تبدیل فوریه زمان‌پیوسته | سیگنال‌ها و سیستم‌ها

چیزی که یاد خواهید گرفت

استدلال محدود کننده ای که یک سری فوریه را به تبدیل فوریه تبدیل می کند: سیگنال را ثابت نگه دارید، اجازه دهید \(T \to \infty\)، و \(Ta_k\) را به یک پوش تبدیل کنید.
جفت تبدیل - تجزیه و تحلیل \(X(j\omega) = \int x(t)e^{-j\omega t}dt\) و سنتز \(x(t) = \frac{1}{2\pi}\int X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\) - و اینکه چرا \(X(j\omega)\) یک چگالی است، نه یک دامنه.
هنگامی که تبدیل وجود دارد، در هنگام پرش به چه چیزی همگرا می شود و کدام سیگنال اصلاً برای تبدیل شدن به ضربه نیاز دارد.
تعداد انگشت شماری تبدیل همه چیز دیگر از جمله پالس مستطیلی و سینک آن ساخته شده است.
پخش متقابل: کوتاه در زمان به معنای گسترده در فرکانس، همیشه، با محصولی که قابل شکست نیست.
طیف های حاوی ضربه ها - ثابت، سینوسی، علامت و گام واحد - و چرا تبدیل یک سیگنال تناوبی یک طیف خطی است که از ضربه ها ساخته شده است.
رابطه پارسوال برای سیگنال‌های انرژی و چگالی طیفی انرژی \(|X(j\omega)|^2\).

بخش 13-1

چرا سریال کافی نیست

بخش 3 یک نظریه کامل برای سیگنال‌های دوره ای ایجاد کرد. فصل 10 آنها را به هارمونیک تجزیه کرد، فصل 11 تجزیه جبر خود را نشان داد، و فصل 12 نشان داد که یک سیستم LTI با ضرب ساده روی هارمونیک ها عمل می کند. این یک داستان توانمند و منسجم است و تقریباً برای هیچ چیزی که مهندسان واقعاً اندازه‌گیری می‌کنند، کاربرد ندارد.

یک کلمه گفتاری، یک پژواک راداری، یک سوئیچ گذرا، یک پالس داده واحد، پاسخ ضربه یک فیلتر - هیچ یک از اینها تکرار نمی شود. فرکانس اساسی آنها را بپرسید و پاسخ صادقانه این است\(\omega_0 = 2\pi/T\)با\(T\)بی نهایت، یعنی صفر، یعنی هارمونیک ها بی نهایت نزدیک به هم بسته شده اند و هر ضریب\(a_k\)به یک نامتناهی تقسیم شده است\(T\)و صفر است. ماشین آلات سری صرفاً ناخوشایند نمی شوند. منحط می شود.

و با این حال شهودی که بر اساس آن ساخته شده بود به وضوح باقی می ماند. یک پالس کوتاه به صورت شنیداری حاوی فرکانس های بالا است و یک پالس آهسته نه. پهنای باند اسیلوسکوپ تعیین می کند که آیا لبه تیز به نظر می رسد. یک کانال رادیویی برخی سیگنال‌ها را ارسال می کند و برخی دیگر را منحرف می کند. هیچ کس باور نمی کند که یک سیگنال غیر پریودیک محتوای فرکانسی ندارد. آنچه لازم است تجزیه ای است که به تناوب بستگی ندارد.

همچنین توجه کنید که چه مقدار کمی از فصل 12 واقعاً از دوره تناوب استفاده کرده است. ویژگی تابع ویژه - که \(e^{j\omega t}\) از یک سیستم LTI ضرب در \(H(j\omega)\) پدیدار می شود - مستقیماً از انتگرال کانولوشن ثابت شد و هرگز نقطه ای ذکر نشده است. فقط تجزیه ورودی به نمایی به سیگنال برای تکرار نیاز داشت. آن یک مرحله را تعمیر کنید و کل دستگاه پاسخ فرکانسی، فیلتر کردن و ارسال بدون اعوجاج دست نخورده است.

طرح. ما سریال را رها نمی کنیم. ما حدی از آن می گیریم یک سیگنال غیر پریودیک همان چیزی است که یک سیگنال تناوبی زمانی که تکرارهای آن بی نهایت از هم فاصله می گیرند، تبدیل می شود و تبدیل فوریه همان چیزی است که سری فوریه در همان لحظه تبدیل می شود. همه چیز در این فصل از تماشای دقیق آن محدودیت ناشی می شود.

بخش 13-2

از سری تا تبدیل

بگذارید \(x(t)\) سیگنالی با مدت زمان محدود باشد، صفر در خارج از \(|t| \le T_1\). دوره ای نیست، بنابراین یک سیگنال دوره ای بسازید که با آن موافق باشد: اجازه دهید \(\tilde{x}(t)\) \(x(t)\) را هر \(T\) ثانیه یکبار با \(T \gt 2T_1\) تکرار کند تا کپی ها با هم تداخل نداشته باشند. در بازه زمانی \(|t| \lt T/2\)، دو سیگنال یکسان هستند، و با رشد \(T\)، کپی های همسایه به سمت بی نهایت عقب نشینی می کنند، بنابراین \(\tilde{x}(t) \to x(t)\) برای هر \(t\) ثابت.

اکنون ضرایب فوریه \(\tilde{x}\) را محاسبه کنید. در یک دوره \(\tilde{x}\) برابر با \(x\) است، و در خارج از پالس \(x\) صفر است، بنابراین حدود انتگرالی انتگرال تجزیه و تحلیل ممکن است بدون تغییر چیزی تا بی نهایت افزایش یابد:

ضرایب گسترش دوره ای

\[ a_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\tilde{x}(t)e^{-jk\omega_0 t}\,dt = \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jk\omega_0 t}\,dt, \qquad \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \]

انتگرال سمت راست تابعی از تک متغیر \(k\omega_0\) است و شامل \(x\) است، نه \(\tilde{x}\) و نه \(T\). اسمش را بگذار تعریف کنید

پوش نامه

\[ X(j\omega) \;\triangleq\; \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt \qquad\Longrightarrow\qquad a_k = \frac{1}{T}X(jk\omega_0), \quad\text{i.e.}\quad T a_k = X(jk\omega_0) \]

این محور کل فصل است و سزاوار خواندن آهسته است. ضرایب فوریه گسترش تناوبی، مقیاس‌بندی شده توسط \(T\)، نمونه‌هایی از یک تابع ثابت فرکانس هستند که در فرکانس‌های هارمونیک \(k\omega_0\) گرفته شده‌اند. تابع \(X(j\omega)\) نمی داند یا اهمیتی نمی دهد \(T\) چیست. به تنهایی متعلق به نبض است. تغییر \(T\) دقیقاً دو کار را انجام می دهد: میزان ریز نمونه‌برداری از پوش را تغییر می دهد، زیرا فاصله آن \(\omega_0 = 2\pi/T\) است، و هر ضریب را با \(1/T\) کاهش می دهد.

شکل این اتفاق را نشان می دهد. دوبرابر کردن نقطه فاصله خطوط را نصف می کند و ارتفاع هر خط را نصف می کند، اما شکلی که خطوط از آن بیرون می آیند یکسان است، زیرا هرگز از ویژگی های سیگنال تناوبی نبود.

کشش دوره نمونه‌برداری از همان پوش ریزتر

حالا معادله سنتز را از طریق همان جایگزینی اجرا کنید. نوشتن \(a_k = X(jk\omega_0)/T\) و استفاده از \(1/T = \omega_0/2\pi\):

مجموع سنتز، به عنوان یک مجموع ریمان بازنویسی شده است

\[ \tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0 t} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0 t}\,\omega_0 \]

آخرین عبارت یک مجموع ریمان برای یک انتگرال است: جمع تابعی است که در \(\omega = k\omega_0\) ارزیابی می‌شود و در عرض \(\omega_0\) نواری که نشان می‌دهد ضرب می‌شود. به عنوان \(T \to \infty\)، \(\tilde{x}(t) \to x(t)\) در سمت چپ، عرض نوار \(\omega_0 \to 0\) در سمت راست، و مجموع تبدیل به یک انتگرال در تمام \(\omega\) می شود. آن حد معادله سنتز تبدیل فوریه است و جفت کامل است.

بخش 13-3

جفت تبدیل

🔑

جفت تبدیل فوریه پیوسته

\[ X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \qquad\qquad x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \]

اولین معادله آنالیز است که میزان \(e^{j\omega t}\) سیگنال را اندازه می‌گیرد. دومی معادله سنتز است که سیگنال را از زنجیره ای از نمایی بازسازی می کند. ما \(x(t) \leftrightarrow X(j\omega)\) یا \(X(j\omega) = \mathcal{F}\{x(t)\}\) می نویسیم.

جفت را با جفت سری فصل 10 مقایسه کنید و مطابقت دقیق است: مجموع بیش از\(k\)تبدیل به یک بیش از جدایی ناپذیر شده است\(\omega\)، ضرایب گسسته\(a_k\)تبدیل به تابع پیوسته شده اند\(X(j\omega)\)، و\(1/T\)معادله تحلیل به\(1/2\pi\)از معادله سنتز اون ولگرد\(2\pi\)حسابداری خالص است - به نظر می رسد زیرا ما تصمیم گرفتیم با آن کار کنیم\(\omega\)به جای رادیان در ثانیه\(f\)در هرتز نوشتن جفت بر حسب\(f\)آن را به طور کامل ناپدید می کند و هر دو جهت را متقارن می کند، به همین دلیل است که مهندسان ارتباطات معمولاً آن را ترجیح می دهند.

همان جفت در هرتز

\[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi f t}\,dt, \qquad x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi f t}\,df, \qquad \omega = 2\pi f \]

یک نکته از تفسیر باید درست باشد و این نکته ای است که دانش آموزان اغلب از آن عبور می کنند. \(X(j\omega)\) دامنه مولفه در فرکانس \(\omega\) نیست. یک سیگنال غیرپریودیک مقدار محدودی از فرکانس واحد ندارد - معادله سنتز می گوید سهم باند \([\omega, \omega + d\omega]\) \(X(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega/2\pi\) است، که مانند \(d\omega\) ناپدید می شود. \(X(j\omega)\) یک چگالی طیفی است: مقداری سیگنال در واحد فرکانس. به همین دلیل است که واحدهای آن واحدهای \(x\) ضرب در زمان - ولت ثانیه برای یک ولتاژ - هستند و چرا نمودار \(|X(j\omega)|\) یک منحنی پیوسته است نه مجموعه‌ای از خطوط.

مانند قبل، \(X(j\omega)\) پیچیده است و به دو نمودار نیاز دارد: طیف بزرگی \(|X(j\omega)|\) و طیف فاز \(\angle X(j\omega)\). گرفتن مزدوج معادله تحلیل برای \(x(t)\) واقعی، \(X^{*}(j\omega) = \int x(t)e^{j\omega t}dt = X(-j\omega)\) را به دست می‌دهد، بنابراین هر تقارن فصل 12 از انتقال دست نخورده باقی می‌ماند.

🔑

تقارن برای سیگنال‌های واقعی

\[ X(-j\omega) = X^{*}(j\omega) \quad\Longrightarrow\quad |X(-j\omega)| = |X(j\omega)|, \qquad \angle X(-j\omega) = -\angle X(j\omega) \]

قدر زوج، فاز فرد. اگر \(x(t)\) حقیقی و زوج باشد، بخش خیالی انتگرال به صفر انتگرال‌گیری می شود و \(X(j\omega)\) حقیقی و زوج است - اصلاً به نمودار فازی نیاز نیست.

تبدیلی که قبلاً استفاده کرده اید. دوباره به تعریف فصل 12 \(H(j\omega) = \int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\) نگاه کنید. این معادله تحلیلی است که برای پاسخ ضربه اعمال می شود. پاسخ فرکانسی یک سیستم LTI، تبدیل فوریه \(h(t)\) است، و آرگومان تابع ویژه که آن را تولید می‌کند، نیازی به تناوب ندارد - دقیقاً به همین دلیل است که فصل 15 می‌تواند سیگنال‌های دوره‌ای را با ماشین‌هایی که فصل 12 برای سیگنال‌های دوره‌ای ساخته شده است، فیلتر کند.

بخش 13-4

وجود و همگرایی

معادله تحلیل یک انتگرال نامناسب است، بنابراین نیازی به همگرایی ندارد و استدلال محدود بخش 13-2 با یک عقربه سبک انجام شد. شرایطی که همه چیز را مشروع می کند، فرزندان مستقیم شرایط دیریکله فصل 11 هستند، با انتگرال در یک دوره با یک انتگرال در تمام زمان ها جایگزین شده است.

🔑

شرایط دیریکله برای تبدیل

\[ \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|\,dt \lt \infty \]

همراه با تعداد محدودی از ماکزیمم و مینیمم، و تعداد محدودی از ناپیوستگی های متناهی، در هر بازه محدود. تحت این شرایط \(X(j\omega)\) وجود دارد، پیوسته و محدود است، و انتگرال سنتز در همه جا \(x(t)\) را برمی گرداند، به جز در یک پرش، جایی که نقطه میانی دو مقدار یک طرفه را برمی گرداند.

رفتار نقطه میانی در یک ناپیوستگی همان نتیجه‌ای است که فصل 11 برای این سری به اثبات رساند و با مکانیسم مشابهی به آن رسید، و نباید تعجب آور باشد: انتگرال سنتز مجموع توابع پیوسته است و نمی‌توان از آن درخواست کرد که یک پرش را دقیقاً در پرش بازتولید کند. بیش از حد گیبس از انتقال نیز جان سالم به در می‌برد و هر زمان که یک طیف در یک \(\omega\) محدود کوتاه شود ظاهر می‌شود - کاری که هر فیلتر واقعی انجام می‌دهد.

یکپارچگی مطلق کافی است اما ضروری نیست. دسته دوم سیگنال‌ها با استدلال متفاوتی پذیرفته می‌شوند: هر سیگنال انرژی، یکی با \(\int|x(t)|^2dt \lt \infty\)، تبدیل به معنای مربع میانگین دارد، حتی اگر \(\int|x|dt\) واگرا شود. سیگنال \(\sin(Wt)/(\pi t)\) یک مثال استاندارد است - آنقدر آهسته تحلیل می‌رود که کاملاً یکپارچه‌پذیر باشد، اما مربع آن یکپارچه‌پذیر است، و تبدیل آن، همانطور که در مثال کار شده 4 نشان می‌دهد، یک مستطیل کاملاً معمولی است.

در نهایت سیگنال‌هایی وجود دارند که هیچ یک از شرایط را برآورده نمی کنند و در عین حال ضروری هستند: یک ثابت، یک سینوسی، یک گام واحد، یک سیگنال دوره ای. انتگرال های تحلیل آنها کاملاً از هم جدا می شوند. به جای حذف آن‌ها، نظریه را گسترش می‌دهیم تا به ایمپالس‌ها در حوزه فرکانس اجازه دهیم، دقیقاً همانطور که فصل 3 کلاس سیگنال‌ها را برای اجازه دادن به یک ضربه در زمان گسترش داد. بخش 13-7 این کار را انجام می دهد، و نه یک ترفند است و نه یک فاج - این همان ایده عملکرد تعمیم یافته است که در محور دیگر اعمال می شود.

بخش 13-5

تحولاتی که باید بدانید

چهار یا پنج تبدیل، صادقانه یک بار مشتق شده اند، شما را از طریق قسمت 4 عبور می دهند. هر یک از آنها ارزیابی مستقیم انتگرال تحلیل است.

نمایی یک طرفه. \(x(t) = e^{-at}u(t)\) را با \(a \gt 0\) بگیرید. مرحله انتگرال را به \(t \gt 0\) محدود می کند:

استخراج \(\mathcal{F}\{e^{-at}u(t)\}\)

\[ X(j\omega) = \int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt = \left[\frac{-e^{-(a+j\omega)t}}{a+j\omega}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a+j\omega} \]

حد بالایی ناپدید می شود زیرا \(|e^{-(a+j\omega)t}| = e^{-at} \to 0\)، و این دقیقاً جایی است که \(a \gt 0\) مورد نیاز است: یک نمایی رو به رشد هیچ تبدیلی ندارد. با تقسیم به قدر و فاز، \(|X| = 1/\sqrt{a^2+\omega^2}\) و \(\angle X = -\arctan(\omega/a)\) — پاسخ کم گذر \(RC\) در فصل 12 دوباره، که تصادفی نیست، زیرا \(e^{-t/RC}u(t)/RC\) پاسخ ضربه فیلتر است.

نمایی دو طرفه. برای \(x(t) = e^{-a|t|}\)، انتگرال را در مبدا تقسیم کنید و هر نیمه را ارزیابی کنید:

استخراج \(\mathcal{F}\{e^{-a|t|}\}\)

\[ X(j\omega) = \int_{-\infty}^{0}e^{at}e^{-j\omega t}dt + \int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{a-j\omega} + \frac{1}{a+j\omega} = \frac{2a}{a^2+\omega^2} \]

واقعی و حتی، همانطور که برای یک سیگنال حقیقی واقعی وعده داده شده بود. ضربه حتی ساده تر است: الک کردن به \(\mathcal{F}\{\delta(t)\} = \int\delta(t)e^{-j\omega t}dt = e^{-j0} = 1\) می دهد. یک ضربه شامل هر فرکانس به اندازه یکسان، با فاز صفر است - به این دلیل که سیگنال آزمایشی ایده‌آل است، و دلیل اینکه مهندسان آن را "سفید" می‌نامند. جابجایی آن \(\mathcal{F}\{\delta(t-t_0)\} = e^{-j\omega t_0}\) را می دهد: مقدار واحد در هر فرکانس و فاز خطی در \(\omega\)، که بیانیه فصل 12 است که فاز خطی یک تاخیر خالص است که از طرف دیگر دیده می شود.

نبض مستطیل شکل از همه مهمتر است. اجازه دهید \(x(t) = 1\) برای \(|t| \lt T_1\) و در جاهای دیگر صفر شود:

استخراج تبدیل پالس مستطیل شکل

\[ X(j\omega) = \int_{-T_1}^{T_1}e^{-j\omega t}dt = \left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right]_{-T_1}^{T_1} = \frac{e^{j\omega T_1} - e^{-j\omega T_1}}{j\omega} = \frac{2\sin(\omega T_1)}{\omega} \]

سه بررسی نتیجه را تایید می کند. در \(\omega = 0\) حد \(2T_1\) است، که ناحیه زیر پالس است — و در واقع \(X(0) = \int x(t)dt\) همیشه، مستقیماً از معادله تحلیل با \(\omega\) که روی صفر تنظیم شده است. تابع واقعی و یکنواخت است، همانطور که برای یک پالس زوج واقعی باید باشد. و هر زمان که \(\omega T_1\) مضرب غیر صفری از \(\pi\) باشد ناپدید می شود، بنابراین گذرگاه های صفر در \(\omega = k\pi/T_1\) قرار می گیرند.

نوشتن پاسخ با تابع sinc فصل 3 \(\operatorname{sinc}(\theta) = \sin(\pi\theta)/(\pi\theta)\) \(X(j\omega) = 2T_1\operatorname{sinc}(\omega T_1/\pi)\) می دهد. کتاب ها در مورد اینکه آیا \(\pi\) در داخل تعریف تعلق دارد یا خیر متفاوت است. قبل از نقل قول از یک فرمول، بررسی کنید که کدام قرارداد در حال استفاده است.

پالس مستطیلی و سینک آن - جفت قسمت 4 در اطراف ساخته شده است

سیگنال \(x(t)\)	تبدیل \(X(j\omega)\)	تذکر دهید
\(\delta(t)\)	\(1\)	همه فرکانس ها به طور مساوی، فاز صفر
\(\delta(t-t_0)\)	\(e^{-j\omega t_0}\)	قدر مسطح، فاز خطی
\(e^{-at}u(t),\ a \gt 0\)	\(\dfrac{1}{a+j\omega}\)	پهنای باند با \(a\) افزایش می یابد
\(e^{-a\|t\|},\ a \gt 0\)	\(\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}\)	واقعی و حتی
\(1\) برای \(\|t\| \lt T_1\)، دیگری \(0\)	\(\dfrac{2\sin\omega T_1}{\omega}\)	صفر در \(\omega = k\pi/T_1\)
\(\dfrac{\sin Wt}{\pi t}\)	\(1\) برای \(\|\omega\| \lt W\)، دیگری \(0\)	همان جفت، به عقب بخوانید

بخش 13-6

گسترش متقابل

دو ردیف آخر آن جدول همان عبارتی است که دو بار نوشته شده است، و تقارن بین آنها تصادفی نیست - فصل 14 نام آن را دوگانگی می گذارد. قبل از آن، یک پیامد فیزیکی از جفت پالس مستطیلی وجود دارد که سزاوار بخش خاص خود است، زیرا هر سیستم مهندسی را که تا کنون ساخته شده محدود می کند.

پالس \(2T_1\) ثانیه و لوب اصلی تبدیل آن \(2\pi/T_1\) رادیان در ثانیه را اشغال می کند، از صفر اول سمت چپ تا اولی سمت راست. این دو را ضرب کنید:

🔑

پخش متقابل

\[ (\text{duration})\times(\text{main-lobe width}) = (2T_1)\left(\frac{2\pi}{T_1}\right) = 4\pi \quad\text{— independent of } T_1 \]

فشرده سازی یک سیگنال در زمان، طیف آن را دقیقاً با همان عامل افزایش می دهد. محصول را نمی توان با هیچ انتخابی از عرض پالس کاهش داد، و استدلال دقیق تر نشان می دهد که با هیچ انتخاب شکل پالس نیز نمی توان آن را کاهش داد.

نمایی همان داستان را با محاسبات مختلف بیان می کند. برای \(e^{-at}u(t)\) ثابت زمانی \(\tau = 1/a\) و پهنای باند نیمه توان \(\omega = a\) است، زیرا \(|X|\) به \(1/\sqrt2\) اوج خود در آنجا می رسد. محصول آنها 1 است، هر چه \(a\) باشد. یک سیگنال با پوسیدگی سریع یک سیگنال باند پهن است. گزینه سومی وجود ندارد

چهار برابر مدت زمان، یک چهارم پهنای باند - هر دو طیف به یک مقیاس کشیده شده اند

جایی که شما دوباره این را ملاقات خواهید کرد. نرخ داده ای را تنظیم می کند که یک کانال با پهنای باند مشخص می تواند حمل کند، زیرا نمادهای کوتاهتر به پهنای باند بیشتری نیاز دارند. این توضیح می‌دهد که چرا یک ضربه - مدت زمان صفر - دارای یک طیف مسطح تا بی‌نهایت است، و چرا یک ثابت - مدت نامتناهی - دارای یک طیف متمرکز در یک نقطه است. در مکانیک کوانتومی، نابرابری یکسان، اعمال شده برای یک تابع موج و تبدیل آن، اصل عدم قطعیت هایزنبرگ است. این همان قضیه در مورد یک جفت انتگرال است.

بخش 13-7

ضربه ها در فرکانس

یک سیگنال ثابت \(x(t) = 1\) کاملاً قابل انتگرال‌گیری نیست و انتگرال تحلیلی آن \(\int e^{-j\omega t}dt\) به هیچ معنای معمولی همگرا نمی شود. اما ثابت بسیار مفید است که بتوان آن را رها کرد، بنابراین به عنوان یک حد به آن نزدیک شوید، دقیقاً همانطور که فصل 3 به خود ضربه نزدیک شد.

\(e^{-a|t|}\) نمایی دو طرفه را که تبدیل آن را \(2a/(a^2+\omega^2)\) می دانیم، در نظر بگیرید و اجازه دهید \(a \to 0\). در حوزه زمانی \(e^{-a|t|} \to 1\) برای هر \(t\). در حوزه فرکانس اتفاق جالب تری می افتد. برای هر \(\omega \ne 0\) ثابت، تبدیل به \(2a/\omega^2 \to 0\) تمایل دارد، بنابراین حد در همه جا از مبدا صفر است. اما مساحت کل آن هرگز تغییر نمی کند:

ناحیه زیر تبدیل به عنوان \(a \to 0\) ثابت می شود

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{2a}{a^2+\omega^2}\,d\omega = 2a\cdot\frac{1}{a}\Big[\arctan\frac{\omega}{a}\Big]_{-\infty}^{\infty} = 2\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = 2\pi \]

صفر در همه جا به جز مبدا، با مساحت ثابت \(2\pi\): این تعریف \(2\pi\delta(\omega)\) است. بنابراین \(1 \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)\)، و نتیجه را می توان فوراً در برابر معادله سنتز بررسی کرد، زیرا \(\frac{1}{2\pi}\int 2\pi\delta(\omega)e^{j\omega t}d\omega = e^{j0} = 1\) با الک کردن. همچنین دقیقاً همان چیزی است که انتشار متقابل نیاز دارد: یک سیگنال با مدت زمان نامحدود باید طیفی با عرض صفر داشته باشد.

از آن یک نتیجه، بقیه اعضای خانواده دنبال می‌شوند. تغییر ضربه در فرکانس مربوط به ضرب در یک نمایی پیچیده در زمان است که معادله سنتز آن را در یک خط تأیید می کند و فرمول اویلر سپس سینوسی ها را تحویل می دهد.

🔑

تبدیل نمایی ها و سینوسی های جاودانه

\[ e^{j\omega_0 t} \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0), \qquad \cos\omega_0 t \leftrightarrow \pi\big[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\big] \]

و \(\sin\omega_0 t \leftrightarrow j\pi\big[\delta(\omega+\omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)\big]\). لحن خالصی که برای همیشه اجرا می‌شود دقیقاً یک فرکانس را اشغال می‌کند، بنابراین چگالی طیفی آن در آنجا بی‌نهایت و در جاهای دیگر صفر است - یک ضربه تنها شیئی است که می‌تواند آن را بیان کند.

تابع signum به همان درمان محدود کننده نیاز دارد. \(\operatorname{sgn}(t)\) تقریبی توسط \(e^{-a|t|}\operatorname{sgn}(t)\) که کاملاً برای \(a \gt 0\) قابل ادغام است:

استخراج \(\mathcal{F}\{\operatorname{sgn}(t)\}\)

\[ \int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt - \int_{-\infty}^{0}e^{(a-j\omega)t}dt = \frac{1}{a+j\omega} - \frac{1}{a-j\omega} = \frac{-2j\omega}{a^2+\omega^2} \;\xrightarrow[a\to 0]{}\; \frac{-2j}{\omega} = \frac{2}{j\omega} \]

این بار هیچ ضربه ای ظاهر نمی شود، زیرا \(\operatorname{sgn}(t)\) هیچ مقدار متوسطی برای تمرکز در مبدا ندارد. پلهٔ واحد انجام می دهد و تمیزترین راه برای دیدن آن این است که گام را به عنوان یک مقدار متوسط به اضافه علامت علامت، \(u(t) = \tfrac12 + \tfrac12\operatorname{sgn}(t)\) بنویسید و هر قطعه را با نتایج به دست آمده تغییر دهید.

🔑

تبدیل پلهٔ واحد

\[ u(t) \;\leftrightarrow\; \pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} \]

عبارت ضربه ای محتوای DC مرحله - میانگین غیر صفر آن - و عبارت \(1/j\omega\) حامل لبه سوئیچینگ است. رها کردن ضربه رایج ترین خطا در قسمت 4 است و همیشه به عنوان یک ثابت گمشده در پایین دست نشان داده می شود.

سیگنال	تبدیل کنید	چرا به انگیزه نیاز دارد
\(1\)	\(2\pi\delta(\omega)\)	مدت زمان بی نهایت، بنابراین پهنای باند صفر
\(e^{j\omega_0 t}\)	\(2\pi\delta(\omega-\omega_0)\)	تمام محتوای آن در یک فرکانس
\(\cos\omega_0 t\)	\(\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\)	واقعی است، بنابراین طیف زوج است
\(\sin\omega_0 t\)	\(j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]\)	حقیقی و فرد، بنابراین طیف خیالی است
\(\operatorname{sgn}(t)\)	\(\dfrac{2}{j\omega}\)	بدون ضربه - مقدار متوسط صفر
\(u(t)\)	\(\pi\delta(\omega) + \dfrac{1}{j\omega}\)	میانگین ارزش \(\tfrac12\) برابر \(\omega = 0\) است

بخش 13-8

سیگنال‌های دوره ای دوباره

با ضربه‌های موجود در فرکانس، سیگنال‌های دوره‌ای را می‌توان به جای رها کردن خارج از نظریه، به داخل نظریه بازگرداند. یک سیگنال تناوبی مجموع نمایی های پیچیده ابدی است و ما به تازگی یکی از آنها را تبدیل کرده ایم. تبدیل جمع ترم به ترم:

🔑

تبدیل یک سیگنال دوره ای

\[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k e^{jk\omega_0 t} \quad\leftrightarrow\quad X(j\omega) = 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\,\delta(\omega - k\omega_0) \]

طیف خط قسمت 3 تبدیل فوریه است: هر خط یک ضربه در فرکانس هارمونیک منطقه \(2\pi a_k\) است. اکنون یک چارچوب سیگنال‌های دوره ای و متناوب را با هم پوشش می دهد.

این یک اتحاد واقعی است، نه برچسب زدن. این بدان معناست که قانون فصل 12 \(b_k = H(jk\omega_0)a_k\) و قانون تبدیل دامنه ای که فصل 15 ثابت خواهد کرد، یک عبارت هستند، و به این معنی است که سیگنال ساخته شده از یک پالس به اضافه یک زمزمه را می توان در یک محاسبه به جای دو محاسبه کرد.

مثالی که بسیار مهم است قطار ضربه ای \(p(t) = \sum_n \delta(t-nT)\) است، سیگنالی که نمونه‌برداری را مدل می کند. ضرایب فوریه آن از غربال کردن در یک دوره به دست می آید که در آن تنها ضربه موجود در مبدأ است:

ضرایب و تبدیل قطار ضربه ای

\[ a_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\delta(t)e^{-jk\omega_0 t}dt = \frac{1}{T} \qquad\Longrightarrow\qquad P(j\omega) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\!\left(\omega - \frac{2\pi k}{T}\right) \]

یک قطار ضربه ای به یک قطار ضربه ای با فاصله متقابل تبدیل می شود

یک قطار ضربه ای در زمان، یک قطار ضربه ای در فرکانس است، و فاصله ها متقابل هستند: ازدحام ضربه ها به هم در زمان، آنها را از نظر فرکانس بیشتر از هم دور می کند. فصل 20 نشان می‌دهد که نمونه‌برداری از یک سیگنال در \(p(t)\) ضرب می‌شود، که ضرب در زمان به صورت کانولوشن در فرکانس است، و بنابراین کانولوشن یک طیف با این شانه، کپی‌هایی از آن را با فاصله \(2\pi/T\) از هم می‌سازد. کل قضیه نمونه‌برداری در این جفت تبدیل وجود دارد. ما به سادگی هنوز برای باز کردن آن مجهز نیستیم.

بخش 13-9

پارسوال و چگالی طیفی انرژی

رابطه پارسوال در فصل 11 توان یک سیگنال تناوبی، هارمونیک با هارمونیک را محاسبه می کند. سیگنال‌های غیرپریودیک از نوع مورد بررسی در اینجا انرژی محدود و توان متوسط صفر دارند، بنابراین عبارت مربوطه باید در مورد انرژی باشد و از جایگزینی معادله سنتز به انتگرال انرژی خارج می‌شود.

استخراج رابطه پارسوال

\[ \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^{*}(t)\,dt = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X^{*}(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\right]dt \]

با تبادل ترتیب انتگرال‌گیری، انتگرال داخلی بیش از \(t\) \(\int x(t)e^{-j\omega t}dt = X(j\omega)\) است، و آنچه باقی می ماند نتیجه است.

🔑

رابطه پارسوال برای تبدیل فوریه

\[ E = \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(j\omega)|^2\,d\omega \]

انرژی ممکن است در هر دو حوزه محاسبه شود. کمیت \(|X(j\omega)|^2\) چگالی طیفی انرژی است: انتگرال‌گیری آن روی یک باند فرکانس انرژی حامل سیگنال در آن باند را می‌دهد.

کاربرد عملی آن مانند طیف توان در فصل 12 است. از آنجایی که انرژی در فرکانس بدون عبارات متقاطع افزودنی است، "میزان این پالس زیر 10 کیلوهرتز قرار دارد" یک سوال خوب با پاسخ عددی است، و پهنای باند ضروری یک سیگنال انرژی باندی است که شامل کسری توافق شده است - معمولاً 9٪ - 9٪ یا 9٪. مثال کار شده 5 یک را از انتهای تا انتهای آن محاسبه می کند.

توجه داشته باشید که طیف فاز به طور کامل از این حسابداری ناپدید شده است: \(|X|^2\) آن را کنار می گذارد. دو سیگنال با طیف‌های قدر یکسان و طیف‌های فازی بسیار متفاوت، دقیقاً انرژی یکسان و توزیع انرژی یکسان دارند، در حالی که در حوزه زمانی هیچ شباهتی ندارند. انرژی نسبت به فاز کور است. شکل نیست

بخش 13-10

نمونه های کار شده

1 نمایی در حال فروپاشی که با پارسوال بررسی می شود

مشکل تبدیل \(x(t) = e^{-3t}u(t)\) را پیدا کنید، مقدار و فاز آن را در \(\omega = 0\) و \(\omega = 3\) ارزیابی کنید و انرژی آن را در هر دو حوزه محاسبه کنید.

راه حل. با \(a = 3\) نتیجه استاندارد \(X(j\omega) = 1/(3+j\omega)\) می دهد، بنابراین

در حال کار کردن

\[ |X(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{9+\omega^2}}, \qquad \angle X(j\omega) = -\arctan\frac{\omega}{3} \]

در \(\omega = 0\): \(|X| = 1/3 = 0.333\) با فاز صفر. در \(\omega = 3\): \(|X| = 1/\sqrt{18} = 0.2357\)، که \(1/\sqrt2\) اوج است، و \(\angle X = -45^\circ\). بنابراین پهنای باند نیمه توان 3 راد بر ثانیه است که برابر با \(1/\tau\) است - پخش متقابل در یک خط.

در حوزه زمان انرژی \(E = \int_0^{\infty}e^{-6t}dt = 1/6\) است. در حوزه فرکانس، با استفاده از \(\int_{-\infty}^{\infty}d\omega/(a^2+\omega^2) = \pi/a\):

کار - چک پارسوال

\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{9+\omega^2} = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{6} \]

آن دو موافق هستند، همانطور که باید. هنگامی که یک انتگرال در یک دامنه ناخوشایند به نظر می رسد، این هویت اغلب سریع ترین راه برای ارزیابی آن است - به این ترتیب انتگرال دامنه فرکانس بالا به صورت معکوس انجام شد.

2 دو پالس با عرض متفاوت

مشکل تبدیل های یک پالس ارتفاع واحد را با \(T_1 = 1\) و یکی با \(T_1 = 2\) پیدا کرده و مقایسه کنید. اولین مورد را در \(\omega = \pi/2\) ارزیابی کنید.

راه حل. جایگزینی با \(X(j\omega) = 2\sin(\omega T_1)/\omega\):

در حال کار کردن

\[ X_1(j\omega) = \frac{2\sin\omega}{\omega}, \qquad X_2(j\omega) = \frac{2\sin 2\omega}{\omega} \]

پیک ها \(X_1(0) = 2\) و \(X_2(0) = 4\) هستند که هر کدام برابر با مساحت پالس آن هستند. صفرهای اول به ترتیب در \(\omega = \pi\) و \(\omega = \pi/2\) هستند: پالسی که دوبرابر طول دارد دارای طیفی نصف پهنا و دو برابر بلندتر است. بنابراین، دوبرابر کردن مدت زمان، پیک چگالی انرژی \(|X|^2\) را چهار برابر کرده در حالی که پهنای باند را نصف کرده است، و این دو تغییر با هم انرژی را فقط دوبرابر می کنند - همانطور که باید باشد، زیرا خود پالس دو برابر طولانی تر است.

در\(\omega = \pi/2\), \(X_1 = 2\sin(\pi/2)/(\pi/2) = 4/\pi = 1.273\). از آنجایی که\(x(t)\)واقعی و یکنواخت است،\(X_1\)واقعی است، بنابراین فاز است\(0\)هر کجا\(X_1 \gt 0\)و\(\pi\)هر کجا\(X_1 \lt 0\)- یک سینک فازی در بین ندارد، فقط علامت در صفرهایش تغییر می کند.

3 طیف ساخته شده از ضربه ها

مشکل تبدیل (a) \(x(t) = 1 + 2\cos 3t\) را پیدا کنید. (ب) \(x(t) = 3\delta(t-2)\)؛ (ج) \(x(t) = 4u(t)\).

راه حل (الف). هر عبارت را با نتایج بخش 13-7 تغییر دهید و اضافه کنید:

کار - بخش (الف)

\[ X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega) + 2\pi\big[\delta(\omega-3)+\delta(\omega+3)\big] \]

فاکتور \(2\pi\) به جای \(\pi\) در شرایط کسینوس است، زیرا کسینوس دارای ضریب 2 است. سه ضربه، در \(0\) و \(\pm3\) راد/s - یک طیف خطی، دقیقاً همانطور که در یک فصل بیان می‌شود.

راه حل (ب). الک کردن \(X(j\omega) = 3\int\delta(t-2)e^{-j\omega t}dt = 3e^{-j2\omega}\) می دهد. قدر 3 در هر فرکانس، فاز \(-2\omega\): قدر مسطح و فاز خطی، که کانال بدون اعوجاج فصل 12 با \(K = 3\) و \(t_d = 2\) است.

راه حل (ج). خطی بودن در نتیجه مرحله: \(X(j\omega) = 4\pi\delta(\omega) + 4/(j\omega)\). انگیزه باید حفظ شود. یک گام دارای مقدار متوسط غیر صفر \(2\) در تمام زمان ها است، و این میانگین جایی برای زندگی جز در \(\omega = 0\) ندارد.

4 پایین گذر ایده آل، معکوس

مشکل سیگنالی را پیدا کنید که تبدیل آن \(X(j\omega) = 1\) برای \(|\omega| \lt W\) و \(0\) فراتر است. پاسخ را به عنوان پاسخ ضربه یک فیلتر پایین گذر ایده آل تفسیر کنید.

راه حل. مستطیل را در معادله سنتز قرار دهید، جایی که فقط محدودیت ها را کوتاه می کند:

در حال کار کردن

\[ x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W}e^{j\omega t}d\omega = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{e^{j\omega t}}{jt}\right]_{-W}^{W} = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{jWt}-e^{-jWt}}{jt} = \frac{\sin Wt}{\pi t} \]

در \(t = 0\) محدودیت \(W/\pi\) است و صفرها در \(t = k\pi/W\) قرار دارند. این همان جفت مستطیل و سینک بخش 13-5 است که نقش‌های دو محور رد و بدل شده است - اولین مشاهده دوگانگی.

به عنوان یک سیستم، \(X(j\omega)\) پاسخ فرکانسی یک فیلتر پایین گذر ایده آل و \(x(t)\) پاسخ ضربه آن است. برای \(t \lt 0\) غیر صفر است: فیلتر قبل از ضربه زدن پاسخ می دهد. این بدهی فصل 12 را تسویه می‌کند - یک فیلتر ایده‌آل غیر علتی است و بنابراین نمی‌توان ساخت - و همچنین بهای تلاش را نشان می‌دهد، زیرا پاسخ ضربه فقط به صورت \(1/t\) کاهش می‌یابد و باید کوتاه شود.

5 پهنای باند ضروری یک نمایی دو طرفه

مشکل برای \(x(t) = e^{-2|t|}\)، انرژی کل و کسری از آن را که در باند \(|\omega| \lt 2\) راد/ثانیه است، پیدا کنید.

راه حل. تبدیل \(X(j\omega) = 4/(4+\omega^2)\) است. انرژی کل در حوزه زمان سریعترین است:

کار کردن - انرژی کل

\[ E = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-4|t|}dt = 2\int_{0}^{\infty}e^{-4t}dt = \frac{1}{2}\ \text{J} \]

برای باند، چگالی طیفی انرژی را با استفاده از \(\displaystyle\int\frac{d\omega}{(a^2+\omega^2)^2} = \frac{\omega}{2a^2(a^2+\omega^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{\omega}{a}\) با \(a = 2\) انتگرال‌گیری کنید:

در حال کار - انرژی زیر 2 راد در ثانیه

\[ E_{|\omega|\lt 2} = \frac{1}{2\pi}\int_{-2}^{2}\frac{16\,d\omega}{(4+\omega^2)^2} = \frac{16}{2\pi}\cdot 2\left[\frac{2}{8\cdot 8} + \frac{1}{16}\cdot\frac{\pi}{4}\right] = \frac{16}{\pi}\big(0.03125 + 0.04909\big) = 0.4092\ \text{J} \]

بنابراین کسر \(0.4092/0.5 = 0.818\) است. حدود 82 درصد از انرژی سیگنال کمتر از 2 راد بر ثانیه است، که فرکانسی است که \(|X|\) به نصف اوج خود کاهش یافته است. گسترش باند به \(|\omega| \lt 4\) 96٪ را می گیرد. دم کمک کمی می کند، به همین دلیل است که کوتاه کردن آن معمولا بی ضرر است.

6 یک شانه نمونه‌برداری

مشکل هر \(T = 1\) ms یک سیگنال نمونه‌برداری می شود که توسط \(p(t) = \sum_n \delta(t - nT)\) مدل شده است. \(P(j\omega)\) را پیدا کنید، فاصله و وزن ضربه های آن را بیان کنید و بگویید اگر نرخ نمونه‌برداری دو برابر شود چه اتفاقی برای طیف می افتد.

راه حل. از بخش 13-8، \(P(j\omega) = (2\pi/T)\sum_k\delta(\omega - 2\pi k/T)\). با \(T = 10^{-3}\) s:

در حال کار کردن

\[ \text{spacing} = \frac{2\pi}{T} = 6283.2\ \text{rad/s} = 1\ \text{kHz}, \qquad \text{weight} = \frac{2\pi}{T} = 6283.2 \]

شانه دامنه فرکانس دارای دندانه هایی با فرکانس 1 کیلوهرتز است که هر کدام مساحت 6283.2 دارند. دوبرابر کردن سرعت نمونه‌برداری به 2 کیلوهرتز، \(T\) را به نصف کاهش می دهد، که هم فاصله و هم وزن را دو برابر می کند: دندان ها به هر 2 کیلوهرتز حرکت می کنند و رشد می کنند.

این فاصله زیاد دلیلی است که یک نمونه‌بردار سریع یک نمونه‌بردار خوب است. فصل 20 نشان خواهد داد که نمونه‌برداری طیف سیگنال را در هر دندانه این شانه تکرار می کند، بنابراین هر چه دندان ها از هم دورتر باشند، هر کپی قبل از همپوشانی با همسایه خود فضای بیشتری دارد - و همپوشانی مستعار می شود.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ استدلال محدود کننده

برای یک پالس تکرار شده با دوره \(T\)، \(Ta_k = X(jk\omega_0)\). همانطور که \(T \to \infty\) خطوط در زیر یک پوش ثابت بسته می شوند و مجموع سنتز تبدیل به یک انتگرال می شود.

✓ جفت

\(X(j\omega) = \int x(t)e^{-j\omega t}dt\) و \(x(t) = \frac{1}{2\pi}\int X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\). \(X(j\omega)\) یک چگالی طیفی است، نه یک دامنه.

✓ وجود

یکپارچگی مطلق به علاوه شرایط دیریکله کافی است. سیگنال‌های انرژی نیز واجد شرایط هستند. هر چیز دیگری نیاز به ضربه در فرکانس دارد.

✓ مستطیل و سینک

یک پالس نیم عرض \(T_1\) به \(2\sin(\omega T_1)/\omega\) تبدیل می شود، با پیک \(2T_1\) و صفر در \(k\pi/T_1\). خواندن آن به عقب، پاسخ ضربه فیلتر ایده آل را می دهد.

✓ گسترش متقابل

مدت زمان پهنای باند ثابت است. پالس های کوتاه پهن باند هستند، سیگنال‌های همیشگی ضربه هایی در فرکانس هستند و هیچ شکلی از معامله فرار نمی کند.

✓ ضربه ها و پارسهوال

\(1 \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)\)، \(u(t) \leftrightarrow \pi\delta(\omega)+1/j\omega\) و سیگنال‌های دوره ای به قطارهای ضربه ای تبدیل می شوند. انرژی \(\frac{1}{2\pi}\int|X|^2d\omega\) است.

تمرین کنید

مشکلات

مسائل 1 تا 4 ارزیابی مستقیم انتگرال تجزیه و تحلیل هستند. 5 و 6 در جهت دیگر کار می کنند. 7 و 8 از شما می خواهند که مشتقات فصل را بازتولید کنید. هر طیف بزرگی را که محاسبه می‌کنید ترسیم کنید - طرح خطاهای نشانه‌ای را که جبر پنهان می‌کند، نشان می‌دهد.

\(X(j\omega)\) را برای \(x(t) = e^{-5t}u(t)\) پیدا کنید. قدر و طیف فاز را ترسیم کنید و فرکانس کاهش قدر به \(1/\sqrt2\) اوج خود را بیابید.
تبدیل پالس علّی \(x(t) = A\) را برای \(0 \lt t \lt \tau\) و صفر را در جای دیگر پیدا کنید. نشان دهید که \(|X(j\omega)|\) با پالس مرکز با عرض و ارتفاع یکسان است و دو فاز با یک اصطلاح خطی در \(\omega\) تفاوت دارند. دلیلش را در یک جمله توضیح دهید.
تبدیل \(x(t) = \delta(t+1) + \delta(t-1)\) را پیدا کرده و ترسیم کنید و نشان دهید که \(2\cos\omega\) است. چرا نتیجه واقعی است؟
تبدیل \(x(t) = e^{-a|t|}\) را برای \(a = 1\) و \(a = 4\) محاسبه کنید، هر دو طیف بزرگی را روی یک محور ترسیم کنید، و بیان کنید که چگونه پهنای باند نیمه توان به \(a\) بستگی دارد.
تبدیل معکوس \(X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega) + \pi\delta(\omega-4) + \pi\delta(\omega+4)\) را پیدا کنید.
تبدیل معکوس \(X(j\omega) = 1\) را برای \(2 \lt |\omega| \lt 4\) و صفر را در جای دیگر، با نوشتن آن به عنوان تفاضل دو طیف کم گذر ایده آل، بیابید.
با شروع از \(e^{-a|t|}\operatorname{sgn}(t)\)، \(\mathcal{F}\{\operatorname{sgn}(t)\} = 2/j\omega\) را استخراج کنید، سپس تبدیل \(u(t)\) را استنباط کنید. با کلمات توضیح دهید که چرا گام به یک ضربه در \(\omega = 0\) نیاز دارد و signum نیاز ندارد.
با محاسبه جداگانه \(\int|x|^2dt\) و \(\frac{1}{2\pi}\int|X|^2d\omega\)، رابطه پارسوال را برای \(x(t) = e^{-t}u(t)\) بررسی کنید. سپس کسری از انرژی موجود در زیر \(\omega = 1\) راد بر ثانیه را پیدا کنید.

نکته: قبل از ارزیابی هر انتگرال تحلیلی، بپرسید که آیا سیگنال کاملاً یکپارچه‌پذیر است یا خیر. اگر چنین است، انتظار یک عملکرد معمولی را داشته باشید. اگر اینطور نیست - یک ثابت، یک سینوسی، یک پله، هر چیزی دوره‌ای - انتظار ضربه‌ها را داشته باشید و آنها را با محدود کردن سیگنالی که قابل انتگرال است به جای فشار دادن انتگرال به دست آورید. همین عادت واحد از بسیاری از خطاها در این قسمت از دوره جلوگیری می کند.