کانولوشن و پاسخ ضربه

فصل ششم با یک فرمول و یک وعده به پایان رسید. فرمول \(y[n] = \sum_k x[k]h[n-k]\) بود. وعده این بود که به هر سوال در مورد یک سیستم LTI پاسخ می دهد. کاری که انجام نداد این بود که به شما بگوید چگونه آن را ارزیابی کنید، و عبارت همانطور که نوشته شده به راحتی اشتباه خوانده می شود. این فصل در مورد انجام محاسبه است.

با خواندن جمع با صدای بلند به زبان استنتاج آن شروع کنید. ورودی \(x[k]\) لیستی از وزن های ضربه ای است. هر وزنه یک کپی از پاسخ ضربه را راه اندازی می کند که با تاخیر در \(k\) شروع می شود. در زمان مشاهده \(n\)، نسخه راه اندازی شده در \(k\) برای نمونه های \(n-k\) اجرا شده است، بنابراین در حال حاضر \(x[k]\,h[n-k]\) را ارائه می دهد. خروجی در زمان \(n\) مجموع هر نسخه ای است که هنوز کمک می کند.

بنابراین معکوس قراردادی نیست که کسی تحمیل کرده باشد. این به این دلیل به وجود می آید که دو ساعت به طور همزمان کار می کنند: \(k\) زمانی که یک مشارکت راه اندازی شده است، \(n\) زمانی که ما نگاه می کنیم علامت گذاری می کند، و آنچه برای \(h\) اهمیت دارد تفاوت است. هر گاه دو ساعت با هم در یک عبارت واحد ظاهر شوند، یکی از آنها باید نسبت به دیگری به سمت عقب حرکت کند.

قبل از محاسبه هر چیزی، یک ویژگی ارزش در دست داشتن دارد. جایگزین کردن \(m = n-k\) در مجموع، به طوری که \(k = n-m\) و \(m\) مانند \(k\) روی همه اعداد صحیح اجرا شود، \(\sum_k x[k]h[n-k]\) را به \(\sum_m h[m]x[n-m]\) تبدیل می کند. دو شکل با هم برابرند.

هر کانولوشن، در هر حوزه، همان چهار عملیات است. یک شاخص خروجی \(n\) را اصلاح کنید و در حین کار با آن به عنوان یک ثابت رفتار کنید. تمام ترسیم‌ها بر اساس متغیر ساختگی \(k\) انجام می‌شود - این همان نقطه‌ای است که اکثر خطاها در آن انجام می‌شود، زیرا غریزه طبیعی این است که به ترسیم در برابر \(n\) ادامه دهیم.

مرحله 2 مستحق مراقبت است. برای بدست آوردن\(h[n-k]\)از\(h[-k]\)شما جابجا می شوید\(n\)به سمت راست وقتی\(n\)مثبت است، زیرا\(h[n-k] = h[-(k-n)]\)- سیگنال معکوس به گونه ای جابجا شده است که نقطه مرجع آن قرار دارد\(k=n\). یک لنگر مفید: نمونه از\(h\)که در بود\(k=0\)قبل از اینکه چرخش به پایان برسد در\(k=n\)بعد از هر دو عملیات پیدا کنید که یک نمونه و کل دنباله معکوس قرار داده شده است.

مرحله 4 یک عدد تولید می کند. برای دریافت کل سیگنال خروجی، مراحل 2 تا 4 را برای هر \(n\) تکرار می کنید، به همین دلیل است که مهارت عملی انجام یک مجموع نیست، بلکه تشخیص محدوده های \(n\) است که مجموع آنها شکل یکسانی دارد. برای سیگنال‌های با طول محدود، این محدوده‌ها آسان هستند: مجموع تا زمانی که دو دنباله شروع به همپوشانی کرده و پس از گذشتن از یکدیگر دوباره خالی می‌شوند، خالی است.

\(x[n] = \{1, 2, 3\}\) را برای \(n = 0,1,2\) و \(h[n] = \{3, 1, 2\}\) را برای \(n = 0,1,2\)، هر دو در جای دیگر صفر بگیرید، و دستور را اجرا کنید. دو پانل اول زیر سیگنال‌هایی هستند که در برابر \(k\) رسم شده اند. سومین پاسخ ضربه معکوس و جابجا شده برای انتخاب خاص \(n = 2\) است که در بالای \(x[k]\) ترسیم شده است تا محصولات همپوشانی را بتوان خواند.

پانل سوم را با دستور غذا بررسی کنید. چرخاندن \(h[k] = \{3,1,2\}\) به \(h[-k]\) می‌دهد، که رتبه 3 را در \(k=0\)، 1 را در \(k=-1\) و 2 را در \(k=-2\) قرار می‌دهد. جابجایی به راست توسط \(n=2\) مقدار 3 را به \(k=2\)، 1 را به \(k=1\) و 2 را به \(k=0\) منتقل می کند. بنابراین، دنباله معکوس و جابجا شده، از چپ به راست از \(k=0\)، \(\{2, 1, 3\}\) است - این همان چیزی است که ساقه‌های طلا نشان می‌دهند. ضرب در برابر \(x[k] = \{1,2,3\}\) و جمع کردن \(1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot3 = 13\) می دهد، بنابراین \(y[2] = 13\).

اکنون مقادیر دیگر \(n\) را اجرا کنید. برای \(n \lt 0\) توالی معکوس کاملاً در سمت چپ \(x\) قرار دارد و هیچ همپوشانی وجود ندارد، بنابراین \(y[n] = 0\). در \(n=0\) فقط یک جفت همپوشانی دارد، در \(n=1\) دو جفت، در \(n=2\) هر سه، و پس از آن همپوشانی دوباره کوچک می‌شود تا زمانی که در \(n=5\) از بین می‌رود. نوشتن چهار مبلغ باقی مانده:

خروجی کامل \(y[n] = \{3, 7, 13, 7, 6\}\) برای \(n = 0\) تا \(4\) است. قبل از حرکت به دو چیز ارزش توجه دارد. اول، پاسخ پنج نمونه طولانی است، اگرچه هر دو ورودی سه بودند - کانولوشن یک سیگنال را پخش می کند، و بخش 7-4 آن مشاهده را به یک قانون تبدیل می کند. دوم اینکه مجموع نمونه های خروجی \(3+7+13+7+6 = 36\) است که دقیقاً \((1+2+3)(3+1+2) = 6 \times 6\) است. این هم تصادفی نیست.

کانولوشن گرافیکی درک را ایجاد می کند اما کند است. برای دنباله‌های با طول محدود، دو میانبر محاسبه را تقریباً مکانیکی می‌کنند و هر دو در شرایط امتحان ارزش آماده شدن را دارند.

اولین مورد جدول ضرب است. \(x\) را در بالا بنویسید و \(h\) را در سمت پایین بنویسید، هر سلول را با حاصل ضرب ورودی‌های ردیف و ستون پر کنید، سپس ضد قطرها را اضافه کنید. هر پاد مورب به ترتیب یک نمونه خروجی است.

ضد قطرها را از گوشه بالا سمت چپ به بیرون بخوانید: \(3\); سپس \(6+1 = 7\)؛ سپس \(9+2+2 = 13\)؛ سپس \(3+4 = 7\)؛ سپس \(6\). نتیجه \(\{3,7,13,7,6\}\) با محاسبه گرافیکی به دست آمده در کسری از زمان مطابقت دارد.

دلیل این کار این است که کانولوشن ضرب چند جمله ای است. با هر دنباله یک چند جمله ای مرتبط کنید که ضرایب آن نمونه های آن است - با استفاده از \(z^{-1}\) برای تاخیر، که دقیقاً ارتباطی است که فصل 23 به عنوان تبدیل \(z\) رسمیت می بخشد:

جمع آوری توان های مشابه در یک محصول چند جمله ای دقیقاً ضد قطرها را اضافه می کند و توان \(z^{-1}\) شاخص نمونه است. این هویت بذر یکی از مفیدترین حقایق در کل موضوع است: کانولوشن در زمان تبدیل به ضرب در حوزه تبدیل می شود. همه چیز از فصل 13 به بعد همان جمله است که تعمیم یافته است.

میانبر دوم قانون طول است که قبل از محاسبه یک محصول واحد به شما می گوید که پاسخ کجاست.

این قانون مستقیماً از آرگومان همپوشانی ناشی می شود. اولین \(n\) که در آن هر چیزی همپوشانی داشته باشد، نمونه‌ای است که در آن اولین نمونه از \(h\) برگردانده شده با اولین نمونه \(x\)، که در \(n = n_{\text{start}}(x) + n_{\text{start}}(h)\) اتفاق می‌افتد، ملاقات می‌کند. آخرین جایی است که نمونه های نهایی به هم می رسند. شمارش فراگیر بین آنها به \(N+M-1\) می دهد و "\(-1\)" صرفاً به این دلیل است که هر دو انتها شمارش می شوند.

همراه با قانون مساحت، این سه بررسی مستقل در هر کانولوشن متناهی ارائه می‌دهد: اولین نمونه باید با حاصلضرب دو نمونه اول، آخرین نمونه باید برابر حاصلضرب دو نمونه آخر باشد و کل باید برابر حاصلضرب دو کل باشد. در مورد کار شده: \(3 = 1\times3\) ✓، \(6 = 3\times2\) ✓، \(36 = 6\times6\) ✓.

زمان‌پیوسته از همان چهار مرحله استفاده می کند که مجموع ها با انتگرال ها و ساقه ها با ناحیه ها جایگزین می شوند. انتگرال به ندرت دشوار است - معمولاً محصول نمایی یا ثابت است. مشکل حدود انتگرال است، زیرا محدوده ای که دو سیگنال روی آن همپوشانی دارند با تغییر \(t\) تغییر می کند و بنابراین پاسخ فرمول های مختلفی در فواصل مختلف \(t\) دارد.

همه چیز در برابر \(\tau\) ترسیم شده است، و \(t\) در طول انتگرال‌گیری ثابت است - لغزنده ای که قبل از شروع تنظیم می کنید. سیگنال \(h(t-\tau)\) که به عنوان تابعی از \(\tau\) خوانده می شود، \(h\) معکوس شده و سپس ترجمه می شود تا نقطه آرگومان صفر آن در \(\tau = t\) قرار گیرد. اگر \(h\) علّی است، به طوری که \(h(\tau) = 0\) برای \(\tau \lt 0\)، \(h(t-\tau)\) فقط برای \(\tau \lt t\) غیر صفر است: پاسخ ضربه معکوس همه چیز را در سمت چپ اشغال می کند.

آن مشاهده منفرد انتگرال کلی را برای رایج ترین مورد در مهندسی فرو می ریزد. اگر هر دو سیگنال علّی باشند، انتگرال ناپدید می‌شود مگر اینکه \(0 \lt \tau \lt t\)، و حدود انتگرالی نامتناهی محدود شوند.

با رفع این حدود انتگرال، کانولوشن‌های نمایی عادی می‌شوند. \(x(t) = e^{-a t}u(t)\) و \(h(t) = e^{-b t}u(t)\) را با \(a \ne b\) بگیرید. برای \(t \ge 0\)،

ترفندی که باعث شد آن کار کند بیرون کشیدن \(e^{-bt}\) از انتگرال است که قانونی است زیرا متغیر انتگرال‌گیری \(\tau\) است. آنچه باقی می ماند یک انتگرال نمایی ابتدایی است. دو بررسی عقلانی: در \(t=0\) پاسخ صفر است، زیرا باید اینطور باشد زیرا فاصله انتگرال‌گیری از بین رفته است. و از آنجایی که \(t\) رشد می‌کند، هر دو اصطلاح کاهش می‌یابند، با کندی‌تر - کوچک‌تر \(a\) و \(b\) - در نهایت غالب می‌شود. نتیجه سیگنالی است که از صفر بالا می‌رود، اوج می‌گیرد و با کندتر از دو ثابت زمانی که شکل مشخصه دو مرحله مرتبه اول در آبشار است، کاهش می‌یابد.

مورد \(a = b\) را نمی توان با جایگزینی به دست آورد زیرا مخرج ناپدید می شود. باید جداگانه انجام شود با \(b=a\) انتگرال تبدیل به \(e^{-a\tau}e^{-a(t-\tau)} = e^{-at}\) می شود، مستقل از \(\tau\)، بنابراین انتگرال فقط \(e^{-at}\) برابر طول بازه است:

هنگامی که سیگنال‌ها مدت زمان محدودی دارند، همپوشانی به سادگی رشد نمی کند - رشد می کند، سپس اشباع می شود و سپس کوچک می شود. هر مرحله فرمول متفاوتی می دهد و تمام هنر در شناسایی فازها و مرزهای آنهاست. روش همیشه یکسان است: سیگنال معکوس را از \(-\infty\) به \(+\infty\) بکشید و هر مقدار \(t\) را که در آن یال یک سیگنال از لبه دیگری عبور می کند، یادداشت کنید. این گذرگاه ها مرزهای منطقه هستند.

روی کیس استاندارد کار کنید. اجازه دهید\(x(t)\)یک پالس واحد ارتفاع روشن باشد\(0 \lt t \lt 2\)و\(h(t)\)یک پالس ارتفاع واحد روشن است\(0 \lt t \lt 3\). توطئه علیه\(\tau\)، سیگنال\(x(\tau)\)ثابت شده است\([0,2]\)و نبض معکوس\(h(t-\tau)\)اشغال می کند\([t-3,\;t]\)، پنجره ای با عرض 3 که لبه سمت راست آن در موقعیت لغزنده قرار دارد\(t\).

بنابراین، چهار مرز در \(t=0\)، \(t=2\)، \(t=3\) و \(t=5\)، پنج منطقه را از هم جدا می‌کنند - که دو ناحیه بیرونی به طور پیش پا افتاده صفر هستند. هر مرز یک گذر از لبه است: در \(t=0\) لبه سمت راست پنجره به لبه چپ \(x\) می رسد. در \(t=2\) به لبه سمت راست \(x\) می رسد. در \(t=3\) لبه چپ پنجره به لبه چپ \(x\) می رسد. در \(t=5\) از لبه سمت راست عبور می کند و به پایان می رسد. از آنجا که هر دو سیگنال دارای ارتفاع واحد هستند، انتگرال در هر منطقه به سادگی طول همپوشانی است.

چک ها را اعمال کنید. نتیجه از \(t=0\) تا \(t=5\)، و \(0+0=0\)، \(2+3=5\) - نسخه زمان‌پیوسته قانون طول، که مدت زمان اضافه می‌شود، اجرا می‌شود. مساحت زیر ذوزنقه \(\tfrac12(2)(2) + (1)(2) + \tfrac12(2)(2) = 2+2+2 = 6\) است و مساحت دو مستطیل 2 و 3 است که حاصل ضرب آنها 6 است.

دو مورد خاص ارزش ثبت کردن را دارد. اگر مستطیل ها دارای عرض مساوی \(T\) باشند، ناحیه مسطح دارای طول صفر است و ذوزنقه به یک مثلث پایه \(2T\) و قله \(T\) در \(t=T\) تبدیل می شود. و هر مستطیلی پهن‌تر باشد، طول ناحیه مسطح برابر با اختلاف عرض است - بنابراین شکل پاسخ بلافاصله به شما می‌گوید که ورودی‌ها چقدر نابرابر بوده‌اند.

دو کانولوشن به قدری اتفاق می افتد که محاسبه آنها از ابتدا هدر دادن تلاش است. هر دو به طور مستقیم از ویژگی های ضربه ای فصل 3 پیروی می کنند.

اولین مورد کانولوشن با یک ضربه است. الک کردن فوراً آن را نشان می دهد: \(\int x(\tau)\delta(t-t_0-\tau)\,d\tau\) \(x\) را در نقطه ای که آرگومان ضربه ناپدید می شود، یعنی \(\tau = t-t_0\)، خاموش می کند.

از آنجایی که کانولوشن در هر آرگومان خطی است، این به مجموع ضربه ها گسترش می یابد. درگیر شدن با \(\sum_k a_k\delta(t - t_k)\) \(\sum_k a_k x(t-t_k)\) را تولید می کند - سیگنالی که در هر مکان ضربه ای تکرار می شود و با وزنه ها مقیاس می شود. مورد خاصی که در آن ضربه ها یک قطار یکنواخت را تشکیل می دهند، \(\sum_k \delta(t-kT)\)، سیگنال را به صورت دوره ای تکرار می کند، و این مشاهده، مکانیسم کامل نمونه‌برداری و تکرار طیفی فصل 20 است.

دومین کانولوشن استاندارد با گام واحد است. از آنجایی که \(u(t-\tau) = 1\) برای \(\tau \lt t\) و 0 فراتر از آن، مرحله به سادگی انتگرال را کوتاه می کند:

در مورد خود \(h\)، این مقداری را که آزمایشگاه اغلب اندازه گیری می کند را مشخص می کند، زیرا تولید یک مرحله بسیار آسان تر از یک ضربه است. پاسخ گامی \(s(t)\) زمانی خروجی است که ورودی \(u(t)\) باشد.

یک مثال رابطه را عینی می کند. برای \(h(t) = e^{-2t}u(t)\)، انتگرال‌گیری از 0 تا \(t\) به \(s(t) = \tfrac12\big(1-e^{-2t}\big)u(t)\) می‌دهد - منحنی شارژ آشنا، که از صفر به سمت مقدار نهایی \(\tfrac12\)، که مساحت کل زیر \(h\) است، افزایش می‌یابد. مشتق‌گیری \(s\)، \(e^{-2t}u(t)\) را بازیابی می کند، همانطور که باید، و این واقعیت که \(s\) به جای رشد بدون کران، به یک مقدار محدود می رسد، دقیقاً بیانیه ای است که \(h\) کاملاً قابل انتگرال‌گیری است. فصل 8 این نکته را به معیار ثبات تبدیل می کند.

تعداد کمی از کانولوشن ها به طور مداوم در این کتاب و در امتحانات تکرار می شوند. استخراج هر یک چند دقیقه طول می کشد. تشخیص آن چند ثانیه طول می کشد. نتایج زیر همگی با روش‌های بخش‌های قبل قابل حصول هستند و ارزش آن را دارد که هر کدام یک بار استخراج و سپس به خاطر بسپارید.

تشابهات بین دو نیمه جدول تصادفی نیست. هر ورودی زمان‌گسسته، ورودی زمان‌پیوسته است که انتگرال با یک جمع هندسی جایگزین شده است، و هر حالت منحط -\(a=b\), \(\alpha=\beta\), \(\alpha=1\)- همان عامل اضافی مشخصه را تولید می کند\(n\)یا\(t\). آن عامل امضای یک ریشه مکرر است، و فصل 9 در هنگام حل معادلات دیفرانسیل که چند جمله ای مشخصه آنها دارای یک ریشه دوگانه است، دوباره با آن روبرو خواهد شد. دو محاسبات کاملاً متفاوت یکسان را تولید می کنند\(t\,e^{-at}\)زیرا آنها در زیر محاسبات یکسان هستند.

مسائل 1 تا 3 مته زمان‌گسسته است. 4 تا 6 کانولوشن های زمان‌پیوسته بر اساس مناطق هستند. 7 و 8 در مورد ساختار عملیات هستند تا محاسبات آن. قبل از حرکت، بررسی های ناحیه و نقطه پایانی را برای هر پاسخ عددی اعمال کنید.