- چرا خطی بودن و تغییرناپذیری زمانی با هم ارزش یک بخش کامل از این کتاب را دارند، در حالی که هیچ کدام به تنهایی اهرم زیادی نمی‌کند.
- برهم نهی در شکل کاری خود - که از دو جمله به یک مجموع بی نهایت گسترش یافته است - و فرض آرامی که بسط شامل می شود.
- پاسخ ضربه \(h[n]\) و \(h(t)\): شرح کامل یک سیستم LTI که به صورت یک سیگنال نوشته شده است.
- یک مشتق کامل از مجموع کانولوشن \(y[n]=\sum_k x[k]h[n-k]\) از تجزیه ضربه فصل 3، در چهار خط.
- استدلال پلکانی که این مجموع را به انتگرال کانولوشن \(y(t)=\int x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau\) تبدیل می کند.
- چرا \(e^{st}\) و \(z^n\) توابع ویژه هر سیستم LTI هستند، و چگونه این واقعیت واحد تبدیل‌های لاپلاس، فوریه و \(z\) قسمت‌های 3 تا 7 را ایجاد می‌کند.
- آنچه که فرض LTI مستثنی می‌کند - تعدیل‌کننده‌ها، نمونه‌برها، مربع‌کننده‌ها، تقویت‌کننده‌های بایاس - و اینکه مهندسان چگونه به استفاده از آن ادامه می‌دهند.
چرا این یک کلاس سزاوار یک بخش کامل است
فصل 5 شش ویژگی را که یک سیستم ممکن است داشته باشد ارائه کرد و گالری از نمونه‌ها را در مقابل هر کدام آزمایش کرد. این طبقه بندی بود. اکنون دلیل طبقه بندی می آید: دو مورد از آن شش ویژگی، و تنها آن دو، به اندازه کافی قوی هستند که یک نظریه کلی را ممکن کنند.
در نظر بگیرید که "حل" یک سیستم در حالت کلی به چه معناست. سیستم قانونی است که کل سیگنال ورودی را به کل سیگنال خروجی نگاشت می کند. برای شناخت کامل یک سیستم کلی، باید به ازای هر ورودی قابل تصور، خروجی آن به شما گفته شود - یک فهرست غیرقابل شمارش، و مفیدتر از خود سیستم نیست. هیچ میانبری، هیچ فرمولی، هیچ توضیح فشرده ای وجود ندارد. این وضعیت عادی است و ناامیدکننده است.
حالا خطی بودن را تحمیل کنید. ناگهان کاتالوگ می تواند کوچک شود، زیرا دانستن خروجی های مجموعه ای از سیگنال‌های پایه، خروجی های هر ترکیبی از آنها را به شما می گوید. تغییر ناپذیری زمان را نیز تحمیل کنید، و کاتالوگ بیشتر فرو می‌ریزد: دیگر نیازی به یک ورودی در هر سیگنال پایه ندارید، زیرا سیگنال‌های پایه همه جابجایی‌های زمانی یکدیگر هستند و سیستم شیفت‌ها را به‌عنوان شیفت تلقی می‌کند. بین آنها، دو ویژگی یک کاتالوگ بی نهایت را به یک ورودی کاهش می دهند.
آن یک ورودی پاسخ ضربه است. این فصل آن را به دست می آورد. فصل 3 مؤلفه لازم را ارائه کرد - این واقعیت که هر سیگنال مجموعه ای از ضربه های تغییر یافته و مقیاس شده است - و این نوید را داد که پاسخ یک سیستم به یک ضربه، پاسخ آن را به همه چیز مشخص می کند. در اینجا این قول حفظ می شود و نتیجه عملیاتی است که بقیه قسمت 2 حول آن می چرخد.
خطی بودن، به کار انداختن
\(T\{\cdot\}\) را برای سیستم بنویسید، به طوری که \(y = T\{x\}\) به معنای "\(y\) چیزی است که سیستم هنگام ورود \(x\) تولید می کند". فصل 5 سیستم را خطی تعریف می کند که مقیاس و جمع مستقیم از آن عبور می کنند.
فرم ترکیبی آن چیزی است که باید به خاطر بسپارید، و بلافاصله گسترش می یابد. آن را با گروه بندی دو جمله، سپس چهار، سپس هر عدد متناهی، به سه عبارت اعمال کنید، و القاء به شکلی که ما واقعاً می خواهیم از آن استفاده کنیم، برهم نهی می دهد.
ورودی را به قطعاتی که می توانید انجام دهید تجزیه کنید، پاسخ هر قطعه را جداگانه پیدا کنید، سپس پاسخ ها را با همان ضرایب اضافه کنید. این استراتژی «تجزیه، پاسخ، سوپرپوزی» در فصل 1 است و خطی بودن دقیقاً مجوز استفاده از آن است.
دو پیامد به طور همزمان به دنبال دارد و هر دو به عنوان آزمایش سریع استفاده می شوند. اول، تنظیم \(a = 0\) به \(T\{0\} = 0\) می دهد: یک سیستم خطی در حالت سکون و بدون ورودی نباید خروجی تولید کند. سیستمی که خروجی آن بدون توجه به ورودی دارای یک ترم ثابت است - مثلاً تقویت کننده ای با افست DC - نمی تواند خطی باشد. دوم، پاسخ به \(-x\) \(-y\) است، بنابراین یک سیستم خطی نمی تواند تصحیح، گیره یا اشباع کند، زیرا هر سه ورودی های مثبت و منفی را به طور متفاوتی رفتار می کنند.
اولین آزمایش یک خانواده مشترک از سیستم‌ها را در یک خط از بین می برد و ارزش نامگذاری خانواده را دارد. سیستمی مانند \(y[n] = 2x[n] + 5\) نه از افزایشی پیروی می‌کند و نه از همگنی، با این حال به وضوح «غیرخطی» به معنای مشکل‌ساز نیست: این یک سیستم خطی با یک ثابت اضافه است. چنین سیستم‌هایی خطی افزایشی نامیده می شوند - پاسخ به تغییر در ورودی خطی است حتی اگر پاسخ به ورودی نباشد. تعمیر استاندارد کار با انحرافات از یک نقطه عملیاتی است، که چگونه تقویت کننده ترانزیستوری، به عنوان یک دستگاه کاملا غیر خطی، با ابزارهای خطی تجزیه و تحلیل می شود.
تغییر ناپذیری زمان، به کار انداختن
خاصیت دوم می گوید که سیستم اهمیتی ندارد ساعت چند است. امروز یک آزمایش را اجرا کنید و فردا آن را با همان ورودی تکرار کنید، و بعداً همان خروجی را دریافت خواهید کرد. به طور رسمی، تاخیر در ورودی، خروجی را به همان میزان به تاخیر می اندازد و هیچ چیز دیگری را تغییر نمی دهد.
راه تمیز برای تصویر کردن این به عنوان یک جفت مسیر است که باید توافق کنند. جابجایی و سپس پردازش باید همان سیگنال پردازش و سپس جابجایی را بدهد - بلوک تاخیر و رفت و آمد بلوک سیستم. هر آزمون عملی برای عدم تغییر زمانی این نمودار است که به صورت جبری نوشته شده است: مسیر بالا را محاسبه کنید، مسیر پایین را محاسبه کنید، مقایسه کنید.
فصل 5 آزمون را در عمل نشان داد، و شکست های اطلاعاتی ارزش یادآوری را دارند زیرا در سراسر این کتاب تکرار می شوند. مدولاتور \(y(t) = x(t)\cos(\omega_c t)\) کاملاً خطی است اما از کار می‌افتد، زیرا حامل به مبدأ زمانی میخ می‌شود: جابجایی ورودی، حامل را با آن جابجا نمی‌کند. کمپرسور \(y[n] = x[2n]\) خطی است و همچنین از کار می‌افتد، زیرا جابه‌جایی یک نمونه در ورودی به‌عنوان جابه‌جایی نیم نمونه در خروجی ظاهر می‌شود، که اصلاً شیفت نیست. هر دوی اینها سیستم‌های مفید و روزمره هستند - آنها به سادگی خارج از نظریه‌ای هستند که این فصل می‌سازد، و قسمت‌های 6 و 7 آنها را با ابزارهای خاص خود درمان می‌کنند.
امضای عملی عدم تغییر زمانی این است که ضرایب توصیف کننده سیستم به \(t\) یا \(n\) بستگی ندارند. مقاومتی که مقدار آن ثابت است مداری با زمان ثابت می دهد. مقاومتی که با دست چرخانده نمی شود. دقیقاً به همین دلیل است که فصل 9 خود را به معادلات دیفرانسیل و تفاضل با ضرایب ثابت محدود می کند.
دو با هم
سیستمی که هر دو ویژگی را داشته باشد، خطی زمان ثابت نامیده می شود که به طور کلی LTI به اختصار خوانده می شود. هیچ کدام از این ویژگی ها به تنهایی کار زیادی انجام نمی دهند: خطی بودن بدون تغییرناپذیری زمانی هنوز پاسخ متفاوتی را برای هر لحظه به جا می گذارد، و عدم تغییر زمانی بدون خطی بودن، تجزیه را به طور کامل ممنوع می کند. آنها با هم بیانیه ای را تولید می کنند که نوشتن آن کوچک و در نتیجه عظیم است.
فرض کنید پاسخ سیستم به یک سیگنال خاص \(p(t)\) را می دانید و آن را \(q(t)\) می نامید. عدم تغییر زمان پاسخ \(p(t-t_0)\) را به ازای هر \(t_0\) به شما می گوید - \(q(t-t_0)\)، رایگان است. سپس خطی بودن پاسخ به هر ترکیب وزنی از آن تغییرات را به شما می گوید. بنابراین، از یک جفت ورودی-خروجی، پاسخ کل خانواده کپی‌های کوچک‌شده و تغییر یافته \(p\) را دریافت می‌کنید.
تغییر مقیاس و تغییر مقیاس ورودی و تغییر خروجی به طور یکسان، و نتایج اضافه می شود. هر چیز دیگری در قسمت 2 این عبارت برای یک \(p\) است که به خوبی انتخاب شده است.
سوال این است که کدام \(p\) را انتخاب کنید و فصل 3 قبل از پرسیدن سوال به آن پاسخ داد. اگر بتوان کل مجموعه سیگنال را به صورت کپی های کوچک شده و جابجا شده از یک سیگنال نوشت، آن سیگنال انتخاب درستی است. دقیقاً یک کاندید آن ویژگی را دارد: واحد ضربه، زیرا \(x[n] = \sum_k x[k]\delta[n-k]\) می‌گوید که هر سیگنال قبلاً یک مجموع وزنی از ضربه‌های جابه‌جایی است، با وزنه‌هایی که در دید ساده به عنوان نمونه‌های خود سیگنال قرار دارند.
پاسخ ضربه و جمع کانولوشن
پاسخ ضربه را به گونه ای تعریف کنید که سیستم با ضربه واحد اعمال شده در مبدا انجام می دهد:
این یک سیگنال است که از یک آزمایش به دست می آید. ادعای این بخش این است که برای یک سیستم LTI این فقط یک توضیح نیست، بلکه توضیح است: این سیستم حاوی هیچ اطلاعاتی نیست که \(h\) قبلاً آن را حمل نکرده باشد. زمان‌گسسته آن را در چهار خط ثابت می کند که هر خط دقیقاً از یک ویژگی استفاده می کند.
نردبان را از بالا به پایین بخوانید. اولین پله تعریف \(h\) است. دومی از عدم تغییر زمانی استفاده می‌کند: یک ضربه که با تاخیر به نمونه‌های \(k\) می‌رسد، همان پاسخ را ایجاد می‌کند، نمونه‌های \(k\) با تاخیر. سومی از همگنی استفاده می‌کند، و مشروع است زیرا \(x[k]\) یک عدد ثابت است - مقدار نمونه در شاخص \(k\) - تابعی از متغیر در حال اجرا \(n\) نیست. چهارمی از قابلیت افزودنی در تمام \(k\) به طور همزمان استفاده می کند. ستون سمت چپ آخرین پله، تجزیه ضربه ای فصل 3 است، یعنی به سادگی \(x[n]\) است. بنابراین ستون سمت راست \(y[n]\) است و ما آن را داریم.
خروجی هر سیستم LTI زمان‌گسسته، کانولوشن ورودی با پاسخ ضربه است. \(h[n]\) را به من بدهید و من می‌توانم پاسخ هر ورودی موجود را محاسبه کنم، بدون اینکه چیز دیگری در مورد سیستم بدانم.
ارزش آن را دارد که آنچه به دست آمده را به صراحت بگوییم، زیرا جبر آنقدر کوتاه است که آن را پنهان کند. یک سیستم به طور کلی یک شی با پیچیدگی بی نهایت است - نقشه ای بین فضاهای تابع. برای کلاس LTI آن شی با یک سیگنال معمولی و یک عملیات حسابی جایگزین شده است. دو سیستم با یک پاسخ ضربه یکسان هستند. یک سیستم با انتخاب \(h\) طراحی می شود. در آزمایشگاه با اندازه گیری \(h\) شناسایی می شود. با درهم آمیختن با \(h\) شبیه سازی شده است. فصل 7 به محاسبه آن پیچیدگی و فصل 8 به خواندن ویژگی های سیستم - حافظه، علّیت، پایداری، برگشت پذیری - به طور مستقیم از \(h\) اختصاص دارد.
از جمع تا انتگرال
زمان‌پیوسته به همان آرگومان با یک مرحله اضافی نیاز دارد، زیرا چیزی به نام "نمونه در \(t = \tau\)" وجود ندارد تا به عنوان ضریب عمل کند. تعمیر باید ابتدا به صورت تقریبی انجام شود و در انتها محدودیتی در نظر گرفته شود.
یک پالس باریک \(\delta_\Delta(t)\) با عرض \(\Delta\) و ارتفاع \(1/\Delta\) تعریف کنید - همان پالس فصل 3 که برای ایجاد ضربه استفاده می شود. محور زمان را به بازه های عرض \(\Delta\) و \(x(t)\) تقریبی توسط پلکانی که مقدار \(x(k\Delta)\) را در بازه \(k\)-امین نگه می دارد، برش دهید. هر پله یک کپی کوچک شده و جابجا شده از آن پالس است، بنابراین پلکان دقیقاً مجموعی از نوع خاصی است که دارایی اصلی است.
فاکتور \(\Delta\) وجود دارد زیرا \(\delta_\Delta\) دارای ارتفاع \(1/\Delta\) است، بنابراین ضرب در \(\Delta\) ارتفاع واحد را بازیابی می‌کند و پله واقعاً روی \(x(k\Delta)\) می‌نشیند. اکنون اجازه دهید \(\hat{h}_\Delta(t)\) پاسخ سیستم به تک پالس \(\delta_\Delta(t)\) باشد. ویژگی master بلافاصله به کل راه پله پاسخ می دهد:
اکنون \(\Delta\) را کوچک کنید. سه چیز در آن واحد اتفاق می افتد و هر کدام حد یک شیء معمولی است. پلکان \(\hat{x}\) به \(x\) تمایل دارد. پالس باریک \(\delta_\Delta\) به ضربه تمایل دارد، بنابراین پاسخ آن \(\hat{h}_\Delta\) به پاسخ ضربه \(h\) تمایل دارد. و مجموع بیش از \(k\)، با \(k\Delta \to \tau\) و \(\Delta \to d\tau\)، به یک انتگرال ریمان تمایل دارد. آنچه باقی می ماند همتای زمان‌پیوسته مجموع کانولوشن است.
از نظر ساختار با مجموع یکسان است: هر پاسخ ضربه جابجا شده را با مقدار ورودی در آن لحظه وزن کنید و انباشته کنید. انتگرال بیش از \(\tau\) است. \(t\) پارامتری است که در حین انجام انتگرال ثابت نگه داشته می شود و پاسخ تابعی از آن است.
همین نتیجه را می توان در یک خط با شروع از شکل غربال کردن تجزیه ضربه، \(x(t) = \int x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau\)، و اعمال ویژگی اصلی به انتگرال به دست آورد. این اشتقاق کوتاهتر است اما محدودیت را پنهان می‌کند: با \(\delta\) به گونه‌ای رفتار می‌کند که گویی یک سیگنال معمولی است که می‌تواند به یک سیستم وارد شود، که فصل 3 هشدار داد که هرگز کاملاً درست نیست. استدلال راه پله دقیقاً به این دلیل طولانی تر است که صادقانه است - هر شیء موجود در آن یک پالس واقعی با ارتفاع محدود تا آخرین مرحله است.
نمایی به عنوان توابع ویژه
ضربه ها تنها تجزیه مفید نیستند، و دومی احتمالاً توانمندتر است. فصل 1 بیان کرد که نمایی های پیچیده بدون تغییر شکل از سیستم‌های LTI عبور می کنند. با در دست داشتن انتگرال کانولوشن، این ادعا به اثبات دو خطی تبدیل می شود.
\(x(t) = e^{st}\) را با هر عدد مختلط \(s = \sigma + j\omega\) در انتگرال کانولوشن قرار دهید. استفاده از شکل معادل انتگرال که در آن شیفت روی \(h\) قرار می گیرد به جای ورودی راحت است. جایگزینی \(\lambda = t-\tau\) یکی را به دیگری تبدیل می کند، همانطور که فصل 7 به طور کامل بیان می کند:
مرحله ای که مهم است بیرون کشیدن \(e^{st}\) از انتگرال است، و مجاز است زیرا متغیر انتگرال‌گیری \(\tau\) است نه \(t\). آنچه باقی می ماند یک انتگرال است که اصلاً \(t\) در آن وجود ندارد: یک عدد مختلط ساده که فقط به \(s\) و سیستم بستگی دارد. اسمش را \(H(s)\) بگذارید.
نمایی به صورت نمایی یکسان، ضرب در یک ثابت مختلط می آید. سیستم نمی تواند شکل، سرعت رشد یا فرکانس خود را تغییر دهد - فقط دامنه و فاز آن.
کلمه تابع ویژه به عمد از جبر خطی وام گرفته شده است. بردار ویژه یک ماتریس، برداری است که ماتریس نمی تواند بچرخد، فقط کشیده می شود. \(e^{st}\) سیگنالی است که سیستم LTI نمی تواند آن را تغییر شکل دهد، فقط مقیاس می شود. و \(H(s)\)، ضریب کشش، مقدار ویژه است. موازی دقیق است، زیرا یک سیستم خطی یک عملگر خطی در فضایی از سیگنال‌ها است و کانولوشن ماتریس آن است.
مابقی کتاب از اینجا آمده است. اگر بتوان یک سیگنال را به صورت ترکیبی از نمایی نوشت، آنگاه با برهم نهی خروجی همان ترکیب است که هر جمله در \(H\) خودش ضرب می‌شود - و کانولوشن، یک انتگرال، با ضرب جایگزین شده است که حسابی است. سری فوریه (فصل 10) سیگنال‌های دوره ای را به صورت مجموع \(e^{j\omega_0 kt}\) می نویسد. تبدیل فوریه (فصل 13) سیگنال‌های غیر دوره ای را به عنوان انتگرال های \(e^{j\omega t}\) می نویسد. تبدیل لاپلاس (فصل 17) از \(e^{st}\) عمومی و تبدیل \(z\) (فصل 23) از \(z^n\) استفاده می کند. چهار تبدیل، یک انگیزه، و آن کادر بالا است.
یک مورد خاص سزاوار توجه جداگانه است زیرا آن چیزی است که یک آزمایشگاه در واقع اندازه گیری می کند. \(s = j\omega\) را تنظیم کنید، بنابراین ورودی \(e^{j\omega t}\) نمایی حامل سینوسی خالص است و \(H(j\omega) = |H(j\omega)|e^{j\angle H(j\omega)}\) را بنویسید. برای سیستمی با \(h(t)\) با ارزش واقعی، تغذیه در \(\cos\omega t = \tfrac12(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})\) و روی هم قرار دادن دو پاسخ مزدوج یک سینوسی واقعی را به دست می‌دهد.
فرکانس دست نخورده باقی می ماند. فقط دامنه و فاز تغییر می کند و هر دو از عدد مختلط واحد \(H(j\omega)\) خوانده می شوند. این کل محتوای عبارت "پاسخ فرکانس" است و به همین دلیل است که یک فیلتر را می توان با منحنی افزایش در مقابل فرکانس مشخص کرد. فصل 15 آن را به درستی توسعه می دهد. در اینجا نتیجه ای از دو ویژگی و یک انتگرال است.
محدوده و محدودیت های فرض LTI
همه چیز در بالا بر روی هر دو ویژگی است که دقیقاً نگهداری می شوند. ارزش آن را دارد که درمورد مواردی که در صورت شکست هر کدام از دست می‌رود و اینکه کلاس LTI واقعاً چقدر بزرگ است، روشن باشیم.
عدم تغییر زمان را کاهش دهید، اما خطی بودن را حفظ کنید، و پاسخ ضربه ناپدید نمی شود - یک آرگومان دوم به دست می آورد. پاسخ به یک ضربه اعمال شده در زمان \(\tau\) اکنون مقداری \(h(t,\tau)\) است که به طور جداگانه به زمان رسیدن ضربه و زمانی که شما نگاه می کنید بستگی دارد، نه فقط به زمان سپری شده \(t-\tau\). برهم نهی همچنان اعمال می شود، بنابراین یک فرمول معتبر باقی می ماند.
فرمول صحیح است اما بسیار ضعیف تر است: \(h(t,\tau)\) تابعی از دو متغیر است، نمایی ها دیگر توابع ویژه نیستند و هیچ تبدیلی انتگرال را به یک محصول تبدیل نمی کند. به جای آن خطی بودن را رها کنید و حتی این مقدار هم از بین رفته است - هیچ تجزیه و برهم نهی وجود ندارد و هر ورودی باید بر اساس شرایط خاص خود مدیریت شود.
جدول زیر سیستم‌هایی را که این کتاب مرتباً به آنها بازمی‌گردد مرتب می‌کند. با خواندن آن، توجه کنید که چه تعداد بلوک آشنا و مفید خارج از کلاس LTI قرار می گیرند.
| سیستم | خطی | تغییرناپذیر با زمان | نظر دهید |
|---|---|---|---|
| \(y(t) = 3x(t)\) | بله | بله | LTI; \(h(t) = 3\delta(t)\) |
| \(y(t) = x(t-3)\) | بله | بله | LTI; \(h(t) = \delta(t-3)\) |
| \(y(t) = dx/dt\) | بله | بله | LTI; \(h(t) = \delta'(t)\)، دوتایی |
| \(y(t) = t\,x(t)\) | بله | خیر | سود بستگی به ساعت دارد |
| \(y(t) = x(t)\cos\omega_c t\) | بله | خیر | مدولاتور دامنه - حامل روی \(t=0\) ثابت شده است |
| \(y[n] = x[2n]\) | بله | خیر | نمونه‌برداری پایین یک جابجایی در تبدیل به نیمه شیفت خارج می شود |
| \(y[n] = x^2[n]\) | خیر | بله | مربع فرکانس های جدید تولید می کند |
| \(y[n] = 2x[n] + 5\) | خیر | بله | به صورت تدریجی خطی؛ \(T\{0\} \ne 0\) |
| \(y[n] = n\,x[n]\) | بله | خیر | سود رو به رشد؛ ناپایدار و متغیر با زمان |
نیمی از جدول شکست خورده است. با این حال، تئوری این بخش به طور مداوم برای سیستم‌های واقعی اعمال می‌شود که، به طور دقیق، در نیمه خراب هستند - و دلیل آن این است که خرابی‌ها معمولاً ملایم هستند. تقویت کننده ترانزیستوری غیر خطی است، اما در اطراف یک نقطه بایاس ثابت، انحرافات از یک قانون خطی برای دقت عالی پیروی می کنند، که مدل سیگنال کوچک است. یک ماهواره با سوزاندن سوخت در زمان تغییر می کند، اما جرم آن در طول ساعت تغییر می کند در حالی که پویایی نگرش آن در ثانیه ثابت می شود، بنابراین در هر بازه زمانی که مهم باشد، تغییرناپذیر است. حتی یک مدولاتور LTI می شود اگر بپذیرید آن را در فریمی که با حامل می چرخد تجزیه و تحلیل کنید.
مهارت مهندسی این است که بدانیم چه زمانی تقریب ایمن است و چه زمانی نیست. تقویت کننده را به اندازه کافی محکم برانید و قطع می شود: مدل سیگنال کوچک هیچ اخطاری نمی دهد، زیرا قطع کردن دقیقا همان چیزی است که خطی بودن رفتار ممنوع است. این حالت شکست - مدلی که عالی است تا زمانی که به طور فاجعه‌باری اشتباه نشود - ارزش به خاطر سپردن را دارد هر بار که یک تحلیل LTI روی یک دستگاه فیزیکی استفاده می‌شود.
نمونه های کار شده
مشکل تعیین کنید که آیا هر سیستم خطی، تغییرناپذیر با زمان، یا هر دو است: (الف) \(y(t) = t\,x(t)\); (ب) \(y[n] = x[n] + 3\)؛ (ج) \(y[n] = x[n] - x[n-1]\).
راه حل (الف). برای خطی بودن، در \(a x_1 + b x_2\) تغذیه کنید: خروجی \(t\big(ax_1(t)+bx_2(t)\big) = a\,t x_1(t) + b\,t x_2(t)\) است که \(a y_1 + b y_2\) است. خطی. برای تغییر ناپذیری زمانی، دو مسیر نمودار رفت و آمد را با هم مقایسه کنید. Shift-then-operate به \(t\,x(t-t_0)\) می دهد. Operate-then-Shift به معنای جایگزینی \(t\) با \(t-t_0\) در همه جای عبارت خروجی است که به \((t-t_0)\,x(t-t_0)\) می‌دهد. اینها متفاوت هستند، بنابراین سیستم با زمان متفاوت است. خطی، نه LTI.
راه حل (ب). ورودی صفر \(y[n] = 3 \ne 0\) می دهد، بنابراین خطی بودن یکباره از بین می رود. عدم تغییر زمان: هر دو مسیر \(x[n-n_0]+3\) را می دهند. این به طور تدریجی خطی است - تفاوت بین دو خروجی \(x_1[n]-x_2[n]\) است که در اختلاف ورودی ها خطی است.
راه حل (ج). خطی بودن آنی است زیرا عبارت یک مجموع وزنی از نمونه های ورودی است. برای تغییر ناپذیری زمانی، shift-then-operate به \(x[n-n_0] - x[n-n_0-1]\) می دهد. Opera-State-Shift \(n\) را با \(n-n_0\) جایگزین می‌کند و همان چیزی را می‌دهد. LTI — و این اولین تفاوت فصل 3 است که پاسخ ضربه آن \(h[n] = \delta[n]-\delta[n-1]\) است.
مشکل پاسخ ضربه (a) \(y[n] = x[n] - 2x[n-1] + x[n-3]\) را بیابید. (ب) میانگین متحرک سه نقطه ای \(y[n] = \tfrac13\big(x[n]+x[n-1]+x[n-2]\big)\). (ج) یکپارچه ساز کشویی پیوسته \(y(t) = \int_{t-T}^{t} x(\tau)\,d\tau\).
راه حل (الف) و (ب). هر دو قبلاً به‌عنوان مجموع وزنی ورودی‌های جابه‌جایی نوشته شده‌اند، بنابراین جایگزینی \(x[n] = \delta[n]\) و استفاده از \(\delta[n-k]\) برای هر عبارت جابجا شده، پاسخ را مستقیماً می‌خواند:
به طور معادل \(h_a\) دنباله \(\{1,-2,0,1\}\) است که از \(n=0\) شروع می شود و \(h_b\) \(\{\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13\}\) است. هرگاه یک سیستم به عنوان یک ترکیب خطی ثابت از ورودی های جابجا شده توصیف شود، پاسخ ضربه آن چیزی بیش از فهرستی از ضرایب نیست.
راه حل (ج). جایگزین \(x(\tau) = \delta(\tau)\). انتگرال \(\int_{t-T}^{t}\delta(\tau)\,d\tau\) برابر است با 1 زمانی که مبدا در بازه انتگرال‌گیری قرار دارد و در غیر این صورت 0 است. مبدا دقیقاً زمانی که \(0 \lt t \lt T\) \(t-T \lt 0 \lt t\) را برآورده می کند، بنابراین
یک پالس مستطیلی با ارتفاع و عرض واحد \(T\). سیستم دقیقاً آخرین \(T\) ثانیه‌ها را "به یاد می‌آورد" و همه آنها را به یک اندازه وزن می‌کند، که دقیقاً همان چیزی است که شکل \(h_c\) می‌گوید.
مشکل یک سیستم LTI دارای \(h[n] = \{1, 2, -1\}\) برای \(n = 0,1,2\) و در جاهای دیگر صفر است. پاسخ آن را به \(x[n] = 2\delta[n] - \delta[n-1] + 3\delta[n-3]\) بیابید.
راه حل. ورودی در حال حاضر مجموعه ای از ضربه های تغییر یافته مقیاس شده است، بنابراین ویژگی اصلی به طور مستقیم اعمال می شود - هیچ ماشین کانولوشنی مورد نیاز نیست. هر ضربه یک کپی کوچک شده و جابجا شده از \(h\) ایجاد می کند:
اکنون سه مشارکت را جدول بندی کنید. اصطلاح \(2h[n]\) \(\{2,4,-2\}\) را در \(n=0,1,2\) قرار می دهد. اصطلاح \(-h[n-1]\) \(\{-1,-2,1\}\) را در \(n=1,2,3\) قرار می دهد. اصطلاح \(3h[n-3]\) \(\{3,6,-3\}\) را در \(n=3,4,5\) قرار می دهد. اضافه کردن ستون به ستون:
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2h[n]\) | 2 | 4 | −2 | 0 | 0 | 0 |
| \(-h[n-1]\) | 0 | −1 | −2 | 1 | 0 | 0 |
| \(3h[n-3]\) | 0 | 0 | 0 | 3 | 6 | −3 |
| \(y[n]\) | 2 | 3 | −4 | 4 | 6 | −3 |
بنابراین \(y[n] = \{2, 3, -4, 4, 6, -3\}\) برای \(n = 0\) به \(5\). این جدول کانولوشن است - فصل 7 دقیقاً این طرح را به عنوان روش دستی استاندارد رسمی می کند.
مشکل نمونه‌برداری کوچک \(y[n] = x[2n]\) است. پاسخ ضربه آن را محاسبه کنید، سپس پاسخ آن را به \(x[n] = \delta[n-1]\) محاسبه کنید. نشان دهید که مجموع کانولوشن پاسخ اشتباهی می دهد و دلیل آن را توضیح دهید.
راه حل. تنظیم \(x[n] = \delta[n]\) به \(h[n] = \delta[2n]\) می دهد. از آنجایی که \(2n = 0\) تنها زمانی که \(n=0\)، و \(2n\) هرگز با هیچ عدد صحیح دیگری که \(\delta\) غیر صفر است، برابر نیست، \(h[n] = \delta[n]\). تنها با این اندازه گیری، سیستم مانند یک سیم ساده به نظر می رسد.
اکنون \(x[n] = \delta[n-1]\) را مستقیماً اعمال کنید. خروجی \(y[n] = x[2n] = \delta[2n-1]\) است و \(2n-1\) برای هر عدد صحیح \(n\) فرد است، بنابراین هرگز صفر نمی شود: \(y[n] = 0\) برای همه \(n\). سیستم ورودی را به طور کامل می بلعد.
کانولوشن چه چیزی را پیش بینی می کرد؟ با \(h[n] = \delta[n]\)، مجموع \(\sum_k \delta[k-1]\,h[n-k] = h[n-1] = \delta[n-1]\) - ورودی بدون تغییر منتقل می شود. این خروجی نیست. پیش‌بینی شکست می‌خورد زیرا پله دوم نردبان در بخش 6-5، تغییرناپذیری زمانی بود، و این سیستم آن را ندارد: دانستن پاسخ به یک ضربه در \(n=0\) هیچ چیزی در مورد پاسخ به یک ضربه در \(n=1\) به شما نمی‌گوید. پاسخ ضربه یک توصیف کامل فقط برای سیستم‌های LTI است، و این مثال دلیلی است که هرگز واجد شرایط حذف نمی شود.
مشکل یک سیستم LTI علّی دارای \(h(t) = e^{-2t}u(t)\) است. پاسخ آن را به \(x(t) = e^{j3t}\) و سپس به \(x(t) = \cos 3t\) بیابید.
راه حل. از آنجایی که \(e^{st}\) یک تابع ویژه است، هیچ کانولوشن لازم نیست - فقط مقدار ویژه. \(H(s)\) را در \(s = j3\) ارزیابی کنید:
حد پایین 0 به جای \(-\infty\) است زیرا \(h(\tau)\) برای \(\tau \lt 0\) ناپدید می شود، و حد بالایی با ارائه \(\operatorname{Re}\{s\} \gt -2\) همگرا می شود که \(s = j3\) برآورده می کند. از این رو
که قدر آن \(1/\sqrt{13} = 0.2774\) و زاویه آن \(-\arctan(3/2) = -56.31^\circ\) است. بنابراین پاسخ به \(e^{j3t}\) \(0.2774\,e^{j(3t - 56.31^\circ)}\) است.
برای کسینوس واقعی، از نتیجه پاسخ فرکانسی استفاده کنید: خروجی یک کسینوس در همان فرکانس است که توسط \(|H(j3)|\) مقیاس شده و در فاز با \(\angle H(j3)\) تاخیر دارد.
تلاش را مقایسه کنید: یک انتگرال کانولوشن با یک جایگزینی به یک فرمول و یک تقسیم پیچیده جایگزین شده است. این صرفه جویی، که در هر فرکانس به طور همزمان تکرار می شود، همان چیزی است که قسمت های 3 تا 5 برای آن هستند.
مشکل یک سیستم LTI فقط از طریق یک آزمایش شناخته می شود: زمانی که ورودی باشد\(x_1(t) = u(t)-u(t-1)\)، خروجی\(y_1(t)\)مثلثی است که از 0 در بالا می رود\(t=0\)به 1 در\(t=1\)و بازگشت به 0 در\(t=2\). الف) بدون یافتن\(h(t)\)، تعیین پاسخ به\(x_2(t) = u(t)-u(t-1) + 2\big[u(t-2)-u(t-3)\big]\). (ب) اکنون پیدا کنید\(h(t)\)خود را از همان آزمایش واحد.
راه حل (الف). توجه داشته باشید که \(x_2\) به طور کامل از \(x_1\) ساخته شده است: براکت دوم \(2x_1(t-2)\) است، بنابراین \(x_2(t) = x_1(t) + 2x_1(t-2)\). ویژگی اصلی بلافاصله بدون اطلاع از \(h\) پاسخ می دهد:
یعنی همان مثلثی که \(0 \le t \le 2\) را اشغال می کند، به اضافه یک مثلث ارتفاعی 2 که \(2 \le t \le 4\) را اشغال می کند. آنها در \(t=2\) ملاقات می کنند، جایی که هر دو صفر هستند، بنابراین مجموع یک مثلث با ارتفاع 1 و به دنبال آن یک مثلث با ارتفاع 2 است.
راه حل (ب). از همان تجزیه در جهت دیگر استفاده کنید. از آنجایی که \(x_1(t) = u(t) - u(t-1)\)، خطی بودن و عدم تغییر زمانی، \(y_1(t) = s(t) - s(t-1)\) را می دهد، جایی که \(s\) پاسخ گامی سیستم است. ممشتق‌گیری کردن، و استفاده از \(h = ds/dt\) - که صدق می کند زیرا مشتق‌گیری خود LTI است، بنابراین با سیستم رفت و آمد می کند -
این مثلث دارای شیب \(+1\) در \((0,1)\) و \(-1\) در \((1,2)\) است، بنابراین \(dy_1/dt = u(t) - 2u(t-1) + u(t-2)\). تطبیق عبارت به ترم با \(h(t)-h(t-1)\) \(h(t) = u(t) - u(t-1)\) را به دست می دهد: سیستم یکپارچه کننده کشویی یک ثانیه ای مثال 2(c) با \(T=1\) است. بررسی مستقیم است - یک مستطیل در هم پیچیده با خودش یک مثلث است که فصل 7 به صراحت آن را محاسبه می کند.
خلاصه فصل
خطی بودن به اضافه عدم تغییر زمان: ورودی های مقیاس شده و جابجا شده، خروجی های تغییر یافته و مقیاس شده را به دست می دهند. هر نتیجه ای در اینجا از آن ناشی می شود.
\(h[n] = T\{\delta[n]\}\)، \(h(t) = T\{\delta(t)\}\). برای یک سیستم LTI این یک توصیف کامل است - هیچ چیز دیگری لازم نیست.
\(y[n] = \sum_k x[k]h[n-k]\)، مشتق شده در چهار مرحله: تعریف، تغییرناپذیری زمانی، مقیاس‌بندی، افزایشی.
\(y(t) = \int x(\tau)h(t-\tau)d\tau\)، با کوچک کردن تقریب راه پله ورودی به عرض صفر به دست می آید.
\(e^{st} \to H(s)e^{st}\) و \(z^n \to H(z)z^n\). کانولوشن تبدیل به ضرب می شود و هر تبدیل در این کتاب به دنبال آن است.
سیستم‌های خطی اما متغیر با زمان، برهم نهی را با هسته \(h(t,\tau)\) یکپارچه نگه می دارند. سیستم‌های غیر خطی چیزی را حفظ نمی کنند.
مشکلات تمرین
مسائل 1 تا 3 آزمون اموال است. 4 تا 6 پاسخ ضربه و ویژگی اصلی را اعمال می کنند. 7 و 8 از شما می خواهند که خود مشتقات را بازتولید کنید، که مطمئن ترین راه برای داشتن آنهاست.
- هر سیستم را برای خطی بودن و عدم تغییر زمانی آزمایش کنید، هر دو مسیر نمودار رفت و آمد را در صورت لزوم نشان دهید: (الف) \(y(t) = x(t/2)\). (ب) \(y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\)؛ (ج) \(y(t) = x(t)\,x(t-1)\); (د) \(y[n] = \cos\big(x[n]\big)\).
- نشان دهید که \(y[n] = 4x[n] - 7\) خطی نیست، سپس نشان دهید که سیستم مربوط به \(x_1[n]-x_2[n]\) به \(y_1[n]-y_2[n]\) LTI است و پاسخ ضربه آن را ارائه دهید.
- یک سیستم توسط \(y(t) = x(t)\cos(2\pi t)\) توصیف شده است. بررسی کنید که خطی است، سپس یک ورودی خاص و یک شیفت خاص که دو مسیر نمودار رفت و آمد با آن مخالف است پیدا کنید و دو خروجی را به صراحت بیان کنید.
- پاسخ ضربه (a) \(y[n] = x[n+1] - 2x[n] + x[n-1]\) را بیابید. (ب) \(y(t) = \tfrac{1}{2}\big[x(t) + x(t-4)\big]\)؛ (ج) \(y(t) = \int_{-\infty}^{t} e^{-(t-\tau)}x(\tau)\,d\tau\).
- یک سیستم LTI دارای \(h[n] = \{3, -1, 2\}\) در \(n = 0,1,2\) است. با استفاده از ویژگی master و جدولی مانند جدول Worked Example 3، پاسخ \(x[n] = \delta[n] + 2\delta[n-2] - \delta[n-4]\) را پیدا کنید.
- یک سیستم LTI پیوسته دارای \(h(t) = e^{-4t}u(t)\) است. \(H(j\omega)\) را پیدا کنید، سپس پاسخ حالت ماندگار را به \(x(t) = 5\cos(3t) + 2\cos(8t)\) محاسبه کنید، هر دو دامنه و هر دو تغییر فاز را بر حسب درجه می دهد. در مورد اینکه سیستم با این دو جزء چه می کند نظر دهید.
- مشتق جمع کانولوشن از تجزیه ضربه را بازتولید کنید و در هر یک از چهار مرحله دقیقاً مشخص کنید که از کدام ویژگی استفاده می شود. سپس توضیح دهید که اشتقاق برای سیستم \(y[n] = x[n]x[n-1]\) کجا و کجا برای \(y[n] = x[2n]\) خراب می شود.
- با شروع از تقریب پلکان، انتگرال کانولوشن را استخراج کنید و توضیح دهید که چرا ضریب \(\Delta\) باید در عبارت \(\hat{x}(t)\) ظاهر شود. سپس نشان دهید که اجازه دادن به \(x(t) = \delta(t)\) در انتگرال تمام شده \(y(t) = h(t)\) را همانطور که باید برمی گرداند.