نمایش سیگنال‌های دوره ای سری فوریه

چیزی که یاد خواهید گرفت

چرا تجزیه ضربه ای فصل 3، با همه کلیاتش، تجزیه اشتباه است وقتی ورودی دوره ای است - و چه چیزی جایگزین آن می شود.
مجموعه هماهنگی مرتبط \(e^{jk\omega_0 t}\): چرا فقط مضرب های صحیح \(\omega_0\) مجاز هستند و چرا این مجموعه دقیقاً به اندازه کافی بزرگ است.
معادله سنتز \(x(t)=\sum_k a_k e^{jk\omega_0 t}\) و بازدهی که ارائه می‌کند: کانولوشن به ضرب، یک هارمونیک در یک زمان سقوط می‌کند.
معادله تجزیه و تحلیل برای \(a_k\)، به‌جای نقل‌قول، از متعامد بودن مشتق شده است - مشتق سه خط است و ارزش آن را دارد.
اشکال مثلثاتی و دامنه فاز، نحوه ارتباط آنها با \(a_k\) و میانبرهای تقارن که نیمی از انتگرال ها را قبل از شروع از بین می برند.
طیف خط: موج مربعی، قطار پالس مستطیلی، و اولین ظاهر شکلی که بر قسمت 4 غالب خواهد شد.
سری فوریه با زمان‌گسسته - مجموع متناهی از اصطلاحات \(N\)، دقیقاً همیشه، بدون هیچ یک از اضطراب‌های هم‌گرایی پسرعموی زمان‌پیوسته‌اش.

بخش 10-1

چرا تجزیه دوم

فصل 3 با تجزیه دقیق، جهانی و بدون شرایط به پایان رسید: هر سیگنال مجموعه ای از ضربه های تغییر یافته و مقیاس شده است. فصل 7 آن را از طریق یک سیستم LTI تحت فشار قرار داد و کانولوشن را به دست آورد. هیچ چیز در مورد آن زنجیره اشتباه نیست. مشکل این است که کانولوشن گران است - هر مقدار خروجی به یک انتگرال کامل در تاریخ ورودی نیاز دارد - و نتیجه مات است. به \(y(t)=\int h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau\) نگاه کنید و در یک نگاه نمی توانید ببینید که سیستم کدام ویژگی های \(x\) را حفظ می کند و کدام را کنار می گذارد.

فصل 6 به راه خروج اشاره کرد. \(e^{st}\) را به یک سیستم LTI و فاکتورهای انتگرال کانولوشن وارد کنید:

ویژگی تابع ویژه، از فصل 6

\[ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau = e^{st}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)e^{-s\tau}d\tau}_{H(s)} = H(s)\,e^{st} \]

برای این یک خانواده از ورودی ها، انتگرال یک بار برای همیشه انجام می شود و یک عدد مختلط واحد تولید می کند. هیچ کانولوشن زنده نمی ماند. کل عملکرد سیستم در \(e^{st}\) ضرب در \(H(s)\) است - یک کشش دامنه و یک تغییر فاز، نه چیزی بیشتر.

این یک استراتژی واضح را نشان می دهد، و این استراتژی هشت فصل بعدی است. اگر بتوانیم یک ورودی دلخواه را به صورت ترکیبی از نمایی بنویسیم، خطی بودن کار را تمام می کند: هر نمایی را در \(H\) خودش ضرب می کنیم، نتایج را اضافه می کنیم و خروجی بدون انجام کانولوشن شناخته می شود. تجزیه ضربه بلوک‌های ساختمانی به ما داد که به راحتی می‌توان آنها را نوشت. تجزیه نمایی بلوک‌های ساختمانی را به ما می‌دهد که به راحتی می‌توان آن‌ها را در یک سیستم هل داد.

سوال باقی مانده این است که از کدام نمایی استفاده کنیم و پاسخ به سیگنال بستگی دارد. برای یک سیگنال تناوبی پاسخ به طرز شگفت انگیزی مقرون به صرفه است: مجموعه ای از نمایی های قابل شمارش، همه در مضرب های صحیح یک فرکانس، دقیقاً کافی است. این سری فوریه است و این فصل است. برای یک سیگنال متناوب، مجموعه باید به یک پیوستار تبدیل شود، که تبدیل فوریه فصل 13 است.

دو تجزیه، دو فصل از قسمت 2 بازبینی شده است. ضربه‌ها بلوک‌های طبیعی هستند که وقتی به اتفاق‌ها اهمیت می‌دهید - گذرا، تأخیر، علّیت. نمایی بلوک‌های طبیعی هستند وقتی به سرعت تغییر چیزها اهمیت می‌دهید - فیلتر، رزونانس، پهنای باند. کل قسمت های 3 تا 5 شامل یادگیری حرکت بین دو نما به دلخواه است.

بخش 10-2

نمایی هارمونیک مرتبط

یک سیگنال بگیرید\(x(t)\)که دوره ای با دوره بنیادی است\(T\)، بنابراین\(x(t+T)=x(t)\)، و فرکانس اساسی را تعریف کنید\(\omega_0 = 2\pi/T\)همانطور که در فصل 2. اگر قصد ساختن داشته باشیم\(x\)خارج از نمایی پیچیده\(e^{j\omega t}\)، اولین محدودیت این است که قطعات باید خود دوره ای با نقطه باشند\(T\)- مجموع سیگنال‌هایی که هیچ کدام تکرار نمی شوند\(T\)ثانیه ها نمی توانند هر بار تکرار شوند\(T\)ثانیه یا

بنابراین بپرسید که کدام فرکانس در آن آزمایش زنده می ماند. \(e^{j\omega t}\) نمایی تناوبی است با دوره \(T\) دقیقا زمانی که \(e^{j\omega(t+T)} = e^{j\omega t}\)، یعنی زمانی که \(e^{j\omega T}=1\)، یعنی زمانی که \(\omega T\) مضرب صحیح \(2\pi\) است. نوشتن آن عدد صحیح به عنوان \(k\) به \(\omega = k\,(2\pi/T) = k\omega_0\) می دهد و هیچ چیز دیگری قابل قبول نیست.

🔑

مجموعه مرتبط با هماهنگی

\[ \phi_k(t) = e^{jk\omega_0 t}, \qquad \omega_0 = \frac{2\pi}{T}, \qquad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

اینها تنها نمایی پیچیده با دوره \(T\) هستند. شاخص \(k\) هارمونیک را نام گذاری می کند: \(k=0\) عبارت ثابت است، \(k=\pm1\) بنیادی، \(k=\pm2\) هارمونیک دوم و غیره است. کل مجموعه توسط یک عدد \(\omega_0\) تولید می شود.

کلمه هارمونیک دکوراسیون نیست. عضو \(k\)th دقیقاً چرخه های \(k\) را در زمانی کامل می کند که فاندامنتال یکی را کامل می کند، به همین دلیل است که یک سیم ویولن که با فرکانس 220 هرتز می لرزد نیز انرژی را در فرکانس های 440، 660 و 880 هرتز حمل می کند و نه در 300 هرتز. شکل موج دوره‌ای از دوره \(T\) از نظر فیزیکی به فرکانس‌های \(k\omega_0\) محدود می‌شود. شکل موج فقط تعیین می‌کند که در هر کدام چقدر بنشیند.

دو جزئیات مستحق مراقبت هستند. اول، \(\phi_k\) تناوبی با دوره \(T\) است اما دوره اساسی آن \(T/|k|\) است. \(k\) را در یک دوره از \(x\) بارها تکرار می کند، دقیقاً به همین دلیل است که مناسب است. دوم، منفی \(k\) اضافی نیست. در مورد سیگنال حقیقی، \(\phi_{-k}\) مزدوج \(\phi_k\) است، و جفت شدن این دو است که یک کسینوس واقعی را تولید می کند - بخش 10-5 این را صریح می کند. دور انداختن منفی \(k\) باعث می‌شود که اصلا بتوانیم یک سیگنال حقیقی را نشان دهیم.

بخش 10-3

معادله سنتز و آنچه می‌خرد

ادعای فوریه - و این ادعایی بود که لاگرانژ و لاپلاس سال‌ها قبل از اثبات آن را باور نمی‌کردند - این است که مجموعه هارمونیک صرفاً قابل قبول نیست بلکه کامل است: هر سیگنال تناوبی معقول جمع وزنی از اعضای آن است و وزن‌ها منحصر به فرد هستند. فصل 11 دقیقاً بیان می‌کند که «معقول» به چه معناست. در حال حاضر، نمایندگی را همانطور که داده شده است در نظر بگیرید.

🔑

معادله سنتز - سری فوریه پیوسته

\[ x(t) \;=\; \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\,e^{jk\omega_0 t}, \qquad \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \]

اعداد مختلط \(a_k\) ضرایب سری فوریه یا ضرایب طیفی \(x(t)\) هستند. هر یک دارای یک مقدار است که می گوید چقدر از آن هارمونیک موجود است، و یک فاز، که می گوید آن هارمونیک در کجای چرخه خود در \(t=0\) قرار دارد.

قبل از اینکه در مورد چگونگی پیدا کردن \(a_k\) کار کنید، ارزش دارد که ببینید این نمایش برای چیست. فرض کنید این \(x(t)\) دوره ای به یک سیستم LTI با پاسخ ضربه \(h(t)\) اعمال می شود. هر عبارت \(a_k e^{jk\omega_0 t}\) یک نمایی است، بنابراین با ویژگی تابع ویژه به عنوان \(a_k H(jk\omega_0) e^{jk\omega_0 t}\) ظاهر می شود، جایی که \(H(j\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\) پاسخ فرکانسی سیستم است. Linearity سپس قطعات را به بالا اضافه می کند.

پاسخ یک سیستم LTI به ورودی دوره ای

\[ x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} \quad\Longrightarrow\quad y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\,H(jk\omega_0)\,e^{jk\omega_0 t} \]

دو طرف را با دقت بخوانید، زیرا همین خط دلیل وجود موضوع است. ورودی دارای ضرایب \(a_k\) است. خروجی دارای ضرایب \(a_k H(jk\omega_0)\) است. انتگرال کانولوشن به یک ضرب معمولی تبدیل شده است که به طور جداگانه روی هر هارمونیک انجام می شود. و خروجی همچنان با همان دوره \(T\) تناوبی است، زیرا هیچ فرکانس جدیدی ایجاد نشده است - یک سیستم LTI می تواند هارمونیک های داده شده را تقویت، تضعیف و به تاخیر بیندازد، اما نمی تواند فرکانس هایی را اختراع کند که وجود نداشته باشد.

کانولوشن به ضرب، هارمونیک با هارمونیک تبدیل می شود

جایی که فصل 9 دوباره به داستان می پیوندد. سیستمی که توسط یک معادله دیفرانسیل ارائه می شود، پاسخ ضربه آشکاری ندارد، اما یک \(H(j\omega)\) آشکار دارد: \(e^{j\omega t}\) را جایگزین معادله کنید و هر مشتق به ضریب \(j\omega\) تبدیل می شود، بنابراین کل معادله به یک نسبت چندجمله ای فرو می ریزد. به همین دلیل است که معادلات ضریب ثابت فصل 9 و هارمونیک های این فصل به هم تعلق دارند و این محاسبه است که فصل 12 به یک روال تبدیل می شود.

بخش 10-4

معادله تحلیل

اکنون به ضرایب نیاز داریم. ترفند همان ترفندی است که برای استخراج یک جزء از یک بردار استفاده می شود: چیزی را پیدا کنید که به هر بلوک «عمود» باشد، به جز بلوکی که می خواهید، و یک ضرب درونی بگیرید. برای سیگنال‌ها، حاصلضرب داخلی یک انتگرال در یک دوره است و عبارت عمودی به صورت زیر است.

متعامد بودن مجموعه هارمونیک

\[ \int_{T} e^{jk\omega_0 t}\,e^{-jn\omega_0 t}\,dt \;=\; \int_{T} e^{j(k-n)\omega_0 t}\,dt \;=\; \begin{cases} T, & k = n\\[2pt] 0, & k \ne n\end{cases} \]

هر دو مورد یک خط هستند. اگر \(k=n\) انتگرال \(e^{0}=1\) و انتگرال در بازه ای به طول \(T\) \(T\) است. اگر \(k \ne n\)، \(m = k-n\) را بنویسید، یک عدد صحیح غیر صفر، و مستقیماً روی \(0\) به \(T\) انتگرال‌گیری کنید:

مورد خارج از مورب

\[ \int_{0}^{T} e^{jm\omega_0 t}\,dt = \left[\frac{e^{jm\omega_0 t}}{jm\omega_0}\right]_{0}^{T} = \frac{e^{jm\omega_0 T}-1}{jm\omega_0} = \frac{e^{j2\pi m}-1}{jm\omega_0} = 0 \]

زیرا \(\omega_0 T = 2\pi\) و \(e^{j2\pi m}=1\) برای هر عدد صحیح \(m\). از نظر هندسی دلیل آن حتی ساده‌تر است: \(e^{jm\omega_0 t}\) دایره‌های کامل \(|m|\) را در مورد مبدا ردیابی می‌کند، زیرا \(t\) از یک نقطه عبور می‌کند، و میانگین نقطه‌ای که دور یک دایره کامل می‌چرخد، مرکز است.

حالا این را اعمال کنید. معادله سنتز را در \(e^{-jn\omega_0 t}\) ضرب کنید و در یک دوره انتگرال‌گیری کنید. مبادله مجموع و انتگرال - طبق شرایط فصل 11 مشروع است - هر عبارت به جز \(k=n\) می‌میرد:

استخراج یک ضریب واحد

\[ \int_{T} x(t)e^{-jn\omega_0 t}dt = \int_{T}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}\right)e^{-jn\omega_0 t}dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \int_{T} e^{j(k-n)\omega_0 t}dt = a_n T \]

🔑

معادله تحلیل - سری فوریه پیوسته

\[ a_k \;=\; \frac{1}{T}\int_{T} x(t)\,e^{-jk\omega_0 t}\,dt \]

زیرنویس موجود در نمایه ساختگی تغییر نام داده است. نماد\(\int_T\)به معنای انتگرال در هر دوره کامل - از\(0\)به\(T\)، از\(-T/2\)به\(T/2\)، یا هر فاصله دیگری از طول\(T\)، زیرا انتگرال خود دوره ای است و انتخاب مهم نیست. هر فاصله ای که ایجاد می کند را انتخاب کنید\(x(t)\)راحت ترین نوشتن

تنظیم \(k=0\) نمایی را روی 1 جمع می کند و \(a_0 = \frac{1}{T}\int_T x(t)\,dt\) را ترک می کند: ضریب هارمونیک صفر به سادگی مقدار متوسط سیگنال در یک دوره است، جزء DC آن. در هر مشکلی ابتدا ارزش بررسی را دارد، زیرا رایگان است و بلافاصله خطاهای علامت را می گیرد.

جفت معادلات جعبه ای کل دستگاه است. تجزیه و تحلیل یک شکل موج می گیرد و لیستی از اعداد را برمی گرداند. سنتز لیست را می گیرد و شکل موج را بازسازی می کند. آنها معکوس هستند، و مختصر استاندارد برای جفت شدن است

نماد استفاده شده در قسمت 3

\[ x(t) \;\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\; a_k \]

بخش 10-5

فرم های مثلثاتی و دامنه-فاز

شکل نمایی شکلی است که باید با آن محاسبه کرد، اما یک ویژگی ناراحت کننده دارد: یک سیگنال حقیقی مانند ولتاژ به صورت مجموع عبارت های پیچیده نوشته می شود. این ناراحتی واهی است، و دیدن چرایی دو شکل جایگزین ایجاد می کند که اغلب برای تفسیر مفیدتر هستند.

فرض کنید \(x(t)\) واقعی است. سپس \(x^*(t)=x(t)\)، و به هم پیوستن معادله سنتز، \(x(t)=\sum_k a_k^* e^{-jk\omega_0 t}\) به دست می‌آید. جایگزینی شاخص جمع \(k\) با \(-k\) این را به \(x(t)=\sum_k a_{-k}^* e^{jk\omega_0 t}\) تبدیل می کند. دو سری فوریه برای یک سیگنال باید ضرایب یکسانی داشته باشند، بنابراین:

🔑

تقارن مزدوج برای سیگنال‌های واقعی

\[ x(t)\ \text{real} \quad\Longleftrightarrow\quad a_{-k} = a_k^{*} \]

در نتیجه \(|a_{-k}|=|a_k|\) - طیف قدر زوج است - و \(\angle a_{-k} = -\angle a_k\) - طیف فاز فرد است. نیمه فرکانس منفی طیف هیچ اطلاعات جدیدی برای سیگنال حقیقی ندارد. این یک تصویر آینه ای است و فقط به این دلیل وجود دارد که قسمت های خیالی از بین بروند.

اکنون اصطلاحات را در جفت \(\pm k\) گروه بندی کنید. با نوشتن \(a_k = |a_k|e^{j\theta_k}\)، این جفت کمک می کند

یک جفت مزدوج یک کسینوس واقعی است

\[ a_k e^{jk\omega_0 t} + a_k^{*}e^{-jk\omega_0 t} = 2\,\mathrm{Re}\big\{a_k e^{jk\omega_0 t}\big\} = 2|a_k|\cos\!\big(k\omega_0 t + \theta_k\big) \]

که آشکارا واقعی است جمع کردن بیش از \(k \ge 1\) و اضافه کردن عبارت \(k=0\) - واقعی با قانون تقارن، از \(a_0=a_0^*\) - شکل دامنه-فاز را به دست می‌دهد. بسط دادن هر کسینوس با هویت مرکب-زاویه شکل مثلثاتی را به دست می دهد.

سه شکل معادل سری فوریه یک سیگنال حقیقی

\[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} = C_0 + \sum_{k=1}^{\infty} C_k\cos(k\omega_0 t + \theta_k) = A_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\big[A_k\cos k\omega_0 t + B_k \sin k\omega_0 t\big] \]

فرهنگ لغت بین آنها از \(\cos(k\omega_0t+\theta_k) = \cos\theta_k\cos k\omega_0 t - \sin\theta_k \sin k\omega_0 t\) پیروی می کند که \(A_k = C_k\cos\theta_k\) و \(B_k = -C_k\sin\theta_k\) را مشخص می کند، به طوری که \(a_k = \tfrac{1}{2}C_k e^{j\theta_k} = \tfrac{1}{2}(A_k - jB_k)\). جمع آوری نتایج:

مقدار	از ضرایب نمایی	انتگرال مستقیم در یک دوره
اصطلاح DC \(A_0 = C_0 = a_0\)	\(a_0\) واقعی است	\(\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_T x(t)\,dt\)
ضریب کسینوس \(A_k\)	\(2\,\mathrm{Re}\{a_k\}\)	\(\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_T x(t)\cos k\omega_0 t\,dt\)
ضریب سینوس \(B_k\)	\(-2\,\mathrm{Im}\{a_k\}\)	\(\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_T x(t)\sin k\omega_0 t\,dt\)
دامنه هارمونیک \(C_k\)	\(2\|a_k\|\)	\(\sqrt{A_k^2+B_k^2}\)
فاز هارمونیک \(\theta_k\)	\(\angle a_k\)	\(-\arctan(B_k/A_k)\)، ربع تصحیح شده است

از کدام فرم استفاده شود. به شکل نمایی محاسبه کنید - یک انتگرال به جای دو، و جبر ویژگی های فصل 11 در آنجا بسیار تمیزتر است. به شکل دامنه-فاز گزارش دهید، زیرا \(C_k\) و \(\theta_k\) آن چیزی است که یک ابزار اندازه گیری می کند و یک مشخصات آن را محدود می کند. شکل مثلثاتی عمدتاً پلی بین این دو است، اگرچه همانطور که بخش بعدی نشان می دهد، شکلی است که در آن آرگومان های تقارن به طور طبیعی بیشتر خوانده می شوند.

بخش 10-6

میانبرهای تقارن

فصل 2 سیگنال‌ها را به‌عنوان زوج، فرد یا هیچ‌کدام طبقه‌بندی کرد و فصل 4 نحوه تقسیم هر سیگنال را به آن دو بخش نشان داد. طبقه‌بندی در اینجا حفظ می‌کند: هر تقارن \(x(t)\) یک خانواده کامل از ضرایب را ناپدید می‌کند، و تشخیص یکی قبل از انتگرال‌گیری می‌تواند کار را به نصف یا یک چهارم کاهش دهد.

با یک سیگنال حقیقی، \(x(-t)=x(t)\) شروع کنید. از دوره متقارن \(-T/2\) تا \(T/2\) استفاده کنید و نمایی را به دو قسمت کسینوس و سینوسی تقسیم کنید. محصول \(x(t)\sin k\omega_0 t\) زوج برابر است، بنابراین فرد است، و یک تابع فرد که در یک بازه متقارن انتگرال‌گیری شده است، صفر است. فقط قسمت کسینوس زنده می ماند، بنابراین \(B_k = 0\) و \(a_k\) واقعی است. آرگومان آینه ای برای یک سیگنال فرد، در عوض قسمت کسینوس را می کشد.

تقارن زوج و فرد

\[ x(-t)=x(t) \ \Rightarrow\ B_k = 0,\quad a_k \ \text{real and even in } k \qquad\qquad x(-t)=-x(t) \ \Rightarrow\ A_0=A_k=0,\quad a_k \ \text{purely imaginary and odd in } k \]

تقارن سوم کمتر آشنا و توانمندتر است. یک سیگنال دارای تقارن نیمه موجی است که با جابجایی نیم نقطه آن را وارونه می کند: \(x(t \pm T/2) = -x(t)\). یک موج مربعی آن را دارد. یک دندان اره این کار را نمی کند. ادعا این است که چنین سیگنالی هیچ هارمونیک حتی ندارد و اثبات آن جایگزینی است.

انتگرال تحلیل را در \(T/2\) تقسیم کنید و در نیمه دوم \(t = \tau + T/2\) را قرار دهید. سپس \(x(\tau+T/2) = -x(\tau)\) با فرضیه، در حالی که نمایی یک عامل \(e^{-jk\omega_0 T/2} = e^{-jk\pi} = (-1)^k\) را انتخاب می کند:

چرا تقارن نیم موج هارمونیک های زوج را حذف می کند

\[ a_k = \frac{1}{T}\int_{0}^{T/2}\! x\,e^{-jk\omega_0 t}dt \;-\; \frac{(-1)^k}{T}\int_{0}^{T/2}\! x\,e^{-jk\omega_0 \tau}d\tau \;=\; \frac{1-(-1)^k}{T}\int_{0}^{T/2}\! x(t)\,e^{-jk\omega_0 t}\,dt \]

براکت \(1-(-1)^k\) \(0\) برای \(k\) زوج و \(2\) برای \(k\) فرد است. هر ضریب زوج ناپدید می شود، از جمله \(a_0\) - یک سیگنال متقارن نیمه موجی لزوماً میانگین صفر دارد - و هر ضریب فرد در طول نیم دوره به یک انتگرال کاهش می یابد. تشخیص این تقارن در یک سؤال امتحانی معمولاً در زمان بیشتری نسبت به هر مشاهده منفرد دیگری صرفه جویی می کند.

تقارن \(x(t)\)	نتیجه برای ضرایب	انتگرال شما در واقع باید انجام دهید
واقعی	\(a_{-k}=a_k^*\); \(\|a_k\|\) زوج، \(\angle a_k\) فرد	فقط \(k \ge 0\)
واقعی و حتی	\(a_k\) واقعی و یکنواخت؛ \(B_k=0\)	\(A_k = \frac{4}{T}\int_0^{T/2}x\cos k\omega_0 t\,dt\)
واقعی و عجیب	\(a_k\) خیالی و عجیب؛ \(A_k=0\)، \(a_0=0\)	\(B_k = \frac{4}{T}\int_0^{T/2}x\sin k\omega_0 t\,dt\)
نیم موج، \(x(t+T/2)=-x(t)\)	\(a_k=0\) برای همه حتی \(k\), \(a_0=0\)	فقط \(k\) فرد، در نیم دوره
موج چهارم (نیمه موج و زوج)	فقط هارمونیک کسینوس فرد	دوره ربع کفایت می کند

تقارن یک ویژگی منشاء انتخاب شده است. یک موج مربعی که در حدود \(t=0\) عجیب است، اگر محور زمانی یک چهارم دوره جابجا شود، حتی می شود و ضرایب آن از حالت کاملاً خیالی به کاملاً واقعی تبدیل می شود. هیچ چیز فیزیکی تغییر نکرده است - ویژگی تغییر زمانی فصل 11 نشان می دهد که فقط فازها حرکت کرده اند. قبل از انتگرال‌گیری، همیشه ارزش این را دارد که بپرسیم آیا تغییر مبدأ سیگنال را زوج یا فرد می کند و آن را دریافت کنیم.

بخش 10-7

طیف خط: موج مربع و قطار پالس

سری فوریه لیستی از اعداد مختلط است که با یک عدد صحیح نمایه شده است و راه طبیعی برای نمایش آن یک جفت نمودار پایه است: \(|a_k|\) در برابر \(k\) و \(\angle a_k\) در برابر \(k\). از آنجایی که فرکانس های موجود مضرب های جدا شده از \(\omega_0\) هستند، تصویر به جای یک منحنی پیوسته از خطوط گسسته تشکیل شده است و به آن طیف خط می گویند. شکاف بین خطوط واقعی است: یک سیگنال تناوبی واقعاً در هیچ فرکانسی غیر از \(k\omega_0\) انرژی ندارد.

موج مربعی فرد با دامنه 1 را در نظر بگیرید - برابر با \(+1\) در \((0,T/2)\) و \(-1\) در \((-T/2,0)\). این واقعی و عجیب است، بنابراین \(A_k=0\) و فقط عبارات سینوسی ظاهر می شوند. دارای تقارن نیم موج است، بنابراین فقط \(k\) فرد باقی می ماند. هر دو واقعیت از یک انتگرالی که هنوز باید انجام دهیم خارج می شوند:

ضرایب سینوسی موج مربع

\[ B_k = \frac{2}{T}\left[\int_{0}^{T/2}\!\sin k\omega_0 t\,dt - \int_{T/2}^{T}\!\sin k\omega_0 t\,dt\right] = \frac{2}{T}\cdot\frac{2\big[1-\cos k\pi\big]}{k\omega_0} = \frac{2}{\pi k}\big[1-(-1)^k\big] \]

که وقتی \(k\) فرد است \(4/\pi k\) و زمانی که \(k\) زوج است صفر است، دقیقاً همانطور که آرگومان های تقارن وعده داده شده بودند.

🔑

سری فوریه موج واحد مربع

\[ x(t) = \frac{4}{\pi}\left[\sin\omega_0 t + \frac{1}{3}\sin 3\omega_0 t + \frac{1}{5}\sin 5\omega_0 t + \cdots\right] = \frac{4}{\pi}\sum_{k \ \text{odd}} \frac{\sin k\omega_0 t}{k} \]

فقط هارمونیک های فرد، دامنه ها به صورت \(1/k\) کاهش می یابد. فاندامنتال به تنهایی دارای دامنه \(4/\pi \approx 1.273\) است - بزرگتر از موج مربعی که تقریبی دارد، که اولین اشاره ای است که در فصل 11 مورد بررسی قرار گرفت.

مجموع جزئی نزدیک به موج مربعی - به برآمدگی مداوم در هر پرش توجه کنید

دومین مثال متعارف، ترن پالس مستطیلی تناوبی است: پالسی با ارتفاع و عرض واحد \(2T_1\) که بر مبدأ متمرکز شده و با نقطه \(T\) تکرار می‌شود. حقیقی و زوج است، بنابراین ضرایب واقعی خواهند بود. انتگرال‌گیری فقط در بازه ای که سیگنال غیر صفر است،

ضرایب قطار پالس

\[ a_k = \frac{1}{T}\int_{-T_1}^{T_1} e^{-jk\omega_0 t}\,dt = \frac{1}{T}\left[\frac{e^{-jk\omega_0 t}}{-jk\omega_0}\right]_{-T_1}^{T_1} = \frac{2\sin(k\omega_0 T_1)}{k\omega_0 T} = \frac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi}, \qquad a_0 = \frac{2T_1}{T} \]

آخرین ساده سازی از \(\omega_0 T = 2\pi\) استفاده می کند. مقدار \(k=0\) را نمی توان از فرمول خواند - این \(0/0\) است - بنابراین به طور جداگانه به عنوان میانگین به دست می آید که چرخه کار \(2T_1/T\) است و همچنین حد عبارت کلی به عنوان \(k \to 0\) است.

دو ویژگی این نتیجه ارزش تثبیت در حافظه را دارد. اول، ضرایب نمونه هایی از یک پوش صاف هستند: نوشتن\(a_k = \frac{2T_1}{T}\cdot\frac{\sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0 T_1}\)عملکرد را آشکار می کند\(\sin\xi/\xi\)، شکل سینک که در پایان فصل 3 وعده داده شده است.\(k\omega_0T_1\)مضرب است\(\pi\)، بنابراین طیف دارای صفرهایی با فاصله مساوی است که موقعیت آنها به تنهایی به عرض پالس بستگی دارد. پالس را باریک کنید و صفرها به سمت بیرون حرکت کنند: یک پالس کوتاه به باند وسیع هارمونیک نیاز دارد، یک پالس طولانی نه. این رابطه متقابل بین مدت زمان و پهنای باند موضوع بقیه کتاب است.

طیف خط یک قطار پالس - خطوط گسسته زیر یک پوشش پیوسته

بخش 10-8

سری فوریه زمان‌گسسته

همه چیز در بالا مشابه زمان‌گسسته دارد و طبق معمول در این موضوع نسخه گسسته ساده تر است. بگذارید \(x[n]\) با دوره بنیادی \(N\) دوره ای باشد، بنابراین \(x[n+N]=x[n]\)، و \(\Omega_0 = 2\pi/N\) را تنظیم کنید. بلوک‌های ساختمانی کاندید \(\phi_k[n]=e^{jk\Omega_0 n}\) هستند و استدلال بخش 10-2 بدون تغییر اعمال می‌شود: این بلوک‌ها در \(n\) با دوره \(N\) دقیقاً برای عدد صحیح \(k\) دوره‌ای هستند.

اما اکنون هشدار فصل 3 در مورد فرکانس زمان‌گسسته دخالت می کند و شکل نظریه را تغییر می دهد. از آنجا که \(n\) یک عدد صحیح است، \(e^{j2\pi n}=1\)، بنابراین

مجموعه هارمونیک محدود است

\[ \phi_{k+N}[n] = e^{j(k+N)(2\pi/N)n} = e^{jk\Omega_0 n}\,e^{j2\pi n} = \phi_k[n] \]

هارمونیک \((k+N)\)th هارمونیک \(k\)th است - شبیه آن نیست، مشابه آن، نمونه برای نمونه. بنابراین فقط هارمونیک های متمایز \(N\) وجود دارد، نه بی نهایت زیاد، و مجموع سنتز بر روی هر مقدار متوالی \(N\) از \(k\)، نوشته شده \(\sum_{k=\langle N\rangle}\) اجرا می شود. یک سیگنال زمان‌گسسته دوره ای دارای مقادیر مستقل \(N\) در هر دوره است و این سری دقیقاً دارای ضرایب \(N\) است: هیچ اطلاعاتی به دست نمی آید یا از دست نمی رود و چیزی برای همگرایی وجود ندارد.

معادله تجزیه و تحلیل از همان استدلال متعامد به دست می‌آید که انتگرال با یک مجموع هندسی محدود جایگزین می‌شود. برای \(m\) که مضرب \(N\) نیست، با جمع کردن سری \(\sum_{n=0}^{N-1}(e^{jm\Omega_0})^n\) به \(\big(1-e^{jm2\pi}\big)/\big(1-e^{jm\Omega_0}\big) = 0\) می‌رسیم، که صورت ناپدید می‌شود در حالی که مخرج اینطور نیست. برای \(m\) مضربی از \(N\)، هر جمله 1 است و مجموع آن \(N\) است.

🔑

جفت سری فوریه گسسته زمان

\[ x[n] = \sum_{k=\langle N\rangle} a_k\,e^{jk(2\pi/N)n} \qquad\qquad a_k = \frac{1}{N}\sum_{n=\langle N\rangle} x[n]\,e^{-jk(2\pi/N)n} \]

دو جمع متناهی، هر کدام در یک دوره. خود ضرایب در \(k\) با دوره \(N\) تناوبی هستند، بنابراین \(a_{k+N}=a_k\) - تقارنی بدون آنالوگ زمان‌پیوسته، و منبع راحتی بسیار بعدی است.

عدم وجود سؤالات همگرایی یک موضوع فنی نیست. دلیل امکان پردازش سیگنال دیجیتال است. سری زمان‌پیوسته مجموع نامحدودی است که ممکن است سیگنال را در هر لحظه بازتولید کند یا نکند، و فصل 11 عمدتاً به چاپ ریز اختصاص دارد. سری زمان‌گسسته مجموع محدودی از عبارت های \(N\) است که اعداد \(N\) را دقیقاً، همیشه، برای هر دنباله تناوبی بدون استثنا بازتولید می کند. هنگامی که فصل 26 به تبدیل فوریهٔ گسسته و FFT می رسد، این معادله - مقیاس مجدد - است که محاسبه می شود.

بررسی ابعادی که ارزش انجام دادن دارد. در زمان‌پیوسته، \(a_k\) دارای واحدهای مشابه با \(x(t)\) است، زیرا معادله تجزیه و تحلیل انتگرال \(x\,dt\) را بر \(T\) تقسیم می کند. در زمان‌گسسته هم همینطور است. بنابراین یک ضریب فوریه یک شکل موج ولتاژ یک ولتاژ است و \(C_k = 2|a_k|\) دامنه پیک هارمونیک \(k\)th بر حسب ولت است. اگر ضریب محاسبه شده با ابعاد اشتباه بیرون بیاید، \(1/T\) یا \(1/N\) حذف شده است.

بخش 10-9

نمونه های کار شده

1 ضرایب با بازرسی

مشکل ضرایب سری فوریه \(x(t) = 1 + 2\cos\omega_0 t + \sin\omega_0 t + \cos(2\omega_0 t + \pi/4)\) را پیدا کنید و دامنه و فاز هر هارمونیک را بدست آورید.

راه حل. هیچ انتگرال‌گیری مورد نیاز نیست. سیگنال در حال حاضر یک مجموع محدود هارمونیک است. هویت های اویلر آن را مستقیماً به شکل نمایی تبدیل می کند و منحصر به فرد بودن ضرایب بقیه را انجام می دهد.

کار - گسترش هر دوره

\[ 2\cos\omega_0 t = e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}, \qquad \sin\omega_0 t = -\tfrac{j}{2}e^{j\omega_0 t}+\tfrac{j}{2}e^{-j\omega_0 t}, \qquad \cos(2\omega_0 t+\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac12 e^{j\pi/4}e^{j2\omega_0 t}+\tfrac12 e^{-j\pi/4}e^{-j2\omega_0 t} \]

جمع آوری اصطلاحات توسط هارمونیک می دهد\(a_0 = 1\), \(a_1 = 1-\tfrac{j}{2}\), \(a_{-1}=1+\tfrac{j}{2}\), \(a_2 = \tfrac12 e^{j\pi/4}\), \(a_{-2} = \tfrac12 e^{-j\pi/4}\)، و\(a_k = 0\)برای\(|k| \ge 3\). تقارن مزدوج\(a_{-k}=a_k^*\)همانطور که برای یک سیگنال حقیقی باید برقرار باشد.

تبدیل به دامنه و فاز: \(C_1 = 2|a_1| = 2\sqrt{1+\tfrac14} = \sqrt5 \approx 2.236\) با \(\theta_1 = \angle a_1 = -\arctan(0.5) = -26.57^\circ\). و \(C_2 = 2|a_2| = 1\) با \(\theta_2 = 45^\circ\). بنابراین

فرم کار - دامنه - فاز

\[ x(t) = 1 + 2.236\cos(\omega_0 t - 26.57^\circ) + \cos(2\omega_0 t + 45^\circ) \]

اولین هارمونیک را می توان به طور مستقل بررسی کرد: \(2\cos\theta + \sin\theta = R\cos(\theta-\varphi)\) با \(R=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\) و \(\tan\varphi = 1/2\)، به \(\varphi = 26.57^\circ\). دو مسیر توافق دارند.

2 قطار پالس با چرخه کاری 25٪

مشکل یک قطار پالس مستطیلی با ارتفاع واحد دارای پریود \(T = 8\) s و عرض پالس \(2T_1 = 2\) s است، پالس در مرکز \(t=0\) است. \(a_0\) را تا \(a_5\) محاسبه کرده و صفرهای طیفی را پیدا کنید.

راه حل. در اینجا \(\omega_0 = 2\pi/8 = \pi/4\) rad/s و \(T_1 = 1\) s، بنابراین \(k\omega_0 T_1 = k\pi/4\). نتیجه کلی بخش 10-7 \(a_k = \sin(k\pi/4)/(k\pi)\) را با \(a_0 = 2T_1/T = 1/4\) می دهد.

\(k\)	0	1	2	3	4	5
\(\sin(k\pi/4)\)	—	0.7071	1	0.7071	0	−0.7071
\(a_k\)	0.2500	0.2251	0.1592	0.0750	0	−0.0450

ضرایب واقعی هستند، همانطور که برای یک سیگنال زوج واقعی انتظار می رود، و آنها بعد از اولین صفر تغییر علامت می دهند. تهی زمانی رخ می دهد که \(\sin(k\pi/4)=0\)، یعنی زمانی که \(k\pi/4 = m\pi\)، بنابراین در \(k = 4, 8, 12, \ldots\) - هر چهارم هارمونیک، که متقابل چرخه وظیفه 25٪ است. منفی \(a_k\) یک خطا نیست: این یک هارمونیک با قدر \(|a_k|\) است که فاز \(180^\circ\) را حمل می کند، و به همین دلیل است که نمودار فقط بزرگی این طیف شکل سینک اصلاح شده را نشان می دهد.

3 یک دندان اره، صادقانه یکپارچه شده است

مشکل سری فوریه نمایی و مثلثاتی دندان اره ای \(x(t) = t\) را برای \(0 \lt t \lt T\) پیدا کنید که با نقطه \(T\) تکرار شده است.

راه حل. سیگنال نه زوج است و نه فرد و تقارن نیم موجی ندارد، بنابراین هیچ میانبری وجود ندارد. انتگرال باید انجام شود. با عبارت DC شروع کنید، که میانگین یک رمپ مستقیم است: \(a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T t\,dt = T/2\).

برای \(k \ne 0\)، توسط قطعات با \(u = t\) و \(dv = e^{-jk\omega_0 t}dt\) انتگرال‌گیری کنید:

کارکردن - ضریب کلی

\[ \int_{0}^{T} t\,e^{-jk\omega_0 t}dt = \left[\frac{t\,e^{-jk\omega_0 t}}{-jk\omega_0}\right]_{0}^{T} + \frac{1}{jk\omega_0}\int_{0}^{T} e^{-jk\omega_0 t}dt = \frac{T}{-jk\omega_0} + 0 = \frac{jT}{k\omega_0} \]

عبارت مرزی از \(e^{-jk\omega_0 T} = e^{-j2\pi k}=1\) استفاده می‌کند، و انتگرال باقی‌مانده توسط متعامد از بین می‌رود. تقسیم بر \(T\) و جایگزینی \(\omega_0 = 2\pi/T\):

کار کردن - نتیجه

\[ a_k = \frac{j}{k\omega_0} = \frac{jT}{2\pi k} \quad (k \ne 0), \qquad a_0 = \frac{T}{2} \]

ضرایب کاملاً خیالی و عجیب هستند در \(k\)، که امضای یک سیگنال فرد است - و در واقع \(x(t)-T/2\) در نقطه میانی هر دوره فرد است. با استفاده از \(B_k = -2\,\mathrm{Im}\{a_k\} = -T/(\pi k)\)، فرم مثلثاتی است

کار - فرم مثلثاتی

\[ x(t) = \frac{T}{2} - \frac{T}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\omega_0 t}{k} \]

بررسی سریع سلامت عقل در \(t = T/2\): هر \(\sin(k\pi)\) صفر است، بنابراین سری \(T/2\) را برمی‌گرداند، که مقدار صحیح میان دوره است. در \(t \to 0^+\)، سری \(T/2\) را نیز برمی‌گرداند، در حالی که خود سیگنال \(0\) است - سری در نقطه میانی پرش بین \(T\) و \(0\) قرار گرفته است. این یک اشتباه نیست، و فصل 11 توضیح می دهد که چرا تنها پاسخ معقول در آنجا است.

4 یک موج مربعی از طریق فیلتر RC

مشکل موج واحد مربع بخش 10-7، با فرکانس اساسی \(\omega_0\)، یک فیلتر پایین گذر مرتبه اول با \(H(j\omega) = 1/(1+j\omega/\omega_c)\) و \(\omega_c = \omega_0\) را هدایت می کند. سه هارمونیک غیر صفر اول خروجی را پیدا کنید.

راه حل. هارمونیک های ورودی شناخته شده اند: دامنه \(4/\pi k\) در فرکانس \(k\omega_0\)، تنها \(k\) فرد. در هارمونیک \(k\)th، فیلتر به \(H(jk\omega_0) = 1/(1+jk)\) کمک می کند، بنابراین

کارکردن - بهره و فاز در هر هارمونیک

\[ |H(jk\omega_0)| = \frac{1}{\sqrt{1+k^2}}, \qquad \angle H(jk\omega_0) = -\arctan k \]

ضرب هر دامنه ورودی در بهره و اضافه کردن فاز به آرگومان:

\(k\)	دامنه ورودی \(4/\pi k\)	\(\|H\|\)	دامنه خروجی	تغییر فاز
1	1.2732	0.7071	0.9003	−45.00°
3	0.4244	0.3162	0.1342	−71.57°
5	0.2546	0.1961	0.0499	−78.69°

کار - خروجی

\[ y(t) = 0.900\sin(\omega_0 t - 45.0^\circ) + 0.134\sin(3\omega_0 t - 71.6^\circ) + 0.050\sin(5\omega_0 t - 78.7^\circ) + \cdots \]

نسبت هارمونیک را مقایسه کنید در ورودی، هارمونیک سوم در \(1/3 = 0.333\) از پایه است. در خروجی \(0.1342/0.9003 = 0.149\)، کمتر از نصف برجسته است. فیلتر هیچ هارمونیکی را حذف نکرده است، اما تعادل را به سمت پایین‌ها متمایل کرده است و شکل موجی که هارمونیک‌های بالای آن سرکوب شده است، شکل موجی با گوشه‌های گرد است. این توضیح حوزه فرکانس است که چرا یک شبکه RC یک موج مربعی را به یک پالس گوشه‌ای نمایی تبدیل می‌کند - و نیازی به معادله دیفرانسیل و بدون کانولوشن ندارد.

5 یک سری زمانی گسسته چهار نقطه ای

مشکل یک سیگنال زمان‌گسسته دارای دوره \(N = 4\) با یک دوره \(x[0]=1\)، \(x[1]=2\)، \(x[2]=-1\)، \(x[3]=0\) است. ضرایب سری فوریه آن را بیابید و معادله سنتز را در \(n=1\) تأیید کنید.

راه حل. با \(N=4\) ضریب هارمونیک \(e^{-jk(2\pi/4)n} = e^{-jk\pi n/2} = (-j)^{kn}\) است، بنابراین هر نمایی یکی از \(1, -j, -1, j\) است و محاسبات دقیق است.

کار کردن - چهار ضریب

\[ a_k = \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{3} x[n](-j)^{kn} \]

ارزیابی ترم به ترم:

در حال کار کردن

\[ \begin{aligned} a_0 &= \tfrac14(1+2-1+0) = \tfrac12\\ a_1 &= \tfrac14\big(1 + 2(-j) + (-1)(-1) + 0\big) = \tfrac14(2-2j) = \tfrac12 - \tfrac{j}{2}\\ a_2 &= \tfrac14\big(1 + 2(-1) + (-1)(1) + 0\big) = -\tfrac12\\ a_3 &= \tfrac14\big(1 + 2(j) + (-1)(-1) + 0\big) = \tfrac12 + \tfrac{j}{2} \end{aligned} \]

ابتدا تقارن را بررسی کنید: \(x[n]\) واقعی است، بنابراین ما به \(a_{-k}=a_k^*\) نیاز داریم، و از آنجایی که ضرایب با \(N=4\) تناوبی هستند، \(a_3 = a_{-1} = a_1^*\) نشان داده می شود. این کار را انجام می دهد. اکنون سنتز را در \(n=1\) تأیید کنید، جایی که \(e^{jk\pi/2} = j^k\):

کار - بررسی سنتز

\[ \sum_{k=0}^{3} a_k j^{k} = \tfrac12 + \left(\tfrac12-\tfrac{j}{2}\right)j + \left(-\tfrac12\right)(-1) + \left(\tfrac12+\tfrac{j}{2}\right)(-j) = \tfrac12 + \left(\tfrac{j}{2}+\tfrac12\right) + \tfrac12 + \left(\tfrac12-\tfrac{j}{2}\right) = 2 \]

که در صورت نیاز \(x[1]\) است. توجه داشته باشید که چهار نقطه داده چهار ضریب تولید کردند و بازسازی دقیق بود - بدون محدودیت، بدون مجموع بی نهایت، بدون شرایط برای بررسی.

6 خواندن یک تقارن قبل از انتگرال‌گیری

مشکل بدون محاسبه انتگرال، هر آنچه را که می توان در مورد ضرایب فوریه (a) یک موج مثلثی که حتی در حدود \(t=0\) با میانگین صفر است، بیان کنید. (ب) سیگنال \(x(t) = |\sin\omega_1 t|\)، سینوس تصحیح تمام موج. (ج) یک موج مربعی جابجا شده به طوری که برابر با \(+1\) در \((0,T/2)\) و \(0\) در \((T/2,T)\) است.

راه حل (الف). واقعی و حتی، بنابراین \(a_k\) واقعی است و حتی در \(k\)، و \(B_k=0\). میانگین صفر \(a_0=0\) می دهد. یک موج مثلثی به این شکل \(x(t+T/2)=-x(t)\) را نیز برآورده می کند، بنابراین تقارن نیم موجی دارد و هر هارمونیک یکنواخت ناپدید می شود. نتیجه‌گیری: هارمونیک‌های کسینوس واقعی فقط در \(k\) فرد - و برای دانستن آن نیازی به محاسبه چیز دیگری نیست.

راه حل (ب). تله اینجا دوره است. در حال اصلاح\(\sin\omega_1 t\)نیمه منفی را تا می کند، بنابراین نتیجه هر بار تکرار می شود\(\pi/\omega_1\)، نه\(2\pi/\omega_1\): بسامد اساسی از\(x\)است\(2\omega_1\)، نه\(\omega_1\). سیگنال حقیقی است، حتی در مورد\(t=0\)، و کاملاً مثبت است، بنابراین\(a_k\)واقعی است و حتی با\(a_0 \gt 0\). تقارن نیم موجی ندارد - سیگنال غیر منفی نمی تواند - بنابراین هارمونیک های زوج و فرد\(2\omega_1\)حضور دارند.

راه حل (ج). این موج مربعی بخش 10-7 است که مجدداً مقیاس شده و بلند شده است: \(x(t) = \tfrac12 + \tfrac12 s(t)\)، که در آن \(s\) موج مربعی \(\pm1\) است. خطی، که فصل 11 به طور رسمی بیان می کند، سپس ضرایب را به یکباره می دهد: \(a_0 = \tfrac12\)، و \(a_k = \tfrac12 s_k\) برای \(k \ne 0\)، که در آن \(s_k\) ضرایب موج مربعی هستند. ثابت اضافه شده تنها خط \(k=0\) را لمس کرد و هر هارمونیک را دست نخورده باقی گذاشت - این دقیقاً همان چیزی است که انتظار می رود، زیرا یک افست DC در هیچ جای دیگری محتوای فرکانسی ندارد.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ چرا نمایی

آنها توابع ویژه سیستم‌های LTI هستند، بنابراین تجزیه به نمایی، کانولوشن را به ضرب در \(H(jk\omega_0)\) تبدیل می کند.

✓ مجموعه هارمونیک

فقط \(\omega = k\omega_0\) نمایی از دوره \(T\) را می دهد. \(k\) منفی ضروری است: برای ساخت کسینوس واقعی با \(+k\) جفت می شود.

✓ جفت

\(x(t)=\sum_k a_k e^{jk\omega_0 t}\) و \(a_k = \frac{1}{T}\int_T x e^{-jk\omega_0 t}dt\)، دومین مورد پس از متعامد بودن به تنهایی.

✓ سیگنال‌های واقعی

\(a_{-k}=a_k^*\): قدر زوج، فاز فرد. هر جفت در \(2|a_k|\cos(k\omega_0 t + \angle a_k)\) ترکیب می شود.

✓ تقارن

زوج سینوس ها را می کشد، فرد کسینوس ها را می کشد، نیم موج هر هارمونیک زوج را می کشد. قبل از انتگرال‌گیری بررسی کنید، نه بعد از آن.

✓ زمان‌گسسته

فقط هارمونیک های متمایز \(N\) وجود دارد، مجموع ها محدود هستند، \(a_{k+N}=a_k\)، و نمایش دقیق برای هر دنباله تناوبی است.

تمرین کنید

مشکلات

مسائل 1 تا 3 تمرین های بازرسی هستند - نیازی به انتگرال نیست. مسائل 4 تا 6 نیاز به معادله تحلیل دارند و در هر مورد ابتدا باید تقارن مشخص شود. مسائل 7 و 8 ایده ها را به سمت نمای سیستمی فصل 12 سوق می دهند.

\(a_k\) را برای \(x(t) = 3 + 4\sin(2t) - 2\cos(4t)\) پیدا کنید. دوره بنیادی را بیان کنید و دامنه و فاز هر هارمونیک غیر صفر را بیان کنید.
سیگنال \(x(t)=\cos(3t)+\cos(5t)\) دوره ای است. فرکانس اصلی آن \(\omega_0\) را پیدا کنید، سپس بگویید کدام هارمونیک \(k\) دارای ضرایب غیر صفر است. توضیح دهید که چرا \(k=1\) یکی از آنها نیست.
یک سیگنال تناوبی واقعی دارای \(a_1 = 2e^{j\pi/3}\) و \(a_2 = -1\) است، با سایر ضرایب صفر. \(x(t)\) را به صورت دامنه فاز بنویسید و \(a_{-1}\) و \(a_{-2}\) را بدون کار بیشتر بیان کنید.
ضرایب فوریه قطار پالس بخش 10-7 را برای \(T = 6\)، \(2T_1 = 3\) محاسبه کنید. صفرها کجا هستند و \(a_0\) چیست؟
ضرایب موج مثلثی \(x(t) = 1-4|t|/T\) برای \(|t| \le T/2\) را که با دوره \(T\) تکرار شده است، بیابید. ابتدا هر سه تقارن را شناسایی کنید و از آنها برای کاهش انتگرال به یک نسبت به \((0, T/2)\) استفاده کنید.
سری فوریه سینوس یکسو شده نیمه موج را محاسبه کنید: \(x(t)=\sin\omega_0 t\) برای \(0 \lt t \lt T/2\) و \(0\) برای \(T/2 \lt t \lt T\). نشان دهید که \(a_1\) باید جدا از فرمول کلی در نظر گرفته شود و دلیل آن را توضیح دهید.
موج مربعی بخش 10-7 با \(\omega_0 = 100\) راد/ثانیه فیلتری را با \(H(j\omega)=1/(1+j\omega/500)\) هدایت می کند. دامنه های سه هارمونیک خروجی غیر صفر اول را محاسبه کنید و در مورد چگونگی تغییر شکل موج اظهار نظر کنید.
برای سیگنال زمان‌گسسته \(x[n] = 1 + \sin(2\pi n/8) + 3\cos(2\pi n/8) + \cos(4\pi n/8 + \pi/2)\)، همه \(a_k\) را با بازرسی پیدا کنید. \(a_{k+8}=a_k\) و \(a_{-k}=a_k^*\) را تأیید کنید.

نکته: قبل از نوشتن یک انتگرال، به سه سوال پاسخ دهید. دوره اساسی چیست - واقعاً پس از هر اصلاح یا مجموع سینوسی ها؟ آیا سیگنال زوج، فرد یا هیچکدام مربوط به مبدأ مناسبی است؟ آیا جابجایی آن در نیم نقطه آن را وارونه می کند؟ بله به هر یک از این حذف ها کار می کند. پاسخ نادرست به پاسخ اول، هر آنچه را که در پی می آید باطل می کند.