- پلهٔ واحد \(u(t)\) و \(u[n]\) - سوئیچی که سیگنال را روشن می کند و دلیل \(u(t)\) تقریباً در همه فرمول های این کتاب ظاهر می شود.
- ضربه واحد \(\delta(t)\): چرا اصلاً یک تابع نیست، چگونه آن را به عنوان یک حد تعریف کنیم، و چگونه با پسرعموی زمان‌گسسته بی ضرر خود \(\delta[n]\) کاملاً متفاوت است.
- ویژگی sifting - هویت ضربه ای که بیش از هر چیز دیگری استفاده خواهید کرد - همراه با ویژگی های نمونه‌برداری و مقیاس بندی.
- خانواده تکینگی که با مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری مرتبط است: دوتایی، ضربه، پله، رمپ، سهموی.
- عملکردهای پنجره استاندارد و علامت - مستطیل، مثلث، علامت - و نحوه ساخت آنها از مراحل جابجا شده.
- نمایی واقعی و پیچیده، سینوسی های میرا، و این واقعیت عجیب که فرکانس زمان‌گسسته فقط در محدوده ای از \(2\pi\) وجود دارد.
- تجزیه ضربه ای \(x[n] = \sum_k x[k]\delta[n-k]\) - به معنای واقعی کلمه مرحله "تجزیه" از فصل 1، و دروازه مستقیم به کانولوشن است.
چرا سیگنال‌های ابتدایی
فصل 1 یک استراتژی سه مرحله‌ای را ارائه می‌کند - تجزیه، پاسخ، روی هم قرار دادن - و مشاهده کرد که کل هنر در انتخاب بلوک‌های سازنده نهفته است. فصل 2 سیگنال‌ها را در کلاس ها مرتب کرد. این فصل در نهایت خود بلوک ها را معرفی می کند و تعداد آنها بسیار کم است.
دلیل اینکه تعداد کمی از آن ها کافی است این است که شکل موج های مهندسی به طور عمده از سوئیچینگ، پوسیدگی و نوسان ساخته شده اند. یک ولتاژ در یک لحظه اعمال می شود: این یک مرحله است. یک خازن تخلیه می شود: این یک نمایی است. یک نوسانگر اجرا می شود: این یک سینوسی است. یک سیگنال به یک پنجره محدود محدود می شود: این یک پالس مستطیلی است که فقط دو مرحله است. اینها را ترکیب، تغییر و مقیاس کنید و می توانید تقریباً هر شکل موجی را که یک مهندس با آن روبرو می شود، به صورت بسته بنویسید و آماده عبور از یک انتگرال است.
یکی از بلوک ها از نظر نوع با بقیه متفاوت است. ضربه واحد سیگنالی نیست که شما بتوانید تولید یا اندازه گیری کنید. این یک ایده آل سازی با ارتفاع بی نهایت، عرض صفر و واحد سطح است. همچنین تنها مفیدترین شی در سوژه است، زیرا پاسخ سیستم به آن - پاسخ ضربه - مشخص می شود که پاسخ سیستم به هر چیز دیگری را تعیین می کند. فصل 7 این را ثابت خواهد کرد. این فصل ابزار را می سازد.
پلهٔ واحد
پلهٔ واحد توصیف ریاضی یک سوئیچ است که در \(t = 0\) بسته می شود. قبل از مبدأ صفر و بعد از آن یک است و به همین دلیل است که عبارت «و هیچ اتفاقی نیفتاده است قبل از شروع تماشا» را بتوان ضرب نوشت.
به عدم تقارن کوچک بین این دو تعریف توجه کنید. در زمان‌گسسته \(u[0]\) به سادگی 1 تعریف می شود و دیگر چیزی برای گفتن وجود ندارد. در زمان‌پیوسته، مقدار \(t=0\) واقعاً مبهم است - عملکرد به آنجا می‌پرد - و کتاب‌های مختلف \(u(0)=1\)، \(u(0)=0\) یا \(u(0)=\tfrac12\) را اتخاذ می‌کنند. خوشبختانه تقریباً هرگز مهم نیست: تغییر یک سیگنال در یک لحظه جدا شده، هیچ انتگرالی را تغییر نمی دهد، و انتگرال همان چیزی است که ما محاسبه می کنیم. انتخاب متقارن \(u(0)=\tfrac12\) مرتب ترین است، زیرا باعث می شود \(u(t) + u(-t) = 1\) در همه جا ثابت بماند.
گام نگه داشتن خود را به عنوان سوئیچ به دست می آورد. ضرب هر سیگنال در \(u(t)\) همه چیز را قبل از مبدأ نابود می کند و بقیه را دست نخورده باقی می گذارد، و تغییر مرحله لحظه سوئیچینگ را به حرکت در می آورد: \(u(t - t_0)\) در \(t = t_0\) روشن می شود. با تفریق دو مرحله جابجا شده، پنجره ای جدا می شود، به این ترتیب هر پالس با مدت زمان محدود در این کتاب نوشته می شود.
ضربه واحد
حالا عجیبه ضربه واحد \(\delta(t)\) - که دلتای دیراک نیز نامیده می شود - برای نمایش یک رویداد با مدت زمان ناپدید شدن اما اثر محدود است: یک ضربه چکش، یک صاعقه، یک سنبله سوئیچینگ. ما می خواهیم در همه جا به جز در مبدا صفر باشد و در عین حال واحد مساحت داشته باشد. هیچ تابع معمولی نمی تواند هر دو را انجام دهد و \(\delta(t)\) به هیچ وجه یک تابع نیست. این یک تابع یا توزیع تعمیم یافته است که کاملاً با آنچه در داخل یک انتگرال انجام می دهد تعریف می شود.
راه صادقانه برای معرفی آن به عنوان حد است. یک پالس مستطیلی با عرض \(\Delta\) و ارتفاع \(1/\Delta\) بگیرید، به طوری که مساحت آن دقیقاً 1 باشد مهم نیست که \(\Delta\) چقدر کوچک باشد. اکنون \(\Delta\) را کوچک کنید. نبض بلندتر و باریک‌تر می‌شود در حالی که ناحیه آن در یکپارچگی ثابت می‌ماند، و ضربه همان چیزی است که آن دنباله به آن تمایل دارد.
این دو عبارت \(\delta(t)\) را به طور کامل تعریف می کنند. مقدار آن در مبدأ یک عدد نیست و هرگز نباید درخواست شود - ضربه با مساحت مشخص می شود، نه با ارتفاع.
به همین دلیل است که نماد پیکان اهمیت دارد. یک ضربه به صورت یک فلش عمودی ترسیم می شود و عددی که در کنار آن نوشته شده وزن آن - مساحت - است نه ارتفاع فلش در صفحه. فلش با برچسب \((2)\) نشان دهنده \(2\delta(t)\) است، ضربه ای دو برابر مساحت، و بلندتر شدن آن صرفاً یک قرارداد ترسیمی است.
در مقابل، ضربه زمان‌گسسته کاملا رام است. هیچ فرآیند محدود کننده و تئوری توزیع وجود ندارد: \(\delta[n]\) یک دنباله معمولی است که در \(n=0\) 1 و در هر جای دیگر 0 است. هر ویژگی که ما در زمان‌پیوسته روی آن کار خواهیم کرد برای \(\delta[n]\) آشکار یا بی اهمیت است، که یکی از دلایلی است که تحلیل زمان‌گسسته اغلب مکان آسان‌تری برای ایجاد شهود است.
این دو رابطه آخر ارزش نگاه کردن را دارند، زیرا همتای گسسته یک عبارت حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند. ضربه اولین تفاوت گام است و گام مجموع جاری ضربه است. در زمان‌پیوسته، تفاوت مشتق می شود و مجموع انتگرال می شود، به جفتی که دو سیگنال ابتدایی مهم را به هم متصل می کند.
این پله در همه جا شیب صفر دارد، به جز در مبدا، جایی که در زمان صفر 1 می پرد - یک شیب بی نهایت واحد "قدرت". این دقیقا یک انگیزه است. مشتق‌گیری یک پرش همیشه یک ضربه تولید می کند که وزن آن برابر با اندازه پرش است، این واقعیت به طور مداوم هنگام تجزیه و تحلیل مدارهای سوئیچ استفاده می شود.
خواص ایمپالس
چهار ویژگی اساساً همه کار را انجام می دهند. اولین موردی است که شما بیش از هر هویت دیگری در کل دوره از آن استفاده خواهید کرد.
یک انتگرال در برابر یک ضربه جابجا شده به سادگی مقدار \(x\) را در محل ضربه می خواند. ضربه یک نمونه را از کل سیگنال "الک" می کند - به همین دلیل است که مدل ریاضی نمونه‌برداری نیز می باشد.
دلیل آن را از تصویر محدود کننده به راحتی می توان فهمید. ضربه در همه جا صفر است به جز در محله ناپدید شدن \(t_0\). در آن بازه کوچک \(x(t)\) اساساً در \(x(t_0)\) ثابت است، بنابراین از انتگرال خارج می‌شود و آنچه باقی می‌ماند ناحیه ضربه است که 1 است.
ویژگی دوم ویژگی نمونه‌برداری یا محصول است و نسخه نقطه ای همان ایده است. ضرب یک سیگنال در یک ضربه جابجا شده یک ضربه به دست می دهد که وزن آن مقدار سیگنال در آن نقطه است.
سوم مقیاس زمانی است، و اغلب اشتباه می شود. فشرده‌سازی محور زمان توسط ضریب \(a\)، ضربه را بدون بلندتر کردن آن باریک‌تر می‌کند، بنابراین مساحت آن با \(|a|\) کوچک می‌شود - و برای بازیابی تعریف باید تقسیم بر \(|a|\) شود. مدول مهم است: زمان معکوس کردن منطقه را تغییر نمی دهد.
ضربه یک سیگنال یکنواخت است. تنظیم \(a=-1\) در قاعده مقیاس‌بندی، بلافاصله بیانیه تقارن را می‌دهد، زیرا \(|-1| = 1\).
ویژگی چهارم واقعاً یک هشدار است: هر زمان که \(\delta(at - b)\) را ملاقات کردید، قبل از انجام هر کار دیگری فاکتور بگیرید. \(\delta(at-b) = \delta\!\big(a(t - b/a)\big) = \tfrac{1}{|a|}\delta(t - b/a)\) را بنویسید، بنابراین ضربه در \(t = b/a\) قرار می گیرد و وزن \(1/|a|\) را تحمل می کند. پرش از این مرحله تنها رایج ترین خطا در مشکلات ضربه ای است و مثال کار شده 1 آن را در عمل نشان می دهد.
| اموال | زمان‌پیوسته | زمان‌گسسته |
|---|---|---|
| الک کردن | \(\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)\) | \(\sum_n x[n]\delta[n-n_0] = x[n_0]\) |
| نمونه‌برداری | \(x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0)\) | \(x[n]\delta[n-n_0] = x[n_0]\delta[n-n_0]\) |
| مقیاس بندی | \(\delta(at) = \delta(t)/|a|\) | قابل اجرا نیست - \(n\) یک عدد صحیح است |
| تقارن | \(\delta(-t) = \delta(t)\) | \(\delta[-n] = \delta[n]\) |
| رابطه با پله | \(\delta(t) = du/dt\) | \(\delta[n] = u[n]-u[n-1]\) |
خانواده تکینگی
گام و ضربه دو عضو یک زنجیره هستند. انگیزه را انتگرال‌گیری کنید و مرحله را می گیرید. گام را انتگرال‌گیری کنید و رمپ واحد را دریافت می کنید، سیگنالی که تا مبدأ صفر است و سپس با شیب واحد بالا می رود. دوباره انتگرال‌گیری کنید و سیگنال سهمی را دریافت می کنید. با رفتن به سمت دیگر، مشتق‌گیری ضربه به دوتایی \(\delta'(t)\) می دهد، یک جفت ضربه مخالف که بی نهایت به هم نزدیک هستند.
ارزش عملی این زنجیره این است که سیگنال‌های خطی تکه ای به مجموع رمپ های جابجا شده تبدیل می شوند. هر شکل موجی که از قطعات مستقیم ساخته شده است را می توان به صورت ترکیبی از عبارت \(r(t - t_i)\) نوشت، یکی برای هر نقطه ای که شیب تغییر می کند، با ضریب برابر با تغییر شیب آنجا. مشتق‌گیری آن عبارت یک بار مراحل را می دهد، و یک بار دیگر ضربه هایی می دهد - که دقیقاً دنباله ای است که هنگام محاسبه پاسخ مدار به درایو ذوزنقه ای به آن نیاز دارید. مثال 3 کار شده این کار را تا آخر انجام می دهد.
دوتایی نادرتر است اما هر زمان که یک ضربه ممشتق‌گیری شود ظاهر می‌شود و قانون غربال کردن خود را با علامت تلنگر دارد: \(\int x(t)\,\delta'(t-t_0)\,dt = -x'(t_0)\). همتای گسسته آن، \(\delta[n] - \delta[n-1]\)، کاملا معمولی است.
توابع پنجره و علامت
سه سیگنال دیگر با نام اغلب به اندازه کافی ظاهر می شوند که ارزش نامگذاری را داشته باشند و هر سه از مراحل ساخته شده اند. تابع پالس یا دروازه مستطیلی یک سیگنال را به یک پنجره محدود محدود می کند. نبض مثلثی به جای برش شدید، باریک می شود. و تابع signum علامت یک سیگنال را استخراج می کند و نه چیز دیگری.
| سیگنال | تعریف | از نظر مراحل |
|---|---|---|
| پالس مستطیلی | \(1\) برای \(|t| \lt \tau/2\)، دیگری \(0\) | \(u(t+\tau/2) - u(t-\tau/2)\) |
| نبض مثلثی | \(1-|t|/\tau\) برای \(|t| \le \tau\)، دیگری \(0\) | ساخته شده از سه رمپ |
| Signum | \(+1\) برای \(t \gt 0\)، \(-1\) برای \(t \lt 0\) | \(2u(t) - 1\) یا \(u(t)-u(-t)\) |
نمایی و سینوسی
اگر گام و ضربه سوئیچینگ را توصیف می کنند، نمایی هر چیزی را که پس از آن اتفاق می افتد توصیف می کند. یک خازن تخلیه می‌شود، یک جریان در یک سلف فروپاشی می‌کند، یک سیستم ناپایدار فرار می‌کند، یک نوسانگر که به پایین زنگ می‌زند - همه آنها نمایی هستند، و فصل 1 قبلاً دلیل اصلی اهمیت آنها را بیان می‌کند: نمایی پیچیده از سیستم‌های LTI بدون تغییر شکل می‌گذرد.
\(x(t) = Ce^{at}\) نمایی واقعی دارای سه رفتار با توجه به علامت \(a\) است. برای \(a \lt 0\) خراب می شود. برای \(a \gt 0\) بدون محدودیت رشد می کند. برای \(a = 0\) یک ثابت است. وقتی تحلیل می‌شود، کمیت \(\tau = 1/|a|\) ثابت زمانی است: سیگنال در یک ثابت زمانی به حدود 37 درصد مقدار اولیه‌اش و در چهار به کمتر از 2 درصد می‌رسد، که تعریف مهندسی معمول «تسویه‌شده» است.
آن عبارت واحد شامل کل خانواده است. قسمت واقعی \(\sigma\) پوشش را تنظیم می کند - پوسیده، ثابت یا در حال رشد - و قسمت خیالی \(\omega_0\) نوسان را تنظیم می کند. با \(\sigma = 0\) یک سینوسی خالص دریافت می کنید. با \(\omega_0 = 0\) یک نمایی خالص. با هر دو غیر صفر، یک سینوسی میرایی \(Ce^{\sigma t}\cos(\omega_0 t + \phi)\)، که پاسخ طبیعی اساساً هر مدار مرتبه دومی است که تا به حال تحلیل خواهید کرد.
داستان زمان‌گسسته به موازات یک شگفتی واقعی پیش می رود. شکل طبیعی آن \(x[n] = C\alpha^n\) است که وقتی \(|\alpha| \lt 1\) تحلیل می‌رود، زمانی که \(|\alpha| \gt 1\) رشد می‌کند، و - رفتاری بدون آنالوگ زمان‌پیوسته - زمانی که \(\alpha\) منفی است، علامت متناوب می‌شود. نوشتن \(\alpha = e^{j\Omega_0}\) به پیچیده زمان‌گسسته نمایی \(e^{j\Omega_0 n}\) می دهد و در اینجا شگفتی ظاهر می شود.
از آنجا که \(n\) یک عدد صحیح است، \(e^{j2\pi n} = 1\) همیشه. دو فرکانس زمان‌گسسته که با \(2\pi\) متفاوت هستند، توالی های یکسانی تولید می کنند - بنابراین \(\Omega_0\) تنها در هر بازه ای از طول \(2\pi\) معنادار است، و چیزی به نام فرکانس زمان‌گسسته دلخواه بالا وجود ندارد.
ساخت هرگونه سیگنال از ضربه ها
ما اکنون بازدهی را داریم، و به همین دلیل است که این فصل در جایی قرار دارد. یک سیگنال زمان‌گسسته دلخواه \(x[n]\) را در نظر بگیرید. با ویژگی نمونه‌برداری، \(x[k]\delta[n-k]\) دنباله ای است که برابر با \(x[k]\) در \(n=k\) است و در هر جای دیگر صفر است - یک نمونه واحد، جدا شده. برای هر \(k\) یک عبارت از این قبیل اضافه کنید و کل سیگنال را دقیقاً بازسازی کرده اید.
هر سیگنال یک مجموع وزنی - یا انتگرال - از ضربه های جابجا شده است که وزن ها مقادیر خود سیگنال هستند. این دقیق است، نه تقریبی.
آن را در کنار استراتژی فصل 1 بخوانید و برنامه چند فصل بعدی خودش را می نویسد. مرحله تجزیه انجام می شود: بلوک های ساختمان ضربه های جابجا شده هستند و ضرایب نمونه های خود سیگنال هستند. مرحله پاسخ می پرسد که یک سیستم با یک ضربه چه کاری انجام می دهد - پاسخ ضربه آن \(h[n]\). سپس مرحله superpose آن پاسخ‌ها را با هم جمع می‌کند، و چون سیستم خطی و تغییرناپذیر با زمان است، مجموع یک شکل خاص به خود می‌گیرد. این شکل کانولوشن است و کل فصل 7 است.
نمونه های کار شده
مشکل ارزیابی (الف) \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(t^2+3)\,\delta(t-2)\,dt\); (ب) \(\displaystyle\int_{0}^{5}\cos(\pi t)\,\delta(t-1)\,dt\)؛ (ج) \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t}\,\delta(2t-4)\,dt\).
راه حل (الف). الک مستقیم - انتگرال را در \(t = 2\) بخوانید: \((2)^2 + 3 = 7\).
راه حل (ب). ضربه در \(t=1\) قرار دارد، که در داخل بازه \([0,5]\) قرار دارد، بنابراین غربال کردن به طور معمول اعمال می شود: \(\cos(\pi) = -1\). اگر ضربه خارج از محدوده می‌افتاد، انتگرال صفر می‌شد - همیشه قبل از غربال کردن، بررسی کنید که ضربه در محدوده باشد.
راه حل (ج). این همان چیزی است که مردم را می گیرد. قبل از غربال کردن، استدلال را فاکتور بگیرید:
بنابراین انتگرال تبدیل به \(\tfrac12\displaystyle\int e^{-t}\delta(t-2)\,dt = \tfrac12 e^{-2} \approx 0.0677\) می شود. الک کردن بدون فاکتورگیری به \(e^{-2}\) - دو برابر پاسخ صحیح می داد.
مشکل پالسی را که برای \(1 \lt t \lt 4\) برابر با 3 و در جای دیگر بر حسب گام های واحد صفر است، بنویسید، سپس آن را ممشتق‌گیری کنید.
راه حل. در \(t=1\) روشن کنید و در \(t=4\) خاموش کنید، با افزایش ارتفاع:
مشتق‌گیری عبارت به ترم و استفاده از \(du(t-t_0)/dt = \delta(t-t_0)\):
دو ضربه، به وزن \(+3\) در لبه بالارونده و \(-3\) در لبه سقوط. قاعده کلی در اینجا قابل مشاهده است: مشتق‌گیری یک شکل موج در هر پرش یک ضربه تولید می کند که وزن آن برابر با اندازه پرش و علامت مطابق با جهت آن است.
مشکل یک سیگنال به صورت خطی از 0 به 1 روی \(0 \le t \le 1\) افزایش می یابد، تا \(t=3\) روی 1 می ماند، سپس به صورت خطی به 0 در \(t=4\) می رسد. آن را با استفاده از رمپ بیان کنید و با مشتق‌گیری تأیید کنید.
راه حل. با تغییرات شیب کار کنید، زیرا هر کدام دقیقاً به یک سطح شیب دار نیاز دارند. شیب \(0 \to +1\) در \(t=0\) می رود. \(+1 \to 0\) در \(t=1\); \(0 \to -1\) در \(t=3\); و \(-1 \to 0\) در \(t=4\). ضرایب رمپ آن تغییرات هستند:
برای تأیید، یک بار ممشتق‌گیری کنید. از زمان \(dr(t-t_0)/dt = u(t-t_0)\)،
که \(+1\) در \((0,1)\)، صفر در \((1,3)\)، \(-1\) در \((3,4)\) و صفر است - دقیقاً شیب های توصیف شده. این روش تعمیم می‌دهد: هر سیگنال خطی تکه‌ای، مجموع رمپ‌های جابجا شده وزن شده با تغییر شیب در هر نقطه شکست است.
مشکل یک سیگنال زمان‌گسسته مقادیر \(2, -1, 3\) را در \(n = 0, 1, 2\) می گیرد و در جاهای دیگر صفر است. آن را با استفاده از ضربه های واحد بنویسید و \(\sum_n x[n]\,\delta[n-1]\) را ارزیابی کنید.
راه حل. تجزیه ضربه را اعمال کنید، فقط عبارت های غیر صفر را حفظ کنید:
مجموع الک زمان‌گسسته است که مقدار \(n=1\): \(\sum_n x[n]\delta[n-1] = x[1] = -1\) را می خواند. توجه کنید که چقدر ساده‌تر از نسخه زمان‌پیوسته است - بدون محدودیت، بدون توزیع، فقط انتخاب یک جمله از یک جمع محدود. همین سادگی به همین دلیل است که کانولوشن معمولاً ابتدا در زمان‌گسسته آموزش داده می شود.
مشکل نشان دهید که \(x_1[n] = e^{j0.2\pi n}\) و \(x_2[n] = e^{j2.2\pi n}\) دنباله یکسانی هستند و مشخص کنید کدام یک از \(\Omega = 0.5\pi\) و \(\Omega = 1.5\pi\) سریعتر نوسان می کند.
راه حل. این دو فرکانس دقیقاً \(2\pi\) با هم تفاوت دارند، بنابراین این را در نظر بگیرید:
از \(e^{j2\pi n} = 1\) برای هر عدد صحیح \(n\). آنها صرفا مشابه نیستند - آنها توالی یکسانی هستند، نمونه برای نمونه.
برای بخش دوم، به یاد داشته باشید که نوسان زمان‌گسسته در \(\Omega = \pi\) سریعترین است و دوباره از آن فراتر می رود. بنابراین \(\Omega = 0.5\pi\) در فاصله \(0.5\pi\) از \(\pi\) قرار دارد و \(\Omega = 1.5\pi\) نیز در فاصله \(0.5\pi\) قرار دارد - آنها با همان سرعت نوسان می کنند. در واقع \(1.5\pi\) معادل \(1.5\pi - 2\pi = -0.5\pi\) است، همان فرکانس با چرخش مخالف. در زمان‌پیوسته، سه برابر شدن \(\omega_0\) نرخ را سه برابر می کرد. در زمان‌گسسته هیچ کاری از این دست انجام نمی دهد.
خلاصه فصل
\(u(t)\) یک سیگنال را روشن می کند. \(u(t-a)-u(t-b)\) آن را ویندوز می کند. در زمان‌گسسته \(u[0]=1\) بدون ابهام.
صفر همه جا به جز مبدا، واحد مساحت، نه یک تابع. به عنوان یک حد تعریف شده و فقط در داخل انتگرال استفاده می شود.
\(\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)\). وقتی آرگومان مقیاس‌بندی می‌شود، ابتدا فاکتور کنید: \(\delta(at)=\delta(t)/|a|\).
دوتایی → ضربه ای → پله ای → سطح شیب دار → سهمی، با انتگرال‌گیری یک طرف و مشتق‌گیری از طرف دیگر به هم مرتبط می شوند.
\(Ce^{st}\) با \(s=\sigma+j\omega_0\) پوسیدگی، رشد، نوسانات و سینوسی های میرایی را در یک بیان پوشش می دهد.
\(x[n]=\sum_k x[k]\delta[n-k]\) - هر سیگنال مجموعه ای از ضربه های جابجا شده است، که کانولوشن را ممکن می کند.
مشکلات
مسائل 1 تا 4 تعاریف را مشخص می کنند. 5 تا 8 سیگنال‌ها را بسازید و دستکاری کنید. 9 و 10 از شما می خواهند خواصی را که استفاده کرده اید ثابت کنید. قبل از محاسبه هر جا که یک شکل موج درگیر است، ترسیم کنید.
- طرح\(u(t)\), \(u(-t)\), \(u(t-2)\)و\(u(2-t)\)در محورهای جداگانه، و با کلمات بگویید که هر کدام چه چیزی را روشن یا خاموش می کند.
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(t^3+2t)\,\delta(t+1)\,dt\) را ارزیابی کنید.
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin(t)\,\delta(3t-\pi)\,dt\) را ارزیابی کنید. قبل از غربال کردن، استدلال ضربه را فاکتور بگیرید.
- پالسی را بنویسید که برای \(2 \lt t \lt 6\) برابر با 5 و در جای دیگر صفر است، سپس مشتق آن را پیدا کرده و ترسیم کنید.
- \(x(t) = r(t) - 2r(t-2) + r(t-4)\) را ترسیم کرده و شکل موج حاصل را شرح دهید. حداکثر مقدار آن چقدر است و کجا رخ می دهد؟
- سیگنال \(x[n]\) را با مقادیر \(1, 2, 0, -1\) در \(n = -1, 0, 1, 2\) به صورت مجموع ضربه های واحد جابجا شده بیان کنید. سپس همان سیگنال را فقط با استفاده از مراحل واحد بنویسید.
- طرح \(x(t) = e^{-t/2}\cos(4\pi t)\,u(t)\). ثابت زمانی، فرکانس نوسان بر حسب هرتز، و زمان تقریبی که در آن پوشش به کمتر از 2% مقدار اولیه خود رسیده است را شناسایی کنید.
- \(x(t) = 2\big[u(t) - u(t-3)\big]\) را بر روی هشت محور فصل 2 طبقه بندی کنید و انرژی کل آن را محاسبه کنید.
- ثابت کنید که \(\delta(-t) = \delta(t)\) با اعمال ویژگی sifting به \(\int x(t)\delta(-t)\,dt\) با جایگزینی \(\lambda = -t\).
- نشان دهید که \(u[n] = \sum_{k=0}^{\infty}\delta[n-k]\) و \(\delta[n] = u[n]-u[n-1]\). توضیح دهید که چرا نسخه های زمان‌پیوسته این دو عبارت به حساب دیفرانسیل و انتگرال نیاز دارند در حالی که نسخه های زمان‌گسسته فقط به جبر نیاز دارند.