طیف فرکانس و پاسخ سیستم | سیگنال‌ها و سیستم‌ها

چیزی که یاد خواهید گرفت

چگونه یک طیف خط را بخوانیم - نمودار بزرگی و فاز \(a_k\) - و چرا این دو با هم هیچ چیز را از \(x(t)\) از دست نمی دهند.
طیف توان \(|a_k|^2\) و اینکه چگونه رابطه پارسوال را به یک تعریف کاربردی از پهنای باند تبدیل می کند.
ویژگی تابع ویژه: چرا \(e^{j\omega t}\) از یک سیستم LTI بدون تغییر در شکل زنده می ماند و چگونه این واقعیت واحد پاسخ فرکانسی \(H(j\omega)\) را تعریف می کند.
قانون حاکم بر بقیه کتاب: \(b_k = H(jk\omega_0)\,a_k\) - سیستم هر هارمونیک را ضرب می کند و هیچ هارمونیک را ایجاد نمی کند.
فیلتر کردن به عنوان تغییر شکل عمدی یک طیف، چهار نوع فیلتر ایده آل و رفتار صادقانه یک شبکه واقعی \(RC\).
انتقال بدون اعوجاج، و اینکه چرا به اندازه و فاز مسطح نیاز دارد که در \(\omega\) خطی باشد، نه فازی که ثابت باشد.
تأخیر فاز و تأخیر گروهی، و آزمایش اعوجاج هارمونیک که سیستمی را نشان می دهد که خطی نیست.

بخش 12-1

دو عکس از یک سیگنال

در پایان فصل 11 می‌توانیم ضرایب فوریه تقریباً هر سیگنال تناوبی را بدون انجام انتگرال تحلیل محاسبه کنیم. چیزی که ما هنوز نپرسیده بودیم این سوال واضح است: با زحمت تولید اعداد \(a_k\)، آنها برای چه چیزی خوب هستند؟

اولین پاسخ این است که آنها یک تصویر هستند. معادله سنتز \(x(t) = \sum_k a_k e^{jk\omega_0 t}\) می گوید سیگنال به طور کامل توسط دنباله \(\{a_k\}\) تعیین می شود. معادله تجزیه و تحلیل می گوید توالی به طور کامل توسط سیگنال تعیین می شود. هیچ یک از توصیف ها اساسی تر از دیگری نیست. آنها دو سیستم مختصات برای یک جسم هستند، و حرکت بین آنها چیزی را از بین نمی برد - همان طور که دادن یک نقطه توسط مختصات دکارتی و مختصات قطبی آن به یک اندازه کامل است.

آنچه تغییر می کند چیزی است که به راحتی قابل مشاهده است. در تصویر حوزه زمان، وقتی اتفاقاتی می‌افتد، آن را می‌خوانید. در تصویر حوزه فرکانس شما می خوانید که کدام نوسانات وجود دارد و چقدر قوی است، و این دقیقاً اطلاعاتی است که یک فیلتر، یک تقویت کننده، یک خط انتقال یا یک بلندگو روی آنها عمل می کند. نمودار \(|a_k|\) در برابر فرکانس، طیف خط سیگنال نامیده می شود، زیرا یک سیگنال تناوبی فقط در فرکانس های جدا شده \(0, \pm\omega_0, \pm 2\omega_0, \dots\) انرژی دارد - طیف آن یک حصار از خطوط است، هرگز یک پیوستار.

چرا "خطوط". تناوبی یک محدودیت بسیار قوی است. سیگنالی که دقیقاً در هر ثانیه \(T\) تکرار می‌شود، تنها می‌تواند از نوسان‌هایی ساخته شود که هر \(T\) ثانیه نیز تکرار می‌شوند، و این دقیقاً هارمونیک‌های \(\omega_0 = 2\pi/T\) هستند. هیچ چیزی بین آنها مجاز نیست. هنگامی که تناوب را در فصل 13 رها می کنیم، محدودیت ناپدید می شود و خطوط در یک منحنی پیوسته ادغام می شوند - آن منحنی تبدیل فوریه است.

بخش 12-2

قدر و طیف فاز

هر \(a_k\) یک عدد مختلط است، بنابراین دو نمودار واقعی برای نمایش کل دنباله نیاز است. با نوشتن \(a_k = |a_k|e^{j\angle a_k}\)، \(|a_k|\) را در برابر \(k\omega_0\) به عنوان طیف بزرگی و \(\angle a_k\) در برابر \(k\omega_0\) به عنوان طیف فاز ترسیم می کنیم. هر دو مورد نیاز است. طیف قدر به تنهایی به شما می گوید که چه مقدار از هر نوسان وجود دارد، اما نه اینکه چگونه نوسانات در زمان ردیف می شوند، و این تراز است که شکل موج را تعیین می کند.

برای یک سیگنال حقیقی، دو نمودار مستقل نیستند، زیرا فصل 11 تقارن مزدوج \(a_{-k} = a_k^{*}\) را تعیین کرد. در نظر گرفتن مدول و آرگومان آن عبارت، تقارنی را به دست می دهد که هر طیفی در این کتاب از آن تبعیت می کند.

🔑

طیف یک سیگنال حقیقی

\[ |a_{-k}| = |a_k| \qquad\qquad \angle a_{-k} = -\angle a_k \]

طیف بزرگی یک سیگنال حقیقی تابعی زوج از فرکانس و طیف فاز فرد است. بنابراین نیمی از طرح اضافی است، به همین دلیل است که خطوط فرکانس منفی اغلب به طور کامل حذف می شوند.

این افزونگی چیزی است که به فرم یک طرفه یا دامنه فاز مجوز می دهد. عبارت را در \(+k\omega_0\) با شریک خود در \(-k\omega_0\) جفت کنید و از \(z + z^{*} = 2\,\mathrm{Re}\{z\}\) استفاده کنید:

جمع کردن یک جفت مزدوج به یک کسینوس واقعی

\[ a_k e^{jk\omega_0 t} + a_{-k}e^{-jk\omega_0 t} = a_k e^{jk\omega_0 t} + \big(a_k e^{jk\omega_0 t}\big)^{*} = 2\,\mathrm{Re}\Big\{|a_k|e^{j(k\omega_0 t + \angle a_k)}\Big\} = 2|a_k|\cos\!\big(k\omega_0 t + \angle a_k\big) \]

جمع کردن بیش از \(k \ge 1\) و نگه داشتن عبارت DC به طور جداگانه، شکلی را که یک ابزار گزارش می‌دهد به دست می‌دهد:

فرم دامنه-فاز یک طرفه

\[ x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} 2|a_k|\cos\!\big(k\omega_0 t + \angle a_k\big) \]

بنابراین دامنه فیزیکی هارمونیک \(k\)-ام \(2|a_k|\) است، نه \(|a_k|\): طیف دو طرفه هر نوسان واقعی را به یک جفت مزدوج تقسیم می کند و نیمی از آن را به هر یک می دهد. فراموش کردن ضریب دو رایج ترین لغزش در سؤالات طیف است و همیشه به عنوان پاسخی که دقیقاً نصف اندازه مناسب است نشان داده می شود.

طیف فاز یک رفتار دارد که ارزش به خاطر سپردن دارد، زیرا در هر فصل از اینجا تا انتهای کتاب تکرار می شود. ویژگی تغییر زمان فصل 11 می گوید که ضرایب \(x(t-t_0)\) \(a_k e^{-jk\omega_0 t_0}\) است. بزرگی دست نخورده است. هر فاز \(-k\omega_0 t_0\) را انتخاب می‌کند، عبارتی متناسب با عدد هارمونیک. بنابراین یک تاخیر خالص در طیف قدر نامرئی است و در طیف فاز به صورت یک خط مستقیم از مبدا که شیب آن تاخیر است ظاهر می شود. آن را نگه دارید؛ بخش 12-7 بر روی آن ساخته شده است.

طیف بزرگی - حتی در \(\omega\)

طیف فاز - فرد در \(\omega\)

بخش 12-3

طیف توان و پهنای باند

فصل 11 رابطه پارسوال را برای سیگنال‌های تناوبی ثابت کرد: توان متوسط \(x(t)\) برابر با \(\sum_k |a_k|^2\) است. به‌جای معادله، به‌عنوان تصویر خوانده می‌شود، می‌گوید که توان کل مجموع مشارکت‌ها است، یکی در هر خط طیفی، و سهم هر خط \(|a_k|^2\) است. بنابراین ترسیم \(|a_k|^2\) در برابر \(k\omega_0\) نشان می دهد که چگونه توان سیگنال در فرکانس توزیع می شود و آن نمودار طیف توان است.

از آنجا که طیف قدر زوج است، هارمونیک فیزیکی در\(k\omega_0\)حمل می کند\(|a_k|^2 + |a_{-k}|^2 = 2|a_k|^2\)- همان ضریب دو حسابداری قبلی و مطابق با دامنه\(2|a_k|\)کسینوس دارای مقدار میانگین مربع\((2|a_k|)^2/2 = 2|a_k|^2\).

🔑

طیف توان

\[ P = \frac{1}{T}\int_{T}|x(t)|^2\,dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2, \qquad P_k^{\text{harm}} = 2|a_k|^2 \ \ (k \ge 1) \]

توان بین هارمونیک ها بدون عبارات متقاطع اضافه می شود، زیرا هارمونیک های متمایز در طول یک دوره متعامد هستند. این تنها واقعیتی است که "میزان سیگنال زیر 5 کیلوهرتز زندگی می کند" را به یک سوال معنادار تبدیل می کند.

همچنین پهنای باند را قابل تعریف می کند. یک سیگنال تناوبی که از هارمونیک های بی نهایت ساخته می شود، به شدت دارای پهنای باند بی نهایت است. در عمل هارمونیک های بالا آنقدر توان کمی دارند که دور انداختن آنها چیزی قابل شنیدن، قابل مشاهده یا اندازه گیری را تغییر نمی دهد. پهنای باند ضروری فرکانسی است که در زیر آن مقداری از کسری توافق شده - معمولاً 95٪ یا 99٪ - از کل توان قرار دارد.

موج مربع متقارن فصل 10 با دامنه \(\pm 1\) را در نظر بگیرید که دامنه هارمونیک آن \(4/(\pi k)\) برای فرد \(k\) است. توان کل آن 1 وات به یک مرجع \(1\,\Omega\) است و توان در هارمونیک \(k\)-th \(\tfrac12\big(4/\pi k\big)^2 = 8/(\pi^2k^2)\) است. جمع آوری این ها جدولی را به دست می دهد که ارزش به خاطر سپردن دارد، زیرا توضیح می دهد که چرا امواج مربعی از فیلتر شدن وحشیانه جان سالم به در می برند.

هارمونیک ها حفظ شد	توان در این هارمونیک	توان تجمعی	کسری از کل
فقط بنیادی	\(8/\pi^2 = 0.8106\)	0.8106	81.06%
از طریق 3	\(8/9\pi^2 = 0.0901\)	0.9006	90.06%
تا 5	\(8/25\pi^2 = 0.0324\)	0.9331	93.31%
تا هفتم	\(8/49\pi^2 = 0.0165\)	0.9496	94.96%
تا نهم	\(8/81\pi^2 = 0.0100\)	0.9596	95.96%

توان خیلی زودتر از شکل همگرا می شود. چهار هارمونیک 95 درصد از توان یک موج مربعی را دریافت می کنند، با این حال فصل 11 نشان داد که مجموع جزئی همچنان از هر یال تا 9 درصد فراتر می رود، مهم نیست که چند عبارت گرفته شود. توان یک معیار مربع متوسط است و نسبت به آنچه در لحظه‌های مجزا روی می‌دهد کور است. گوش های گیبز دقیقاً در آن لحظه ها زندگی می کنند. هر دو گزاره درست هستند و به سؤالات مختلفی پاسخ می دهند.

بخش 12-4

نمایی های مختلط توابع ویژه هستند

همه چیز تا کنون در مورد سیگنال‌ها بوده است. حالا یک سیستم بیاورید و بالاخره دلیل این همه ماشین ظاهر می شود.

فصل 7 نشان داد که یک سیستم LTI به طور کامل توسط پاسخ ضربه \(h(t)\) توصیف می شود که از طریق انتگرال کانولوشنی \(y(t) = \int h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau\) عمل می کند. آن را با یک \(x(t) = e^{j\omega t}\) نمایی پیچیده و جاودانه تغذیه کنید و ببینید انتگرال چه می کند.

فشار دادن \(e^{j\omega t}\) از طریق انتگرال کانولوشن

\[ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,e^{j\omega(t-\tau)}\,d\tau = e^{j\omega t}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,d\tau}_{\text{a number, not a function of } t} \]

مرحله ای که مهم است جبر بی اهمیت است: \(e^{j\omega(t-\tau)} = e^{j\omega t}e^{-j\omega\tau}\)، و عامل \(e^{j\omega t}\) شامل متغیر انتگرال‌گیری نمی شود، بنابراین مستقیماً مشخص می شود. آنچه در داخل باقی می‌ماند یک انتگرال معین روی \(\tau\) است که مقدار آن به \(\omega\) بستگی دارد اما به \(t\) بستگی ندارد. اسمش را \(H(j\omega)\) بگذارید.

خروجی دوباره ورودی است که در یک ثابت مختلط ضرب می شود. در زبان جبر خطی، \(e^{j\omega t}\) یک تابع ویژه از هر سیستم LTI است و \(H(j\omega)\) مقدار ویژه مربوطه است. هیچ خانواده دیگری از سیگنال‌ها این کار را انجام نمی دهد: یک پله از شبکه \(RC\) به صورت نمایی خارج می شود، یک مثلث گرد بیرون می آید، اما \(e^{j\omega t}\) به صورت \(e^{j\omega t}\)، تغییر مقیاس و چرخش، و هیچ چیز دیگری خارج می شود.

🔑

پاسخ فرکانسی

\[ e^{j\omega t} \;\longrightarrow\; H(j\omega)\,e^{j\omega t}, \qquad H(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-j\omega\tau}\,d\tau \]

در زمان‌گسسته استدلال یکسان در\(y[n]=\sum_k h[k]x[n-k]\)با\(x[n]=e^{j\Omega n}\)می دهد\(H(e^{j\Omega}) = \sum_{k}h[k]e^{-j\Omega k}\)، و\(H(e^{j\Omega})\)دوره ای است در\(\Omega\)با دوره\(2\pi\)به دلیلی که فصل 3 آورده است.

به تعریف یکپارچه \(H(j\omega)\) نگاه کنید. پاسخ ضربه را می گیرد و تابعی از فرکانس تولید می کند. در واقع، این دقیقاً تبدیل فوریه \(h(t)\) است، به همین دلیل است که فصل 13 را می توان به عنوان تئوری کلی عملیاتی که ما به تازگی روی یک سیگنال خاص انجام دادیم خواند. در حال حاضر، \(H(j\omega)\) را به‌طور واضح در نظر بگیرید: توصیف کاملی از سیستم، یک عدد مختلط در هر فرکانس، مدول آن بهره‌ای است که سیستم در آن فرکانس اعمال می‌کند و آرگومان آن تغییر فاز است.

دو نکته کاربردی اول، اگر \(h(t)\) واقعی است، \(H(-j\omega) = H^{*}(j\omega)\)، بنابراین پاسخ فرکانسی یک سیستم واقعی از همان تقارن فاز فرد و قدر زوج تبعیت می کند که طیف سیگنال حقیقی است. دوم، برای اینکه \(H(j\omega)\) اصلاً وجود داشته باشد، انتگرال باید همگرا شود، و \(\int|h(\tau)|d\tau \lt \infty\) دقیقاً شرط پایداری BIBO در فصل 8 است. سیستم‌های ناپایدار هیچ پاسخ فرکانسی ندارند، که ریاضیاتی است که با فیزیک واضح موافق است: شما نمی‌توانید دستیابی به حالت پایدار یک سیستم را اندازه بگیرید.

بخش 12-5

پاسخ به ورودی دوره ای

الان دو نیمه داریم. ورودی دوره ای مجموع نمایی های پیچیده با وزن های شناخته شده است. هر نمایی از سیستم ضرب در یک عدد شناخته شده عبور می کند. خطی بودن بقیه کارها را انجام می دهد.

بر هم زدن پاسخ های تابع ویژه

\[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} \;\longrightarrow\; y(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\,H(jk\omega_0)\,e^{jk\omega_0 t} \]

خروجی مجموع همان نمایی است، بنابراین با دوره مشابه \(T\) تناوبی است و ضرایب فوریه آن را می توان با بازرسی خواند.

🔑

قاعده مرکزی این فصل

\[ b_k = H(jk\omega_0)\,a_k \qquad\qquad\text{(discrete time: } b_k = H\big(e^{jk2\pi/N}\big)a_k\text{)} \]

یک سیستم LTI با ضرب طیف آن، خط به خط، در نمونه‌هایی از پاسخ فرکانسی که در فرکانس‌های هارمونیک گرفته می‌شود، روی یک سیگنال دوره‌ای عمل می‌کند. کانولوشن فصل 7 به یک ضرب تبدیل شده است.

سه پیامد بلافاصله دنبال می‌شوند، و اینها دلیلی هستند که مهندسان اصلاً در حوزه فرکانس فکر می‌کنند.

اولین مورد این است که یک سیستم LTI هیچ فرکانس جدیدی ایجاد نمی کند. هر آنچه در خروجی ظاهر می شود قبلاً در ورودی وجود داشته است. این سیستم می‌تواند با داشتن \(H(jk\omega_0) = 0\) یک هارمونیک را تقویت کند، آن را ضعیف کند، فاز آن را تغییر دهد یا آن را کاملاً بکشد، اما نمی‌تواند توان را در فرکانس‌هایی قرار دهد که \(a_k\) صفر است. مجموعه ای از فرکانس ها توسط ورودی ثابت می شود. فقط وزن ها کار سیستم است.

مورد دوم این است که قدرها ضرب می شوند و فازها اضافه می شوند: \(|b_k| = |H(jk\omega_0)||a_k|\) و \(\angle b_k = \angle H(jk\omega_0) + \angle a_k\). دو نمودار طیفی خروجی از نمودارهای ورودی توسط یک حاصل ضرب نقطه‌ای و یک مجموع نقطه‌ای - بدون انتگرال، بدون کانولوشن، بدون معادله دیفرانسیل به دست می‌آیند.

سوم این است که کل محاسبه در فرکانس محلی است. اتفاقی که برای هارمونیک هفتم می افتد به هیچ وجه به اتفاقی که برای هارمونیک سوم می افتد بستگی ندارد. این استقلال چیزی است که به یک سیستم اجازه می‌دهد هر بار یک فرکانس مشخص، طراحی و آزمایش شود، و دقیقاً همان چیزی است که یک تحلیلگر شبکه وقتی یک سینوسی را در یک باند جارو می‌کند و نسبت دامنه و تغییر فاز را ثبت می‌کند، از آن بهره‌برداری می‌کند.

چند کلمه در مورد حالت پایدار استدلال تابع ویژه فرض می کند که نمایی از زمان \(t=-\infty\) اعمال شده است، بنابراین \(b_k = H(jk\omega_0)a_k\) پاسخ حالت پایدار را توصیف می کند. اگر ورودی در \(t=0\) روشن شود، خروجی همچنین حاوی یک حالت گذرا از حالت های طبیعی سیستم است که برای یک سیستم پایدار خراب می شود و دقیقاً این پاسخ دوره ای را پشت سر می گذارد. فصل 9 چنین گذرا را مستقیماً محاسبه کرد. فصل 19 به تبدیل لاپلاس اجازه می دهد هر دو قسمت را به طور همزمان مدیریت کند.

مقدار	ورودی	سیستم	خروجی
ضریب	\(a_k\)	\(H(jk\omega_0)\)	\(b_k = H(jk\omega_0)a_k\)
دامنه هارمونیک	\(2\|a_k\|\)	بدست آوردن \(\|H(jk\omega_0)\|\)	\(2\|H(jk\omega_0)\|\|a_k\|\)
فاز هارمونیک	\(\angle a_k\)	شیفت \(\angle H(jk\omega_0)\)	\(\angle a_k + \angle H(jk\omega_0)\)
توان هارمونیک	\(2\|a_k\|^2\)	\(\|H(jk\omega_0)\|^2\)	\(2\|H(jk\omega_0)\|^2\|a_k\|^2\)
فرکانس های موجود	\(k\omega_0\)	—	\(k\omega_0\)، هرگز هیچ چیز دیگری

بخش 12-6

فیلتر کردن: تغییر شکل یک طیف بر اساس هدف

اگر یک سیستم هر هارمونیک را در \(H(jk\omega_0)\) ضرب کند، طراحی \(|H(j\omega)|\) به گونه‌ای که در یک باند فرکانس بزرگ و روی باند دیگر کوچک باشد، راهی برای انتخاب بخش‌هایی از سیگنال است که زنده بمانند. سیستمی که برای این منظور ساخته شده است یک فیلتر است و باند فرکانسی که از آن عبور می کند باند عبور آن است و باندی که باند توقف خود را رد می کند.

چهار شکل ایده آل واژگان موضوع هستند. یک فیلتر پایین گذر ایده آل دارای \(|H| = 1\) برای \(|\omega| \lt \omega_c\) و \(0\) فراتر است. یک مرتفع ایده آل مکمل آن است. یک باند گذر ایده آل از \(\omega_1 \lt |\omega| \lt \omega_2\) عبور می کند. یک باند استاپ ایده آل دقیقاً آن باند را حذف می کند. هر کدام در فرکانس های مثبت و منفی به صورت متقارن تعریف می شوند، زیرا یک فیلتر واقعی که بر روی یک سیگنال حقیقی عمل می کند باید یک خروجی واقعی تولید کند.

چهار پاسخ قدر ایده آل

این شکل‌ها ایده‌آل‌سازی هستند و فصل 15 نشان می‌دهد که هیچ‌کدام از آنها ساخته نمی‌شوند: یک پاسخ بزرگی که دقیقاً روی یک باند است، یک پاسخ ضربه را ایجاد می‌کند که برای \(t \lt 0\) غیر صفر است، بنابراین یک فیلتر ایده‌آل غیر علّی است. که آنها را بی فایده نمی کند. آنها هدف تقریبی یک طراحی واقعی هستند و محاسبات "از کدام هارمونیک ها عبور می کنند" کاملا شفاف می کنند.

فیلتری که می‌توانید بسازید، شبکه کم‌گذر \(RC\) در فصل 9 است که پاسخ فرکانسی آن از تقسیم‌کننده امپدانس یا به‌طور معادل، از اعمال ویژگی تابع ویژه به معادله دیفرانسیل آن ناشی می‌شود:

فیلتر پایین گذر \(RC\)

\[ RC\frac{dy}{dt} + y = x \;\Longrightarrow\; H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC} = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad \omega_c = \frac{1}{RC} \]

جایگزینی \(x = e^{j\omega t}\)، \(y = H e^{j\omega t}\) در معادله دیفرانسیل، \(d/dt\) را به ضرب در \(j\omega\) تبدیل می‌کند و حساب دیفرانسیل و انتگرال را به جبر تقلیل می‌دهد.

بزرگی و فاز پایین گذر \(RC\)

\[ |H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1+(\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \angle H(j\omega) = -\arctan\!\big(\omega/\omega_c\big) \]

در \(\omega = \omega_c\) قدر \(1/\sqrt{2} = 0.707\) و فاز \(-45^\circ\) است. از آنجایی که توان به عنوان مربع قدر است، نیمی از توان در آن فرکانس از دست می‌رود - از این رو فرکانس نیم‌توان، فرکانس \(-3\,\)dB و قطع نام‌گذاری می‌شود، همه برای همان \(\omega_c\). فراتر از قطع، بزرگی به \(\omega_c/\omega\) کاهش می‌یابد، یک دهه فرکانس با ضریب ده هزینه: یک رول کردن ملایم در مقایسه با دیوار عمودی فیلتر ایده‌آل، اما واقعی.

شکل زیر کل محاسبه را در یک تصویر برای یک موج مربعی نشان می دهد که بنیادی آن دقیقاً در نقطه برش قرار دارد. خطوط ورودی هر بار در ارتفاع منحنی پاسخ بالای آنها ضرب می شوند.

فیلتر کردن یک ضرب خط به خط طیف است

چرا فیلتر پایین گذر "صاف می شود". فصل 11 نشان داد که هارمونیک های بالای سیگنال آنهایی هستند که لبه های تیز آن را می سازند - تفکیک سیگنال \(a_k\) را در \(jk\omega_0\) ضرب می کند، بنابراین ناپیوستگی ها دقیقاً همان چیزی است که ضرایب را به کندی کاهش می دهد. تضعیف هارمونیک های بالا بنابراین گوشه ها را گرد می کند. صاف شدن در زمان و فیلتر پایین گذر در فرکانس دو اثر نیستند. آنها یک اثر هستند که در دو سیستم مختصات دیده می شود.

بخش 12-7

انتقال بدون اعوجاج

گاهی اوقات هدف تغییر شکل یک سیگنال نیست، بلکه حرکت دادن آن است - به پایین کابل، از طریق یک تقویت کننده، از طریق یک پیوند رادیویی - با شکل دست نخورده آن. انتقال کامل نمی تواند به معنای "خروجی برابر با ورودی" باشد، زیرا هر کانال فیزیکی مقداری تأخیر و معمولاً مقداری سود را تحمیل می کند. تعریف صادقانه هر دو را مجاز می داند و هر چیز دیگری را منع می کند.

تعریف انتقال بدون اعوجاج

\[ y(t) = K\,x(t - t_d), \qquad K \gt 0,\ t_d \ge 0 \]

چه پاسخ فرکانسی ایجاب می کند؟ تعریف هارمونیک را با هارمونیک اعمال کنید. اگر \(x\) دارای ضرایب \(a_k\) باشد، ویژگی تغییر فصل 11 به \(y\) ضرایب \(K a_k e^{-jk\omega_0 t_d}\) را می دهد. مقایسه با \(b_k = H(jk\omega_0)a_k\) و خواندن خاموش در هر فرکانس:

🔑

شرایط انتقال بدون اعوجاج

\[ H(j\omega) = K e^{-j\omega t_d} \quad\Longleftrightarrow\quad |H(j\omega)| = K \ \text{ and }\ \angle H(j\omega) = -\omega t_d \]

قدر مسطح در سراسر باند اشغال شده توسط سیگنال، و فاز که یک خط مستقیم از طریق مبدا با شیب \(-t_d\) است. نقض اولی باعث اعوجاج دامنه می شود. نقض دوم باعث اعوجاج فاز می شود.

نیاز فاز همان چیزی است که افراد را شگفت زده می کند، بنابراین باید به صراحت گفت که چرا فاز ثابت انجام نمی شود. تغییر فاز \(\theta\) در فرکانس \(\omega\) یک جابجایی زمانی \(\theta/\omega\) ثانیه است — همان زاویه در فرکانس بالاتر با تأخیر کمتری مطابقت دارد. سیستمی که هر هارمونیک را با \(-90^\circ\) جابجا می کند، هارمونیک بنیادی را یک چهارم پریود، هارمونیک سوم را یک دوازدهم دوره و پنجم را یک بیستم به تاخیر می اندازد. هارمونیک ها از مرحله خارج می شوند، و شکل موجی که از هارمونیک های نامناسب جمع شده است، شکل موجی که شما ارسال کرده اید نیست، حتی اگر هر دامنه دست نخورده باشد. فقط فاز متناسب با فرکانس همه هارمونیک ها را به یک اندازه به تاخیر می اندازد، زیرا \(\theta/\omega = t_d\) برای همه آنها یکسان است.

بزرگی - ثابت است، بنابراین هیچ هارمونیک مورد علاقه نیست

فاز - خطی، نه صرفا کوچک

دو معیار ایده را کمی می کند. تاخیر فاز \(t_p(\omega) = -\angle H(j\omega)/\omega\) تاخیری است که توسط یک سینوسی تک فرکانس \(\omega\) تجربه می شود. تأخیر گروهی \(t_g(\omega) = -\,d\,\angle H(j\omega)/d\omega\) تأخیری است که توسط طیف باند باریکی از فرکانس‌ها با محوریت \(\omega\) تجربه می‌شود. برای یک کانال بدون اعوجاج هر دو با \(t_d\) در هر فرکانس برابرند، زیرا فاز \(-\omega t_d\) و شیب آن \(-t_d\) است.

برای lowpass \(RC\) برابر نیستند و ثابت نیستند. With \(\angle H = -\arctan(\omega/\omega_c)\),

تاخیر فاز و گروه پایین گذر \(RC\)

\[ t_p(\omega) = \frac{\arctan(\omega/\omega_c)}{\omega}, \qquad t_g(\omega) = \frac{1/\omega_c}{1+(\omega/\omega_c)^2} \]

با گرفتن \(RC = 1\) ms، بنابراین \(\omega_c = 1000\) راد/ثانیه، اعداد زیر را نشان می دهد. در فرکانس پایین هر دو تاخیر به \(RC = 1\) میلی‌ثانیه تمایل دارند. با قطعی که آنها از هم جدا شده اند، و توسط \(5\omega_c\) تاخیر گروه کاملاً از بین رفته است در حالی که تاخیر فاز هنوز یک چهارم میلی ثانیه است. هارمونیک‌های مختلف با مقادیر متفاوتی به تأخیر می‌افتند - کانال سیگنال را پخش می‌کند - که اعوجاج فاز حسابی است.

\(\omega\) (rad/s)	\(\angle H\)	Phase delay \(t_p\)	Group delay \(t_g\)
100	\(-5.71^\circ\)	0.997 ms	0.990 ms
500	\(-26.57^\circ\)	0.927 ms	0.800 ms
1000 \((=\omega_c)\)	\(-45.00^\circ\)	0.785 میلی‌ثانیه	0.500 ms
2000	\(-63.43^\circ\)	0.554 ms	0.200 میلی‌ثانیه
5000	\(-78.69^\circ\)	0.275 میلی‌ثانیه	0.038 ms

اعوجاج فاز چقدر قابل تحمل است؟ کاملاً به این بستگی دارد که سیگنال برای چه چیزی باشد. گوش تا حد زیادی به اعوجاج فاز ضعیف حساس است، بنابراین فیلترهای صوتی تقریباً به طور کامل بر اساس بزرگی مشخص می شوند. یک گیرنده دیجیتالی که تصمیم می گیرد یک پالس یک یا صفر باشد، به شدت نسبت به آن حساس است، زیرا پراکندگی هر پالس را به همسایه های خود آغشته می کند. بنابراین همین فیلتر می تواند تجهیزات عالی برای یک کار و غیرقابل استفاده برای کار دیگر باشد.

Section 12-8

هنگامی که فرکانس های جدید ظاهر می شوند

قانون \(b_k = H(jk\omega_0)a_k\) دارای یک ضدمثبت است که در آزمایشگاه از خود قانون مفیدتر است. اگر یک سیستم توان خروجی را در فرکانسی تولید کند که ورودی شامل آن نمی شود، آن سیستم LTI نیست. هیچ استثنا و هیچ مورد خاصی وجود ندارد: مشتق فقط از خطی بودن و عدم تغییر زمانی استفاده می کند، بنابراین فرکانسی که در ورودی نبوده است تنها می تواند از شکست یکی از آن دو ویژگی ناشی شود.

رایج ترین مقصر یک غیرخطی خفیف است. فرض کنید یک تقویت‌کننده تقریباً خطی است، اما یک عبارت مکعبی کوچک دارد، \(y(t) = x(t) + \varepsilon x^3(t)\)، و آن را با یک کسینوس خالص \(x(t) = A\cos\omega_0 t\) هدایت کنید. گسترش مکعب با \(\cos^3\theta = \tfrac34\cos\theta + \tfrac14\cos 3\theta\):

یک غیر خطی مکعبی هارمونیک سوم را تولید می کند

\[ y(t) = \Big(A + \tfrac34\varepsilon A^3\Big)\cos\omega_0 t \;+\; \tfrac14\varepsilon A^3\cos 3\omega_0 t \]

فرکانسی که در ورودی نبود، در خروجی ظاهر شده است، اندازه آن به اندازه مکعب سطح درایو افزایش می‌یابد - به همین دلیل است که اعوجاج در تقویت‌کننده با فشار قوی به شدت بدتر می‌شود. شکل استاندارد شایستگی تمام هارمونیک های ناخواسته را در یک عدد جمع می کند.

🔑

اعوجاج هارمونیک کامل

\[ \text{THD} = \frac{\sqrt{A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + \cdots}}{A_1} \]

\(A_k\) دامنه اندازه‌گیری شده هارمونیک \(k\)-امین است که ورودی یک سینوسی در \(\omega_0\) است. برای یک سیستم LTI، هر \(A_k\) با \(k \ge 2\) دقیقاً صفر است، بنابراین THD اندازه گیری مستقیمی است از فاصله خطی دستگاه.

تغییر زمان راه دیگری برای رسیدن به فرکانس های جدید است و این یک نقص نیست بلکه یک ابزار است. ضرب یک سیگنال در یک حامل، \(y(t) = x(t)\cos\omega_c t\)، یک عملیات خطی است اما با زمان متغیر است، و ویژگی ضرب فصل 11 نشان داد که هر خط طیفی را با \(\pm\omega_c\) تغییر می‌دهد. هر فرستنده رادیویی که تا به حال ساخته شده است به آن تغییر بستگی دارد و فصل 28 به درستی با آن برخورد می کند. درس این است که "بدون فرکانس جدید" به هر دو نیمه LTI نیاز دارد، و اینکه کنار گذاشتن هر یک، قابلیتی را می‌خرد که ارزش داشتن را داشته باشد.

بخش 12-9

نمونه های کار شده

1 خواندن یک طیف از سیگنال

مشکل برای \(x(t) = 2 + 4\cos(100\pi t + \pi/3) + 2\sin(200\pi t)\)، ضرایب فوریه نمایی را پیدا کنید، قدر و طیف فاز را ترسیم کنید و توان متوسط را محاسبه کنید.

راه حل. این دو نوسان در \(100\pi\) و \(200\pi\) راد/ثانیه هستند، بنابراین \(\omega_0 = 100\pi\) راد/ثانیه (\(f_0 = 50\) هرتز، \(T = 20\) ms) و ترم دوم هارمونیک دوم است. هر عبارت را با فرمول اویلر بسط دهید:

در حال کار کردن

\[ 4\cos(\omega_0 t + \tfrac{\pi}{3}) = 2e^{j\pi/3}e^{j\omega_0 t} + 2e^{-j\pi/3}e^{-j\omega_0 t}, \qquad 2\sin(2\omega_0 t) = -j\,e^{j2\omega_0 t} + j\,e^{-j2\omega_0 t} \]

خواندن ضرایب: \(a_0 = 2\)، \(a_1 = 2e^{j\pi/3}\)، \(a_{-1} = 2e^{-j\pi/3}\)، \(a_2 = -j = e^{-j\pi/2}\)، \(a_{-2} = j = e^{j\pi/2}\)، و \(a_k = 0\) در غیر این صورت.

طیف قدر دارای خطوطی با ارتفاع 2 در است\(\omega = 0, \pm\omega_0\)و ارتفاع 1 در\(\pm 2\omega_0\)- حتی، در صورت لزوم. طیف فاز دارد\(+\pi/3\)در\(+\omega_0\), \(-\pi/3\)در\(-\omega_0\), \(-\pi/2\)در\(+2\omega_0\)و\(+\pi/2\)در\(-2\omega_0\)- عجیب و غریب، در صورت لزوم. این دو نمودار ترسیم شده در بخش 12-2 هستند.

پارسهوال مستقیماً توان را می دهد: \(P = \sum_k |a_k|^2 = 2^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 = 14\) W. با بررسی دامنه زمان، عبارت DC به \(2^2 = 4\) کمک می کند، کسینوس 4 ولت به \(4^2/2 = 8\) کمک می کند، و سینوس 2 ولت به \(2^2/2 = 2\) کمک می کند. مجموع 14 وات است، همانطور که باید باشد.

2 یک موج مربعی از طریق یک گذرگاه \(RC\)

مشکل یک موج مربعی متقارن با دامنه \(\pm1\) V و فرکانس اساسی 1 کیلوهرتز یک گذر پایین \(RC\) را هدایت می کند که قطع آن نیز 1 کیلوهرتز است. دامنه و فاز چهار هارمونیک خروجی اول را پیدا کنید.

راه حل. از فصل 10، موج مربعی \(x(t) = \frac{4}{\pi}\big[\sin\omega_0 t + \tfrac13\sin3\omega_0 t + \tfrac15\sin5\omega_0 t + \cdots\big]\) است، بنابراین دامنه های هارمونیک ورودی برای \(k\) فرد \(4/(\pi k)\) است. با \(\omega_c = \omega_0\)، پاسخ در هارمونیک \(k\)-th است

در حال کار کردن

\[ H(jk\omega_0) = \frac{1}{1+jk}, \qquad |H| = \frac{1}{\sqrt{1+k^2}}, \qquad \angle H = -\arctan k \]

ضرب هر دامنه ورودی در \(|H|\) و اضافه کردن \(\angle H\) به هر فاز:

\(k\)	دامنه ورودی	\(\|H(jk\omega_0)\|\)	دامنه خروجی	تغییر فاز
1	1.2732	0.7071	0.9003	\(-45.00^\circ\)
3	0.4244	0.3162	0.1342	\(-71.57^\circ\)
5	0.2546	0.1961	0.0499	\(-78.69^\circ\)
7	0.1819	0.1414	0.0257	\(-81.87^\circ\)

بنابراین \(y(t) \approx 0.900\sin(\omega_0 t - 45^\circ) + 0.134\sin(3\omega_0 t - 71.6^\circ) + 0.050\sin(5\omega_0 t - 78.7^\circ) + 0.026\sin(7\omega_0 t - 81.9^\circ)\). هارمونیک سوم 33.3 درصد از پایه در ورودی بود و فقط \(0.1342/0.9003 = 14.9\%\) آن در خروجی است. لبه های مربع گرد شده اند و حساب دقیقاً چقدر می گوید.

3 چه مقدار نیرو از فیلتر عبور می کند

مشکل برای سیستم مثال 2، توان متوسط را در ورودی و خروجی، و کسری از توان خروجی حمل شده توسط بنیادی را بیابید.

راه حل. یک موج مربعی \(\pm1\) V در هر لحظه دارای \(x^2(t) = 1\) است، بنابراین میانگین توان آن دقیقاً 1 وات است. در حوزه فرکانس، همان مجموع از \(8/(\pi^2k^2)\) به ازای هر هارمونیک فرد جمع‌آوری می‌شود، و \(\sum_{k \text{ odd}} 8/(\pi^2k^2) = (8/\pi^2)(\pi^2/8) = 1\) یک ثبات رضایت‌بخش است.

در خروجی هر توان هارمونیک با \(|H(jk\omega_0)|^2 = 1/(1+k^2)\) مقیاس می شود:

در حال کار کردن

\[ P_y = \sum_{k \text{ odd}} \frac{8}{\pi^2 k^2}\cdot\frac{1}{1+k^2} = 0.4053 + 0.0090 + 0.0012 + 0.0003 + \cdots = 0.4161\ \text{W} \]

بنابراین فیلتر حدود 41.6 درصد از توان ورودی را عبور می دهد. جالب‌تر خلوص چیزی است که باقی می‌ماند: تنها عامل اصلی \(0.4053/0.4161 = 97.4\%\) از توان خروجی است، در مقابل 81.1 درصد در ورودی. یک بخش \(RC\) یک موج مربعی را به چیزی نزدیک به یک سینوسی تبدیل کرده است - این دقیقاً چگونه یک منبع موج سینوسی خام ساخته می شود.

4 یک کم گذر ایده آل با فاز خطی

مشکل همان موج مربعی (بنیاد 1 کیلوهرتز) از یک پایین گذر ایده آل با بهره واحد، قطع 4 کیلوهرتز و فاز \(\angle H(j\omega) = -\omega t_d\) با \(t_d = 0.1\) ms عبور داده می شود. خروجی را بنویسید

راه حل. هارمونیک های ورودی در فرکانس های 1، 3، 5، 7 کیلوهرتز و غیره قرار دارند. فقط آنهایی که کمتر از 4 کیلوهرتز هستند زنده می‌مانند، بنابراین هارمونیک بنیادی و سوم با افزایش یونیتی عبور می‌کند و همه چیز از پنجم به بالا نابود می‌شود. عبارت فاز به \(-\omega_0 t_d = -2\pi(1000)(10^{-4}) = -0.2\pi = -36^\circ\) در پایه و سه برابر \(-108^\circ\) در هارمونیک سوم کمک می کند:

در حال کار کردن

\[ y(t) = 1.273\sin\!\big(\omega_0 t - 36^\circ\big) + 0.424\sin\!\big(3\omega_0 t - 108^\circ\big) \]

از آنجایی که فاز متناسب با فرکانس است، این فقط یک جفت سینوسی جابجا شده نیست، بلکه مجموع جزئی دو مدتی موج مربع است که در بدن 0.1 میلی ثانیه به تأخیر افتاده است. نوشتن آن به عنوان \(y(t) = 1.273\sin\omega_0(t - t_d) + 0.424\sin3\omega_0(t-t_d)\) این را واضح می کند. کوتاه کردن سری شکل را تغییر می‌دهد - گوش‌های گیبس و همه آن‌ها - اما فاز خطی هیچ اعوجاجی به خودی خود اضافه نمی‌کند.

اگر به جای آن برش روی 2 کیلوهرتز قرار می گرفت، فقط فاندامنتال باقی می ماند و خروجی یک سینوسی خالص بود. برش را باید با فرکانس های هارمونیک مقایسه کرد، نه با فرکانس های بنیادی به تنهایی.

5 تست دو کانال برای اعوجاج

مشکل ورودی \(x(t) = \cos(1000t) + 0.5\cos(3000t)\) برای دو سیستم اعمال می شود. سیستم A دارای \(|H| = 5\) و \(\angle H = -0.002\,\omega\) است. سیستم B دارای \(|H| = 5\) و \(\angle H = -\pi/2\) است، هر دو در کل باند. کدام بدون اعوجاج ارسال می کند؟

راه حل (الف). فاز با شیب \(-0.002\) خطی است، بنابراین \(t_d = 2\) میلی‌ثانیه و شیفت‌های فاز \(-0.002(1000) = -2\) راد و \(-0.002(3000) = -6\) راد هستند:

در حال کار - سیستم A

\[ y_A(t) = 5\cos(1000t - 2) + 2.5\cos(3000t - 6) = 5\cos\!\big(1000(t-0.002)\big) + 2.5\cos\!\big(3000(t-0.002)\big) = 5\,x(t-0.002) \]

هر دو مؤلفه با یک ms یکسان تأخیر دارند، بنابراین خروجی یک کپی با تأخیر کوچک شده است: بدون اعوجاج.

راه حل (ب). همان \(-\pi/2\) برای هر دو مؤلفه اعمال می‌شود، اما زاویه یکسان به معنای تأخیرهای متفاوت است: \(t_p = (\pi/2)/1000 = 1.571\) ms برای اولین و \((\pi/2)/3000 = 0.524\) ms برای دوم.

در حال کار - سیستم B

\[ y_B(t) = 5\cos(1000t - \tfrac{\pi}{2}) + 2.5\cos(3000t - \tfrac{\pi}{2}) = 5\sin(1000t) + 2.5\sin(3000t) \]

هیچ \(t_d\) وجود ندارد که آن را برابر با \(5x(t-t_d)\) کند، زیرا به \(1000t_d = 3000t_d = \pi/2\) نیاز دارد. دو هارمونیک از تراز خارج شده اند و شکل موج تغییر کرده است، حتی اگر هر نسبت دامنه با سیستم A یکسان است. قدر مسطح لازم است. به هیچ وجه کافی نیست.

6 اعوجاج از یک غیر خطی

مشکل یک تقویت کننده به عنوان \(y(t) = x(t) + 0.1\,x^3(t)\) مدل شده و توسط \(x(t) = \cos\omega_0 t\) هدایت می شود. طیف خروجی و اعوجاج هارمونیک کل را بیابید. آیا هر سیستم LTI می تواند این خروجی را تولید کند؟

راه حل. از \(\cos^3\theta = \tfrac34\cos\theta + \tfrac14\cos3\theta\) استفاده کنید، که از \(\cos^3\theta = \cos\theta\cdot\tfrac{1+\cos2\theta}{2}\) و هویت محصول به جمع پیروی می کند:

در حال کار کردن

\[ y(t) = \cos\omega_0 t + 0.1\Big(\tfrac34\cos\omega_0 t + \tfrac14\cos3\omega_0 t\Big) = 1.075\cos\omega_0 t + 0.025\cos3\omega_0 t \]

خروجی شامل هارمونیک سومی است که ورودی هرگز نداشت و فاندامنتال نیز کمی تقویت شده است. با \(A_1 = 1.075\) و \(A_3 = 0.025\) به عنوان تنها دامنه های غیر صفر،

کار کردن - THD

\[ \text{THD} = \frac{0.025}{1.075} = 0.0233 = 2.33\% \]

هیچ سیستم LTI نمی تواند این خروجی را تولید کند. قانون\(b_k = H(jk\omega_0)a_k\)نیروها\(b_3 = H(j3\omega_0)\cdot 0 = 0\)هر زمان که ورودی هیچ هارمونیک سومی نداشته باشد\(H\)ممکن است. ظاهر از\(3\omega_0\)بنابراین اثبات غیرخطی بودن است، و سخت تر کردن تقویت کننده آن را بدتر می کند: دو برابر شدن\(A\)دامنه هارمونیک سوم را ضرب می کند\(\varepsilon A^3/4\)هشت در حالی که بنیادی به سختی دو برابر می شود.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ طیف خط

نمودارهای بزرگی و فازی \(a_k\) یک سیگنال دوره ای را به طور کامل توصیف می کنند. برای سیگنال‌های واقعی \(|a_k|\) زوج و \(\angle a_k\) فرد است و دامنه هارمونیک فیزیکی \(2|a_k|\) است.

✓ طیف توان

\(P = \sum_k|a_k|^2\) بدون عبارات متقاطع، بنابراین توان را می توان خط به خط نسبت داد. این همان چیزی است که پهنای باند ضروری را قابل تعریف می کند.

✓ توابع ویژه

\(e^{j\omega t}\) از هر سیستم LTI ضرب در \(H(j\omega) = \int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\) عبور می کند که هر زمان که سیستم پایدار باشد وجود دارد.

✓ قانون مرکزی

\(b_k = H(jk\omega_0)a_k\): قدرها ضرب می شوند، فازها اضافه می شوند، دوره بدون تغییر است و هیچ فرکانس جدیدی ایجاد نمی شود.

✓ فیلتر کردن

با انتخاب شکل \(|H(j\omega)|\) مشخص می‌شود که کدام هارمونیک زنده بماند. پایین گذر \(RC\) دارای \(|H| = 0.707\) و \(-45^\circ\) در \(\omega_c = 1/RC\) است.

✓ انتقال بدون اعوجاج

به \(H(j\omega) = Ke^{-j\omega t_d}\) نیاز دارد — مقدار مسطح و فاز خطی در \(\omega\)، به طوری که تاخیر فاز و تاخیر گروه هر دو برابر با \(t_d\) هستند.

تمرین کنید

مشکلات

مسائل 1 تا 3 خواندن طیف ها را تمرین می کنند. 4 تا 6 سیگنال‌های دوره ای را از طریق سیستم‌ها فشار دهید. 7 و 8 از شما می خواهند نتایجی را که فصل استفاده کرده است را ثابت کنید. قبل از محاسبه هر طیفی با آن، هر طیفی را ترسیم کنید.

قدر و طیف فاز \(x(t) = 3 - 2\cos(400\pi t) + \sin(800\pi t + \pi/4)\) را ترسیم کنید. فرکانس اصلی را بیان کنید و بررسی کنید که نمودار بزرگی شما زوج و نمودار فاز شما فرد باشد.
یک سیگنال دوره ای دارای \(a_0 = 1\)، \(a_{\pm1} = 0.5e^{\mp j\pi/4}\)، \(a_{\pm2} = 0.25\) است و هیچ ضرایب غیر صفر دیگری ندارد. \(x(t)\) را به صورت دامنه فاز یک طرفه بنویسید و توان متوسط آن را به دو صورت محاسبه کنید.
برای قطار پالس 25 درصدی فصل 10، کسر تجمعی توان را در پنج هارمونیک اول محاسبه کنید و پهنای باند ضروری را در معیار 95 درصد بیان کنید.
یک موج مربعی با فرکانس 500 هرتز و دامنه \(\pm2\) V یک گذر پایین \(RC\) با \(R = 1\ \text{k}\Omega\) و \(C = 0.1\ \mu\text{F}\) را هدایت می کند. دامنه و فاز هارمونیک اصلی و سوم خروجی و نسبت خروجی به توان متوسط ورودی را بیابید.
همان موج مربعی یک فیلتر گذر باند ایده‌آل را با افزایش وحدت بیش از \(1200 \lt f \lt 1800\) هرتز و در جاهای دیگر صفر هدایت می‌کند. خروجی را بنویسید و توضیح دهید که چرا یک سینوسی خالص است. سپس توضیح دهید که چرا اگر باند عبور به \(1900 \lt f \lt 2100\) هرتز منتقل شود، خروجی به طور یکسان صفر می شود.
یک سیستم دارای \(H(j\omega) = 2e^{-j0.5\omega}\) برای \(|\omega| \lt 20\) راد/ثانیه و \(H(j\omega) = 0\) فراتر از آن است. خروجی \(x(t) = 1 + \cos(5t) + \cos(30t)\) را تعیین کنید و بگویید کدام یک از این سه عبارت دچار اعوجاج شده و چرا.
با شروع از مجموع کانولوشن، ثابت کنید که \(x[n] = e^{j\Omega n}\) \(y[n] = H(e^{j\Omega})e^{j\Omega n}\) را تولید می کند و نشان دهید که \(H(e^{j\Omega})\) باید در \(\Omega\) با دوره \(2\pi\) تناوبی باشد.
ثابت کنید که اگر \(y(t) = Kx(t-t_d)\) برای هر ورودی \(x\)، آنگاه \(H(j\omega) = Ke^{-j\omega t_d}\). سپس نشان دهید که یک سیستم با \(|H| = K\) اما \(\angle H = -\pi/2\) در همه فرکانس ها را نمی توان به آن شکل برای هر \(t_d\) نوشت.

نکته: برای هر سوال "سیگنال تناوبی در یک سیستم LTI" این روش هرگز تغییر نمی کند - ضرایب ورودی را بنویسید، \(H\) را در هر فرکانس هارمونیک ارزیابی کنید، بزرگی ها را ضرب کنید، فازها را اضافه کنید و دوباره مونتاژ کنید. اگر متوجه شدید که در حال تنظیم یک انتگرال کانولوشن هستید، فراموش کرده اید که در کدام فصل هستید.