- آنچه سیگنال‌ها و سیستم‌ها را مطالعه می کند و تعاریف کاری یک سیگنال و یک سیستم.
- دو خانواده بزرگ سیگنال - زمان‌پیوسته \(x(t)\) و زمان‌گسسته \(x[n]\) - و اینکه چگونه یکی با نمونه‌برداری به دیگری تبدیل می‌شود.
- چگونه می توان "اندازه" یک سیگنال را از طریق انرژی و توان آن اندازه گیری کرد و چگونه سیگنال‌ها را به دو کلاس مفید تقسیم می کند.
- دیدگاه یک سیستم به عنوان یک اپراتور \(y = T\{x\}\)، و ویژگی‌هایی (خطی، عدم تغییر زمانی، علّیت، پایداری) که تعیین می‌کنند چقدر قابل حمل است.
- تنها راهبردی که کل دوره را سازماندهی می کند - تجزیه، پاسخ دادن، روی هم قرار دادن - و اینکه چرا تحولات را بسیار محور می کند.
- جایی که ایده‌های سیگنال و سیستم در ارتباطات، کنترل، صدا، تصویربرداری و مهندسی زیست پزشکی ظاهر می‌شوند.
موضوع چیست
با تلفن صحبت کنید و صدای شما تبدیل به یک ولتاژ نوسانی می شود. ضربان قلب را ثبت کنید و به ردی از نوار قلب تبدیل می شود. از یک صحنه عکس بگیرید و به شبکه ای از مقادیر روشنایی تبدیل می شود. یک تیک تیک سهام را تماشا کنید و تبدیل به رشته ای از اعدادی می شود که در زمان به جلو حرکت می کنند. اینها چیزهای کاملاً متفاوتی به نظر می رسند - صدا، زیست شناسی، نور، پول - اما یک مهندس با همه آنها با ریاضیات یکسان رفتار می کند. سیگنال‌ها و سیستم‌ها همان زبان مشترک است: چارچوبی یکپارچه برای توصیف مقادیری که اطلاعات را حمل می کنند و فرآیندهایی که بر روی آنها عمل می کنند.
فاعل در نام خود دو اسم دارد و آنها به هم تعلق دارند. سیگنال چیزی است که اطلاعات را حمل می کند - صدا، ردیابی، تیک تیک. سیستم هر چیزی است که سیگنالی را وارد می کند و سیگنالی را خارج می کند - تقویت کننده، یک اکولایزر، یک حلقه کنترل، یک کانال ارتباطی، یک الگوریتم فشرده سازی. تقریباً هر کار در مهندسی برق و الکترونیک را می توان اینگونه بیان کرد: با توجه به این سیگنال ورودی و این سیستم، خروجی چیست؟ - یا برعکس آن، چه سیستمی این ورودی را به خروجی مورد نظر من تبدیل می کند؟
یک ایده در زیر همه آن نهفته است و ارزش آن را دارد که قبل از هر چیزی در ذهن خود تثبیت کنید. یک سیستم نقشه برداری از سیگنال ورودی به سیگنال خروجی است. فیلتر کردن، مدولاسیون، بازخورد، نمونه‌برداری، کدگذاری - هر موضوع در این کتاب یک مورد خاص از مطالعه آن یک نقشه است. آن را در هر فصل بعدی بخوانید و موضوع خود را سازماندهی می کند.
یک سیستم \(T\) یک سیگنال ورودی \(x\) را به سیگنال خروجی \(y\) تبدیل می کند. تولید، فیلتر کردن، تبدیل‌ها، نمونه‌برداری و بازخورد، همه در نهایت، استراتژی‌هایی برای درک یا شکل‌دهی این نقشه‌برداری واحد هستند.
سیگنال چیست
سیگنال تابعی از یک یا چند متغیر مستقل است که اطلاعاتی را در مورد رفتار برخی پدیده های فیزیکی منتقل می کند. در این دوره، متغیر مستقل تقریباً همیشه زمان است، و سیگنال یک عدد واقعی منفرد (گاهی پیچیده) است که با آن تغییر می‌کند. ما یک سیگنال زمان‌پیوسته را به عنوان \(x(t)\) می نویسیم، "x از t" را می خوانیم، جایی که \(t\) بیش از محور اعداد حقیقی است.
اگرچه این ایده گسترده تر از زمان است. یک تصویر سیگنالی از دو متغیر فضایی، \(f(x,y)\) است. یک ویدیو زمان را اضافه می کند، \(f(x,y,t)\). برخی از سیگنال‌ها بردار هستند - خروجی سه محوره یک شتاب‌سنج - و برخی با ارزش پیچیده هستند، راحتی که پس از رسیدن تحلیل فوریه به شدت به آن تکیه خواهیم کرد. در حال حاضر ساده ترین و مهم ترین تصویر را نگه دارید: سیگنال تابعی است که به هر لحظه از زمان یک مقدار اختصاص می دهد.
یک سیستم چیست
سیستم هر فرآیندی است که بر روی یک یا چند سیگنال ورودی برای تولید یک یا چند سیگنال خروجی عمل می کند. به عبارت دیگر، یک تبدیل - یک عملگر - است که یک سیگنال ورودی \(x\) را به سیگنال خروجی \(y\) تبدیل می کند. ما این را با نماد عملگر \(T\) و نماد فشرده \(y(t)=T\{x(t)\}\) می گیریم، و آن را به صورت بلوکی با ورودی در سمت چپ و خروجی در سمت راست تصویر می کنیم.
سیستم‌ها می توانند فیزیکی یا انتزاعی باشند. مدار RC یک سیستم است: یک ولتاژ اعمال کنید و نسخه صاف شده آن را برمی گرداند. زنجیره میکروفون و تقویت کننده یک سیستم است. یک فیلتر محاسباتی محاسباتی نیز وجود دارد - یک فیلتر میانگین متحرک که هر نمونه از یک جریان داده را با میانگین همسایگان خود جایگزین می کند، یا نرم افزاری که یک ویدیو را رمزگشایی می کند. بلوک اهمیتی نمی دهد که از مقاومت یا خطوط کد ساخته شده باشد. آنچه مهم است قانون اتصال ورودی به خروجی است.
| سیستم | سیگنال ورودی | سیگنال خروجی |
|---|---|---|
| تقویت کننده صدا | ولتاژ ضعیف از پیکاپ | ولتاژ تقویت شده به بلندگو |
| فیلتر پایین گذر RC | ولتاژ ورودی پر سر و صدا | ولتاژ خروجی صاف |
| کروز کنترل | سرعت مورد نظر | فرمان دریچه گاز / سرعت واقعی |
| فیلتر میانگین متحرک | جریان داده \(x[n]\) | جریان صاف \(y[n]\) |
سیگنال‌های زمان‌پیوسته و زمان‌گسسته
سیگنال‌ها به دو خانواده بزرگ تقسیم می شوند و کل دوره حول این جفت سازماندهی می شود. یک سیگنال زمان‌پیوسته (CT) در هر لحظه تعریف می شود: متغیر مستقل آن \(t\) روی محور اعداد حقیقی اجرا می شود و ما آن را با پرانتز می نویسیم \(x(t)\). یک سیگنال زمان‌گسسته (DT) فقط در لحظه‌های عدد صحیح تعریف می‌شود: متغیر آن \(n\) مقادیر صحیح را می‌گیرد و ما آن را \(x[n]\) با کروشه می‌نویسیم. سبک براکت یک سیگنال عمدی و دائمی است که نشان می‌دهد در کدام دنیایی هستید - آن را از صفحه اول دقیق نگه دارید.
این دو خانواده ارتباط نزدیکی با هم دارند. یک سیگنال زمان‌گسسته اغلب با نمونه‌برداری از یک زمان‌پیوسته ایجاد می‌شود - خواندن \(x(t)\) در فواصل مساوی \(t = nT_s\) برای تشکیل \(x[n] = x(nT_s)\)، جایی که \(T_s\) دوره نمونه‌برداری است. این دقیقاً همان کاری است که یک مبدل آنالوگ به دیجیتال در داخل هر تلفن، دوربین و ابزاری انجام می دهد. اینکه چه زمانی و چگونه یک دنباله نمونه‌برداری شده به طور صادقانه نشان دهنده اصلی است - و چه زمانی نشان نمی دهد - قضیه نمونه‌برداری قسمت 6 است، یکی از نتایج محوری کل موضوع.
| جنبه | زمان‌پیوسته | زمان‌گسسته |
|---|---|---|
| نشانه گذاری | \(x(t)\)، پرانتز | \(x[n]\)، براکت مربع |
| متغیر مستقل | \(t \in \mathbb{R}\) | \(n \in \mathbb{Z}\) |
| به عنوان تجسم شده است | یک منحنی صاف | طرح ساقه (آب نبات چوبی). |
| خانه طبیعی | مدارهای آنالوگ، فیزیک | کامپیوتر، DSP، سخت افزار دیجیتال |
اندازه یک سیگنال: انرژی و توان
یک سیگنال چقدر "بزرگ" است؟ یک عدد منفرد مانند یک مقدار اوج گمراه کننده است - یک سنبله بلند کوتاه و یک زمزمه کم طولانی می تواند بسیار متفاوت باشد. دو معیاری که به خوبی رفتار می کنند انرژی و توان هستند که از حالت فیزیکی وام گرفته شده اند که در آن یک ولتاژ \(x(t)\) در یک مقاومت 1 Ω انرژی آنی \(x^2(t)\) را تلف می کند. انرژی کل مقداری است که در تمام زمان ها یکپارچه شده است:
برخی از سیگنال‌ها - یک سینوسی که برای همیشه کار می کند، یک سطح DC ثابت - صرفاً به این دلیل که هرگز متوقف نمی شوند، انرژی بی نهایت دارند. برای اینها معیار مفید میانگین توان، انرژی در واحد زمان در حد یک پنجره طولانی است:
این دو معیار بیشتر سیگنال‌های مورد علاقه را به دو دسته تقسیم می کنند. یک سیگنال انرژی دارای انرژی متناهی و غیرصفر است - و بنابراین توان متوسط صفر است، زیرا مقدار محدودی از انرژی که در زمان بی نهایت پخش می شود به هیچ می شود. یک سیگنال توان دارای توان متوسط محدود و غیر صفر است - و بنابراین انرژی بی نهایت. سیگنال یکی یا دیگری است، هرگز هر دو. سیگنال‌های گذرا و در حال پوسیدگی معمولاً سیگنال‌های انرژی هستند، در حالی که سیگنال‌های دوره‌ای ابدی سیگنال‌های توان هستند.
تصمیم گیری در مورد اینکه یک سیگنال به کدام کلاس تعلق دارد، بلافاصله به شما می گوید که کدام اندازه گیری را محاسبه کنید و کدام ابزار ریاضی بعداً برای آن اعمال می شود.
سیستم‌ها به عنوان اپراتورها
اکنون به بلوک دیاگرام برگردید، زیرا نمای اپراتور جایی است که توان واقعی این موضوع زندگی می کند. نوشتن \(y=T\{x\}\) یک سوال تعیین کننده را ایجاد می کند: \(T\) چه نوع اپراتور است؟ تعدادی از ویژگی‌ها که در فصل 5 به تفصیل مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، تصمیم می‌گیرند که تجزیه و تحلیل یک سیستم چقدر سخت یا آسان است، و هر یک از آنها یک سوال بله یا خیر است که می‌توانید از قانون ورودی-خروجی بپرسید.
| اموال | معنی زبان ساده |
|---|---|
| خطی بودن | مقیاس‌گذاری و افزودن ورودی‌ها، خروجی‌ها را مقیاس‌بندی و اضافه می‌کند (ابرجایگاه نگه می‌دارد). |
| عدم تغییر زمان | تأخیر در ورودی فقط همان خروجی را به تأخیر می اندازد - قانون با گذشت زمان تغییر نمی کند. |
| علّیت | خروجی در حال حاضر فقط به ورودی های حال و گذشته بستگی دارد، نه به آینده. |
| ثبات | یک ورودی محدود هرگز نمی تواند خروجی نامحدود تولید کند. |
| حافظه | خروجی به ورودی های گذشته (یا آینده) بستگی دارد، نه تنها به لحظه حال. |
هنگامی که یک سیستم هم خطی و هم تغییرناپذیر با زمان است - یک سیستم LTI - اتفاق قابل توجهی رخ می دهد: کل رفتار آن توسط یک سیگنال واحد ثبت می شود، پاسخ آن به یک ضربه تیز و خروجی آن به هر ورودی توسط عملیاتی به نام کانولوشن دنبال می شود. سیستم‌های LTI جواهرات تاج دوره، دلیل وجود فصل های 6 تا 9، و پایه ای هستند که هر روش تبدیل بر روی آن ساخته شده است. بیشتر تقویت‌کننده‌ها، فیلترها و مدارهای واقعی LTI هستند و تقریباً به همین دلیل است که این نظریه بسیار مفید است.
برای یک سیستم LTI، دانستن خروجی یک ضربه برای پیش‌بینی خروجی هر ورودی کافی است. این یک واقعیت چیزی است که کل ماشین های تحلیلی دوره را ممکن می کند.
استراتژی مرکزی: تجزیه، پاسخ دادن، برهم زدن
اگر یک ایده را از این فصل به بقیه کتاب می آورید، این یکی را در نظر بگیرید. سیگنال‌های واقعی پیچیده هستند و فشار دادن یک سیگنال پیچیده به طور مستقیم از طریق یک سیستم سخت است. بنابراین ما هرگز انجام نمی دهیم. در عوض، ما از یک استراتژی سه مرحله‌ای پیروی می‌کنیم که تقریباً در هر فصل بعدی، در یک لباس یا لباس دیگر تکرار می‌شود.
ابتدا، ورودی را به مجموع سیگنال‌های بلوک ساختمانی ساده \(\varphi_k\)، که هر کدام با ضریب \(c_k\) وزن می‌شوند، تجزیه کنید. دوم، نحوه پاسخگویی سیستم به هر بلوک ساختمانی فردی را بیابید - مشکلی بسیار ساده تر، زیرا بلوک ها به گونه ای انتخاب می شوند که سیستم به طور تمیز با آنها برخورد می کند. سوم، چون سیستم‌هایی که ما به آنها اهمیت می‌دهیم خطی هستند، آن پاسخ‌های فردی را برای جمع‌آوری خروجی کامل روی هم قرار می‌دهیم.
نبوغ در انتخاب بلوک ساختمانی است و این انتخاب تفاوت بین روش های عالی دوره است. ضربه های جابجا شده را انتخاب کنید و برهم نهی تبدیل به کانولوشن می شود (قسمت 2). سینوسی ها یا نمایی های پیچیده را انتخاب کنید و تبدیل به سری فوریه و تبدیل فوریه می شود (قسمت های 3-4). این نمایی ها را گسترش دهید و به تبدیل های لاپلاس و Z می رسید (قسمت های 5 و 7). چهار تبدیل، یک استراتژی در زیر همه آنها.
برنامه های کاربردی
چارچوب عمداً انتزاعی است، به همین دلیل است که تا اینجا رسیده است. هر جا که اطلاعات توسط یک کمیت در حال تغییر حمل می شود و فرآیندی آن را تغییر شکل می دهد، سیگنال‌ها و سیستم‌ها زبان مورد استفاده هستند.
مدولاسیون، فیلتر کردن و شناسایی در رادیو، تلفن همراه و لینک های Wi-Fi. نمونه‌برداری و کدگذاری که صدای آنالوگ را به جریان های دیجیتال قوی تبدیل می کند.
حلقه‌های بازخورد، تجزیه و تحلیل پایداری و طراحی کنترل‌کننده - از کروز کنترل گرفته تا خلبان‌های خودکار پرواز تا بازوهای روباتی - همه به ویژگی‌های سیستم و عملکردهای انتقال بستگی دارد.
اکولایزرها، کاهش نویز، لغو پژواک، تشخیص لبه، و طرح‌های فشرده‌سازی JPEG و MP3 که تحلیل فوریه هستند.
فیلتر کردن ردپای ECG و EEG، سیستم‌های تصویربرداری مانند MRI و سونوگرافی، و الگوریتم‌هایی که ضربان قلب را از یک ضبط پر سر و صدا خارج می‌کنند.
نمونه های کار شده
مشکل هر کدام را به‌عنوان زمان‌پیوسته یا زمان‌گسسته طبقه‌بندی کنید، و بگویید که آیا به طور طبیعی بیشتر سیگنال انرژی است یا توان: (الف) ولتاژ میکروفون. (ب) قیمت بسته شدن روزانه سهام؛ (ج) یک پالس مستطیلی منفرد با ارتفاع 1 به مدت 2 ثانیه. (د) منبع تغذیه اصلی \(230\cos(2\pi\,50\,t)\).
راه حل. (الف) زمان‌پیوسته، و از آنجایی که محدود و در حال انجام است، یک سیگنال توان. (ب) زمان‌گسسته - یک مقدار در روز. (ج) زمان‌پیوسته. به صفر می رسد، بنابراین یک سیگنال انرژی است. (د) دوره ای پیوسته و ابدی، بنابراین یک سیگنال توان. الگوی قابل توجه: سیگنال‌هایی که خاموش می شوند سیگنال‌های انرژی هستند. سیگنال‌هایی که برای همیشه اجرا می شوند سیگنال‌های توان هستند.
مشکل کل انرژی \(x(t) = e^{-at}u(t)\) را با \(a>0\) بیابید، جایی که \(u(t)\) پلهٔ واحد است (صفر برای \(t<0\)، یک برای \(t\ge 0\)).
راه حل. مرحله سیگنال را به \(t\ge 0\) محدود می کند، بنابراین \(|x(t)|^2 = e^{-2at}\) را از 0 به \(\infty\) انتگرال‌گیری کنید:
انرژی محدود است (برای هر \(a>0\))، تأیید می کند که این یک سیگنال انرژی است. پوسیدگی سریعتر - \(a\) بزرگتر - انرژی کمتری را حمل می کند، دقیقاً همانطور که شهود نشان می دهد.
مشکل میانگین توان \(x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)\) را پیدا کنید.
راه حل. میانگین \(\cos^2\) در دوره‌های کامل، \(\tfrac12\) را با استفاده از \(\cos^2\theta = \tfrac12(1+\cos 2\theta)\) به دست می‌دهد - میانگین عبارت \(\cos 2\theta\) به صفر می‌رسد:
توان محدود و غیر صفر است، بنابراین سینوسی یک سیگنال توان است - و انرژی آن، که در تمام زمان ها پخش شده است، بی نهایت است. نتیجه \(P = A^2/2\) ارزش به خاطر سپردن دارد. مدام دوباره ظاهر می شود
مشکل یک سیستم زمان‌گسسته توسط \(y[n] = x[n] - x[n-1]\) تعریف می شود. با کلمات توصیف کنید که چه کاری انجام می دهد و یکی از کاربردهای آن را نام ببرید.
راه حل. هر نمونه خروجی تغییر در ورودی از نمونه قبلی به نمونه فعلی است - اولین تفاوت، آنالوگ زمان‌گسسته یک مشتق. در جایی که ورودی مسطح است، خروجی صفر است. جایی که ورودی جهش می کند، خروجی اوج می گیرد. بنابراین بر تغییرات سریع تاکید می کند و تغییرات آهسته را سرکوب می کند، که آن را به یک آشکارساز لبه یا گذرا تبدیل می کند. (با نگاهی به آینده: خطی، تغییرناپذیر با زمان، علّی و پایدار است - هر ویژگی از بخش 1-6 را می توان مستقیماً بر روی این یک قانون بررسی کرد.)
خلاصه فصل
یک زبان یکپارچه برای سیگنال‌ها (توابع حامل اطلاعات) و سیستم‌ها (اپراتورهایی که آنها را تغییر می دهند)، که توسط \(y=T\{x\}\) ضبط شده است.
تابعی از یک متغیر مستقل - معمولاً زمان - که اطلاعات را منتقل می کند. تغییرات، نه ثابت ها، حامل معنی هستند.
زمان‌پیوسته \(x(t)\)، \(t\in\mathbb{R}\)، و زمان‌گسسته \(x[n]\)، \(n\in\mathbb{Z}\)، با نمونه‌برداری \(x[n]=x(nT_s)\) پیوند داده شده است.
انرژی \(E=\int|x|^2dt\) و توان \(P=\lim\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x|^2dt\); سیگنال‌های انرژی در مقابل سیگنال‌های توان، هرگز هر دو.
عملگرهایی که بر اساس خطی بودن، عدم تغییر زمان، علّیت، ثبات و حافظه قضاوت می شوند. سیستم‌های LTI به طور کامل توسط پاسخ ضربه خود تنظیم می شوند.
به بلوک های ساده تجزیه کنید، هر پاسخ را پیدا کنید، سوپرپوز کنید - موتور پشت کانولوشن و هر چهار تبدیل.
مشکلات
برای هر آیتم، ابتدا مشخص کنید که کدام ایده را آزمایش می‌کند - تعاریف سیگنال/سیستم، تمایز CT/DT، معیارهای انرژی/توان، ویژگی‌های عملگر، یا استراتژی تجزیه-پاسخ-سوپرپوز-- سپس قانون تطبیق را اعمال کنید. دشواری در لیست بالا می رود.
- «سیگنال» و «سیستم» را هرکدام در یک جمله تعریف کنید و یک مثال فیزیکی از هر کدام که از فناوری روزمره گرفته شده است، بیاورید.
- به عنوان زمان‌پیوسته یا زمان‌گسسته طبقه بندی کنید: عمق شیار در امتداد یک رکورد وینیل، بارندگی ماهانه یک شهر، ولتاژ در یک بلندگو، و مقادیر پیکسل در امتداد یک ردیف از یک عکس دیجیتال.
- با استفاده از تعاریف توضیح دهید که چرا یک سیگنال نمی تواند همزمان هم انرژی محدود و هم توان غیر صفر محدود داشته باشد.
- انرژی کل \(x(t) = e^{-3t}u(t)\) را محاسبه کنید و بیان کنید که انرژی است یا سیگنال توان.
- میانگین توان \(x(t) = 5\cos(100t)\) را پیدا کنید. انرژی آن چیست؟
- نمادهای \(x(t)\) و \(x[n]\) را در کنار یکدیگر بنویسید و دقیقاً بیان کنید که معمولاً چگونه سیگنال زمان‌گسسته از سیگنال زمان‌پیوسته به دست می آید.
- یک سیستم \(y[n] = \tfrac13\big(x[n] + x[n-1] + x[n-2]\big)\) است. با کلمات توصیف کنید که با یک دنباله پر سر و صدا چه می کند و یکی از کاربردهای عملی آن را نام ببرید.
- برای سیستم تاخیری \(y(t) = x(t-2)\)، عملکرد آن را توصیف کنید و به طور غیررسمی استدلال کنید که آیا خطی است و آیا زمان ثابت است یا خیر.
- به طور کیفی توضیح دهید که چرا نمایی های پیچیده (یا سینوسی ها) بلوک های ساختمان طبیعی برای تجزیه و تحلیل سیستم‌های LTI هستند، با اشاره به استراتژی تجزیه-پاسخ-سوپرپوز.
- یک سیگنال توان دارای \(P = 4\) (در واحدهای مناسب) است. انرژی آن چیست؟ برعکس، یک سیگنال انرژی غیر صفر دارای \(E = 10\) است. میانگین توان آن چقدر است؟ هر دو پاسخ را از روی تعاریف توجیه کنید.