خواص و همگرایی سری فوریه

چیزی که یاد خواهید گرفت

چگونه خطی بودن، جابجایی، معکوس شدن و مقیاس بندی، مجموعه ای از ضرایب شناخته شده را بدون لمس یک انتگرال به یک سیگنال جدید منتقل می کند.
چرا یک جابجایی زمانی، طیف قدر را دست نخورده باقی می‌گذارد و طیف فاز را با یک خط مستقیم کج می‌کند - تنها واقعیت مورد استفاده مجدد در کل قسمت 3.
ضرب جفت ↔ کانولوشن دوره ای و دوگانگی بین دو حوزه ای که نشان می دهد.
ویژگی مشتق‌گیری \(jk\omega_0 a_k\) و ترفند مشتق‌گیری یک سیگنال تا زمانی که به ضربه تبدیل شود تا طیف آن را با بازرسی بخواند.
رابطه پارسوال: توان متوسط مجموع توان هارمونیک ها است، بنابراین \(|a_k|^2\) یک طیف توان واقعی است.
شرایط دیریکله - برای داشتن یک سری فوریه، و سه سیگنال کلاسیک که هر کدام از کار می‌افتند، یک سیگنال باید چه چیزی را برآورده کند.
چرا مجموع جزئی بهترین تقریب حداقل مربعات هستند، چرا انرژی خطا به صفر می رسد، و چرا بیش از حد گیبس با این وجود از انجام آن خودداری می کند.

بخش 11-1

خواص برای چه هستند

فصل 10 یک دستور کامل را ارائه کرد: با توجه به \(x(t)\)، برای دریافت \(a_k\) انتگرال‌گیری کنید. با توجه به \(a_k\)، مجموع برای دریافت \(x(t)\). این دستور العمل به معنای واقعی کلمه انتگرال‌گیری جدید توسط قطعات برای هر شکل موج جدید است که هم خسته کننده و هم بی اطلاع است. فصل 8 با کانولوشن با وضعیت مشابه روبرو شد و به همان روش به آن پاسخ داد - با ایجاد ویژگی‌های ساختاری عملیات، به‌طوری‌که نتایج جدید از نتایج قبلی با جبر به‌جای حساب دیفرانسیل و انتگرال به دست آمد.

خواص زیر دو کار مجزا را انجام می دهند و ارزش جدا کردن آنها را دارد. برخی از آنها صرفه جویی در کار دارند: یک نسخه تغییر یافته، مقیاس شده یا ممشتق‌گیری از یک سیگنال که ضرایب آن را قبلاً می دانید نیازی به انتگرال جدیدی ندارد. برخی دیگر ساختاری هستند: آنها به شما می گویند که طیف یک سیگنال قبل از محاسبه هر چیزی چگونه باید باشد، و آنها چیزی هستند که به مهندس اجازه می دهند نگاهی به شکل موج بیندازند و بدون نوشتن خط بگوید "فقط هارمونیک های فرد، سقوط مانند \(1/k^2\)".

نیمه دوم فصل تغییرات ثبت می شود. همه چیز تا اینجا فرض کرده است که سری نامتناهی در معادله سنتز به \(x(t)\) همگرا می شود. برای سیگنالی با پرش - یک موج مربعی، یک ولتاژ نمونه‌برداری شده و یک شکل موج سوئیچینگ - این فرض مستحق بررسی است، زیرا هر مجموع جزئی ترکیبی محدود از سینوسی های صاف است و بنابراین کاملاً پیوسته است. چیزی باید در حد اتفاق بیفتد و اتفاقی که می افتد جالب تر از "کار می کند" یا "نمی شود" است.

کنوانسیون برای این فصل. در سرتاسر، \(x(t)\) و \(y(t)\) با دوره مشابه \(T\)، با \(\omega_0 = 2\pi/T\)، و \(x(t) \stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow} a_k\)، \(y(t) \stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow} b_k\)، دوره ای هستند. هر ویژگی زیر دارای یک همتای زمان‌گسسته است که با جایگزینی \(T\) با \(N\)، انتگرال ها با مجموع در یک دوره، و \(\omega_0\) با \(2\pi/N\) به دست می آید. تفاوت‌های مهم در جایی که به وجود می‌آیند اشاره می‌کنند.

بخش 11-2

خطی، جابجایی، معکوس و مقیاس بندی

خطی بودن آنی است و فوری است زیرا معادله تحلیل یک انتگرال است که خود خطی است. برای هر ثابت \(A\) و \(B\)، ضرایب \(Ax(t)+By(t)\) \(Aa_k + Bb_k\) است. این دارایی است که اغلب مورد استفاده قرار می گیرد و کمتر مورد توجه قرار می گیرد.

جابجایی زمان همان چیزی است که مطالعه را جبران می کند. اجازه دهید \(y(t)=x(t-t_0)\) و ضرایب آن را مستقیماً محاسبه کند و \(\tau = t-t_0\) را جایگزین کند. فاصله انتگرال‌گیری تغییر می کند، اما باز هم بازه زمانی یک دوره کامل است، بنابراین نماد \(\int_T\) آن را جذب می کند:

استخراج ویژگی تغییر زمان

\[ b_k = \frac{1}{T}\int_T x(t-t_0)e^{-jk\omega_0 t}dt = \frac{1}{T}\int_T x(\tau)e^{-jk\omega_0(\tau+t_0)}d\tau = e^{-jk\omega_0 t_0}\cdot\frac{1}{T}\int_T x(\tau)e^{-jk\omega_0 \tau}d\tau \]

🔑

جابجایی زمان

\[ x(t-t_0) \;\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\; a_k\,e^{-jk\omega_0 t_0} \]

فاکتور \(e^{-jk\omega_0 t_0}\) دارای قدر واحد است، بنابراین \(|b_k| = |a_k|\): به تاخیر انداختن یک سیگنال به هیچ وجه طیف بزرگی آن را تغییر نمی دهد. چیزی که تغییر می دهد فاز است، توسط \(-k\omega_0 t_0\) - مقداری متناسب با \(k\)، که به عنوان یک خط مستقیم از طریق مبدا که شیب آن تاخیر است ترسیم می شود.

هر دو نیمه آن بیانیه مهم است. اولی می گوید که قدر به تنهایی نمی تواند به شما بگوید که چه زمانی اتفاق افتاده است. تمام اطلاعات زمان بندی در یک سیگنال در فاز خود زندگی می کنند. دومی می گوید که تاخیر خالص دقیقاً یک مشخصه فاز خطی است. فصل 15 این مشاهدات را معکوس می کند: فیلتری که پاسخ فاز آن در \(\omega\) خطی است، هر هارمونیک را به همان میزان زمان به تأخیر می اندازد و بنابراین شکل موج را مخدوش نمی کند، در حالی که فیلتری با فاز غیر خطی هارمونیک ها را نسبت به یکدیگر حرکت می دهد و آن را منحرف می کند، حتی اگر هر قدر به تنهایی باقی بماند.

تاخیر فاز خطی است - طیف قدر نمی تواند آن را ببیند

زمان معکوس به دنبال همان جایگزینی است، این بار \(\tau = -t\)، که محدودیت ها را تغییر می دهد و علامت \(d\tau\) را لغو می کند و \(x(-t) \leftrightarrow a_{-k}\) را ترک می کند. همراه با نتایج صرف بخش بعدی، این چیزی است که عبارات مربوط به سیگنال‌های زوج و فرد را به گزاره هایی در مورد طیف آنها تبدیل می کند.

مقیاس‌بندی زمانی خاصیتی است که اغلب به اشتباه به خاطر می‌آید، زیرا در تبدیل فوریه فصل 14 مقیاس‌بندی طیف را گسترش می‌دهد، در حالی که در اینجا چنین نیست. اجازه دهید \(\alpha \gt 0\) و \(x(\alpha t)\) را در نظر بگیرید. این یک سیگنال متفاوت با دوره متفاوت است، \(T/\alpha\)، و بنابراین فرکانس اصلی متفاوت، \(\alpha\omega_0\). جایگزینی در معادله تحلیل با دوره جدید، همان اعداد \(a_k\) را برمی گرداند.

🔑

مقیاس بندی زمان

\[ x(\alpha t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\,e^{jk(\alpha\omega_0)t}, \qquad \alpha \gt 0 \]

ضرایب بدون تغییر هستند. فرکانس هایی که در آن نشسته اند در \(\alpha\) ضرب می شود. افزایش سرعت یک رکورد، قدرت نسبی هارمونیک‌های آن را تغییر نمی‌دهد - هر یک از آنها را با همان فاکتور بالا می‌برد، که دقیقاً همان چیزی است که به نظر می‌رسد.

چرا زمان‌گسسته خاصیت مقیاس پذیری ندارد. فصل 4 نشان داد که \(x[\alpha n]\) برای \(\alpha\) غیر صحیح تعریف نشده است - شما نمی توانید نمونه را در نیمه راه بین دو نمونه بخواهید. Decimation و interpolation وجود دارد، اما آنها عملیات متفاوتی هستند با پیامدهای طیفی متفاوت، و فصل 22 به درستی به آنها پرداخته است. فقدان یک قانون مقیاس بندی تمیز در زمان‌گسسته یک نادیده گرفتن نیست. به این دلیل است که تبدیل نرخ نمونه به خودی خود موضوعی است.

بخش 11-3

صرف و تقارن سیگنال‌های واقعی

ترکیب معادله تجزیه و تحلیل، \(\overline{a_k}\) را به عنوان ضریب \(x^*(t)\) در شاخص \(-k\)، که عبارت فشرده \(x^*(t) \leftrightarrow a_{-k}^*\) است، به دست می دهد. فصل 10 مهمترین پیامد را استخراج کرد - برای \(x\)، \(a_{-k}=a_k^*\) واقعی - و بقیه اعضای خانواده با ترکیب آن با زمان معکوس دنبال می‌شوند.

زنجیره استدلال به اندازه کافی کوتاه است که به جای حفظ کردن، بازسازی شود. اگر \(x\) واقعی است، \(a_{-k}=a_k^*\). اگر \(x\) به علاوه یکنواخت باشد، زمان معکوس به \(a_{-k}=a_k\) می دهد. قرار دادن این دو در کنار هم \(a_k = a_k^*\) را نیرو می دهد، بنابراین \(a_k\) واقعی است. اگر در عوض \(x\) فرد باشد، زمان معکوس به \(a_{-k}=-a_k\) می دهد، بنابراین \(a_k = -a_k^*\) و \(a_k\) کاملاً تخیلی هستند. دو واقعیت، با ترکیب دو روش، چهار نتیجه را به وجود می آورند.

اگر \(x(t)\)…	سپس ضرایب راضی کننده…	و طیف نشان می دهد…
واقعی	\(a_{-k}=a_k^{*}\)	\(\|a_k\|\) زوج، \(\angle a_k\) فرد
واقعی و حتی یکنواخت	\(a_k\) واقعی و حتی در \(k\)	فاز فقط \(0\) یا \(\pi\) است
واقعی و عجیب	\(a_k\) خیالی و فرد در \(k\)؛ \(a_0=0\)	فاز فقط \(\pm\pi/2\) است
خیالی	\(a_{-k}=-a_k^{*}\)	\(\|a_k\|\) حتی، \(\angle a_k\) حتی در مورد \(\pi/2\)

یک پیامد دیگر ارزش بیان کردن دارد زیرا در فصل بعدی استفاده شده است. هر سیگنال حقیقی طبق فصل 4 به دو قسمت زوج و فرد تقسیم می شود، \(x = \mathrm{Ev}\{x\} + \mathrm{Od}\{x\}\). اعمال جدول برای هر قسمت به طور جداگانه نشان می دهد که قسمت زوج دقیقاً قسمت واقعی طیف را حمل می کند و قسمت فرد دقیقاً قسمت خیالی را حمل می کند:

قسمت های زوج و فرد یک سیگنال حقیقی

\[ \mathrm{Ev}\{x(t)\} \;\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\; \mathrm{Re}\{a_k\}, \qquad\qquad \mathrm{Od}\{x(t)\} \;\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\; j\,\mathrm{Im}\{a_k\} \]

بخش 11-4

ضرب و کانولوشن دوره ای

وقتی دو سیگنال تناوبی یک دوره ضرب شوند، چه اتفاقی برای ضرایب می افتد؟ هر دو را به صورت سری بنویسید و ضرب کنید. یک اصطلاح محصول حاوی \(e^{j(l+m)\omega_0 t}\) است، بنابراین برای جمع آوری ضریب هارمونیک \(k\)th باید هر جفت را با \(l+m=k\) جمع آوری کنیم:

ضرب دو سری فوریه

\[ x(t)y(t) = \left(\sum_{l} a_l e^{jl\omega_0 t}\right)\left(\sum_{m} b_m e^{jm\omega_0 t}\right) = \sum_{k}\left(\sum_{l=-\infty}^{\infty} a_l\,b_{k-l}\right)e^{jk\omega_0 t} \]

🔑

ضرب در زمان کانولوشن ضرایب است

\[ x(t)\,y(t) \;\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\; \sum_{l=-\infty}^{\infty} a_l\,b_{k-l} \;=\; a_k * b_k \]

مجموع سمت راست دقیقاً کانولوشن مجزای فصل 7 است که به جای سیگنال‌ها، بر روی دنباله‌های ضرایب انجام می‌شود. ضرب شکل موج طیف های آنها را با هم مخلوط می کند. این مکانیزم پشت هر مدولاتور و هر میکسر است.

ویژگی companion به روش دیگری اجرا می شود. کانولوشن معمولی دو سیگنال تناوبی واگرا می شود - انتگرال در محدوده بی نهایت سیگنالی که هرگز تجزیه نمی شود نمی تواند همگرا شود - بنابراین عملیات در یک دوره واحد دوباره تعریف می شود. کانولوشن دوره ای است

کانولوشن دوره ای

\[ z(t) = \int_{T} x(\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau \]

و ضرایب آن از جابجایی ترتیب انتگرال‌گیری و اعمال ویژگی تغییر زمانی به انتگرال داخلی است. انتگرال داخلی انتگرال تحلیلی \(y(t-\tau)\) است که در بخش 11-2 برابر است با \(T\,b_k e^{-jk\omega_0\tau}\):

استخراج ویژگی تناوبی-کانولوشن

\[ c_k = \frac{1}{T}\int_T\!\left[\int_T x(\tau)y(t-\tau)d\tau\right]e^{-jk\omega_0 t}dt = \frac{1}{T}\int_T x(\tau)\Big[T\,b_k e^{-jk\omega_0\tau}\Big]d\tau = T\,a_k b_k \]

دوگانگی نکته است. کانولوشن در زمان ↔ ضرب ضرایب. ضرب در زمان ↔ کانولوشن ضرایب. همان جفت شدن برای تبدیل فوریه در فصل 14، برای تبدیل لاپلاس در فصل 18، و برای تبدیل \(z\) در فصل 24 دوباره ظاهر می شود، و در هر مورد دلیل این است که تبدیل ها ارزش دردسر را دارند: عملیاتی که در یک حوزه سخت است، در حوزه دیگر بی اهمیت است.

بخش 11-5

مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری

معادله سنتز را به صورت ترم ممشتق‌گیری کنید. هر \(e^{jk\omega_0 t}\) یک عامل \(jk\omega_0\) دارد و هیچ چیز دیگری، زیرا نمایی تا آن ثابت مشتق خودش است:

ممشتق‌گیری کردن سریال

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\sum_{k}a_k e^{jk\omega_0 t} = \sum_{k} (jk\omega_0)\,a_k\,e^{jk\omega_0 t} \]

🔑

مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری

\[ \frac{dx(t)}{dt} \;\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\; jk\omega_0\,a_k \qquad\qquad \int_{-\infty}^{t}\! x(\tau)d\tau \;\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\; \frac{a_k}{jk\omega_0} \]

نتیجه انتگرال‌گیری فقط زمانی باقی می ماند که \(a_0=0\). اگر سیگنال میانگین غیر صفر داشته باشد، انتگرال‌گیری آن یک سطح شیب دار ایجاد می کند که بدون محدودیت رشد می کند، نتیجه دوره ای نیست، و هیچ سری فوریه ای برای آن وجود ندارد - عبارت \(k=0\) فرمول، تقسیم بر صفر، این را به وضوح بیان می کند.

این دو قانون تبدیل به یک تکنیک می شود. مشتق‌گیری یک شکل موج تکه‌ای خطی به طور مکرر آن را با زنجیره فصل 3 به یک قطار از گام‌ها و سپس به قطاری از ضربه‌ها کاهش می‌دهد - و ضرایب یک قطار ضربه‌ای بی‌اهمیت است، زیرا غربال کردن تجزیه‌وتحلیل را فوراً ارزیابی می‌کند. آنها را محاسبه کنید، سپس بر \((jk\omega_0)^m\) تقسیم کنید تا دوباره به بالا بروید. مثال کار شده 2 دقیقاً این کار را برای موج مثلثی انجام می دهد.

خواندن ساختاری نیز وجود دارد و یکی از مفیدترین بخش های شهود در موضوع است. مشتق‌گیری \(a_k\) را در \(k\) ضرب می کند. بنابراین اگر قرار است \(dx/dt\) ضرایبی داشته باشد که محدود بماند، \(a_k\) باید حداقل به سرعت \(1/k\) سقوط کند. اجرای آرگومان به صورت معکوس، صافی شکل موج را به فروپاشی طیف آن مرتبط می کند.

شکل موج	بدترین ویژگی	پوسیدگی \(a_k\)	مثال
حاوی ضربه ها است	ضربه	پوسیده نمی شود	قطار ضربه ای
ناپیوسته	پرش در \(x\)	\(\propto 1/k\)	موج مربعی، دندانه اره
پیوسته، پیچ خورده	پرش در \(dx/dt\)	\(\propto 1/k^2\)	موج مثلثی
برای مرتبه \(m\) راحت باشید	پرش در \(d^{m}x/dt^{m}\)	\(\propto 1/k^{m+1}\)	پالس کسینوس افزایش یافته

یک طیف را به عقب بخوانید. اگر طیف خط اندازه گیری شده به صورت \(1/k\) سقوط کند، شکل موجی که از آن آمده است، در جایی ناپیوستگی دارد، هر چه پهنای باند محدود اسیلوسکوپ ممکن است آن را شبیه به آن کرده باشد. اگر به صورت \(1/k^2\) بیفتد، شکل موج پیوسته است اما یک گوشه دارد. این استنتاج - از نرخ پوسیدگی تا صافی - به طور مداوم در قسمت 4 استفاده می شود، جایی که به بیانیه ای در مورد دم تبدیل فوریه تبدیل می شود.

بخش 11-6

رابطه پارسوال و طیف توان

فصل 2 توان متوسط یک سیگنال دوره ای را به صورت \(P = \frac{1}{T}\int_T |x(t)|^2 dt\) تعریف کرد. سوالی که پارسوال به آن پاسخ می‌دهد این است که آیا می‌توان آن توان را به هارمونیک‌های فردی نسبت داد یا خیر، و پاسخ - که می‌تواند، بدون هیچ گونه عبارات متقابلی - نتیجه مستقیم متعامد بودن است.

\(|x|^2 = x\,x^*\) را بنویسید، سری را برای هر عامل جایگزین کنید و انتگرال‌گیری کنید:

استخراج رابطه پارسوال

\[ \frac{1}{T}\int_T |x(t)|^2 dt = \frac{1}{T}\int_T \sum_{k}a_k e^{jk\omega_0 t}\sum_{m}a_m^{*}e^{-jm\omega_0 t}\,dt = \sum_{k}\sum_{m} a_k a_m^{*}\left[\frac{1}{T}\int_T e^{j(k-m)\omega_0 t}dt\right] \]

هنگامی که \(k=m\) و \(0\) در غیر این صورت، براکت \(1\) است، بنابراین جمع مضاعف روی قطر آن فرو می‌رود.

🔑

رابطه پارسوال برای سری فوریه

\[ \frac{1}{T}\int_{T}|x(t)|^2\,dt \;=\; \sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2 \qquad\qquad \frac{1}{N}\sum_{n=\langle N\rangle}|x[n]|^2 = \sum_{k=\langle N\rangle}|a_k|^2 \]

مجموع توان متوسط برابر است با مجموع توان هارمونیک های فردی. از آنجایی که عبارات متقابل ناپدید می شوند، \(|a_k|^2\) در واقع توانی است که توسط هارمونیک \(k\)th حمل می شود، و نمودار \(|a_k|^2\) در برابر \(k\) طیف توان سیگنال نامیده می شود.

برای یک سیگنال حقیقی، خطوط \(\pm k\) دارای قدر مساوی هستند، بنابراین می توان آنها را ادغام کرد: \(P = a_0^2 + 2\sum_{k\ge1}|a_k|^2\)، که در نماد دامنه-فاز \(P = C_0^2 + \tfrac12\sum_{k\ge1}C_k^2\) را می خواند. ضریب یک نصف عبارت آشنا است که یک سینوسی با دامنه اوج \(C\) دارای مقدار میانگین مربع \(C^2/2\) است. پارسوال به سادگی می گوید که اینها اضافه می کنند.

کاربرد عملی این است که تصمیم بگیرید چه تعداد هارمونیک مهم هستند. مشخصاتی مانند "اعوجاج هارمونیک کل زیر 1٪" بیانیه ای در مورد دم این مجموع است، و کوتاه کردن یک سری تنها زمانی قابل دفاع است که بدانید عبارات دور ریخته شده چه کسری از توان را دارند. مثال کار شده 3 این کار را برای موج مربعی انجام می دهد، با نتیجه ای که در اولین بار اکثر مردم را شگفت زده می کند.

بخش 11-7

شرایط دیریکله

همه چیز تا این مرحله فرض می‌کرد که معادله سنتز \(x(t)\) را بازتولید می‌کند. فوریه آن را برای همه سیگنال‌ها بیان کرد. این ادعا نادرست است، و شناسایی فرضیه های صحیح ریاضیدانان را در بیشتر قرن نوزدهم به خود مشغول کرده است. شرایط دیریکله کافی است - نه ضروری - و با هر سیگنالی که یک مهندس احتمالاً به آن برخورد می کند، ارضا می شود.

🔑

شرایط دیریکله

\[ \text{(1)}\ \int_{T}|x(t)|\,dt \lt \infty \qquad \text{(2)}\ \text{finitely many maxima and minima in one period} \qquad \text{(3)}\ \text{finitely many finite discontinuities} \]

اگر هر سه ثابت باشند، سری فوریه در هر نقطه ای که \(x\) پیوسته است به \(x(t)\) و در هر ناپیوستگی به نقطه میانی \(\tfrac12\big[x(t^{+})+x(t^{-})\big]\) همگرا می شود.

شرط (1) چیزی است که باعث می‌شود تحلیل انتگرال وجود داشته باشد: اگر \(\int_T|x|\,dt\) نامحدود باشد، خود \(a_k\) تعریف نشده است و چیزی برای بحث وجود ندارد. شرایط (2) و (3) سیگنال‌هایی را که اغلب در یک زمان محدود بی نهایت نوسان می کنند یا می پرند را حذف نمی کند. هر شرط دارای یک سیگنال استاندارد است که آن را نقض می کند و فقط آن را نقض می کند.

کاملاً قابل ادغام نیست

ماکزیمم بی نهایت زیاد

بی نهایت پرش

هیچ یک از این سه سیگنالی نیست که هیچ ابزاری بتواند تولید کند، و این خلاصه صادقانه شرایط است: آنها حصاری دور آسیب شناسی هستند، نه محدودیتی برای مهندسی. عبارتی که در عمل گاز می گیرد، نیمه دوم قضیه است - رفتار در یک پرش. در یک ناپیوستگی، سریال به هیچ یک از یک‌سویه‌ها نمی‌رسد، بلکه به میانگین آن‌ها همگرا می‌شود، و این کار را به دلیلی آسان انجام می‌دهد: سریال راهی برای تمایز دو طرف ندارد، زیرا هر یک از اصطلاحات آن پیوسته است. در مواجهه با انتخاب بین \(x(t^-)\) و \(x(t^+)\)، تفاوت را تقسیم می کند.

به همین دلیل است که سری دندان اره ای فصل 10 \(T/2\) را در \(t=0\) برمی گرداند در حالی که سیگنال در آنجا \(0\) تعریف شده بود، و چرا سری موج مربعی در هر لحظه سوئیچینگ \(0\) را برمی گرداند. در هر دو مورد، سری درست است و مقدار نقطه نامربوط است - همانطور که در فصل 3 مشاهده شد، تغییر یک سیگنال در لحظه‌های مجزا، هیچ انتگرالی را تغییر نمی‌دهد، و انتگرال‌ها همه ضرایبی هستند که تاکنون دیده‌ایم.

بخش 11-8

همگرایی میانگین مربع و پدیده گیبس

قضیه همگرایی دومی با فرضیه ضعیف‌تر و نتیجه‌گیری ضعیف‌تر وجود دارد و برای اهداف مهندسی مهم‌تر از این دو است. فقط درخواست می کند که سیگنال در یک دوره، \(\int_T |x|^2dt \lt \infty\) انرژی محدود داشته باشد، و نتیجه نمی گیرد که این سری در هر لحظه با \(x\) مطابقت دارد، بلکه انرژی خطا به صفر می رسد.

برای بیان آن، مجموع جزئی \(N\)th و خطای آن را تعریف کنید. در واقع جاه طلبانه تر بودن و پرسیدن اینکه کدام ضرایب \(c_k\) بهترین تقریب هارمونیک مدت \(N\) را ارائه می دهد، به جای اینکه ضرایب فوریه را بهینه فرض کنیم، سودمند است. به \(\hat{x}_N(t)=\sum_{|k|\le N} c_k e^{jk\omega_0 t}\) اجازه دهید و خطای میانگین مربع را با استفاده از متعامد بودن در هر مرحله گسترش دهید:

به حداقل رساندن خطای میانگین مربع در تمام انتخاب های ضرایب

\[ E_N = \frac{1}{T}\int_T \big|x-\hat{x}_N\big|^2 dt = \underbrace{\frac{1}{T}\int_T|x|^2dt}_{P} \;-\; \sum_{|k|\le N}\big(c_k^{*}a_k + c_k a_k^{*}\big) \;+\; \sum_{|k|\le N}|c_k|^2 \]

حالا مربع دو جمع آخر را کامل کنید و \(\sum|a_k|^2\) را جمع و کم کنید:

همان عبارت، بازآرایی شده است

\[ E_N = P - \sum_{|k|\le N}|a_k|^2 \;+\; \sum_{|k|\le N}\big|c_k - a_k\big|^2 \]

آخرین مجموع مجموع مربع هاست و تنها بخشی است که به انتخاب ما بستگی دارد. دقیقاً زمانی که \(c_k = a_k\) برای هر \(k\) کوچکترین - صفر است.

🔑

مجموع جزئی بهترین تقریب است و خطای آن چیزی است که پارسوال کنار گذاشته است

\[ \min_{c_k} E_N = P - \sum_{|k|\le N}|a_k|^2 \;\ge\; 0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{|k|\le N}|a_k|^2 \le \frac{1}{T}\int_T |x|^2 dt \]

ضرایب فوریه صرفاً یک انتخاب نیستند. آنها بهترین گزینه در معنای حداقل مربع هستند و افزودن هارمونیک هرگز نمی تواند یک سری کوتاه را بدتر کند. نابرابری سمت راست نابرابری بسل است، و رابطه پارسوال دقیقاً بیانیه ای است که به یک برابری به عنوان \(N\to\infty\) تبدیل می شود - یعنی \(E_N \to 0\).

بنابراین انرژی خطا از بین می رود. آنچه از بین نمی رود حداکثر خطا است و اختلاف بین این دو عبارت پدیده گیبس است.

مجدداً به مجموع جزئی موج مربعی فصل 10 نگاه کنید. در نزدیکی هر پرش، مجموع جزئی بیش از حد افزایش می یابد، و افزودن هارمونیک ها باعث حذف بیش از حد نمی شود. فقط آن را در یک فاصله باریکتر در دو طرف ناپیوستگی فشرده می کند. ارتفاع قله به یک عدد ثابت همگرا می شود و آن عدد 1 نیست.

محل قله را می توان دقیقاً پیدا کرد. ممشتق‌گیری کردن مجموع جزئی از طریق هارمونیک \(2M-1\) و استفاده از هویت \(\sum_{m=1}^{M}\cos(2m-1)\theta = \sin(2M\theta)/(2\sin\theta)\) نشان می‌دهد که مشتق ابتدا وقتی \(2M\omega_0 t = \pi\)، یعنی در \(t = T/(4M)\) ناپدید می‌شود. ارزیابی مجموع در آنجا و اجازه دادن به \(M\to\infty\) آن را به یک جمع ریمان برای یک انتگرال تبدیل می کند:

اوج محدود مبالغ جزئی

\[ \lim_{M\to\infty} x_M\!\left(\frac{T}{4M}\right) = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,du = \frac{2}{\pi}\,\mathrm{Si}(\pi) = 1.17898\ldots \]

🔑

پدیده گیبس

\[ \text{overshoot} \;\to\; 8.95\% \ \text{of the height of the jump, for every } M \]

موج مربعی 2 پرش می کند، از\(-1\)به\(+1\)، و مجموع جزئی به اوج خود می رسد\(1.179\)- بیش از حد\(0.179\)، که است\(8.95\%\)از\(2\). در حال افزایش است\(M\)موج را باریک می کند اما هرگز آن را پایین نمی آورد. از آنجایی که عرض ریپل به نسبت کوچک می شود، انرژی آن به صفر می رسد، که دقیقاً همانگونه است که همگرایی میانگین مربع و یک مازاد بری دائمی بدون تناقض در کنار هم وجود دارند.

بیش از حد باریک می شود اما منقبض نمی شود - گیبس در یک پرش

چرا این یک کنجکاوی نیست. هر زنجیره پردازش واقعی یک طیف را کوتاه می کند: یک فیلتر دارای پهنای باند محدود است، یک سیستم دیجیتال با نرخ نمونه محدود. کوتاه کردن یک طیف دقیقاً یک مجموع جزئی را تشکیل می دهد، بنابراین زنگ زدن در لبه ها نقص یک طراحی خاص نیست، بلکه نتیجه ریاضی محدود کردن باند یک سیگنال با انتقال شدید است. توابع پنجره، که دوباره در فصل 26 ظاهر می شوند، وجود دارند تا این بیش از حد را در برابر یک انتقال گسترده تر معاوضه کنند - می توانید زنگ را سرکوب کنید، اما هرگز به صورت رایگان.

بخش 11-9

نمونه های کار شده

1 یک موج مربعی جابجا شده، بدون انتگرال‌گیری

مشکل در فصل 10 مشخص شد که موج مربع فرد\(s(t)\)، برابر با\(+1\)در\((0,T/2)\)و\(-1\)در\((-T/2,0)\)، دارای ضرایب است\(s_k = -2j/(\pi k)\)برای فرد\(k\)و\(0\)در غیر این صورت. سری فوریه را پیدا کنید\(y(t) = s(t-T/4)\).

راه حل. جابجایی زمان هر ضریب را در ضرب می کند\(e^{-jk\omega_0 t_0}\)با\(t_0 = T/4\). از آنجایی که\(\omega_0 T/4 = \pi/2\)، عامل است\(e^{-jk\pi/2}\)، که برای فرد\(k\)است\(-j\)چه زمانی\(k \equiv 1 \pmod 4\)و\(+j\)چه زمانی\(k \equiv 3 \pmod 4\).

کار - سه ضریب اول

\[ b_1 = \left(\frac{-2j}{\pi}\right)(-j) = -\frac{2}{\pi}, \qquad b_3 = \left(\frac{-2j}{3\pi}\right)(+j) = \frac{2}{3\pi}, \qquad b_5 = \left(\frac{-2j}{5\pi}\right)(-j) = -\frac{2}{5\pi} \]

هر ضریب واقعی شده است و در علامت متناوب می شوند. ضرایب واقعی به معنای یک سیگنال زوج است - که درست است، زیرا جابجایی موج مربعی با یک چهارم دوره آن را به طور متقارن در مورد \(t=0\) قرار می دهد. جفت کردن \(\pm k\) و استفاده از \(2b_k\cos k\omega_0 t\):

کار کردن - نتیجه

\[ y(t) = -\frac{4}{\pi}\left[\cos\omega_0 t - \frac{1}{3}\cos 3\omega_0 t + \frac{1}{5}\cos 5\omega_0 t - \cdots\right] \]

به \(t=0\)، جایی که \(y(0)=s(-T/4)=-1\) مراجعه کنید. براکت \(1-\tfrac13+\tfrac15-\cdots = \pi/4\) است، بنابراین سری \(-\tfrac{4}{\pi}\cdot\tfrac{\pi}{4} = -1\) می دهد. صحیح - و بدون یک انتگرال واحد، از ضرایب محاسبه شده یک بار در فصل قبل به دست آمده است.

2 موج مثلثی با مشتق‌گیری

مشکل اجازه دهید \(y(t) = 1 - 4|t|/T\) برای \(|t|\le T/2\)، با دوره \(T\) تکرار شود - یک موج مثلثی که بین \(+1\) و \(-1\) جریان دارد. ضرایب آن را با استفاده از خاصیت مشتق‌گیری پیدا کنید.

راه حل. ممشتق‌گیری کردن. در \((0,T/2)\) شیب \(-4/T\) است. در \((-T/2,0)\) \(+4/T\) است. این یک موج مربعی با دامنه \(4/T\) است که نسبت به \(s(t)\) معکوس شده است:

کارکردن - مشتق

\[ \frac{dy}{dt} = -\frac{4}{T}\,s(t) \quad\Longrightarrow\quad \text{its coefficients are} \quad -\frac{4}{T}\,s_k = -\frac{4}{T}\cdot\frac{-2j}{\pi k} = \frac{8j}{T\pi k} \ \ (k \ \text{odd}) \]

با ویژگی مشتق‌گیری، این ضرایب نیز برابر با \(jk\omega_0 b_k\) هستند. معادل سازی و حل با \(\omega_0 = 2\pi/T\):

کار - حل برای \(b_k\)

\[ b_k = \frac{1}{jk\omega_0}\cdot\frac{8j}{T\pi k} = \frac{8}{T\pi k^2\omega_0} = \frac{8}{T\pi k^{2}}\cdot\frac{T}{2\pi} = \frac{4}{\pi^{2}k^{2}} \quad (k \ \text{odd}), \qquad b_k = 0 \ (k \ \text{even}) \]

ضریب \(k=0\) با این روش تعیین نمی شود و باید جداگانه ارائه شود. در اینجا مثلث در حدود صفر متقارن است، بنابراین \(b_0 = 0\). مونتاژ سری و جفت کردن \(\pm k\):

کار کردن - نتیجه

\[ y(t) = \frac{8}{\pi^{2}}\sum_{k \ \text{odd}}\frac{\cos k\omega_0 t}{k^{2}} \]

دو چک در \(t=0\) سری \(\frac{8}{\pi^2}\big(1+\tfrac19+\tfrac1{25}+\cdots\big) = \frac{8}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8}=1 = y(0)\) می دهد. و ضرایب به جای \(1/k\) موج مربعی، به‌عنوان \(1/k^2\)، دقیقاً همانطور که بخش 11-5 برای سیگنالی پیوسته اما دارای گوشه‌ها پیش‌بینی می‌کند، قرار می‌گیرد.

3 چقدر توان در چند هارمونیک اول زندگی می کند

مشکل برای موج واحد مربع، کسری از مجموع توان متوسط حمل شده توسط هارمونیک ها تا 1، 3، 5 و 7 را بیابید.

راه حل. توان کل بدون هیچ سری آسان است: \(|x(t)|=1\) در همه جا، بنابراین \(P = \frac{1}{T}\int_T 1\,dt = 1\). هر جفت هارمونیک \(\pm k\) به \(2|a_k|^2 = 2\big|{-2j}/{\pi k}\big|^2 = 8/(\pi^2 k^2)\) کمک می کند.

هارمونیک \(k\)	پاور \(8/\pi^2k^2\)	تجمعی	کسری از \(P\)
1	0.81057	0.81057	81.06%
3	0.09006	0.90063	90.06%
5	0.03242	0.93306	93.31%
7	0.01654	0.94960	94.96%

فاندامنتال به تنهایی 81 درصد از توان موج مربعی را حمل می کند و چهار هارمونیک اول غیر صفر حامل 95 درصد هستند. به همین دلیل است که موج مربعی عبور از یک فیلتر باریک همچنان در فرکانس مناسب به‌طور قابل تشخیص دوره‌ای به نظر می‌رسد، و همچنین یک هشدار است: نمایشی که 95 درصد توان را به خود اختصاص می‌دهد، همچنان می‌تواند به طرز مشهودی شکل اشتباه داشته باشد، زیرا 5 درصد از دست رفته کاملاً در لبه‌ها متمرکز است. پارسهوال انرژی را می سنجد نه شباهت.

به عنوان یک بررسی سازگاری، مجموع کامل باید 1 را نشان دهد: \(\sum_{k \ \text{odd}} 8/(\pi^2k^2) = \frac{8}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8} = 1\)، با استفاده از \(\sum_{k \ \text{odd}}1/k^2 = \pi^2/8\). این کار را انجام می دهد.

4 ضرب به عنوان جابجایی طیفی

مشکل یک سیگنال دوره ای \(x(t)\) با ضرایب \(a_k\) در \(\cos\omega_0 t\) ضرب می شود. ضرایب محصول را بیابید و نتیجه را برای \(x(t)=1+\cos\omega_0 t\) بررسی کنید.

راه حل. کسینوس فقط دو ضریب غیر صفر دارد، \(b_1 = b_{-1} = \tfrac12\). سپس خاصیت ضرب یک کانولوشن را فقط با دو جمله می دهد:

کار کردن - نتیجه کلی

\[ c_k = \sum_{l} a_l\,b_{k-l} = \tfrac12 a_{k-1} + \tfrac12 a_{k+1} \]

هر خط از طیف اصلی نصف شده و به دو هارمونیک همسایه کپی می شود. این مدولاسیون دامنه در مینیاتوری است، و فصل 28 فرمول یکسانی را نشان می‌دهد که کل طیف باند پایه را تا فرکانس حامل حرکت می‌کند.

با \(x(t)=1+\cos\omega_0 t\) تأیید کنید که ضرایب آن \(a_0=1\) و \(a_{\pm1}=\tfrac12\) است:

کار کردن - استفاده از فرمول

\[ c_0 = \tfrac12(a_{-1}+a_1) = \tfrac12, \qquad c_{\pm1} = \tfrac12(a_0 + a_{\pm2}) = \tfrac12, \qquad c_{\pm2} = \tfrac12(a_{\pm1}+a_{\pm3}) = \tfrac14 \]

اکنون مستقیماً ضرب کنید: \((1+\cos\omega_0t)\cos\omega_0 t = \cos\omega_0 t + \cos^2\omega_0 t = \tfrac12 + \cos\omega_0 t + \tfrac12\cos 2\omega_0 t\). با خواندن ضرایب آن، \(c_0 = \tfrac12\)، \(c_{\pm1}=\tfrac12\)، \(c_{\pm2}=\tfrac14\) به دست می آید. این دو مسیر موافق هستند، و حاصلضرب شامل هارمونیک دومی است که هیچ عاملی در اختیار ندارد - ضرب، بر خلاف هر عملیات LTI، فرکانس های جدیدی را ایجاد می کند.

5 کاری که سریال در یک پرش انجام می دهد

مشکل سری موج مربعی را در \(t=0\) و در \(t=T/4\) ارزیابی کنید و بگویید هر نتیجه به چه معناست.

راه حل. سری \(x(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k \ \text{odd}}\sin(k\omega_0 t)/k\) است. در \(t=0\) هر سینوس صفر است، بنابراین سری \(0\) را برمی گرداند. خود سیگنال از \(-1\) به \(+1\) در آنجا پرش می کند و نقطه میانی آن پرش \(\tfrac12(-1+1)=0\) است. این سریال دقیقاً همان جایی است که قضیه دیریکله می گوید باید.

در \(t=T/4\) ما \(\omega_0 t = \pi/2\) داریم، بنابراین \(\sin(k\pi/2)\) از طریق \(+1, -1, +1, \ldots\) برای \(k = 1,3,5,\ldots\) می‌چرخد. سیگنال در آنجا با مقدار \(+1\) پیوسته است، بنابراین سری باید به \(1\) همگرا شود:

کار کردن - یک محصول جانبی

\[ 1 = \frac{4}{\pi}\left[1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots\right] \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{4} = 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots \]

که سری لایب نیتس برای \(\pi\) است که در اینجا به عنوان یک پیامد رایگان موج مربعی به دست آمده است. یک قضیه همگرایی در مورد سیگنال‌ها واقعیتی در مورد اعداد ایجاد کرده است، و همان ترفندی که برای موج مثلثی مثال 2 در \(t=0\) اعمال شد، \(\sum_{k \ \text{odd}}1/k^2 = \pi^2/8\) را به دست می دهد.

6 دو نوع خطا، اندازه گیری شده است

مشکل برای موج واحد مربع تقریبی با هارمونیک‌ها تا عدد 9، (الف) خطای میانگین مربع \(E_N\)، و (ب) بزرگترین خطای نقطه‌ای را محاسبه کنید. در مورد مقایسه نظر دهید

راه حل (الف). بر اساس نتیجه بخش 11-8، \(E_N = P - \sum_{|k|\le N}|a_k|^2\) با \(P=1\). جمع کردن توان های هارمونیک از مثال 3 و اضافه کردن نهم، \(8/(81\pi^2)=0.01001\):

در حال کار - انرژی خطا

\[ \sum_{|k|\le 9}|a_k|^2 = 0.81057+0.09006+0.03242+0.01654+0.01001 = 0.95960, \qquad E_N = 1 - 0.95960 = 0.0404 \]

بنابراین کمی بیش از 4 درصد از برق به حساب نمی آید.

راه حل (ب). بزرگترین خطای نقطه ای در قله گیبس رخ می دهد. با هارمونیک‌ها تا نهم، \(2M-1=9\) داریم، بنابراین \(M=5\) و پیک در \(t = T/20\) قرار دارد. ارزیابی مبلغ جزئی در آنجا،

کار کردن - اوج

\[ x_5\!\left(\frac{T}{20}\right) = \frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^{5}\frac{\sin\!\big((2m-1)\pi/10\big)}{2m-1} = \frac{4}{\pi}(0.9286) = 1.1823 \]

خطای نقطه ای وجود دارد\(0.1823\)، یا 18.2٪ از دامنه سیگنال - بیش از چهار برابر خطای توان کسری، و به سختی با ترم های بیشتر بهبود می یابد: همان محاسبه با هارمونیک ها تا 29 را نشان می دهد.\(1.1793\)، و حد است\(1.17898\).

مقایسه درس فصل است. به طور میانگین در یک دوره، تقریب عالی است و به طور پیوسته در حال بهبود است. در بدترین لحظه ضعیف است و به سختی در حال بهبود است. اینکه کدام معیار باید به آن اهمیت دهید کاملاً به کاربرد بستگی دارد: محاسبه توان توسط اولین محاسبه به خوبی انجام می شود، محاسبه زمان بندی یا تقاطع آستانه به شدت توسط آن گمراه می شود.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ جابجایی

\(x(t-t_0)\leftrightarrow a_k e^{-jk\omega_0 t_0}\): قدر دست نخورده، فاز با یک خط مستقیم کج شده است. همه زمان‌ها در فاز زندگی می‌کنند.

✓ تقارن

Real می دهد \(a_{-k}=a_k^*\); واقعی و حتی واقعی \(a_k\) را می دهد. واقعی و عجیب \(a_k\) خیالی می دهد. دو واقعیت، چهار نتیجه.

✓ دوگانگی

کانولوشن دوره ای در زمان \(T a_k b_k\) است. ضرب در زمان کانولوشن دنباله های ضریب است.

✓ مشتق‌گیری

\(jk\omega_0 a_k\). از این رو، فروپاشی \(a_k\) صافی را اندازه گیری می کند: \(1/k\) برای پرش، \(1/k^2\) برای یک گوشه.

✓ پارسهوال

\(\frac1T\int_T|x|^2dt = \sum_k|a_k|^2\). بدون عبارات متقابل، بنابراین \(|a_k|^2\) یک طیف توان واقعی است.

✓ همگرایی

دیریکله همگرایی نقطه ای را به نقطه وسط در یک پرش می دهد. انرژی محدود به \(E_N\to0\) می‌دهد - اما مازاد گیبس در 8.95٪ باقی می‌ماند.

تمرین کنید

مشکلات

مسائل 1 تا 4 باید با ویژگی ها به تنهایی حل شوند - اگر متوجه شدید که یک تجزیه و تحلیل را تنظیم می کنید، دوباره نگاه کنید. مسائل 5 تا 8 مربوط به توان و همگرایی است.

یک سیگنال دوره ای \(x(t)\) با دوره \(T\) دارای ضرایب \(a_k\) است. بدون انتگرال‌گیری، ضرایب \(x(t-T/2)\)، \(x(-t)\)، \(x(t)-x(t-T/2)\)، و \(\mathrm{Ev}\{x(t)\}\) را با فرض واقعی بودن \(x\) بنویسید.
نشان دهید که اگر \(x(t) = x(t+T/2)\) - یعنی سیگنال در واقع دو برابر سریعتر از آنچه ادعا می شود تکرار می شود - آنگاه \(a_k = 0\) برای همه \(k\) عجیب و غریب. این را با نتیجه تقارن نیم موج فصل 10 مقایسه کنید و توضیح دهید که چرا نتیجه ها مخالف هستند.
با شروع از ضرایب دندانه اره ای \(a_k = jT/(2\pi k)\) در فصل 10، از ویژگی ها برای یافتن ضرایب دندانه اره معکوس \(x(-t)\) و دندان اره تغییر یافته \(x(t - T/2)\) استفاده کنید. هر دو شکل موج را ترسیم کنید و تأیید کنید که پاسخ های شما منطقی است.
یک سیگنال دارای ضرایب \(a_k\) است که به صورت \(1/k^3\) کاهش می یابد. در مورد تداوم \(x(t)\) و اولین مشتق آن چه می توانید بگویید؟ \(a_k\) برای شکل موجی که دارای قطاری از ضربه است چگونه به نظر می رسد؟
موج واحد مثلثی نمونه کار شده 2 دارای \(b_k = 4/\pi^2k^2\) برای \(k\) فرد است. میانگین توان آن را مستقیماً از شکل موج محاسبه کنید، سپس با استفاده از سه هارمونیک غیر صفر اول، رابطه پارسوال را با سه رقم اعشار بررسی کنید و در مورد باقیمانده نظر دهید.
دو سیگنال از همان دوره \(T\) دارای ضرایب \(a_k\) و \(b_k\) هستند. رابطه پارسوال تعمیم یافته \(\frac1T\int_T x(t)y^*(t)\,dt = \sum_k a_k b_k^{*}\) را ثابت کنید و با تنظیم \(y=x\) شکل معمولی را استنباط کنید.
دقیقاً یکی از موارد زیر هر سه شرط دیریکله را برآورده می کند. بگویید کدام، و برای هر یک از دو نام دیگر شرط خاصی را نقض می کند: (الف) \(x(t)=\tan t\) در \((-\pi/2,\pi/2)\)، با نقطه \(\pi\) تکرار می شود. (ب) یک موج مربعی با دامنه \(10^6\). (ج) \(x(t)=t^{-1/2}\) در \((0,1]\)، با دوره 1 تکرار می شود. برای (c)، قبل از تصمیم گیری، شرط (1) را به دقت بررسی کنید.
یک موج مربعی از هارمونیک های آن تا 49 بازسازی شده است. بیش از حد اوج، کسری از توان جذب شده، و عرض بیش از حد را نسبت به دوره تخمین بزنید. با اضافه شدن هارمونیک های بیشتر، کدام یک از سه عدد سریعتر بهبود می یابد؟

نکته: وقتی مشکلی شکل موجی شبیه موجی که قبلاً آنالیز کرده اید به شما می دهد، در مقابل انتگرال تحلیل مقاومت کنید. در عوض بپرسید کدام دنباله از عملیات - تغییر، معکوس، مقیاس، اضافه کردن یک ثابت، ممشتق‌گیری کردن - شکل موج شناخته شده را به موج جدید تبدیل می کند، سپس ویژگی تطبیق را به ضرایب شناخته شده اعمال کنید. این زنجیره تقریباً همیشه کوتاه‌تر از انتگرال است و به شما این امکان را می‌دهد تا متوجه شوید که چرا طیف جدید به نظر می‌رسد.