عملیات سیگنال و تبدیل | سیگنال‌ها و سیستم‌ها

چیزی که یاد خواهید گرفت

تقسیم تمیز بین عملیات روی متغیر وابسته (دامنه) و عملیات روی متغیر مستقل (زمان) - و چرا فقط نوع دوم دشوار است.
تغییر زمان، و دلیل \(x(t-t_0)\) با \(t_0 \gt 0\) سیگنال را به سمت راست حرکت می دهد، حتی اگر علامت در آرگومان منفی باشد.
زمان معکوس در مورد مبدا و در مورد یک لحظه دلخواه، و مقیاس زمانی، که در آن \(a \gt 1\) به جای کشش فشرده می شود.
تبدیل ترکیبی \(x(at+b)\): دو دستور عملیات معتبر، چرا مقدار جابجایی بین آنها متفاوت است و روش شاخصی که هرگز شکست نمی خورد.
چرا زمان‌گسسته از همکاری امتناع می ورزد - شیفت ها باید اعداد صحیح باشند، \(x[2n]\) اطلاعات را از بین می برد و \(x[n/2]\) باید به جای مشتق شدن، تعریف شود.
تجزیه منحصر به فرد زوج و فرد \(x = \mathcal{E}v\{x\} + \mathcal{O}d\{x\}\)، و متعامد بودن که باعث می شود انرژی آنها اضافه شود.
دقیقاً همان کاری که هر عملیات با منطقه، انرژی و توان انجام می دهد - از جمله یک قانون که آنالوگ زمان‌گسسته ندارد.

بخش 4-1

چرا یک سیگنال را تبدیل کنیم؟

فصل 3 فهرست کوچکی از سیگنال‌های ابتدایی را جمع‌آوری کرد و سپس در آخرین بخش خود نشان داد که هر سیگنالی را می‌توان به صورت مجموع ضربه‌های تغییر یافته و مقیاس‌شده نوشت. آن جمله قبلاً شامل موضوع این فصل است. کاتالوگ به خودی خود بی اثر است: یک گام یک گام است، یک نمایی یک نمایی است. چیزی که کاتالوگ را توانمند می‌کند، آزادی در قرار دادن اعضای آن است - برای روشن کردن یک پله در \(t=3\) به جای مبدا، حرکت نمایی به سمت عقب، برای فشرده کردن یک پالس به نصف مدت زمان آن.

این مکان‌ها عملیات سیگنال هستند و به دو دلیل ارزش یک فصل را دارند. اولین مورد این است که آنها در همه جا پایین دست استفاده می شوند. کانولوشن، عملیات مرکزی فصل 7، چیزی نیست جز یک معکوس، یک جابجایی، یک ضرب و یک انتگرال‌گیری، که به ترتیب اعمال می شود. معکوس یا شیفت را اشتباه بگیرید و هر کانولوشنی که تا به حال محاسبه کنید اشتباه خواهد بود. نمونه‌برداری در قسمت 6 ضرب در یک قطار ضربه ای است. مدولاسیون در فصل 28 ضرب در یک سینوسی است. تبدیل فوریه و لاپلاس قسمت‌های 4 و 5 بیشتر خواص مفید خود را با پرسیدن اینکه یک تغییر یا مقیاس‌گذاری در حوزه تبدیل چه می‌کند به دست می‌آورد.

دلیل دوم عملی تر است: اینجاست که دانش آموزان نمره خود را از دست می دهند. عملیات به دو خانواده تقسیم می شود و خانواده ها به همان اندازه دشوار نیستند.

🔑

دو خانواده عملیات

\[ \underbrace{y(t) = A\,x(t) + B}_{\text{acts on the amplitude}} \qquad\qquad \underbrace{y(t) = x(at+b)}_{\text{acts on the argument}} \]

عملیات دامنه دقیقاً همان کاری را که به نظر می رسد انجام می دهد. عملیات آرگومان برعکس آنچه به نظر می رسد انجام می دهد، زیرا جایی را که سیگنال باید برای یافتن مقدار خود جستجو کند، تغییر می دهد. هر تله نشانه ای در این فصل در سمت راست زندگی می کند.

تنها عادتی که جلوی همه اینها را می گیرد. هرگز نپرسید "این با نمودار چه می کند؟" در عوض بپرسید: "سیگنال جدید با چه مقدار \(t\) یک ویژگی مشخص از سیگنال قبلی را بازتولید می کند؟" این سوال با حل یک معادله کوچک پاسخ داده می شود و پاسخ هرگز مبهم نیست. هر نمونه کار شده در این فصل از آن استفاده می کند.

بخش 4-2

عملیات دامنه

عملیات روی متغیر وابسته خانواده آسانی است و می توان آنها را به سرعت حذف کرد. مقیاس دامنه هر مقدار را در یک ثابت \(y(t) = A\,x(t)\) ضرب می کند. نمودار به صورت عمودی توسط \(|A|\) کشیده می شود، و اگر \(A\) منفی باشد، حول محور زمان نیز می چرخد. هیچ چیز به صورت افقی حرکت نمی کند: هر گذر از صفر، هر گوشه، هر ناپیوستگی دقیقاً در همان لحظه ای که قبلاً اشغال کرده بود باقی می ماند. در سخت افزار این یک تقویت کننده، یا یک تضعیف کننده، یا یک مرحله op-amp معکوس است.

جمع و تفریق به صورت نقطه ای هستند: \(y(t) = x_1(t) \pm x_2(t)\) به این معنی است که دو مختصات را در هر لحظه جمع کنید. تکیه‌گاه از مجموع، اتحاد دو تکیه‌گاه است - نتیجه غیر صفر در هر سیگنالی است. این عملیات پشت هر آرگومان برهم نهی در کتاب است، و عملیاتی است که یک اتصال جمع در یک نمودار بلوکی انجام می دهد.

ضرب نیز نقطه‌ای است، \(y(t) = x_1(t)\,x_2(t)\)، اما تکیه‌گاه آن نقطه تلاقی است: هر جا که یکی از عوامل ناپدید شود، محصول ناپدید می‌شود. این مشاهده تنها دو مورد از مفیدترین ساختارهایی را که قبلاً داریم توضیح می دهد. ضرب در \(u(t-t_0)\) یک سوئیچ است، زیرا گام در نیمی از محور صفر است. ضرب در یک پالس مستطیلی یک پنجره است، زیرا پالس در خارج از یک بازه محدود صفر است. ضرب در \(\cos\omega_c t\) مدولاسیون دامنه است، و این واقعیت که این همان عملیات پنجره سازی است - فقط با فاکتور دوم متفاوت - دلیلی است که قسمت 4 می تواند هر دو را با یک قضیه واحد بررسی کند.

عملیات دامنه، در یک نگاه

\[ y(t) = A\,x(t) + B, \qquad y(t) = x_1(t) + x_2(t), \qquad y(t) = x_1(t)\,x_2(t) \]

ثابت افزودنی \(B\) سزاوار یک نکته است. افزودن یک افست DC کل شکل موج را به صورت عمودی جابجا می کند، و این یک عملیات دامنه است که می تواند طبقه بندی سیگنال را از فصل 2 تغییر دهد: یک سیگنال انرژی به اضافه یک ثابت غیر صفر دیگر سیگنال انرژی نیست، زیرا ثابت انرژی بی نهایت را در یک بازه نامحدود کمک می کند. اضافه کردن \(B\) نیز عجیب بودن را از بین می برد. در مقابل، مقیاس‌گذاری دامنه توسط \(A\)، هر طبقه‌بندی در فصل 2 - تناوب، تقارن، انرژی یا نوع توان - را حفظ می‌کند و صرفاً انرژی را در \(A^2\) ضرب می‌کند.

چرا \(A^2\) و نه \(A\). انرژی به عنوان \(\int |x(t)|^2\,dt\) تعریف می شود، بنابراین مقیاس بندی دامنه توسط \(A\) انتگرال را با \(|A|^2\) مقیاس می کند. دوبرابر کردن یک ولتاژ، انرژی تحویل شده به یک مقاومت ثابت را چهار برابر می کند - یک عبارت کاملاً فیزیکی که تعریف برای بازتولید آن ساخته شده است.

بخش 4-3

تغییر زمان

حالا خانواده سخت تغییر زمانی توسط \(y(t) = x(t - t_0)\) تعریف می‌شود و سوال همیشگی این است که نمودار را به کدام سمت حرکت می‌دهد. پاسخ با یک آرگومان یک خطی ثابت می شود که ارزش درونی کردن را دارد، زیرا همان آرگومان معکوس، مقیاس بندی و عملیات ترکیبی را نیز حل می کند.

فرض کنید \(x\) دارای برخی از ویژگی های قابل شناسایی است - یک قله، یک گوشه، یک پرش - در \(t = \alpha\) فوری. کجا \(y\) همان ویژگی را نشان می دهد؟ در هر چیزی که \(t\) آرگومان \(y\) را برابر با \(\alpha\) کند، یعنی در \(t - t_0 = \alpha\) یا \(t = \alpha + t_0\). بنابراین هر ویژگی واحدهای \(t_0\) را دیرتر منتقل می کند. با \(t_0 \gt 0\)، نمودار به سمت راست حرکت می کند: سیگنال تاخیر دارد.

🔑

تغییر زمان

\[ y(t) = x(t-t_0): \quad t_0 \gt 0 \ \Rightarrow \ \text{delay (shift right)}, \qquad t_0 \lt 0 \ \Rightarrow \ \text{advance (shift left)} \]

علامت منفی در استدلال به معنای تغییر جهت مثبت است. یادداشتی که از فشار امتحان جان سالم به در می‌برد، علامت نیست، بلکه این جمله است: در زمان \(t\)، سیگنال تاخیری چیزی را نشان می‌دهد که نسخه اصلی \(t_0\) ثانیه‌ها پیش نشان داده است.

تاخیر دو واحد - شکل دست نخورده است، فقط موقعیت آن روی محور تغییر می کند

تغییر در خود شکل موج چیزی را تغییر نمی دهد. مدت زمان، مقدار پیک، مساحت، انرژی و توان متوسط همگی قبل و بعد از آن یکسان هستند، زیرا انتگرال تعریف کننده هر یک از آنها تحت تغییر مبدأ ثابت است. فقط موقعیت در زمان تغییر می کند، به همین دلیل است که یک تغییر هرگز نمی تواند سیگنال انرژی را به سیگنال توان یا سیگنال دوره ای را به یک سیگنال متناوب تبدیل کند.

نسخه زمان‌گسسته \(y[n] = x[n - n_0]\) است و در اینجا \(n_0\) مجبور است یک عدد صحیح باشد. چیزی به نام جابجایی نصف نمونه وجود ندارد: دنباله هیچ مقداری بین نمونه های خود ندارد تا به آن جابجا شود. این محدودیت به نظر فنی است و اینطور نیست - بازیابی تاخیر نمونه کسری از سیگنال نمونه‌برداری شده نیاز به درونیابی دارد که به قضیه نمونه‌برداری نیاز دارد که قسمت 6 است.

در نهایت، شیفت عملیاتی است که پردازش علّی را از نوع دیگر جدا می کند. می توان یک تاخیر ایجاد کرد: یک عنصر حافظه، طول کابل، یک شیفت رجیستر. پیشبرد نمی تواند، زیرا نیاز به دانستن ورودی قبل از رسیدن دارد. فصل 5 این مشاهدات را به تعریف رسمی علّیت تبدیل می کند و فصل 8 نشان می دهد که چرا سیستمی که پاسخ ضربه آن به چپ منتقل می شود هرگز نمی تواند در زمان واقعی تحقق یابد.

بخش 4-4

زمان معکوس

زمان معکوس، یا تا شدن، \(y(t) = x(-t)\) است. به کار بردن سوال مهم: یک ویژگی \(x\) در \(t = \alpha\) در \(y\) ظاهر می شود که در آن \(-t = \alpha\)، یعنی در \(t = -\alpha\) است. نمودار در محور عمودی منعکس می شود. نواری که به عقب پخش می شود. یک سیگنال سمت راست به سمت چپ تبدیل می شود. یک سیگنال علّی به پادعلّی تبدیل می شود.

معکوس در مورد مبدا یک مورد استاندارد است، اما بازتاب در مورد یک \(t = c\) آنی دلخواه اغلب به اندازه کافی - به ویژه در کانولوشن - به نظر می رسد که ارزش یک فرمول را داشته باشد. انعکاس در مورد \(c\) باید \(c\) را به خود و \(c + d\) را به \(c - d\) ارسال کند، که دقیقا همان چیزی است که استدلال \(2c - t\) انجام می دهد.

تامل در مورد مبدا و در مورد \(t=c\)

\[ y(t) = x(-t) \qquad\qquad y(t) = x\big(2c - t\big) \ \ \text{reflects } x \text{ about the line } t = c \]

معکوس کردن، مانند جابجایی، مدت، انرژی و توان متوسط را به تنهایی باقی می گذارد. این یک علامت گذاری مجدد محور است، نه اعوجاج شکل موج. چیزی که تغییر می دهد اطلاعات مربوط به تقارن است. یک سیگنال زوج \(x(-t) = x(t)\) را برآورده می کند و بنابراین بازتاب خودش است. یک سیگنال عجیب و غریب \(x(-t) = -x(t)\) را برآورده می کند و بازتاب خود با یک علامت تلنگر است. بخش 4-8 این جفت گزاره را به تجزیه ای تبدیل می کند که برای هر سیگنال اعمال می شود.

در زمان‌گسسته، \(y[n] = x[-n]\) توالی مربوط به \(n = 0\) را منعکس می کند. شاخصی که اغلب اشتباه می شود خود مبدا است: \(y[0] = x[0]\) همیشه، بنابراین نمونه در مبدا محور است و حرکت نمی کند. اگر \(x[n]\) برای \(n = 0,1,2\) غیر صفر باشد، \(x[-n]\) برای \(n = 0,-1,-2\) غیر صفر است و اولین نمونه اصلی آخرین نمونه بازتاب می شود.

بخش 4-5

مقیاس بندی زمان

مقیاس زمانی \(y(t) = x(at)\) با \(a\) واقعی و غیر صفر است، و این عملیات اغلب به صورت معکوس بیان می شود. یک بار دیگر آرگومان نقطه عطف را اجرا کنید. یک ویژگی در \(t = \alpha\) در \(x\) در \(y\) ظاهر می شود که در آن \(at = \alpha\)، یعنی در \(t = \alpha/a\) است. اگر \(a \gt 1\)، هر نقطه عطفی توسط فاکتور \(a\) به سمت مبدأ کشیده می‌شود: سیگنال فشرده می‌شود، سریع‌تر اتفاق می‌افتد و بازه کوتاه‌تری را اشغال می‌کند. اگر \(0 \lt a \lt 1\)، هر نقطه عطفی از مبدأ دور می‌شود: سیگنال گسترش می‌یابد و بیشتر طول می‌کشد.

شهودی که در برابر این امر مقاومت می کند، عادت ترسیم نمودار خواندن \(a\) به عنوان یک عامل کششی است. راه حل، تصویر ضبط نوار است: \(x(2t)\) نواری است که با سرعت دو برابر پخش می شود که در نیمی از زمان تمام می شود. یک سیگنال با مدت زمان \(T\) به سیگنال مدت زمان \(T/|a|\) تبدیل می شود.

نسخه اصلی - مدت 4

فشرده - \(a=2\)، مدت زمان نصف شده است

گسترش یافته - \(a=\tfrac12\)، مدت زمان دو برابر شد

\(a\) منفی هر دو کار را همزمان انجام می دهد: \(x(-2t)\) با دو فشرده شده و منعکس می شود، زیرا \(-2t = 2(-t)\). همیشه می‌توان با \(|a|\) به‌عنوان ضریب مقیاس‌پذیری و علامت \(a\) را به‌عنوان یک معکوس جداگانه در نظر گرفت.

مقیاس‌بندی اولین عملیاتی است که ناحیه زیر سیگنال را تغییر می‌دهد و این تغییر پس از جایگزینی صورت می‌گیرد. \(\tau = at\) را قرار دهید، بنابراین \(d\tau = a\,dt\); برای \(a \lt 0\) محدودیت ها مبادله می شوند و دو تغییر علامت در یک مدول ترکیب می شوند.

منطقه تحت یک سیگنال با مقیاس زمانی

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x(at)\,dt \;=\; \frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,d\tau \]

جایی که قبلاً این را دیده اید. \(x = \delta\) را در فرمول ناحیه تنظیم کنید. ضربه دارای مساحت واحد است، بنابراین \(\delta(at)\) باید دارای مساحت \(1/|a|\) باشد - که دقیقاً خاصیت مقیاس‌بندی \(\delta(at) = \delta(t)/|a|\) است که در فصل 3 اثبات شده است. تمیزترین نمونه آن است.

بخش 4-6

عملیات ترکیبی \(x(at+b)\)

مشکلات واقعی به ندرت نیاز به یک عمل جراحی دارند. آنها برای \(x(2t+3)\)، یا \(x(3-2t)\)، یا \(x(-t/2+1)\) می پرسند، و در اینجا سوال مرتبه واقعی می شود: آیا ابتدا تغییر می دهید و سپس مقیاس، یا اول مقیاس و سپس تغییر می کنید؟ هر دو ممکن است، اما مقدار جابجایی در دو مسیر یکسان نیست، و استفاده از \(b\) جایی که \(b/a\) به آن تعلق دارد، رایج ترین خطا در این فصل است.

وضوح تصویر جبری است نه بصری. همه چیز از یک فاکتورسازی به دست می آید.

🔑

فاکتورسازی که نظم را تسویه می کند

\[ x(at+b) \;=\; x\!\left(a\left(t + \frac{b}{a}\right)\right) \]

از چپ به راست بخوانید: با \(b\) تغییر دهید، سپس با \(a\) مقیاس کنید. خواندن از راست به چپ: مقیاس را با \(a\)، سپس با \(b/a\) تغییر دهید. هر دو سیگنال مشابهی می دهند. فقط مسیر دوم به شیفت تقسیم شده نیاز دارد.

به طور مشخص، این دو مسیر هستند. مسیر A - ابتدا تغییر دهید. فرم \(v(t) = x(t+b)\)، که یک پیشرفت توسط \(b\) زمانی که \(b \gt 0\) است. سپس نتیجه را با \(a\) فشرده کنید: \(y(t) = v(at) = x(at+b)\). مسیر B - ابتدا مقیاس. فرم \(w(t) = x(at)\). سپس با \(b/a\) تغییر دهید: \(y(t) = w(t + b/a) = x\big(a(t+b/a)\big) = x(at+b)\). مسیر A توسط \(b\) تغییر می کند. مسیر B توسط \(b/a\) تغییر می کند. هیچکدام صحیح تر نیستند و مسیر A معمولاً ایمن تر است زیرا تغییر مستقیم از عبارت خوانده می شود.

دو دستور قانونی، یک مقصد - شیفت در مسیر بالا \(b\) و در مسیر پایین \(b/a\) است.

در عمل هیچ یک از مسیرها ضروری نیست، زیرا روش نقطه عطف به طور کامل سؤال مرتبه را کنار می گذارد. اگر \(x\) به صورت تکه تکه با نقاط شکست در \(t = \alpha_1, \alpha_2, \dots\) تعریف شود، آنگاه \(y(t) = x(at+b)\) نقاط شکست خود را در هر نقطه \(at + b = \alpha_i\) دارد، یعنی در \(t = (\alpha_i - b)/a\). هر نقطه شکست را نقشه برداری کنید، مقادیر مربوطه را در سراسر آن حمل کنید، و طرح خود را ترسیم می کند. اگر \(a \lt 0\) نقاط شکست به ترتیب معکوس ظاهر می شوند، که معکوس شدن خود را اعلام می کند. این یک چک است، مشکلی نیست.

🔑

نقشه شاخص

\[ y(t) = x(at+b) \quad\Longrightarrow\quad \text{a feature of } x \text{ at } t=\alpha \ \text{ appears in } y \text{ at } \ t = \frac{\alpha - b}{a} \]

یک معادله جایگزین هر قانون کلی در مورد جابجایی به چپ یا راست و کشش یا فشردن می شود. آن را برای هر نقطه شکست حل کنید و سیگنال تبدیل شده کاملا مشخص می شود.

بخش 4-7

تله های زمان‌گسسته

هر عملیاتی تا کنون با جایگزینی \(t\) با \(n\) به زمان‌گسسته منتقل می‌شود - و دو مورد از آنها در این فرآیند شکسته می‌شوند. Shifting دست نخورده باقی می ماند، مشروط بر اینکه \(n_0\) یک عدد صحیح باشد. معکوس شدن بدون صلاحیت زنده می ماند. پوسته پوسته شدن اصلا زنده نمی ماند و دلیل آن این است که یک دنباله چیزی بین نمونه های خود ندارد.

\(y[n] = x[2n]\) را در نظر بگیرید که به آن decimation یا downsampling گفته می شود. هر شاخص \(2n\) یک عدد صحیح قانونی است، بنابراین عبارت به خوبی تعریف شده است - اما فقط نمونه‌های زوج \(x\) را نگه می‌دارد و افراد فرد را برای همیشه کنار می‌گذارد. این فشرده‌سازی بی‌ضرر زمان‌پیوسته نیست، جایی که \(x(2t)\) حاوی هر مقداری است که \(x\) تا به حال دریافت کرده است، صرفاً در لحظه‌های مختلف. Decimation اطلاعات را از بین می برد و هیچ عملیاتی نمی تواند آن را بازیابی کند.

حالا \(y[n] = x[n/2]\) را در نظر بگیرید. برای فرد \(n\) شاخص \(n/2\) یک عدد صحیح نیست و \(x\) هیچ مقداری در آنجا ندارد، بنابراین عبارت همانطور که نوشته شده بی معنی است. منظور بسط یا افزایش نمونه است و به جای یک نتیجه، یک تعریف است: نمونه های \(x\) را در موقعیت های زوج قرار دهید و صفرها را در موقعیت های فرد قرار دهید.

کاهش و گسترش توسط یک عامل \(M\)

\[ y_{\text{dec}}[n] = x[Mn], \qquad\qquad y_{\text{exp}}[n] = \begin{cases} x[n/M], & n \text{ an integer multiple of } M\\ 0, & \text{otherwise}\end{cases} \]

دنباله اصلی، شش نمونه

از بین رفته - نمونه‌ها برای همیشه گم شدند

گسترش یافته - چیزی از دست رفته، صفر اضافه شده است

این جفت عمدا نامتقارن است. انبساط و به دنبال آن decimation دقیقاً نسخه اصلی را برمی گرداند، زیرا decimator به سادگی صفرهایی را که بسط دهنده وارد کرده است حذف می کند. جداسازی و به دنبال آن انبساط انجام نمی‌شود، زیرا انبساط‌کننده راهی برای بازسازی نمونه‌هایی که decimator دور انداخته است، ندارد. فقط می تواند صفرها را در جایی که بودند قرار دهد. در زبان عملگر، بسط معکوس‌پذیر است و decimation نیست - ایده‌ای که فصل 5 به‌عنوان معکوس‌پذیری رسمیت می‌یابد، و فصل 22 زمانی که سیستم‌های چند نرخی را از این دو بلوک می‌سازد، بهره‌برداری می‌کند.

عملیات	زمان‌پیوسته	زمان‌گسسته	محدودیت
شیفت	\(x(t-t_0)\)، هر \(t_0\) واقعی	\(x[n-n_0]\)	\(n_0\) باید یک عدد صحیح باشد
معکوس	\(x(-t)\)	\(x[-n]\)	هیچ کدام
فشرده سازی	\(x(at)\), \(a \gt 1\)	\(x[Mn]\) - تخریب	عدد صحیح \(M\); نمونه ها گم می شوند
گسترش	\(x(at)\), \(0 \lt a \lt 1\)	\(x[n/M]\) - نمونه‌برداری	باید با صفرهای درج شده تعریف شود
وارونه؟	بله، برای هر \(a \ne 0\)	بسط بله، تخریب نه	—

بخش 4-8

تجزیه زوج و فرد

فصل 2 یک سیگنال زوج را به عنوان یک سیگنال رضایت بخش \(x(-t) = x(t)\) و یک سیگنال فرد را به عنوان سیگنال رضایت بخش \(x(-t) = -x(t)\) تعریف کرد. بیشتر سیگنال‌ها هیچ کدام نیستند. واقعیت مفید و دلیل اینکه معکوس زمانی در این فصل جای می گیرد، این است که هر سیگنال دقیقاً از یک جهت مجموع یک سیگنال زوج و یک سیگنال فرد است.

ساخت و ساز اجباری است. فرض کنید \(x(t) = x_e(t) + x_o(t)\) با \(x_e\) زوج و \(x_o\) فرد. \(t\) را با \(-t\) در سراسر: \(x(-t) = x_e(t) - x_o(t)\) جایگزین کنید، زیرا قسمت زوج بدون تغییر است و علامت قسمت فرد برمی گردد. این دو معادله خطی در دو تابع مجهول است و با جمع و تفریق آنها جفت بلافاصله حل می شود.

🔑

تجزیه زوج-فرد

\[ \mathcal{E}v\{x(t)\} = \frac{x(t)+x(-t)}{2}, \qquad \mathcal{O}d\{x(t)\} = \frac{x(t)-x(-t)}{2} \]

مجموع آنها به طور یکسان \(x(t)\) است، و اشتقاق نشان می دهد که تقسیم منحصر به فرد است - هیچ جفت سیگنال زوج و فرد دیگری وجود ندارد که به \(x\) اضافه کند.

بررسی سریع برچسب ها را تایید می کند. جایگزینی \(t\) با \(-t\) در عبارت اول، آن را بدون تغییر باقی می‌گذارد، بنابراین واقعاً یکنواخت است. انجام همین کار در دومی علامت آن را معکوس می کند، به طوری که یکی واقعاً عجیب است. نسخه‌های مجزا با \(n\) به جای \(t\) یکسان هستند، و نمونه در \(n=0\) ارزش تماشا را دارد: زیرا \(x_o[0] = (x[0]-x[0])/2 = 0\)، یک دنباله عجیب و غریب همیشه در مبدأ ناپدید می‌شود، و یک دیسک پیوسته نیز باید در آنجا ناپدید شود.

قواعد ضرب از تعاریف در یک خط پیروی می کنند و به طور مداوم هنگام ارزیابی انتگرال ها استفاده می شوند: زوج × زوج = زوج، فرد × فرد = زوج، زوج × فرد = فرد. آخرین مورد را با این واقعیت ترکیب کنید که هر سیگنال فرد در یک بازه متقارن به صفر انتگرال‌گیری می شود و یک پیامد واقعا مفید ظاهر می شود.

متعامد بودن اجزای زوج و فرد

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x_e(t)\,x_o(t)\,dt \;=\; 0 \qquad \text{since the integrand is odd} \]

اکنون انرژی \(x\) را با استفاده از \(x = x_e + x_o\) گسترش دهید. مربع سه جمله تولید می کند و عبارت متقاطع دقیقاً دو برابر انتگرالی است که نشان داده شده است، بنابراین ناپدید می شود. آنچه باقی می ماند این است که این دو بخش انرژی کل را بین خود بدون هیچ تعاملی حمل می کنند.

انرژی بین قطعات تقسیم می شود

\[ E_x = \int (x_e + x_o)^2\,dt = \int x_e^2\,dt + 2\!\!\int x_e x_o\,dt + \int x_o^2\,dt = E_{x_e} + E_{x_o} \]

چرا این بعدا اهمیت پیدا می کند. متعامد بودن دلیلی است که می توان قسمت های زوج و فرد را به طور جداگانه تجزیه و تحلیل کرد و این اولین ظهور ایده ای است که قسمت 4 کل سری فوریه را بر اساس آن می سازد. هنگامی که یک سیگنال زوج است، قسمت فرد آن صفر است و سری فوریه آن فقط دارای کسینوس است. وقتی فرد باشد، فقط سینوس ها زنده می مانند. تشخیص تقارن قبل از محاسبه سری فوریه به طور معمول کار را نصف می کند.

بخش 4-9

عملیات با انرژی، توان و مساحت چه می کند

فصل 2 سیگنال‌ها را بر اساس انرژی و توان طبقه بندی کرد. دانستن اینکه کدام عملیات آن مقادیر را حفظ می کند و کدام نه، ارزش دارد، هم به این دلیل که امتحان کنندگان می پرسند و هم به دلیل اینکه پاسخ ها از نظر فیزیکی معنادار هستند.

جابجایی و معکوس کردن چیزی را تغییر نمی دهد. هر دو نشان‌گذاری مجدد محور زمان هستند و هر انتگرال در کل محور برای یک برچسب‌گذاری مجدد کور است. مقیاس دامنه توسط \(A\) مساحت را در \(A\) و انرژی و توان را با \(A^2\) ضرب می‌کند. مقیاس زمانی مورد جالبی است، و انرژی و توان را به گونه‌ای متفاوت در نظر می‌گیرد.

انرژی در مقیاس زمانی - جایگزین \(\tau = at\)

\[ E_y = \int_{-\infty}^{\infty}|x(at)|^2\,dt = \frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty}|x(\tau)|^2\,d\tau = \frac{E_x}{|a|} \]

فشرده سازی یک سیگنال انرژی آن را کاهش می دهد، زیرا انرژی یک کل است و زمان کمتری برای انباشته شدن آن وجود دارد. توان متوسط رفتار متفاوتی دارد: مجموع تقسیم بر طول پنجره میانگین است، و مقیاس زمانی، صورت و مخرج را با یک عامل کوچک می‌کند. فشرده سازی یک سیگنال دوره ای توسط \(a\) دوره آن را بر \(a\) تقسیم می کند و انرژی را در یک دوره بر \(a\) تقسیم می کند، بنابراین نسبت - توان متوسط - بدون تغییر است. یک سینوسی با دامنه \(A\) بدون در نظر گرفتن فرکانس آن دارای توان متوسط \(A^2/2\) است که در کلمات مختلف همان عبارت است.

عملیات	منطقه	انرژی \(E\)	توان متوسط \(P\)	مدت زمان
\(A\,x(t)\)	منطقه \(A \times\)	\(A^2 E\)	\(A^2 P\)	بدون تغییر
\(x(t) + B\)	بی نهایت (برای \(B \ne 0\))	بی نهایت	\(P + B^2\) برای \(x\) با میانگین صفر	بی نهایت
\(x(t-t_0)\)	بدون تغییر	\(E\)	\(P\)	بدون تغییر
\(x(-t)\)	بدون تغییر	\(E\)	\(P\)	بدون تغییر
\(x(at)\)	Area\(/\|a\|\)	\(E/\|a\|\)	\(P\)	مدت زمان\(/\|a\|\)
\(x[Mn]\) (تخریب)	هیچ قانون ساده ای وجود ندارد	هیچ قانون ساده ای وجود ندارد	تقریباً \(P\)	طول\(/M\)

قانونی که از آن عبور نمی کند. رابطه \(E\{x(at)\} = E_x/|a|\) از عامل \(d\tau = a\,dt\) در جایگزینی می آید. یک مجموع گسسته \(dt\) ندارد، بنابراین هیچ چیز برای تولید فاکتور در دسترس نیست: \(\sum_n |x[2n]|^2\) به سادگی مربع های زوج نمایه شده را اضافه می کند، که هیچ رابطه ثابتی با \(E_x\) ندارد. اعمال قانون مقیاس‌گذاری پیوسته زمان برای یک دنباله یک خطای واقعی است، نه یک تقریب بی‌ضرر - مثال کار شده 4 اعداد را نشان می‌دهد.

بخش 4-10

نمونه های کار شده

1 ترسیم \(x(2t+3)\) توسط هر دو مسیر

مشکل یک سیگنال توسط \(x(t) = t\) برای \(0 \le t \le 1\)، \(x(t) = 1\) برای \(1 \le t \le 2\) و \(x(t) = 0\) در جاهای دیگر تعریف می شود. \(y(t) = x(2t+3)\) را شرح دهید و پاسخ را با هر دو دستور عملیات تأیید کنید.

راه حل. از نقشه شاخص استفاده کنید. نقاط شکست \(x\) در \(\alpha = 0, 1, 2\) است و نقطه عطفی در \(\alpha\) در \(y\) در \(t = (\alpha - b)/a = (\alpha - 3)/2\) ظاهر می شود:

کار - نقشه برداری از نقاط شکست

\[ \alpha = 0 \to t = -\tfrac32, \qquad \alpha = 1 \to t = -1, \qquad \alpha = 2 \to t = -\tfrac12 \]

بنابراین \(y(t)\) برای \(t \lt -3/2\) صفر است، به صورت خطی از 0 به 1 بر روی \(-3/2 \le t \le -1\) افزایش می یابد، در 1 روی \(-1 \le t \le -1/2\) باقی می ماند و پس از آن صفر می شود. مدت زمان آن \(1\) است، دقیقاً نصف مدت زمان اصلی \(2\)، همانطور که فشرده سازی توسط \(a = 2\) نیاز دارد.

از طریق مسیر A (تغییر، سپس مقیاس) را بررسی کنید. اول \(v(t) = x(t+3)\)، پیشرفت 3، که نقاط شکست آن در \(-3, -2, -1\) قرار دارد. سپس فشرده کنید: \(v(2t)\) دارای نقاط شکست در نصف این مقادیر است، \(-3/2, -1, -1/2\). ✓

با مسیر B بررسی کنید (مقیاس، سپس شیفت). اول \(w(t) = x(2t)\)، نقاط شکست در \(0, 1/2, 1\). سپس توسط \(b/a = 3/2\) به سمت چپ حرکت کنید: نقاط شکست در \(-3/2, -1, -1/2\). ✓ اگر در این مسیر به جای \(3/2\) \(3\) جابه‌جا می‌شدیم، به \(-3, -5/2, -2\) می‌رسیدیم - پاسخ اشتباه کلاسیک، و پاسخی که بررسی مدت‌زمان متوجه نمی‌شود، زیرا مدت زمان در هر صورت درست است.

2 برگشت، فشرده سازی و جابجایی با هم

مشکل با توجه به \(x(t) = e^{-t}u(t)\)، \(y(t) = x(3-2t)\) را پیدا و توصیف کنید.

راه حل. استدلال را مستقیماً در تعریف جایگزین کنید. هر جا \(x\) دارای \(t\) است، \(3-2t\) را بنویسید:

در حال کار کردن

\[ y(t) = e^{-(3-2t)}\,u(3-2t) = e^{2t-3}\,u(3-2t) \]

وقتی \(3 - 2t \ge 0\) مرحله غیر صفر است، یعنی زمانی که \(t \le 3/2\) است. بنابراین \(y(t) = e^{2t-3}\) برای \(t \le 3/2\) و صفر بعد از آن: سیگنال سمت چپ که به صورت تصاعدی تا \(t = 3/2\) رشد می کند و در آنجا خاموش می شود. مقدار آن در لحظه سوئیچینگ \(e^{0} = 1\) است که مطابق با \(x(0) = 1\) است، زیرا \(t = 3/2\) دقیقاً جایی است که آرگومان \(3-2t\) برابر با 0 است.

تبدیل را به صورت ساختاری با فاکتورگیری بخوانید: \(3 - 2t = -2\big(t - \tfrac32\big)\). فاکتور \(-2\) 2 فشرده می شود و معکوس می شود. \(t - 3/2\) داخلی نقطه بازتاب را در \(t = 3/2\) قرار می دهد. یک سیگنال علّی به پادعلّی تبدیل شده است، این همان کاری است که معکوس همیشه انجام می دهد، و ثابت فروپاشی از 1 به 2 دو برابر شده است، این همان کاری است که فشرده سازی با 2 همیشه انجام می دهد.

3 قسمت های زوج و فرد یک نمایی یک طرفه

مشکل \(x(t) = e^{-2t}u(t)\) را به قسمت های زوج و فرد تجزیه کنید و بررسی کنید که انرژی آنها به \(E_x\) اضافه می شود.

راه حل. ابتدا بازتاب را شکل دهید: \(x(-t) = e^{2t}u(-t)\)، یک نمایی رو به رشد سمت چپ. سپس فرمول های تجزیه را اعمال کنید:

کار - دو بخش

\[ x_e(t) = \tfrac12\big[e^{-2t}u(t) + e^{2t}u(-t)\big] = \tfrac12 e^{-2|t|}, \qquad x_o(t) = \tfrac12\big[e^{-2t}u(t) - e^{2t}u(-t)\big] = \tfrac12 \operatorname{sgn}(t)\,e^{-2|t|} \]

فرم‌های فشرده دنبال می‌شوند زیرا برای \(t \gt 0\) فقط عبارت اول و \(|t| = t\) باقی می‌ماند، در حالی که برای \(t \lt 0\) فقط عبارت دوم و \(|t| = -t\) باقی می‌ماند. افزودن آنها \(e^{-2t}\) را برای \(t \gt 0\) و \(0\) را برای \(t \lt 0\)، که \(x(t)\) است، برمی گرداند. ✓

حالا انرژی ها اصل یک طرفه است:

کار - بررسی انرژی

\[ E_x = \int_0^{\infty} e^{-4t}\,dt = \tfrac14, \qquad E_{x_e} = \int_{-\infty}^{\infty}\tfrac14 e^{-4|t|}\,dt = \tfrac14\cdot 2\cdot\tfrac14 = \tfrac18 \]

مقدار قسمت فرد در همه جا به اندازه قسمت زوج است، از \(|\operatorname{sgn}(t)| = 1\)، بنابراین \(E_{x_o} = 1/8\) نیز. مجموع آنها \(1/8 + 1/8 = 1/4 = E_x\) است. ✓ انرژی خود را به طور مساوی تقسیم کرده است، که ویژگی سیگنال‌های یک طرفه است: برای سیگنالی که روی نیمی از محور صفر است، قسمت های زوج و فرد از نظر قدر تصاویر آینه ای هستند و باید انرژی را به طور مساوی تقسیم کنند.

4 تخریب، انبساط، و آنچه برای انرژی اتفاق می افتد

مشکل یک دنباله مقادیر \(1,2,3,4,5,6\) را در \(n = -2,-1,0,1,2,3\) می گیرد و در جای دیگر صفر است. \(y[n] = x[2n]\) و \(z[n] = x[n/2]\) را پیدا کنید و هر سه انرژی را با هم مقایسه کنید.

راه حل. برای سیگنال از بین رفته ارزیابی کنید\(x\)در شاخص های زوج:\(y[-1] = x[-2] = 1\), \(y[0] = x[0] = 3\), \(y[1] = x[2] = 5\)، و\(y[n] = 0\)در جای دیگر، از آن زمان\(x[2n]\)یک بار صفر است\(2n\)برگ\([-2,3]\). نمونه ها\(2, 4, 6\)- آنهایی که در شاخص های متضاد هستند - از بین رفته اند.

برای سیگنال گسترش یافته، \(x[m]\) را در \(n = 2m\) قرار دهید و صفر را بین: \(z[-4]=1,\ z[-2]=2,\ z[0]=3,\ z[2]=4,\ z[4]=5,\ z[6]=6\)، با \(z[n]=0\) در هر \(n\) عجیب و غریب قرار دهید.

کار کردن - سه انرژی

\[ E_x = 1+4+9+16+25+36 = 91, \qquad E_y = 1 + 9 + 25 = 35, \qquad E_z = 91 \]

انبساط انرژی را دقیقاً حفظ کرد، زیرا درج صفرها چیزی به مجموع مربع ها اضافه نمی کند. Decimation به 35 - و قانون زمان‌پیوسته داد\(E/|a|\)پیش بینی می کرد\(91/2 = 45.5\)، که در اینجا نه تنها دقیق نیست، بلکه بی معنی است: اگر نمونه های بزرگ به جای آن بر روی شاخص های فرد قرار می گرفتند، انرژی از بین رفته بود.\(4+16+36 = 56\)از همان سیگنال هیچ قانون مقیاس‌بندی برای کاهش ارزش وجود ندارد، فقط محاسبات است.

در نهایت، از بین بردن \(z\) \(x\): \(z[2n] = x[n]\) را برای هر \(n\) بازیابی می کند، زیرا decimator دقیقاً موقعیت هایی را انتخاب می کند که منبسط کننده نمونه های اصلی را در آن قرار داده است. معکوس کردن ترتیب ناموفق است — گسترش \(y\) به \(1,0,3,0,5\) روی محور پخش می شود و مقادیر \(2,4,6\) از آن قابل بازیابی نیستند.

5 انرژی و توان تحت مقیاس بندی

مشکل (الف) برای \(x(t) = 2\big[u(t)-u(t-3)\big]\)، انرژی \(x(t)\)، \(x(2t)\) و \(3x(t-5)\) را محاسبه کنید. (ب) برای \(x(t) = A\cos\omega_0 t\)، میانگین توان \(x(t)\) و \(x(2t)\) را محاسبه کنید.

راه حل (الف). سیگنال یک مستطیل با ارتفاع 2 و عرض 3 است، بنابراین \(E_x = 2^2 \times 3 = 12\).

برای \(x(2t) = 2\big[u(2t)-u(2t-3)\big] = 2\big[u(t)-u(t-\tfrac32)\big]\) - مراحل تغییر مقیاس می دهند زیرا \(u(2t-3) = u\big(2(t-\tfrac32)\big) = u(t-\tfrac32)\)، مرحله تحت تأثیر مقیاس پذیری مثبت آرگومان آن قرار نمی گیرد. این یک مستطیل با ارتفاع 2 و عرض \(3/2\) است، بنابراین \(E = 4 \times \tfrac32 = 6\)، که \(E_x/|a| = 12/2\) است. ✓

برای \(3x(t-5)\) تغییر چیزی تغییر نمی کند و ضریب دامنه به \(3^2\): \(E = 9 \times 12 = 108\) کمک می کند.

راه حل (ب). یک سینوسی با دامنه \(A\) دارای توان متوسط \(A^2/2\) از \(\overline{\cos^2} = 1/2\) است. فشرده سازی \(x(2t) = A\cos 2\omega_0 t\) را می دهد - هنوز هم یک سینوسی با دامنه \(A\)، بنابراین میانگین توان آن دوباره \(A^2/2\) است. انرژی در قسمت (الف) تغییر کرد و توان در قسمت (ب) تغییر نکرد، و دلیل در هر دو یکسان است: فشرده‌سازی زمان را حذف می‌کند، که کل را کاهش می‌دهد اما میانگین را به حال خود رها می‌کند.

6 کار کردن به سمت عقب نسبت به سیگنال تبدیل شده

مشکل یک سیگنال \(y(t)\) برابر با 1 برای \(1 \le t \le 2\) و در جاهای دیگر صفر است. (الف) اگر \(y(t) = x(2t-4)\)، \(x(t)\) را پیدا کنید. (ب) اگر همان \(y\) نیز برابر با \(w(3-t)\) باشد، \(w(t)\) را پیدا کنید.

راه حل (الف). به جای اعمال نقشه مشخصه، آن را معکوس کنید. \(\tau = 2t-4\) را بگذارید، بنابراین \(t = (\tau+4)/2\). تکیه‌گاه از \(y\) \(1 \le t \le 2\) است. ترجمه آن نقاط پایانی به \(\tau\) به \(\tau = 2(1)-4 = -2\) و \(\tau = 2(2)-4 = 0\) می رسد. بنابراین \(x(\tau) = 1\) در \(-2 \le \tau \le 0\):

کار - بخش (الف)

\[ x(t) = u(t+2) - u(t) \]

بررسی فورواردها: \(x(2t-4) = u(2t-2) - u(2t-4) = u(t-1) - u(t-2)\) که 1 در \((1,2)\) و در جاهای دیگر صفر است. ✓

راه حل (ب). \(\sigma = 3-t\) را بگذارید، بنابراین \(t = 3-\sigma\). نقطه پایانی \(t=1\) به \(\sigma = 2\) و \(t=2\) به \(\sigma = 1\) می دهد — به معکوس شدن نظم توجه کنید که بازتابی است که خود را قابل مشاهده می کند. بنابراین \(w(\sigma) = 1\) روی \(1 \le \sigma \le 2\)، \(w(t) = u(t-1) - u(t-2)\) را می دهد، که خود \(y\) است.

این تصادف شانس نیست. نقشه \(t \mapsto 3-t\) حدود \(t = 3/2\) را منعکس می‌کند و \(y\) با \(t = 3/2\) متقارن است، بنابراین انعکاس آن در آنجا آن را بدون تغییر برمی‌گرداند. هر زمان که یک سیگنال حتی در مورد نقطه انعکاس باشد، عملیات معکوس هیچ کاری انجام نمی دهد - نکته مفیدی است که قبل از شروع یک محاسبه طولانی باید به آن توجه کرد.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ دو خانواده

عملیات دامنه همان چیزی را که به نظر می رسد انجام می دهد. عملیات استدلال معکوس عمل می کند و هر تله در فصل در آنجا زندگی می کند.

✓ تغییر و معکوس

تاخیر \(x(t-t_0)\) برای \(t_0 \gt 0\)؛ \(x(-t)\) در مورد مبدا و \(x(2c-t)\) در مورد \(t=c\) منعکس می کند. \(E\) یا \(P\) هیچکدام تغییر نمی کند.

✓ پوسته پوسته شدن

هنگامی که \(a \gt 1\)، \(x(at)\) فشرده می شود. مدت زمان، مساحت و انرژی همه تقسیم بر \(|a|\). توان متوسط دست نخورده است.

✓ \(x(at+b)\)

Shift توسط \(b\) سپس مقیاس، یا مقیاس و سپس تغییر توسط \(b/a\). هنوز ایمن تر: \(at+b=\alpha\) را برای هر نقطه عطف حل کنید.

✓ زمان‌گسسته

شیفت ها باید اعداد صحیح باشند، decimation نمونه ها را از بین می برد و معکوس نیست، بسط صفر و هست را درج می کند.

✓ تقسیم زوج-فرد

\(x = \tfrac12[x(t)+x(-t)] + \tfrac12[x(t)-x(-t)]\)، منحصر به فرد، متعامد، و انرژی ها را اضافه می کند.

تمرین کنید

مشکلات

مسائل 1 تا 3 عملیات تک را مته می کنند. 4 تا 6 آنها را ترکیب کنید. 7 و 8 در مورد تقارن و انرژی هستند. در هر مشکل ترسیمی، قبل از ترسیم هر چیزی، نقشه نقطه عطف را فهرست کنید.

سیگنال \(x(t)\) ذوزنقه ای است: از 0 در \(t=-1\) به 2 در \(t=0\) افزایش می یابد، تا \(t=2\) روی 2 باقی می ماند و در \(t=3\) به 0 می رسد. طرحی از \(x(t-2)\)، \(x(-t)\)، \(x(3t)\) و \(x(t/2)\)، لیست نقاط شکست هر کدام.
برای همان \(x(t)\)، \(y(t) = x(2t+1)\) را با استفاده از مسیر A و سپس دوباره با استفاده از مسیر B ترسیم کنید و تأیید کنید که مسیر دوم به جای 1، به تغییر \(1/2\) نیاز دارد.
با توجه به \(x[n] = \{3, -1, 2, 4\}\) در \(n = 0,1,2,3\)، \(x[n-2]\)، \(x[-n]\)، \(x[-n+1]\) و \(x[2n]\) را به‌عنوان فهرست‌های نمونه صریح با محدوده‌های شاخص آنها بنویسید.
\(y(t) = x(4-3t)\) را به عنوان دنباله ای از عملیات ابتدایی بیان کنید که بر روی \(x(t)\) اعمال می شود و نقطه بازتاب و ضریب فشرده سازی را بیان می کند. سپس \(y(t)\) را برای \(x(t) = e^{-t}u(t)\) ارزیابی کنید.
سیگنال \(y(t)\) مثلثی است که از 0 در \(t=2\) به 1 در \(t=3\) افزایش می یابد و در \(t=5\) به 0 می رسد. با توجه به \(y(t) = x(t/2 - 1)\)، \(x(t)\) را بازسازی کنید و پاسخ خود را با جایگزینی بررسی کنید.
طرح \(x(t) = u(t+2) - 2u(t) + u(t-2)\) و سپس طرح \(x(-2t+1)\). توضیح دهید که چرا معکوس به تنهایی این سیگنال خاص را بدون تغییر می گذارد.
قسمت های زوج و فرد (الف) \(x(t) = e^{-t}u(t)\)، (ب) \(x[n] = u[n]\)، و (ج) \(x(t) = \cos t + \sin t\) را بیابید. برای قسمت (ب)، مقدار قسمت فرد را در \(n=0\) بیان کنید و توضیح دهید که چرا باید آن مقدار را بگیرد.
یک سیگنال دارای انرژی \(E = 20\) است. انرژی \(5x(t)\)، \(x(t-7)\)، \(x(-t)\)، \(x(4t)\) و \(x(-t/3 + 2)\) را بیابید. سپس توضیح دهید که چرا پاسخ آخر به \(+2\) بستگی ندارد.

نکته: قبل از ترسیم هر سیگنال تبدیل شده، نقشه برجسته \(t = (\alpha - b)/a\) را بنویسید و آن را در هر نقطه شکست اعمال کنید. اگر نقاط شکست نگاشت شده به ترتیب معکوس بیرون بیایند، \(a\) منفی بود و بازتاب قبلاً محاسبه شده است. این یک خط جایگزین هر قانون مربوط به تغییر مسیر و کشش یا فشار دادن می شود - و همان خطی است که دوباره به آن نیاز خواهید داشت، با \(\tau\) به جای \(t\)، در روز اول کانولوشن در فصل 7.