاً به معنایی است که مدل ضربه ای بخش 20-2 تقریب خوبی است. دیافراگم باز بدتر است، و حالت شدید \(\tau = T\)، که در آن مقدار نگه‌داشته شده تا رسیدن نمونه بعدی باقی می‌ماند، نگه‌داری مرتبه صفر است. این روش استاندارد تبدیل نمونه‌ها به شکل موج است و فصل 21 افت آن را با جزئیات بررسی می‌کند.
| مدل | عملیات | اثر بر روی کپی باند پایه | بازیابی |
|---|---|---|---|
| نمونه‌برداری ضربه ای | ضرب در \(\sum\delta(t-kT)\) | با مقیاس \(1/T\)، شکل دقیق | پایین گذر بهره \(T\) |
| نمونه‌برداری طبیعی | ضرب با قطار پالس مستطیلی | با مقیاس \(\tau/T\)، شکل دقیق | پایین گذر بهره \(T/\tau\) |
| نمونه‌برداری از سطح تخت | \(x_p\) را با یک مستطیل بپیچید | ضرب در یک سینک - افتاده است | اکولایزر Lowpass plus \(1/\text{sinc}\) |
نمونه‌برداری از سیگنال‌های باند گذر
قانون \(f_s \gt 2f_M\) بر حسب بالاترین فرکانس موجود بیان می‌شود و برای سیگنالی که طیف آن به طور مداوم از صفر تا \(f_M\) اجرا می‌شود، این معیار طبیعی است. اما کانال رادیویی را در نظر بگیرید که 20 تا 24 مگاهرتز را اشغال می کند. بالاترین فرکانس آن 24 مگاهرتز است، بنابراین قضیه همانطور که گفته شد به 48 میلیون نمونه در ثانیه نیاز دارد - برای سیگنالی که فقط 4 مگاهرتز اطلاعات را حمل می کند. باند 0 تا 20 مگاهرتز خالی است، و نمونه‌برداری از آن سریع، صرف مقدار زیادی سخت افزار برای هیچ چیز نیست.
به آنچه که اشتقاق واقعاً مورد نیاز است برگردید. هیچ چیزی در بخش 20-3 \(f_M\) ذکر نشده است. شرط این بود که ماکت ها نباید همپوشانی داشته باشند. هنگامی که طیف فقط یک نوار را اشغال می کند، کپی ها نیز نوار هستند، و نوارها می توانند در هم قرار گیرند. منطقه خالی بین DC و لبه باند پایین اتاقی است که نسخه های جابجا شده کپی های همسایه ممکن است در آن پارک شوند، به شرط اینکه دقیقاً پارک شده باشند.
هر \(f_s\) در یکی از این باندها سیگنال را بدون همپوشانی طیفی نمونه‌برداری می کند. کمترین نرخ مجاز از بزرگترین \(k\) مجاز است، و زمانی که \(f_H/B\) یک عدد صحیح است، این نرخ دقیقاً \(2B\) است - دو برابر پهنای باند اطلاعات، نه دو برابر بالاترین فرکانس.
کانال 20 تا 24 مگاهرتز این نکته را به وضوح بیان می کند. اینجا\(B = 4\)مگاهرتز و\(f_H/B = 6\)، بنابراین\(k\)ممکن است به اندازه 6 باشد و\(f_s = 2(24)/6 = 8\)مگاهرتز کافی است. پیروی از ماکت ها آن را تأیید می کند: با\(f_s = 8\)مگاهرتز باند مثبت به سمت پایین جابه جا شد\(3f_s = 24\)مگاهرتز روشن می شود\(-4\)به\(0\)مگاهرتز، باند منفی\(-24\)به\(-20\)مگاهرتز با 24 مگاهرتز به سمت بالا جابه‌جا می‌شود\(0\)به\(4\)مگاهرتز، و این دو در باند پایه بدون شکاف و بدون همپوشانی با هم قرار می گیرند. مبدل 48 مگاهرتز با یک مبدل 8 مگاهرتز جایگزین شده است.
این تکنیک زیر نمونه‌برداری یا نمونه‌برداری باند گذر نامیده می شود و پایه و اساس رادیو تعریف شده توسط نرم افزار است. نمونه‌گر همزمان دو کار را انجام می‌دهد: گسسته‌سازی می‌کند، و کانال را به باند پایه ترجمه می‌کند، و جایگزین یک میکسر و یک نوسان‌گر محلی می‌شود. قیمت این است که فیلتر جلویی آنالوگ اکنون باید یک فیلتر باند باند کاملاً تیز باشد - هر انرژی خارج از \([f_L, f_H]\) همپوشانی طیفی ندارد و چیزی مانع آن نمی شود - و اینکه دیافراگم نمونه و نگه دارید باید به اندازه کافی کوتاه باشد و زمان بندی آن به اندازه کافی ثابت باشد تا یک شکل موج 24 مگاهرتز را حتی اگر فقط 8 میلیون بار در ثانیه شلیک می کند، ردیابی کند.
از نمونه ها به دنباله
قطار ضربه ای به هدف خود عمل کرده است و اکنون می توان آن را اخراج کرد. چیزی که یک مبدل واقعاً ارائه می‌کند دنباله \(x[n] = x(nT)\) است و سؤال این است که تبدیل فوریهٔ گسسته آن چگونه به \(X(j\omega)\) مربوط می‌شود. با نوشتن هر دو تبدیل به صورت مجموع روی اعداد یکسان، پاسخ از بین می رود.
تبدیل \(x_p(t)\) را مستقیماً از تعریف آن به عنوان مجموع ضربه های وزنی، با استفاده از ویژگی sifting یک بار دیگر بگیرید:
این دو عبارت جمع یکسان هستند. آنها فقط در نحوه نوشتن توان متفاوت هستند و در زیر جایگزینی تک \(\Omega = \omega T\) منطبق می شوند. بنابراین، متغیر فرکانس زمان‌گسسته چیزی نیست جز متغیر زمان‌پیوسته که در واحدهای نرخ نمونه‌برداری اندازه‌گیری می‌شود - یک فرکانس نرمال شده، رادیان در هر نمونه به جای رادیان در ثانیه.
DC به \(\Omega=0\)، فرکانس Nyquist \(\omega_s/2\) به \(\Omega=\pi\) و فرکانس نمونه‌برداری خود به \(\Omega = 2\pi\) نگاشت می شود. هر فرکانس زمان‌گسسته در \((-\pi,\pi)\) دقیقاً با یک فرکانس پیوسته مطابقت دارد که نمونه‌گر می‌تواند نشان دهد.
این امر حلقه ای را که در فصل 3 باز شده است بسته می شود. در آنجا به عنوان کنجکاوی جبر مشاهده شد که \(e^{j(\Omega+2\pi)n} = e^{j\Omega n}\) - آن فرکانس زمان‌گسسته روی یک دایره زندگی می کند و سریع ترین نوسان ممکن در \(\Omega = \pi\) رخ می دهد. سپس فصل 16 DTFT را به‌طور اجتناب‌ناپذیر \(2\pi\)-تناوبی یافت و تناوب را به‌صورتی که داده شد در نظر گرفت. دلیل اکنون قابل مشاهده است: \(2\pi\) در \(\Omega\) \(\omega_s\) در \(\omega\) است، و تناوب DTFT دقیقا همان تکرار طیفی است که نمونه‌برداری انجام می‌دهد. یک دنباله چیزی در مورد سرعت گرفتن آن نمی داند، بنابراین نمی تواند فرکانس های جدا شده توسط \(\omega_s\) را تشخیص دهد. طیف آن تکرار می شود زیرا آن فرکانس ها در لحظه ثبت نمونه ها یکسان ساخته شدند.
نتیجه عملی همان چیزی است که هر مهندس DSP روزانه با آن کار می کند. یک فیلتر دیجیتال مشخص شده برای قطع در \(\Omega_c = 0.3\pi\) در \(0.3\pi/(2\pi T) = 0.15 f_s\) قطع می شود - اگر با فرکانس 8 کیلوهرتز کار می کند 1.2 کیلوهرتز، اگر با فرکانس 44.1 کیلوهرتز کار می کند 6.6 کیلوهرتز است. همان ضرایب، همان توالی حساب، فیلتری متفاوت در دنیای فیزیکی. فصل 22 کل زنجیره پردازش زمان‌گسسته را بر روی این مکاتبات می سازد.
نمونه های کار شده
مشکل نرخ Nyquist را برای هر یک از (الف) \(x(t) = 3\cos(400\pi t) + 2\sin(1200\pi t)\) تعیین کنید. (ب) \(x(t) = \cos^2(400\pi t)\)؛ (ج) \(x(t) = \operatorname{sinc}(200t)\)، با \(\operatorname{sinc}(\theta)=\sin(\pi\theta)/(\pi\theta)\)؛ (د) \(x(t) = \operatorname{sinc}(200t)\cdot\operatorname{sinc}(100t)\).
راه حل (الف). فرکانس ها را مستقیماً خاموش کنید: \(400\pi\) راد/ثانیه 200 هرتز و \(1200\pi\) راد در ثانیه 600 هرتز است. بالاترین \(f_M = 600\) هرتز است، بنابراین نرخ Nyquist \(1200\) هرتز، معادل \(\omega_s = 2400\pi\) راد در ثانیه است.
راه حل (ب). تله اینجا 400 هرتز را پاسخ می دهد. کسینوس مربع یک سیگنال 200 هرتز نیست. ابتدا آن را گسترش دهید:
سیگنال شامل DC و یک قطعه در \(800\pi\) راد/ثانیه \(=\) 400 هرتز است. بنابراین \(f_M = 400\) هرتز و نرخ Nyquist 800 هرتز است. مربع کردن یک سیگنال پهنای باند آن را دو برابر می کند، زیرا ضرب در زمان طیف را با خود درگیر می کند.
راه حل (ج). با این نرمال سازی \(\operatorname{sinc}(200t) = \sin(200\pi t)/(200\pi t)\) که تبدیل آن مستطیلی با عرض کل 200 هرتز است - یعنی \(X(j\omega)\) برای \(|f| \lt 100\) هرتز ثابت و صفر است. بنابراین \(f_M = 100\) هرتز و نرخ Nyquist 200 هرتز است.
راه حل (د). یک محصول در زمان یک کانولوشن در فرکانس است، و کانولوشن یک مستطیل با نصف عرض 100 هرتز با یکی از نیمه عرض 50 هرتز، ذوزنقه ای با نیم عرض \(100 + 50 = 150\) هرتز به دست می دهد. بنابراین \(f_M = 150\) هرتز و نرخ Nyquist 300 هرتز است. مجموع \(\operatorname{sinc}(200t) + \operatorname{sinc}(100t)\) را که طیف آن مجموع دو مستطیل است و حد باند آن فقط 100 هرتز است، مقایسه کنید: اضافه کردن سیگنال‌ها پهنای باند بزرگتری را می گیرد، ضرب آنها پهنای باند را اضافه می کند.
مشکل یک سیگنال طیفی مثلثی دارد و فقط برای \(|f| \le 5\) کیلوهرتز غیر صفر است. این در \(f_s = 8\) کیلوهرتز نمونه‌برداری شده است. الف) ماکت ها کجا هستند؟ (ب) کدام قسمت از باند خراب است؟ (ج) حداقل نرخ مجاز چقدر است و پهنای باند محافظ در \(f_s = 12\) کیلوهرتز چقدر خواهد بود؟
راه حل (الف). کپی‌های طیف در مرکز \(0, \pm 8, \pm 16, \dots\) کیلوهرتز قرار گرفته‌اند که هرکدام از آنها \(\pm 5\) کیلوهرتز را در مرکز خود قرار می‌دهند. بنابراین کپی \(k=0\) \(-5\) تا \(5\) کیلوهرتز و کپی \(k=1\) \(3\) تا \(13\) کیلوهرتز را اشغال می کند.
راه حل (ب). این دو بازه در محدوده \(3 \le f \le 5\) کیلوهرتز مشترک هستند، بنابراین 2 کیلوهرتز بالای باند خراب است. به طور مشخص، کپی \(k=1\) با فرکانس \(f\) هر چه طیف اصلی در \(f - 8\) کیلوهرتز باشد، کمک می‌کند. بنابراین، یک تون با فرکانس 4.5 کیلوهرتز در نسخه اصلی، یک جزء جعلی را در \(|4.5 - 8| = 3.5\) کیلوهرتز قرار می دهد، و یک تون با فرکانس 3.5 کیلوهرتز، یک قطعه را در 4.5 کیلوهرتز رسوب می دهد - بالای باند حدود 4 کیلوهرتز، فرکانس نایکیست، روی خود جمع شده است.
راه حل (ج). عدم همپوشانی به \(f_s \gt 2f_M = 10\) کیلوهرتز نیاز دارد. در \(f_s = 12\) کیلوهرتز، کپی \(k=0\) همچنان در فرکانس 5 کیلوهرتز به پایان می رسد در حالی که کپی \(k=1\) از \(12 - 5 = 7\) کیلوهرتز شروع می شود، و یک باند محافظ \(f_s - 2f_M = 2\) ممکن است فیلتر kHz را بازیابی کند. فیلتر باید تا 5 کیلوهرتز صاف و با فرکانس 7 کیلوهرتز مرده باشد - نسبت انتقال \(7/5 = 1.4\)، که سخت است اما قابل ساخت است.
مشکل یک کسینوس 7 کیلوهرتز در \(f_s = 10\) کیلوهرتز نمونه‌برداری می شود. (الف) توالی نمونه را بنویسید و فرکانس زمان‌گسسته را مشخص کنید. ب) دو کسینوس زمان‌پیوسته دیگر که نمونه های یکسانی تولید می کنند نام ببرید. ج) اگر سیگنال به جای کسینوس سینوسی باشد، چه تغییری می کند؟
راه حل (الف). با \(T = 10^{-4}\) s،
با استفاده از \(\cos(-\theta)=\cos\theta\) در آخرین مرحله. فرکانس زمان‌گسسته \(\Omega = 0.6\pi\) است که در \((-\pi,\pi)\) قرار دارد و بنابراین با فرکانس پیوسته \(0.6\pi/(2\pi T) = 3\) کیلوهرتز مطابقت دارد.
راه حل (ب). هر نگاشت فرکانس به همان مدول \(\Omega\) \(2\pi\) انجام خواهد شد. \(f = 13\) کیلوهرتز \(\Omega = 2.6\pi \equiv 0.6\pi\) را می دهد. \(f = 3\) کیلوهرتز مستقیماً \(\Omega = 0.6\pi\) را می دهد. بنابراین 3 کیلوهرتز، 7 کیلوهرتز، 13 کیلوهرتز، 17 کیلوهرتز، 23 کیلوهرتز و بقیه اعضای خانواده \(|{\pm}3 + 10m|\) کیلوهرتز همگی پس از نمونه‌برداری در 10 کیلوهرتز قابل تشخیص نیستند. از آنجایی که \(f_s/2 = 5\) کیلوهرتز، تنها عضو 3 کیلوهرتز به طور قانونی قابل نمایش است، و این همان چیزی است که یک فیلتر بازسازی ایجاد می کند.
راه حل (ج). برای یک سینوس، تا شدن نیز فاز را معکوس می کند: \(\sin(1.4\pi n) = \sin\big((1.4\pi-2\pi)n\big) = \sin(-0.6\pi n) = -\sin(0.6\pi n)\). جزء مستعار در 3 کیلوهرتز ظاهر می شود اما علامت آن معکوس است. همپوشانی طیفی صرفاً یک خطای فرکانس نیست. این یک خطای فرکانس است که می تواند یک تلنگر فاز \(180^\circ\) را با خود حمل کند.
مشکل صدا باید توسط یک فیلتر ضد همپوشانی طیفی که باند توقف آن از 22.05 کیلوهرتز شروع می شود به 20 کیلوهرتز محدود شود. الف) در این صورت قضیه به چه نرخ نمونه‌برداری نیاز دارد؟ (ب) اگر فیلتر تیزتر بود و باند توقف آن از 21 کیلوهرتز شروع می شد، چه سرعتی انجام می داد؟ (ج) در \(f_s = 96\) کیلوهرتز، پهنای باند انتقال چقدر است؟
راه حل (الف). هیچ فیلتری حاشیه عمودی ندارد، بنابراین محدودیت باند صادقانه سیگنال فیلتر شده 20 کیلوهرتز نیست، بلکه فرکانس بالای خروجی آن ناچیز است - در اینجا \(f_1 = 22.05\) کیلوهرتز. اعمال قضیه برای \(f_1\):
که دقیقاً میزان دیسک فشرده است. 4.1 کیلوهرتز بالاتر از 40 کیلوهرتز ساده، حاشیه ایمنی حذف شده از هوا نیست. این اتاقی است که فیلتر به آن نیاز دارد تا از باند عبور به باند توقف سقوط کند.
راه حل (ب). فیلتر تیزتر به فضای کمتری نیاز دارد: \(f_s \ge 2(21) = 42\) کیلوهرتز. نمونه‌برداری آهسته‌تر هزینه فیلتر آنالوگ گران‌تری دارد، که تجارت در قلب هر طراحی مبدل است.
راه حل (ج). در 96 کیلوهرتز، کپی ها از \(96 - 20 = 76\) کیلوهرتز شروع می شوند، بنابراین فیلتر ضد همپوشانی طیفی ممکن است از 20 کیلوهرتز تا 76 کیلوهرتز طول بکشد تا به باند توقف خود برسد - نسبت انتقال \(76/20 = 3.8\) به جای \(22.05/20 = 1.10\). یک فیلتر ملایم مرتبه سوم یا چهارم اکنون در جایی که قبلاً به یک فیلتر شیب دار مرتبه ده یا بیشتر نیاز بود کافی است. این کل استدلال برای نمونه‌برداری بیش از حد است، و فصل 21 یک شماره مرتبه در آن قرار می دهد.
مشکل یک کانال 20 تا 24 مگاهرتز را اشغال می کند. الف) قضیه نمونه‌برداری ساده چه چیزی را می طلبد؟ (ب) کمترین نرخی که از همپوشانی طیفی جلوگیری می کند چیست؟ ج) برای کانالی با فرکانس 21 تا 25 مگاهرتز تکرار کنید.
راه حل (الف). استفاده از \(f_M = f_H = 24\) مگاهرتز نرخ Nyquist 48 مگاهرتز می دهد.
راه حل (ب). پهنای باند \(B = 4\) مگاهرتز و \(f_H/B = 24/4 = 6\) است، یک عدد صحیح، بنابراین \(k\) ممکن است به اندازه 6 در نظر گرفته شود:
با ردیابی کپی ها آن را بررسی کنید. باند مثبت \([20,24]\) با \(3f_s = 24\) مگاهرتز به سمت پایین جابه جا شد و روی \([-4, 0]\) فرود آمد. باند منفی \([-24,-20]\) با 24 مگاهرتز به سمت بالا جابه جا شد و روی \([0,4]\) فرود آمد. آنها با هم \([-4,4]\) را دقیقاً لبه به لبه، بدون همپوشانی پر می‌کنند - نمونه‌گر کانال را به باند پایه به عنوان یک اثر جانبی رایگان ترجمه کرده است. نرخی شش برابر کمتر از پاسخ ساده و مبدل یک ششم قیمت است.
راه حل (ج). اکنون \(B = 4\) مگاهرتز هنوز اما \(f_H/B = 25/4 = 6.25\) است، بنابراین \(k\) می تواند حداکثر 6 و \(f_{s,\min} = 2(25)/6 = 8.33\) مگاهرتز باشد. این باند دیگر مضربی دقیق از \(B\) از مبدأ فاصله ندارد، بنابراین در هم آمیختگی ناقص است و کمی بیشتر از \(2B\) مورد نیاز است. نکته اخلاقی این است که \(2B\) کفی است که تنها باند با موقعیت ایده آل به آن دست می یابد.
مشکل اجازه دهید \(x(t) = 2\cos(2\pi\,1000\,t) + \cos(2\pi\,3000\,t)\). زمانی که (الف) \(f_s = 8\) کیلوهرتز و (ب) \(f_s = 4\) کیلوهرتز باشد، \(x[n]\) را پیدا کنید و نظر دهید.
راه حل (الف). نقشه \(\Omega = 2\pi f/f_s\) است. در 8 کیلوهرتز صدای 1 کیلوهرتز \(\Omega_1 = 2\pi(1000)/8000 = \pi/4\) و تون 3 کیلوهرتز \(\Omega_2 = 3\pi/4\) را می دهد:
هر دو فرکانس زیر \(\pi\) قرار دارند، مطابق با \(f_s = 8\) کیلوهرتز که از نرخ Nyquist 6 کیلوهرتز بیشتر است. این دو تن از هم جدا می‌مانند و می‌توانند به صورت دیجیتالی فیلتر شوند.
راه حل (ب). در 4 کیلوهرتز تون 1 کیلوهرتز \(\Omega_1 = \pi/2\) می دهد، اما تون 3 کیلوهرتز \(\Omega_2 = 3\pi/2\) را می دهد که خارج از محدوده اصلی است و باید کاهش یابد:
بنابراین \(x[n] = 2\cos(\pi n/2) + \cos(\pi n/2) = 3\cos(\pi n/2)\). دو تن یکی شده اند . مولفه 3 کیلوهرتز به \(|3000 - 4000| = 1000\) هرتز همپوشانی طیفی داده شده است و به طور منسجمی به تون موجود در آن اضافه شده است، و دامنه 2 را به دامنه 3 تبدیل می کند. توجه داشته باشید که اگر صدای دوم یک سینوس بود، به جای افزودن، تا زدن کم می شد.
خلاصه فصل
ضرب در \(p(t)=\sum_k\delta(t-kT)\)؛ وزن‌های ضربه‌ای نمونه هستند و کل مسئله در زمان‌پیوسته باقی می‌ماند.
\(X_p(j\omega)=\frac1T\sum_k X(j(\omega-k\omega_s))\). نمونه‌برداری طیف را کپی می کند. هرگز آن را محو نمی کند
باند محدود به \(\omega_M\) و \(\omega_s \gt 2\omega_M\) به معنای بازیابی کامل است. نرخ Nyquist \(2\omega_M\) متعلق به سیگنال، فرکانس Nyquist \(\omega_s/2\) به سمپلر است.
پایین گذر ایده آل برای افزایش بهره \(T\)، قطع در هر نقطه از \((\omega_M,\ \omega_s-\omega_M)\). نوار محافظ گسترده تر به معنای فیلتر ملایم تر است.
نمونه‌برداری طبیعی هر ماکت را با یک مقدار ثابت مقیاس می کند و بی ضرر است. نمونه‌برداری از سطح تخت در یک سینک ضرب می شود و نیاز به یکسان سازی دارد.
فقط همپوشانی مهم است، بنابراین یک طیف نواری را می توان در هم قرار داد: \(f_s\) به اندازه \(2B\) زمانی که \(f_H/B\) یک عدد صحیح است.
\(\Omega = \omega T\)، بنابراین \(\omega_s/2 \mapsto \pi\). تناوب \(2\pi\) DTFT همانندسازی طیفی است.
\(\omega_s = 2\omega_M\) کافی نیست: \(\sin(\omega_M t)\) که دقیقاً با همین نرخ نمونه‌برداری شده است، چیزی جز صفرها را بر نمی گرداند.
مشکلات
مسائل 1 تا 3 نرخ Nyquist را مشخص می کند. 4 تا 6 با طیف تکراری کار می کنند. 7 و 8 به کیس های عملی و باند گذر فشار دهید. قبل از محاسبه هر چیزی در هر جایی که یک طیف درگیر است، \(X_p(j\omega)\) را ترسیم کنید.
- نرخ Nyquist را برای (a) \(x(t)=\cos(1000\pi t)\cos(3000\pi t)\) بیابید. (ب) \(x(t)=\big[\operatorname{sinc}(100t)\big]^2\)؛ (ج) \(x(t)=5 + 4\sin(600\pi t) - 3\cos(2000\pi t)\).
- یک سیگنال باند محدود به 8 کیلوهرتز است و در 18 کیلوهرتز نمونه‌برداری می شود. \(X_p(j\omega)\) را روی \(-40\) تا \(40\) کیلوهرتز ترسیم کنید، باند محافظ را علامت بزنید و وسیع ترین و باریک ترین فرکانس های قطع قابل استفاده را برای فیلتر بازیابی ارائه دهید.
- نشان دهید که اگر \(x(t)\) با باند محدود به \(\omega_M\) باشد، \(x(t)\cos(\omega_0 t)\) به \(\omega_0 + \omega_M\) باند محدود است و از این رو مدوله کردن یک سیگنال قبل از نمونه‌برداری، همیشه نرخ مورد نیاز را افزایش می دهد.
- یک کسینوس 6 کیلوهرتز در 8 کیلوهرتز نمونه‌برداری می شود و نمونه ها از یک فیلتر پایین گذر ایده آل با قطع 4 کیلوهرتز و بهره \(T\) عبور می کنند. چه چیزی بیرون می آید؟ پاسخ را از روی تصویر ماکت به جای فرمول توجیه کنید.
- \(P(j\omega)\) را برای قطار ضربه ای از اصول اول، با شروع از ضرایب سری فوریه استخراج کنید، و تأیید کنید که نتیجه دارای واحدهایی است که در زمان اندازه گیری \(T\) در ثانیه باید داشته باشد.
- یک باند سیگنال محدود به \(f_M\) در \(f_s = 3f_M\) نمونه‌برداری می شود. باند انتقال فیلتر بازیابی با چه عاملی ممکن است از خود \(f_M\) فراتر رود؟ برای \(f_s = 2.2 f_M\) تکرار کنید و در مورد تفاوت ترتیب فیلتر که دلالت بر آن دارد نظر دهید.
- مدار نمونه‌برداری و نگه داشتن از دیافراگم \(\tau = 0.1T\) استفاده می کند. بزرگی افت اثر دیافراگم را بر حسب دسی بل در فرکانس Nyquist \(f_s/2\) محاسبه کنید و بگویید آیا اکولایزر ارزش نصب کردن دارد یا خیر.
- یک کانال 90 تا 96 مگاهرتز را اشغال می کند. نرخ Nyquist، حداقل نرخ نمونه‌برداری باند گذر، و هر مقدار \(k\) را در شرایط گذر باند که نرخ قابل قبولی زیر 40 مگاهرتز به دست می دهد را بیابید. یک مشکل عملی را بیان کنید که نمونه‌برداری کم نشان می‌دهد که نمونه‌برداری با نرخ کامل Nyquist از کدام نمونه‌برداری اجتناب می‌کند.