دسته‌بندی و ویژگی‌های سیستم‌ها

فصل‌های 1 تا 4 واژگانی برای سیگنال‌ها ایجاد کردند: چگونه آنها را طبقه‌بندی کنیم، کدام یک از موارد ابتدایی مهم هستند و چگونه آنها را در زمان حرکت دهیم. سیستم هر چیزی است که سیگنالی را وارد کرده و سیگنالی را خارج می کند. یک تقویت کننده، یک شبکه RC، یک میکروفون، یک حلقه کنترل، یک قطعه کد که میانگین ده نمونه آخر یک حسگر را می گیرد - همه آنها سیستم هستند و ریاضیات اهمیتی نمی دهد که کدام یک.

رابطه را به صورت \(x(t) \to y(t)\) یا به صورت \(y = T\{x\}\) بنویسید که در آن \(T\) یک عملگر است. این نماد دوم سزاوار مطالعه دقیق است. \(T\) یک عدد را به یک عدد نگاشت نمی کند. یک سیگنال کامل را به یک سیگنال کامل نگاشت می کند. به همین دلیل است که کوتاه‌نویسی رایج \(y(t) = T\{x(t)\}\) یک سوءاستفاده جزئی است: نشان می‌دهد که \(y\) در آن زمان \(t\) از \(x\) در همان \(t\) محاسبه می‌شود، که فقط برای ساده‌ترین سیستم‌ها صادق است. تاخیر یک ثانیه ای \(y(t)\) را از \(x(t-1)\) تولید می کند. یک انتگرال در حال اجرا \(y(t)\) را از کل گذشته \(x\) تولید می کند. نمای اپراتور برای هر دو فضا دارد.

دلیل طبقه بندی سیستم‌ها قبل از حل هر یک کاملاً عملی است. تقریباً هر تکنیکی در فصول باقی مانده این کتاب دارای یک شرط مجوز است. Convolution، در فصل 7، فقط برای سیستم‌هایی معتبر است که خطی و تغییرناپذیر با زمان هستند. توابع انتقال، پاسخ‌های فرکانس، قطب‌ها و صفرها - قسمت‌های 4، 5 و 7 - همگی همان شرایط را به ارث می‌برند. اگر سیستمی در آزمون شکست بخورد، هیچ یک از ماشین آلات اعمال نمی شود، و هیچ مقدار جبر محاسبه را نجات نمی دهد. بنابراین طبقه بندی دفترداری اولیه نیست. این مرحله است که به شما می گوید که آیا بقیه دوره در دسترس شما است یا خیر.

شش ویژگی کار را انجام می دهند، و آنها در سه جفت طبیعی هستند. حافظه و برگشت پذیری نشان می دهد که سیستم چه مقدار از ورودی استفاده می کند و چه مقدار از آن زنده می ماند. علّیت و پایداری توصیف می کند که آیا سیستم می تواند ساخته شود و آیا رفتار نادرست خواهد داشت یا خیر. تغییرناپذیری زمانی و خطی بودن دو موردی هستند که بیشترین اهمیت را دارند، زیرا با هم کلاسی را که این کتاب درباره آن است را مشخص می‌کند.

یک سیستم بدون حافظه یا ساکن است، اگر خروجی در هر لحظه فقط به ورودی در همان لحظه بستگی داشته باشد. در غیر این صورت حافظه دارد و به آن پویا می گویند. آزمون به خواندن این فرمول مربوط می شود: آیا سمت راست \(x\) را در هر استدلالی غیر از بحث حاضر ذکر می کند؟

یک مقاومت بدون حافظه است: \(v(t) = R\,i(t)\)، و ولتاژ اکنون به جریان فعلی بستگی دارد و به هیچ چیز دیگری. یک \(y[n] = x^2[n]\) مربع‌تر بدون حافظه است حتی اگر غیرخطی باشد - حافظه و خطی بودن سوالات مستقلی هستند. یک خازن بدون حافظه نیست، زیرا ولتاژ آن شارژ انباشته شده، \(v(t) = \tfrac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i(\tau)\,d\tau\) است و هر جریان گذشته در آن نقش دارد. تاخیر، تفاوت یا میانگین متحرک نیست.

دو مورد مردم را به دام می اندازد. اولین مورد \(y(t) = t\,x(t)\) است که بدون حافظه است: ضریب \(t\) ضریبی است که توسط ساعت خود سیستم ارائه می شود، نه یک نگاه دوم به ورودی. دومی \(y[n] = x[2n]\) است که بدون حافظه نیست: در \(n=3\) \(x[6]\) و \(6 \ne 3\) را گزارش می کند. قاعده در مورد استدلال \(x\) است، هرگز در مورد آنچه که در عبارت ظاهر می شود.

حافظه چیزی است که یک سیستم را جالب می کند، و همچنین چیزی است که آن را سخت می کند. در یک مدار، حافظه در عناصر ذخیره انرژی - خازن ها و سلف ها - زندگی می کند و هر یک از آنها یک نظم را به معادله دیفرانسیل توصیف کننده سیستم کمک می کنند. یک شبکه صرفاً مقاومتی بدون حافظه است و توسط جبر توصیف می شود. یک خازن اضافه کنید و معادلات دیفرانسیل فصل 9 اجتناب ناپذیر می شوند. حافظه نیز چیزی است که به شرایط اولیه نیاز دارد: یک سیستم بدون حافظه به هیچ نیازی ندارد، زیرا چیزی برای به خاطر سپردن ندارد.

یک سیستم معکوس پذیر است اگر ورودی های مجزا همیشه خروجی های متمایز تولید کنند. به طور معادل، یک سیستم دوم وجود دارد - معکوس - که در آبشار بعد از اول قرار می گیرد، سیگنال اصلی را برمی گرداند.

برای اثبات وارونگی، معکوس را بسازید. تقویت کننده \(y(t) = 5x(t)\) توسط یک تضعیف کننده بهره \(1/5\) معکوس می شود. تاخیر با پیشروی معکوس می شود. Acumulator \(y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\) با اولین تفاوت \(x[n] = y[n]-y[n-1]\) معکوس می شود، که دقیقاً رابطه بین گام و ضربه از فصل 3 است که به عنوان بیانیه ای در مورد سیستم‌ها خوانده می شود.

برای رد آن، دو ورودی متفاوت با خروجی یکسان تولید کنید - یک نمونه متقابل کافی است و معمولاً پیدا کردن آن آسان است. \(y(t) = x^2(t)\) مربع‌تر معکوس نیست، زیرا \(x\) و \(-x\) خروجی‌های یکسانی می‌دهند و علامت از بین رفته است. Decimator \(y[n] = x[2n]\) معکوس نیست، به دلیلی که در فصل 4 بیان شد: نمونه های شاخص فرد را کنار می گذارد، و دو سیگنال که فقط در آنجا متفاوت هستند در خروجی قابل تشخیص نیستند. سیستم \(y(t) = 0\) حالت شدیدی است که هر ورودی را به همان خروجی نگاشت می کند.

اگر خروجی در هر لحظه فقط به مقادیر حال و گذشته ورودی بستگی داشته باشد، یک سیستم علّی یا غیر پیش بینی کننده است، نه به مقادیر آینده. به طور رسمی: اگر دو ورودی برای همه \(t \le t_0\) موافق باشند، خروجی های مربوطه باید برای همه \(t \le t_0\) موافق باشند.

سیستم‌های فیزیکی که در زمان واقعی کار می کنند هیچ انتخابی در این مورد ندارند. یک فیلتر نمی تواند در ساعت نه به سیگنالی که ساعت ده می رسد پاسخ دهد. بنابراین علّیت خاصیتی است که آنچه را که می‌توان ساخت را از چیزی که فقط پس از آن محاسبه کرد جدا می‌کند - و استثنا مهم است: سیستمی که یک ضبط یا یک تصویر ذخیره‌شده را پردازش می‌کند، می‌تواند کاملاً مشروع به آینده نگاه کند، زیرا "آینده" از قبل روی دیسک است. فیلترهای غیر علت به طور معمول در پردازش صدا و تصویر آفلاین دقیقا به همین دلیل استفاده می شوند.

تست کردن دوباره بحث خواندن استدلال است. \(y[n] = x[n] - x[n-1]\) علّی است، زیرا فقط از نمونه فعلی و بلافاصله قبل استفاده می کند. \(y[n] = x[n+1] - x[n]\) نیست، زیرا محاسبه خروجی در \(n\) به نمونه ای نیاز دارد که هنوز وارد نشده است. \(y(t) = x(2t)\) علّی نیست: در \(t = 1\) به \(x(2)\) نیاز دارد، یک ثانیه در آینده. \(y(t) = x(t/2)\) برای \(t\) مثبت علّی است اما برای \(t\) منفی ناموفق است، جایی که \(t/2 \gt t\) — طبقه بندی باید برای همه \(t\) برقرار باشد، بنابراین سیستم غیر علّی است.

هر سیستم بدون حافظه به طور پیش پاافتاده ای علّی است: اگر خروجی فقط از ورودی فعلی استفاده کند، مطمئناً از ورودی آینده استفاده نمی کند. عکس آن نادرست است - تاخیر علت است و حافظه دارد - بنابراین حافظه و علّیت یک ویژگی نیستند، اگرچه اغلب اشتباه می شوند.

یک سیستم BIBO پایدار است - ورودی محدود، خروجی محدود - اگر هر ورودی محدود یک خروجی محدود تولید کند. این تعریف بر هر یک اصرار دارد و عدم تقارن زیر کلید پاسخگویی سریع به این سؤالات است.

\(y(t) = t\,x(t)\) را در نظر بگیرید. ورودی ثابت \(x(t) = 1\) را به آن بدهید، که با 1 محدود می شود. خروجی \(y(t) = t\) است که بدون محدودیت رشد می کند. یک مثال متضاد آن را حل می کند: سیستم ناپایدار است. توجه داشته باشید که مثال متقابل نباید عجیب و غریب باشد. ساده ترین سیگنال محدود کار را انجام داد، و معمولاً همینطور است.

در مرحله بعد اکومولاتور \(y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\) را در نظر بگیرید. آن را در پلهٔ واحد تغذیه کنید، با 1 محدود شده است. سپس \(y[n] = n+1\) برای \(n \ge 0\)، نامحدود، بنابراین انباشته ناپایدار است. همتای زمان‌پیوسته آن، یکپارچه ساز، به همان دلیل با همان ورودی از کار می افتد - که ارزش به خاطر سپردن دارد، زیرا یکپارچه سازها تقریباً در هر حلقه کنترلی ظاهر می شوند و ناپایداری آنها دقیقاً همان چیزی است که بازخورد اطراف برای مهار کردن آن وجود دارد.

برای یک مثال پایدار، \(y[n] = x^2[n]\) را در نظر بگیرید. اگر \(|x[n]| \le B\)، \(|y[n]| \le B^2\)، یک کران محدود است، بنابراین سیستم با وجود غیرخطی بودن، پایدار است. و \(y(t) = e^{x(t)}\) را بگیرید: اگر \(|x| \le B\) پس \(|y| \le e^{B}\). ثبات مربوط به محدود بودن است، نه خطی بودن یا صاف بودن.

یک سیستم مستحق هشدار است. \(y(t) = 1/x(t)\) ناپایدار است و مثال متقابل باید با کمی دقت ساخته شود: ورودی محدودی را انتخاب کنید که به صفر نزدیک شود، مانند \(x(t) = e^{-t}\) برای \(t \ge 0\). هرگز از 1 تجاوز نمی کند، اما خروجی \(e^{t}\) نامحدود است. برای دور ماندن از صفر نیازی به ورودی محدود نیست و هر سیستمی که بر ورودی آن تقسیم شود می‌توان از این طریق شکست خورد.

یک سیستم زمانی ثابت است که رفتار آن به زمان اعمال ورودی بستگی نداشته باشد. ورودی را به تأخیر بیندازید، و تنها تأثیر باید تأخیر یکسان خروجی باشد - شکل یکسان، همان اندازه، هیچ چیز دیگری تغییر نکرده است. یک سیستم زمان ناپذیر تقویم ندارد.

این تعریف باید به یک رویه تبدیل شود، زیرا استدلال غیر رسمی در مورد آن به طور قابل اعتمادی اشتباه می شود. این روش دو مسیر را از طریق یک جفت عملیات مقایسه می کند.

آن را روی \(y(t) = t\,x(t)\) اعمال کنید. در امتداد مسیر 1، ورودی تغییر یافته \(x_1(t) = x(t-t_0)\) را به سیستم ارائه دهید. سیستم هر آنچه را که داده می شود در زمان فعلی ضرب می کند، بنابراین \(y_1(t) = t\,x_1(t) = t\,x(t-t_0)\). در طول مسیر 2، ابتدا \(y(t) = t\,x(t)\) را محاسبه کنید، سپس کل خروجی را به تأخیر بیندازید، به این معنی که \(t\) را با \(t-t_0\) در همه جا جایگزین کنید: \(y_2(t) = (t-t_0)\,x(t-t_0)\).

این دو با فاکتور \(t\) با \(t-t_0\) تفاوت دارند، بنابراین سیستم با زمان متفاوت است. قرائت فیزیکی این است که بهره سیستم با گذشت روز افزایش می‌یابد، بنابراین سیگنالی که در ظهر اعمال می‌شود بیشتر از سیگنالی که در سحر اعمال می‌شود، تقویت می‌شود. واریانس زمانی دقیقاً به این معنی است. متداول ترین اشتباه در این محاسبه فراموشی جایگزینی \(t\) با \(t-t_0\) در ضریب صریح در مسیر 2 است - تغییر روی سیگنال خروجی به عنوان یک کل اعمال می شود، نه به طور انتخابی برای قطعات مربوط به \(x\).

همین آزمایش دو سیستم از فصل 4 را حذف می کند. برای زمان معکوس \(y(t) = x(-t)\): مسیر 1 \(y_1(t) = x_1(-t) = x(-t-t_0)\) را می دهد، در حالی که مسیر 2 \(y_2(t) = x(-(t-t_0)) = x(-t+t_0)\) را می دهد. متفاوت است، بنابراین معکوس با زمان متغیر است - انعکاس در مورد مبدأ به مبدأ وضعیت خاصی می بخشد، و یک سیستم تغییرناپذیر با زمان مجاز به داشتن آن نیست. برای حذف \(y[n] = x[2n]\): مسیر 1 \(y_1[n] = x_1[2n] = x[2n-n_0]\)، مسیر 2 \(y_2[n] = x[2(n-n_0)] = x[2n-2n_0]\) می دهد. دوباره متفاوت است، و اختلاف - \(n_0\) در برابر \(2n_0\) - نشان می‌دهد که تغییر خود با این عملیات تغییر مقیاس می‌یابد.

اگر سیستمی از برهم نهی پیروی کند خطی است. دو شرط دخیل است: افزایشی بودن، که پاسخ به یک مجموع مجموع پاسخ ها باشد، و همگنی، که مقیاس گذاری ورودی، خروجی را با همان عامل مقیاس می کند. آنها در یک عبارت واحد ترکیب می شوند که معمولاً کارآمدترین چیز برای آزمایش است.

سریعترین رد صلاحیت، آزمون ورودی صفر است. \(a = b = 0\) را در دستور برهم نهی قرار دهید: یک سیستم خطی باید سیگنال صفر را به سیگنال صفر نگاشت کند. بنابراین اگر یک سیستم یک خروجی غیر صفر از ورودی صفر تولید کند، نمی تواند خطی باشد و نیازی به کار بیشتر نیست. سیستم \(y(t) = 2x(t) + 5\) فوراً از کار می افتد، زیرا \(x = 0\) به \(y = 5\) می دهد.

این سیستم آخر آموزنده است، زیرا بدیهی است که آسیب شناسی نیست - این یک تقویت کننده با افست DC است، چیزی که یک مرحله آپ امپ واقعی همیشه تولید می کند. به چنین سیستم‌هایی خطی افزایشی می گویند: آنها در تغییرات ورودی خطی هستند، حتی اگر در خود ورودی خطی نباشند. تغذیه دو ورودی \(x_1\) و \(x_2\). خروجی ها با \(2(x_1 - x_2)\) متفاوت است، که از برهم نهی تبعیت می کند. به طور معادل، قسمت ثابت را کم کنید و آنچه باقی می ماند یک سیستم واقعاً خطی است.

این تجزیه - یک پاسخ ورودی صفر به اضافه یک پاسخ حالت صفر خطی - یک کنجکاوی نیست. این دقیقاً ساختاری است که فصل 9 در هر معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه غیر صفر پیدا می کند و به همین دلیل است که یک سیستم با انرژی ذخیره شده با پردازش انرژی ذخیره شده و ورودی اعمال شده به طور جداگانه تجزیه و تحلیل می شود و سپس اضافه می شود.

سیستم‌های غیرخطی واقعی با ورودی هایی که به هر شکلی غیر از توان اول ظاهر می شوند، شناسایی می شوند:\(x^2\), \(|x|\), \(\cos(x)\), \(1/x\)، یا محصولات ورودی با خودش مانند\(x[n]x[n-1]\). ضرب ورودی در سیگنالی که سیستم ارائه می کند موضوعی متفاوت است و خطی بودن را نمی شکند - که ما را به با ارزش ترین مشاهدات در این فصل می رساند.

سیستم‌ها به ندرت به تنهایی مواجه می شوند. سه اتصال متقابل استاندارد ترسیم شده در بخش 5-1 - آبشار، موازی و بازخورد - سیستم‌های بزرگ را از سیستم‌های کوچک می‌سازند، و دانستن اینکه کدام ویژگی‌ها در مونتاژ باقی می‌مانند، ارزش دارد.

اتصالات آبشاری و موازی رفتار خوبی دارند. اگر هر دو بلوک خطی باشند، ترکیب نیز همینطور است، زیرا یک ترکیب و مجموع عملگرهای خطی خطی است. همین آرگومان برای تغییر ناپذیری زمانی، علّیت و پایداری کار می کند: یک ورودی محدود یک سیگنال میانی محدود می دهد که یک خروجی محدود می دهد. بازخورد مورد جالبی است و دلیل وجود قسمت 7 و کل تئوری کنترل است: یک حلقه می تواند یک سیستم پایدار را ناپایدار کند، و - مفیدتر - می تواند یک سیستم ناپایدار را پایدار کند، زیرا خروجی اکنون اجازه دارد خودش را اصلاح کند.

یک احتیاط در مورد آبشارها: دو سیستم ناپایدار جداگانه می توانند در یک سیستم پایدار ترکیب شوند. یک انتگرال‌کننده را با یک ممشتق‌گیریکننده آبشاری کنید و نتیجه آن هویت است که کاملاً پایدار است، هرچند که یکپارچه‌کننده به تنهایی پایدار نیست. خصوصیات یک آبشار تنها زمانی از خواص قطعات ناشی می شود که خاصیت توسط ترکیب حفظ شود و ثبات در این جهت نباشد.

از شش مورد، دو مورد برای بقیه کتاب مشخص شده است. سیستمی که هم خطی و هم با زمان ثابت باشد، سیستم LTI نامیده می‌شود و دلیل تأکید قبلاً در پایان فصل 3 قابل مشاهده بود. در آنجا نشان دادیم که هر سیگنال مجموعی از ضربه‌های مقیاس‌شده و جابجا شده، \(x[n] = \sum_k x[k]\delta[n-k]\) است. حالا ببینید این دو ملک با آن مجموع چه می کنند.

خطی بودن می‌گوید که پاسخ به مجموع، مجموع پاسخ‌های هر جمله است و فاکتورهای مقیاس \(x[k]\) مستقیماً از آن عبور می‌کنند. تغییر ناپذیری زمان می گوید که پاسخ به \(\delta[n-k]\) پاسخ به \(\delta[n]\) است که صرفاً توسط \(k\) به تأخیر افتاده است - بنابراین یک تابع واحد، پاسخ ضربه \(h[n]\)، برای هر عبارت کافی است. هیچ کدام از این ویژگی ها به تنهایی کافی نیستند: بدون خطی بودن، نمی توان اصطلاحات را اضافه کرد، و بدون تغییر ناپذیری زمانی، هر ضربه تغییر یافته به تابع پاسخ جداگانه خود نیاز دارد.

مسائل 1 تا 5 طبقه بندی کامل را می طلبد. 6 و 7 مربوط به اتصالات و نمونه های متقابل است. 8 از شما می خواهد یک جمله کلی را ثابت کنید. برای هر حکم منفی، مثال متقابل صریح را بیاورید - ادعای "پایدار نبودن" یا "خطی نبودن" بدون مثال متضاد ضمیمه هیچ سودی ندارد.