طبقه بندی سیگنال‌ها | سیگنال‌ها و سیستم‌ها Ch. 2

چیزی که یاد خواهید گرفت

چرا طبقه بندی اولین مرحله هر تجزیه و تحلیل است، نه حسابداری - کلاس سیگنال تصمیم می گیرد که کدام تبدیل برای آن اعمال شود.
تفاوت بین محور زمان (پیوسته در مقابل گسسته) و محور دامنه (آنالوگ در مقابل دیجیتال) و چهار سیگنالی که با ترکیب آنها دریافت می کنید.
چه چیزی یک سیگنال را تناوبی می کند، چگونه دوره بنیادی یک مجموع را پیدا کنیم، و شرایط شگفت انگیزی که یک سینوسی زمان‌گسسته باید برآورده شود تا اصلاً تناوبی باشد.
تجزیه زوج و فرد \(x = x_e + x_o\) - چگونه آن را محاسبه کنیم و چرا انرژی ها بدون ترم متقاطع اضافه می شوند.
سیگنال‌های انرژی و توان چگونه در تصویر وسیع‌تر قرار می‌گیرند و چرا برخی سیگنال‌ها هیچ‌کدام از این دو را ندارند.
سیگنال‌های علّی، پادعلّی و غیر علّی و چرایی علّیت سیگنال ایده ای متفاوت از علّیت سیستمی است.
چرا سیگنال‌های با ارزش پیچیده اصلاً ظاهر می‌شوند، در حالی که هیچ ابزاری هرگز آن را اندازه نمی‌گیرد.

بخش 2-1

چرا ما طبقه بندی می کنیم

فصل 1 ما را با یک رابطه، \(y = T\{x\}\)، و یک وعده گذاشت: وقتی سیگنال در دامنه درست مشاهده شود، مشکلات پیچیده ساده می شوند. این قول با یک شرط همراه است. دامنه مناسب بستگی به نوع سیگنالی دارد که \(x\) است - و انتخاب ابزار اشتباه برای سیگنال رایج‌ترین روشی است که دانش‌آموز در این موضوع نمره خود را از دست می‌دهد.

سیگنال تناوبی دارای سری فوریه است. یک سیگنال انرژی غیر پریودیک تبدیل فوریه دارد. سیگنالی که بدون محدودیت رشد می کند هیچ کدام را ندارد و به تبدیل لاپلاس با ناحیهٔ همگرایی نیاز دارد. یک سیگنال تصادفی هیچ فرمولی ندارد و باید با میانگین توصیف شود. هر یک از این تصمیمات قبل از اینکه یک انتگرال نوشته شود، صرفاً با طبقه بندی سیگنال گرفته می شود.

بنابراین آنچه را که در ادامه می آید نه به عنوان یک طبقه بندی برای به خاطر سپردن، بلکه به عنوان یک چک لیست که در هر سیگنالی که ملاقات می کنید، در نظر بگیرید. هشت سوال زیر مستقل از یکدیگر هستند - یک سیگنال در هر هشت محور به طور همزمان وجود دارد - و با هم هر کاری را که مجاز به انجام آن هستید تعیین می کنند.

هشت محور مستقل - هر سیگنال به طور همزمان در جایی روی همه آنها قرار می گیرد

مستقل، نه انحصاری. این محورها با هم رقابت نمی کنند. یک سیگنال منفرد می تواند زمان‌پیوسته و آنالوگ و قطعی و دوره ای و یکنواخت و یک سیگنال توان و غیر علّی و واقعی باشد - منبع تغذیه اصلی دقیقاً همین است. طبقه بندی یک سیگنال به معنای پاسخ دادن به هر هشت سوال است نه انتخاب یک برچسب.

بخش 2-2

آنالوگ و دیجیتال: محور دامنه

فصل 1 سیگنال‌ها را بر اساس متغیر زمانی خود تقسیم می‌کند: زمان‌پیوسته \(x(t)\) با \(t \in \mathbb{R}\)، زمان‌گسسته \(x[n]\) با \(n \in \mathbb{Z}\). یک تقسیم دوم و کاملاً جداگانه وجود دارد و اشتباه گرفتن این دو یک خطای کلاسیک است. این یکی به دامنه مربوط می شود.

یک سیگنال آنالوگ هر مقداری را در یک محدوده پیوسته می گیرد - بین هر دو دامنه ای که می توانید نام ببرید، سیگنال می تواند بی نهایت مقادیر میانی بگیرد. یک سیگنال دیجیتال (یا کوانتیزه شده) فقط از مجموعه محدودی از سطوح مجاز مقادیر می گیرد. برای مثال، یک مبدل 8 بیتی دقیقاً 256 دامنه را مجاز می‌کند و هیچ چیزی در این بین وجود ندارد. هر مقدار اندازه‌گیری شده به نزدیک‌ترین مقدار گرد می‌شود و خطای کوچک معرفی شده نویز کوانتیزه‌سازی نامیده می‌شود.

Analog — continuous in time and in amplitude

دیجیتال - گسسته در زمان و به سطوح دامنه ثابت

از آنجا که دو محور مستقل هستند، هر چهار ترکیب وجود دارد و هر چهار مورد مفید هستند. جدول زیر آن‌ها را نام می‌برد، و دو مورد میانی ارزش تأمل دارد: آنها مراحل میانی داخل هر مبدل آنالوگ به دیجیتالی هستند که تا به حال مشخص می‌کنید.

محور زمان	محور دامنه	نام	جایی که شما آن را ملاقات می کنید
مستمر	مستمر	سیگنال آنالوگ	خروجی میکروفون، ولتاژ الکترود ECG
گسسته	مستمر	سیگنال داده های نمونه‌برداری شده	Output of a sample-and-hold, before quantising
مستمر	گسسته	سیگنال کوانتیزه شده	A staircase waveform, e.g. یک خروجی DAC
گسسته	گسسته	سیگنال دیجیتال	هر عدد داخل یک کامپیوتر یا DSP

The word "digital" is often used loosely. در گفتار روزمره "دیجیتال" فقط به معنای "در رایانه" است. در این موضوع به این معنی است که به طور خاص در دامنه کمی شده است. یک سیگنال زمان‌گسسته به طور خودکار دیجیتال نیست - نمونه‌برداری به تنهایی زمان را گسسته می کند و برای گسسته کردن دامنه نیاز به یک کوانتیزر جداگانه است. تقریباً تمام این دوره به مطالعه سیگنال‌های زمان‌گسسته می‌پردازد و به آرامی کوانتیزه‌سازی را نادیده می‌گیرد، که به عنوان یک نویز افزودنی کوچک در نظر گرفته می‌شود.

بخش 2-3

سیگنال‌های قطعی و تصادفی

یک سیگنال قطعی سیگنالی است که مقدار آن در هر لحظه به طور کامل مشخص می شود - توسط یک فرمول، یک نمودار یا یک جدول از اعداد. \(x(t) = 5\cos(100t)\) را بنویسید و هیچ ابهامی در مورد مقدار \(t = 0.3\) s وجود ندارد. می توانید آن را محاسبه کنید، و هر بار که نگاه می کنید یکسان خواهد بود.

یک سیگنال تصادفی (یا تصادفی) را نمی توان به این ترتیب نوشت. نویز حرارتی در یک مقاومت، محو شدن یک کانال رادیویی، شکل موج دقیق یک کلمه گفتاری - هیچ یک از اینها فرمول ندارند. بهترین کاری که می توانید انجام دهید این است که آنها را به صورت احتمالی توصیف کنید: میانگین، واریانس، اینکه چقدر ارزش اکنون به مقدار کمی قبل مرتبط است. That description is the subject of Chapter 29.

ارزش آن را دارد که در مورد رابطه این دو صادق باشیم. هر اندازه‌گیری واقعی شامل یک جزء تصادفی است، بنابراین یک سیگنال قطعی یک مدل است - ایده‌آلی‌سازی که به اندازه کافی دقیق است که بتوان با آن طراحی کرد. The mains supply is not exactly \(230\cos(2\pi \cdot 50\,t)\); در دامنه و فرکانس سرگردان است و هارمونیک و نویز را حمل می کند. تلقی آن به‌عنوان کسینوس خالص یک ساده‌سازی عمدی و مفید است و تقریباً کل این دوره در این ساده‌سازی زندگی می‌کند.

چرا این زود اهمیت دارد هر تبدیلی که در قسمت‌های 3 تا 7 ملاقات می‌کنید، یک سیگنال قطعی را فرض می‌کند. لحظه ای که یک سیگنال واقعاً تصادفی است، تبدیل فوریه یک تحقق منفرد یک شی مفید نیست، و در عوض با چگالی طیفی توان کار می کنید - میانگینی بیش از تحقق ها. دانستن اینکه در کدام سمت این خط قرار دارید، از یک دسته کلی از تلاش های بیهوده جلوگیری می کند.

بخش 2-4

سیگنال‌های دوره ای و غیر پریودیک

یک سیگنال زمان‌پیوسته اگر دقیقاً پس از یک تغییر ثابت تکرار شود، دوره ای است. به طور رسمی، اگر \(T\) مثبت وجود داشته باشد، \(x(t)\) دوره ای است به طوری که \(x(t+T) = x(t)\) برای هر \(t\) وجود داشته باشد. هر چنین \(T\) یک دوره است. کوچکترین آنها دوره بنیادی \(T_0\) است و \(f_0 = 1/T_0\) فرکانس اساسی است. A signal that is not periodic is aperiodic .

Periodicity, continuous- and discrete-time

\[ x(t+T) = x(t)\ \ \forall t,\; T \gt 0 \qquad\qquad x[n+N] = x[n]\ \ \forall n,\; N \in \mathbb{Z}^{+} \]

Note the asymmetry hidden in that pair. در زمان‌پیوسته دوره \(T\) ممکن است هر عدد واقعی مثبت باشد. در زمان‌گسسته، دوره \(N\) باید یک عدد صحیح مثبت باشد، زیرا چیزی به نام جابجایی نصف نمونه وجود ندارد. این محدودیت تنها پیامدی دارد که تقریباً همه را در اولین بار گرفتار می کند.

Every continuous-time sinusoid is periodic. \(x(t) = \cos(\omega_0 t)\) را در نظر بگیرید: زمانی که \(\omega_0 T = 2\pi\) تکرار می شود، بنابراین \(T_0 = 2\pi/\omega_0\)، و این یک دوره معتبر برای هر \(\omega_0\) است که انتخاب می کنید. A discrete-time sinusoid is not. برای اینکه \(x[n] = \cos(\Omega_0 n)\) تکرار شود، ما به \(\Omega_0 N = 2\pi m\) برای برخی از اعداد صحیح \(N \gt 0\) و \(m\) نیاز داریم - که تنها در صورتی امکان پذیر است که \(\Omega_0/2\pi\) یک عدد گویا باشد.

🔑

When is a discrete-time sinusoid periodic?

\[ \cos(\Omega_0 n)\ \text{is periodic} \iff \frac{\Omega_0}{2\pi} = \frac{m}{N} \in \mathbb{Q} \]

مخرج \(N\) که با کمترین عبارات نوشته شده دوره اساسی است. اگر \(\Omega_0/2\pi\) غیرمنطقی باشد، توالی هرگز تکرار نمی شود، حتی اگر از یک تابع تناوبی ساخته شده باشد - به طور دلخواه به تکرار نزدیک می شود اما هرگز دقیقا تکرار نمی شود.

Sums behave in a way worth committing to memory. اگر \(x_1\) دارای دوره \(T_1\) و \(x_2\) دارای دوره \(T_2\) باشد، مجموع آنها تناوبی است تنها در صورتی که نسبت \(T_1/T_2\) منطقی باشد. در صورت وجود، نسبت را با کمترین عبارات به صورت \(m/k\) بنویسید. دوره بنیادی حاصل جمع کوچکترین مضرب مشترک، \(T_0 = k\,T_1 = m\,T_2\) است. هنگامی که نسبت غیرمنطقی است - همانطور که برای \(\cos(2t) + \cos(\pi t)\) است - جمع هرگز تکرار نمی شود و غیر دوره ای است، علیرغم اینکه کاملاً از قطعات دوره ای ساخته شده است.

سیگنال	دوره ای؟	دوره اساسی
\(\cos(100\pi t)\)	بله	\(T_0 = 0.02\) s
\(\cos(3t) + \sin(4t)\)	بله	\(T_0 = 2\pi\)
\(\cos(2t) + \cos(\pi t)\)	خیر - نسبت غیر منطقی است	—
\(e^{-t}u(t)\)	خیر	—
\(\cos(3\pi n/8)\)	بله	\(N_0 = 16\)
\(\cos(n)\)	No — \(1/2\pi\) irrational	—

Why periodicity is the first thing to check. سیگنال‌های دوره‌ای یک سری فوریه دریافت می‌کنند - مجموعه‌ای مجزا از هارمونیک‌ها در مضرب \(f_0\). سیگنال‌های غیرپریودیک تبدیل فوریه را دریافت می کنند - یک طیف پیوسته. این دو به ترتیب در قسمت‌های 3 و 4 زندگی می‌کنند و انتخاب اشتباه یک مشتق بیهوده است.

بخش 2-5

سیگنال‌های زوج و فرد

تقارن در مورد مبدأ زمان، طبقه‌بندی سومی را ارائه می‌دهد، و بر خلاف سایرین، با یک قطعه واقعاً مفید از ماشین آلات متصل است. یک سیگنال حتی اگر انعکاس آن در اطراف محور عمودی آن را بدون تغییر باقی بگذارد، و اگر بازتاب آن در مورد مبدا تغییر کند، عجیب است.

تقارن زوج و فرد

\[ \text{even:}\quad x(-t) = x(t) \qquad\qquad \text{odd:}\quad x(-t) = -x(t) \]

Even — mirror symmetry about the vertical axis

عجیب - تقارن چرخشی در مورد مبدا، بنابراین \(x(0)=0\)

بیشتر سیگنال‌ها هیچکدام از این دو را ندارند و این دقیقاً نکته است. هر سیگنالی را می‌توان به‌طور منحصربه‌فرد به یک قسمت زوج و یک قسمت فرد تقسیم کرد، با ابزار ساده میانگین‌گیری آن با بازتاب خودش. \(x(t)\) را به \(x(-t)\) اضافه کنید و محتوای عجیب و غریب لغو می شود. تفریق و محتوای زوج لغو می شود.

🔑

تجزیه زوج و فرد

\[ x_e(t) = \tfrac{1}{2}\big[x(t) + x(-t)\big], \qquad x_o(t) = \tfrac{1}{2}\big[x(t) - x(-t)\big] \]

اینها به نسخه اصلی، \(x(t) = x_e(t) + x_o(t)\) اضافه می شوند، و تقسیم منحصر به فرد است. همین فرمول ها در زمان‌گسسته با \(n\) به جای \(t\) باقی می مانند.

سه عواقب فوراً دنبال می شوند و ارزش آن را دارند که در نوک انگشتان شما باشند. اول، یک سیگنال فرد باید از صفر در مبدا عبور کند: تنظیم \(t=0\) در \(x(-t) = -x(t)\) \(x(0) = -x(0)\) را مجبور می کند. دوم، محصولات از یک قانون علامت دقیقاً مانند ضرب \(+1\) و \(-1\) پیروی می کنند: زوج بار زوج زوج است، فرد ضربات فرد زوج است، زوج ضربات فرد فرد است. سوم - و این همان چیزی است که بعداً جواب می دهد - انتگرال هر سیگنال فرد بیش از حد متقارن ناپدید می شود، زیرا دو نیمه دقیقاً خنثی می شوند.

این واقعیت آخر یک نتیجه کوچک اما ظریف در مورد انرژی به دست می دهد. وقتی \(x = x_e + x_o\) را مربع می‌کنید، \(x_e^2 + x_o^2 + 2x_ex_o\) را دریافت می‌کنید، و جمله متقاطع زوج برابر است، بنابراین فرد، از این رو به صفر بالای \((-\infty,\infty)\) انتگرال‌گیری می‌شود. انرژی ها به سادگی اضافه می شوند.

انرژی به طور تمیز بین قطعات تقسیم می شود

\[ E = \int_{-\infty}^{\infty}\!\! |x(t)|^2 dt = \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\!\! |x_e(t)|^2 dt}_{E_e} \;+\; \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\!\! |x_o(t)|^2 dt}_{E_o} \]

این به کجا می رود. تقارن دکوراسیون نیست - کار شما را نصف می کند. در قسمت 3 خواهید دید که یک سیگنال تناوبی زوج دارای سری فوریه است که فقط کسینوس دارد و یک فرد فقط سینوس دارد. تشخیص تقارن قبل از شروع انتگرال‌گیری، محاسبه یک خانواده کامل از ضرایب را که همیشه صفر می‌بودند، ذخیره می‌کند.

بخش 2-6

انرژی و نیرو مورد بازبینی قرار گرفت

فصل 1 انرژی و توان را به عنوان معیارهای اندازه سیگنال معرفی کرد. اکنون که دوره تناوب را در دست داریم، می توان تصویر را تکمیل کرد - از جمله موردی که فصل 1 را کنار گذاشته شده است، سیگنال‌هایی که به هیچ یک از کلاس ها تعلق ندارند.

دو اقدام

\[ E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt \qquad\qquad P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt \]

برای یک سیگنال دوره ای محدودیت غیر ضروری است، که صرفه جویی عملی قابل توجهی است. از آنجایی که سیگنال تکرار می شود، میانگین گیری در یک دوره کامل پاسخی مشابه با میانگین گیری در تمام زمان ها می دهد، بنابراین توان یک سیگنال تناوبی به سادگی مجذور میانگین در یک دوره واحد است.

توان یک سیگنال دوره ای - بدون محدودیت مورد نیاز است

\[ P = \frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0} |x(t)|^2\, dt \qquad\text{for any starting point } t_0 \]

سپس طبقه بندی به شرح زیر است. یک سیگنال انرژی دارای \(0 \lt E \lt \infty\) است که \(P = 0\) را مجبور می کند. یک سیگنال برق دارای \(0 \lt P \lt \infty\) است که \(E = \infty\) را مجبور می کند. هیچ سیگنالی نمی تواند هر دو باشد. اما - و این اضافه شده به فصل 1 است - یک سیگنال نمی تواند هیچ کدام باشد. اگر یک سیگنال بدون کران رشد کند، هر دو انتگرال واگرا می شوند و هیچ یک از معیارها آن را توصیف نمی کند. رمپ \(x(t) = t\,u(t)\) نمونه استاندارد است و همینطور \(e^{at}u(t)\) نمایی رو به رشد با \(a \gt 0\). چنین سیگنال‌هایی کنجکاوی آسیب‌شناختی نیستند: سیستم‌های ناپایدار فصل 19 آنها را به طور معمول تولید می‌کنند، و مدیریت آنها دقیقاً به همین دلیل است که تبدیل لاپلاس منطقه‌ای از همگرایی را به همراه دارد.

کلاس	انرژی \(E\)	پاور \(P\)	عضو معمولی
سیگنال انرژی	متناهی، غیر صفر	\(0\)	\(e^{-at}u(t)\)، یک پالس مستطیل شکل
سیگنال توان	\(\infty\)	متناهی، غیر صفر	\(A\cos(\omega_0 t)\)، یک سطح DC، یک موج مربعی
هیچ کدام	\(\infty\)	\(\infty\)	\(t\,u(t)\)، \(e^{at}u(t)\) با \(a \gt 0\)

یک میانبر مفید هر سیگنال تناوبی محدود یک سیگنال توان است و هر سیگنالی که به اندازه کافی سریع به صفر می رسد یک سیگنال انرژی است. اگر سیگنالی نه ته نشین شد و نه محدود می ماند، به کلاس سوم مشکوک شوید و قبل از اینکه فرض کنید هر یک از معیارها اعمال می شود، هر دو انتگرال را بررسی کنید.

بخش 2-7

سیگنال‌های علّی، ضدعلّی و غیرعلّی

محور هفتم مربوط به جایی است که در طول خط زمانی یک سیگنال واقعاً زندگی می کند. یک سیگنال اگر برای تمام زمان های منفی صفر باشد، علّی است، برای \(t \lt 0\) \(x(t) = 0\) - در مبدأ روشن می شود و نه قبل از آن. اگر عکس آن صادق باشد، \(x(t) = 0\) برای \(t \gt 0\) پادعلّی است. اگر در هر دو طرف مبدأ غیر صفر باشد، غیر علّی است که گاهی اوقات دو طرفه نامیده می شود.

علت - صفر برای \(t \lt 0\)

پادعلّی - صفر برای \(t \gt 0\)

غیر علت - غیر صفر در دو طرف مبدا

ضرب در \(u(t)\) که در سرتاسر فصل 1 ظاهر شد، دقیقاً دستگاهی است که یک سیگنال علّی ایجاد می‌کند: \(e^{-at}\) برای همیشه وجود دارد، در حالی که \(e^{-at}u(t)\) در \(t=0\) روشن می‌شود و به دلیل ساخت است. به همین دلیل است که گام واحد در بسیاری از نمونه‌های کار شده ظاهر می‌شود - این روش استاندارد برای گفتن "و هیچ اتفاقی قبل از شروع تماشا رخ نداده است" است.

این را با علّیت سیستم اشتباه نگیرید. سیگنال علّی سیگنالی است که قبل از \(t=0\) صفر باشد - بیانیه ای در مورد محل قرار گرفتن شکل موج. یک سیستم علّی سیستمی است که خروجی آن در هر لحظه فقط به ورودی های حال و گذشته بستگی دارد - عبارتی در مورد قانون ورودی-خروجی. کلمات یکی هستند و ایده ها نیستند. فصل 5 نسخه سیستم را توسعه می دهد. در اینجا این اصطلاح به تنهایی سیگنال را توصیف می کند.

بخش 2-8

سیگنال‌های واقعی و پیچیده

محور نهایی کوتاه ترین و عجیب ترین محور برای توجیه است. یک سیگنال حقیقی مقادیر \(\mathbb{R}\) را می گیرد. یک سیگنال پیچیده مقادیر \(\mathbb{C}\) را می گیرد و بر حسب قسمت های واقعی و خیالی آن به صورت \(x(t) = x_R(t) + j\,x_I(t)\) نوشته می شود.

هیچ ابزاری تاکنون ولتاژ پیچیده ای را اندازه گیری نکرده است. هر سیگنال قابل مشاهده فیزیکی واقعی است. پس چرا اصلاً آنها را معرفی کنید؟ زیرا \(e^{j\omega_0 t} = \cos\omega_0 t + j\sin\omega_0 t\) نمایی پیچیده یک کسینوس و یک سینوس را در یک شی منفرد دسته بندی می کند که تحت مشتق‌گیری، انتگرال‌گیری و - همانطور که در فصل 1 اشاره شد - تحت هر سیستم خطی تغییرناپذیر با زمانی، که صرفاً آن را مقیاس می کند، به زیبایی رفتار می کند. حمل یک نمایی پیچیده از طریق تجزیه و تحلیل به طور چشمگیری ساده تر از حمل دو تابع مثلثاتی است و پاسخ واقعی در پایان با گرفتن قسمت واقعی بازیابی می شود. هر تبدیل در قسمت های 3 تا 7 بر این راحتی استوار است.

دو تنظیم کوچک با سیگنال‌های پیچیده همراه است. انرژی از قدر مربع، \(|x|^2 = x\,x^{*}\) استفاده می کند، به همین دلیل است که تعاریف در فصل 1 به جای مربع ساده با میله های مدول نوشته شده اند - آنها قبلاً این را پیش بینی می کردند. و ایده زوج و فرد تعمیم می‌دهد: یک سیگنال مختلط متقارن مزدوج نامیده می‌شود اگر \(x(-t) = x^{*}(t)\)، امتداد طبیعی یکنواختی، و این دقیقاً همان تقارنی است که تبدیل فوریه یک سیگنال حقیقی دارد.

سیگنال‌های پیچیده و بزرگی آنها

\[ x(t) = x_R(t) + j\,x_I(t), \qquad |x(t)|^2 = x(t)\,x^{*}(t) = x_R^2(t) + x_I^2(t) \]

بخش 2-9

نمونه های کار شده

1 دوره اساسی یک مبلغ

مشکل تعیین کنید که آیا \(x(t) = \cos(3t) + \sin(4t)\) تناوبی است یا خیر، و اگر چنین است دوره اصلی آن را پیدا کنید.

راه حل. دو جزء را جداگانه بگیرید. اولی \(\omega_1 = 3\) دارد، بنابراین \(T_1 = 2\pi/3\). دومی \(\omega_2 = 4\) دارد، بنابراین \(T_2 = 2\pi/4 = \pi/2\). نسبت است

در حال کار کردن

\[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi/3}{\pi/2} = \frac{4}{3} \]

این منطقی است، بنابراین مجموع آن دوره ای است. اکنون کوچکترین \(T_0\) را بیابید که تعداد کاملی از هر دو دوره است: ما به \(T_0 = k\,T_1 = m\,T_2\) نیاز داریم و با نسبت \(4/3\) در کمترین حالت، کوچکترین انتخاب \(k = 3\)، \(m = 4\) است. سپس \(T_0 = 3 \cdot (2\pi/3) = 2\pi\)، و بررسی مؤلفه دیگر، \(4 \cdot (\pi/2) = 2\pi\) موافقت می کند. بنابراین \(T_0 = 2\pi\).

2 تناوب زمان‌گسسته - تله

مشکل آیا (الف) \(x[n] = \cos(3\pi n/8)\) و (ب) \(x[n] = \cos(n)\) دوره ای هستند؟ دوره اساسی که در آن وجود دارد را ذکر کنید.

راه حل. آزمون فرکانس منطقی را برای هر کدام اعمال کنید. برای (الف)، \(\Omega_0 = 3\pi/8\)، بنابراین

کار - بخش (الف)

\[ \frac{\Omega_0}{2\pi} = \frac{3\pi/8}{2\pi} = \frac{3}{16} \]

این منطقی است و در حال حاضر در پایین ترین شرایط است، بنابراین دنباله با \(N_0 = 16\) دوره ای است. تأیید مستقیم: \(\cos\!\big(3\pi(n+16)/8\big) = \cos(3\pi n/8 + 6\pi) = \cos(3\pi n/8)\). ✓

برای (ب)، \(\Omega_0 = 1\)، دادن \(\Omega_0/2\pi = 1/(2\pi)\). از آنجایی که \(\pi\) غیرمنطقی است، این نسبت غیرمنطقی است، بنابراین هیچ عدد صحیحی \(N\) نمی‌تواند شرایط تناوب را برآورده کند - دنباله نامتعارف است. توجه داشته باشید که این چقدر خلاف شهود است: نمونه‌برداری از کسینوس کاملاً تناوبی، دنباله‌ای را ایجاد کرده است که هرگز تکرار نمی‌شود.

3 تجزیه زوج و فرد نمایی علّی

مشکل قسمت های زوج و فرد \(x(t) = e^{-at}u(t)\) را با \(a \gt 0\) بیابید.

راه حل. ابتدا تأمل کنید. جایگزینی \(t\) با \(-t\) به \(x(-t) = e^{at}u(-t)\) می‌دهد - تصویری آینه‌ای که اکنون کاملاً روی محور منفی زندگی می‌کند. جایگزینی در فرمول های تجزیه:

در حال کار کردن

\[ x_e(t) = \tfrac{1}{2}\Big[e^{-at}u(t) + e^{at}u(-t)\Big] = \tfrac{1}{2}e^{-a|t|} \]

در حال کار کردن

\[ x_o(t) = \tfrac{1}{2}\Big[e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t)\Big] = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{sgn}(t)\,e^{-a|t|} \]

قسمت زوج، نمایی در حال فروپاشی دو طرفه آشنا، متقارن در مورد مبدا است. قسمت فرد همان پوش است که نیمه چپ آن منفی است. اضافه کردن آنها در سمت چپ لغو می شود و در سمت راست دو برابر می شود و دقیقاً \(e^{-at}u(t)\) را برمی گرداند - یک بررسی خوب برای اجرای هر زمان که از این تجزیه استفاده می کنید.

4 سیگنالی که نه انرژی است و نه نیرو

مشکل رمپ \(x(t) = t\,u(t)\) را طبقه بندی کنید.

راه حل. ابتدا انرژی را تست کنید. این مرحله سیگنال را به \(t \ge 0\) محدود می کند، بنابراین

کار کردن - انرژی

\[ E = \int_{0}^{\infty} t^2\, dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{\infty} = \infty \]

بی نهایت است، بنابراین سیگنال انرژی نیست. اکنون توان را تست کنید، به یاد داشته باشید که پنجره میانگین از \(-T\) تا \(T\) اجرا می شود در حالی که سیگنال فقط نیمه مثبت را اشغال می کند:

کار - توان

\[ P = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{0}^{T} t^2\, dt = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot\frac{T^3}{3} = \lim_{T\to\infty}\frac{T^2}{6} = \infty \]

همچنین بی نهایت. بنابراین، رمپ نه یک سیگنال انرژی است و نه سیگنال توان - برای اندازه گیری اول خیلی سریع و برای اندازه دوم خیلی سریع رشد می کند. سیگنال‌هایی مانند این دقیقاً دلیلی است که تبدیل لاپلاس قسمت 5 دارای ناحیهٔ همگرایی است.

5 طبقه بندی کامل هشت محوری

مشکل \(x(t) = 5\cos(20\pi t)\) را در هر محور معرفی شده در این فصل طبقه بندی کنید.

راه حل. چک لیست را به ترتیب کار کنید.

محور	کلاس	دلیل
زمان	زمان‌پیوسته	برای هر \(t\) واقعی تعریف شده است
دامنه	آنالوگ	هر مقدار را در \([-5, 5]\) می گیرد
قابل پیش بینی بودن	قطعی	دقیقا با یک فرمول ارائه شده است
تکرار	دوره ای	\(T_0 = 2\pi/20\pi = 0.1\) s، یعنی 10 هرتز
تقارن	حتی	\(\cos\) زوج است، بنابراین \(x(-t) = x(t)\)
اندازه	سیگنال توان	\(P = A^2/2 = 12.5\) و \(E = \infty\)
وسعت	غیر سببی	غیر صفر برای \(t \lt 0\) و همچنین \(t \gt 0\)
میدان	واقعی	هر مقدار یک عدد واقعی است

خواندن ردیف برای تکرار و ردیف برای اندازه با هم از قبل به شما این ابزار را می‌گوید: یک سیگنال توان دوره‌ای توسط سری فوریه قسمت 3 مدیریت می‌شود، و معلوم می‌شود که توان آن در یک مجموعه مجزا از هارمونیک‌ها توزیع می‌شود. این تمام هدف طبقه بندی است.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ دو محور مختلف

پیوسته در مقابل گسسته زمان را توصیف می کند. آنالوگ در مقابل دیجیتال دامنه را توصیف می کند. نمونه‌برداری یکی را گسسته و دیگری را کمی می کند.

✓ دوره ای

\(x(t+T)=x(t)\); کوچکترین چنین \(T\) \(T_0\) است. مجموع فقط زمانی تناوبی است که نسبت دوره منطقی باشد.

✓ سورپرایز DT

\(\cos(\Omega_0 n)\) تناوبی است فقط در صورتی که \(\Omega_0/2\pi\) منطقی باشد. در کمترین حالت مخرج آن \(N_0\) است.

✓ زوج و فرد

\(x_e = \tfrac12[x(t)+x(-t)]\), \(x_o = \tfrac12[x(t)-x(-t)]\); تقسیم منحصر به فرد است و انرژی های اضافه شده، \(E = E_e + E_o\).

✓ انرژی، توان، هیچ کدام

محدود \(E\) یا محدود \(P\)، هرگز هر دو - و سیگنال‌های نامحدود مانند \(t\,u(t)\) هیچ کدام را ندارند.

✓ میزان و زمینه

سیگنال‌های علّی برای \(t \lt 0\) ناپدید می شوند. سیگنال‌های پیچیده، تسهیلات تحلیلی هستند که بخش واقعی آن حامل فیزیک است.

تمرین کنید

مشکلات

برای هر مورد، ابتدا تصمیم بگیرید که کدام محور در حال آزمایش است، سپس به جای استدلال از روی تصویر، تعریف تطبیقی را اعمال کنید. دشواری در لیست بالا می رود.

تعریف سیگنال تناوبی را در زمان‌پیوسته و در زمان‌گسسته بیان کنید و دقیقا توضیح دهید که چرا نسخه زمان‌گسسته محدودتر است.
دوره ای بودن \(x(t) = \cos(2t) + \cos(\pi t)\) را مشخص کنید. پاسخ خود را از نسبت دو دوره توجیه کنید.
دوره اساسی سیگنال زمان‌گسسته \(x[n] = e^{j(2\pi/7)n}\) را پیدا کنید.
آیا \(x[n] = \cos(n/4)\) دوره ای است؟ اگر چنین است \(N_0\) را بدهید. اگر نه، توضیح دهید که چه چیزی ناموفق است.
قسمت های زوج و فرد گام واحد \(x(t) = u(t)\) را پیدا کنید و هر دو را ترسیم کنید. قسمت فرد با کدام تابع آشنا متناسب است؟
ثابت کنید که حاصلضرب یک سیگنال زوج و یک سیگنال فرد فرد است و بنابراین \(\int_{-T}^{T} x_e(t)\,x_o(t)\,dt = 0\) برای هر \(T\).
\(x(t) = e^{-2t}u(t)\) را در هر هشت محور بخش 2-1 طبقه‌بندی کنید و انرژی یا توان را در صورت لزوم محاسبه کنید.
برای سیگنال زمان‌گسسته \(x[n] = (0.5)^n u[n]\)، تعیین کنید که آیا سیگنال انرژی است یا توان و اندازه گیری مربوطه را ارزیابی کنید. (\(\sum_{n=0}^{\infty} r^n = 1/(1-r)\) را برای \(|r| \lt 1\) فراخوانی کنید.)
یک مثال از سیگنالی که نه سیگنال انرژی است و نه سیگنال توان، غیر از سطح شیب دار، بیاورید و ثابت کنید که هر دو انتگرال واگرا هستند.
به قول خودتان و هر کدام با یک مثال، تفاوت بین سیگنال علّی و سیستم علّی را توضیح دهید. چرا یک کلمه دو چیز متفاوت را توصیف می کند؟

نکته: وقتی مشکلی از شما می‌خواهد که طبقه‌بندی کنید، در برابر اصرار برای پاسخ از شکل نمودار مقاومت کنید. به جای آن تعاریف را اجرا کنید - سیگنال را به تقارن تست منعکس کنید، نسبت دوره به تناوب تست را تشکیل دهید، دو انتگرال را به اندازه تست ارزیابی کنید. نمودار به شما می گوید که انتظار چه چیزی را داشته باشید. تعریف به شما می گوید که چه چیزی درست است.