ویژگی‌های تبدیل فوریه

فصل 13 هر تبدیل را به روش صادقانه به دست آورد: انتگرال تجزیه و تحلیل را بنویسید، آن را ارزیابی کنید، ساده کنید. این یک روش معقول برای \(e^{-at}u(t)\) و برای یک پالس مستطیلی است و تقریباً بلافاصله پس از آن غیرقابل تحمل می شود. پالسی را در نظر بگیرید که سه ثانیه تاخیر داشته، ضریب دو فشرده شده و در کسینوس ضرب شده است. تجزیه و تحلیل انتگرال آن یک شی واقعاً ناخوشایند است. با این حال هیچ اتفاق جدیدی نیفتاده است: هنوز هم همان پالس است که توسط سه عملیات انجام می‌شود که می‌توانیم یک بار اثر آن را روی طیف بیاموزیم و برای همیشه اعمال کنیم.

این همان تغییر دیدگاهی است که این فصل درخواست می کند. هر ویژگی مدخلی در فرهنگ لغت بین عملیات \(x(t)\) و عملیات \(X(j\omega)\) است. هنگامی که فرهنگ لغت در ذهن شما قرار می گیرد، انتگرال تجزیه و تحلیل تقریباً هرگز دوباره ارزیابی نمی شود. شما یک جفت پایه را در جدول فصل 13 جستجو می کنید، دو یا سه ویژگی را اعمال می کنید، و پاسخ را می خوانید - و در یک معاینه این کار را به جای یک صفحه در یک دقیقه انجام می دهید.

دلیل دومی هم برای جدی گرفتن خواص وجود دارد و آن مهمتر از محاسبات است. هر یک از آنها یک بیانیه فیزیکی است. تأخیر فرکانس‌های موجود را تغییر نمی‌دهد، فقط زمانی که می‌رسند، بنابراین باید طیف قدر را دست نخورده باقی بگذارد و به تنهایی روی فاز عمل کند. فشردن یک سیگنال در زمان باید آن را از نظر فرکانس گسترش دهد، زیرا یک رویداد سریعتر دارای نوسانات سریعتر است. عبور یک سیگنال از یک فیلتر باید هر جزء فرکانس را به طور مستقل مقیاس کند، زیرا فصل 12 نشان داد که نمایی های پیچیده توابع ویژه هستند. خواص جایی است که ریاضیات و مهندسی به هم می رسند.

ساختار آنچه در ادامه می آید آشنا خواهد بود. فصل 11 دقیقاً این کار را برای سری فوریه انجام داد، و هر ویژگی ثابت شده در اینجا مشابهی دارد که با همان مانورهای جایگزینی و تعویض با مجموع جایگزین شده با انتگرال به دست می آید. در جایی که یک مدرک کپی مستقیم استدلال فصل 11 باشد، به اختصار بیان می شود. در جایی که تبدیل رفتار متفاوتی دارد - و مکان‌های کمی وجود دارد، به‌ویژه دوگانگی و انگیزه در قانون انتگرال‌گیری - تفاوت مشخص شده است.

خطی بودن حرف اول را می زند زیرا همه چیز بر آن تکیه دارد. انتگرال تجزیه و تحلیل یک انتگرال است و انتگرال‌گیری خطی است، بنابراین مجموع وزنی سیگنال‌ها به همان مجموع وزنی تبدیل ها تبدیل می شود. دیگر چیزی برای اثبات وجود ندارد.

به نظر بی اهمیت، خطی بودن چیزی است که جدول تبدیل را مفید می کند: هر سیگنالی که می توانید به ورودی های جدول تجزیه کنید، تبدیلی دارد که می توانید آن را یادداشت کنید. همچنین زمانی که یک سیستم غیرخطی است، اولین ویژگی از کار می افتد، به همین دلیل است که فصل 12 می تواند از "فرکانس های جدید ظاهر شوند" تنها پس از کنار گذاشتن خطی بودن صحبت کند.

ویژگی شیفت زمانی اولین مورد واقعاً آموزنده است. یک سیگنال را با \(t_0\) به تاخیر بیندازید و بپرسید چه اتفاقی برای طیف آن می افتد. جایگزینی \(\tau = t - t_0\) در انتگرال تجزیه و تحلیل کل کار را انجام می دهد:

تناسب نکته است. تأخیر فازی را اضافه می‌کند که فرکانس آن خطی است، با شیب \(-t_0\)، و عکس آن نیز به همان اندازه مفید است: هر زمان که با سیستمی روبرو می‌شوید که پاسخ فاز آن یک خط مستقیم از مبدا است، به یک تاخیر خالص نگاه می‌کنید. فصل 15 کل تئوری انتقال بدون اعوجاج را بر اساس آن مشاهده می سازد و بخش 15-4 شیب منحنی فاز را به یک کمیت قابل اندازه گیری یعنی تاخیر گروه تبدیل می کند.

خواندن این ویژگی معمایی از فصل 13 را توضیح می‌دهد. دو پالس با عرض و ارتفاع یکسان، یکی در مرکز مبدا و دیگری از آنجا شروع می‌شود، طیف‌های بزرگی یکسانی دارند و فقط با یک عبارت فاز خطی متفاوت هستند - زیرا سیگنال‌های یکسانی هستند و جابه‌جا می‌شوند. قدر به تنهایی هرگز نمی تواند به شما بگوید که یک سیگنال در کجای محور زمان قرار دارد. تمام این اطلاعات در فاز ذخیره می شود.

ویژگی تغییر فرکانس تصویر آینه ای است و اثبات آن حتی کوتاه تر است. ضرب در یک نمایی مختلط قبل از تبدیل به سادگی دو نمایی را در انتگرال ادغام می کند:

نسخه کسینوس از نسخه نمایی و خطی بودن به تنهایی پیروی می کند: \(\cos\omega_0 t = \tfrac12 e^{j\omega_0 t} + \tfrac12 e^{-j\omega_0 t}\) را بنویسید، هر جمله را تبدیل کنید، اضافه کنید. ارزش آن را دارد که یک بار روی کاغذ انجام شود، زیرا این خط تک محتوای ریاضی مدولاسیون دامنه است. یک سیگنال باند پایه که \(|\omega| \lt W\) را اشغال می کند - صدایی که مثلاً چند کیلوهرتز را اشغال می کند - در یک حامل ضرب می شود و به صورت دو باند جانبی در اطراف \(\pm\omega_c\) فرود می آید، جایی که می تواند توسط یک آنتن با اندازه معقول تابش شود و جایی که با ایستگاه همسایه برخورد نمی کند. فصل 28 پیامدها را توسعه می دهد. مکانیزم به طور کامل در ویژگی بالا موجود است.

دو جزئیات شایسته توجه است. اول، سیگنال مدوله شده یک باند عرض را اشغال می کند\(2W\)در مرکز حامل، دو برابر پهنای باند پیام: کپی ها در\(+\omega_c\)و\(-\omega_c\)هر کدام دارای دو نیمه مثبت و منفی هستند\(X\). دوم، ارتفاع کپی ها نصف است، بنابراین مدولاسیون 6 دسی بل دامنه هزینه دارد - یک واقعیت واقعی و آزاردهنده در طراحی گیرنده.

بخش 13-3 بیان کرد که یک سیگنال حقیقی دارای یک طیف مزدوج-متقارن است. بیانیه کلی پشت آن خاصیت صرف است که با مزدوج کردن معادله تحلیل و توجه به \((e^{-j\omega t})^{*} = e^{+j\omega t}\)، که انتگرال \(X\) در \(-\omega\) ارزیابی شده است، به دست می آید:

حالا اجازه دهید \(x(t)\) واقعی باشد. سپس \(x^{*}(t) = x(t)\)، بنابراین دو طرف ویژگی سیگنال یکسانی را توصیف می‌کنند و تبدیل‌های آنها باید مطابقت داشته باشند: \(X(j\omega) = X^{*}(-j\omega)\)، که تقارن مزدوج قبلاً استفاده شده است. از نظر قدر و فاز می گوید که طیف قدر زوج است و طیف فاز فرد است، به همین دلیل است که هر طیفی که در این کتاب برای یک سیگنال حقیقی ترسیم شده است، از نظر بزرگی حول محور عمودی متقارن و در فاز ضد متقارن است - و چرا رسم نیمه فرکانس منفی، به شدت قرمز است.

فشار دادن یک قدم جلوتر نتیجه می دهد. همانطور که در فصل 2 تعریف شده است، هر سیگنالی به یک قسمت زوج و فرد تقسیم می شود، \(x(t) = \mathcal{E}v\{x\} + \mathcal{O}d\{x\}\). برای \(x\) واقعی، این دو بخش به دو نیمه \(X\) تبدیل می‌شوند:

ارزش این قوانین بیشتر از چیزی است که به نظر می رسد، زیرا آنها بررسی خطای رایگان هستند. اگر تبدیل یک سیگنال زوج واقعی را محاسبه کنید و چیزی پیچیده به دست آورید، اشتباه کرده اید و قبل از نشانگر آن را می دانید. جفت فصل 13 \(e^{-a|t|} \leftrightarrow 2a/(a^2+\omega^2)\) واقعی و حتی در هر دو طرف است. \(\mathrm{sgn}(t) \leftrightarrow 2/j\omega\) در سمت چپ حقیقی و فرد است، در سمت راست کاملاً خیالی و فرد است. هیچ یک از این نتایج نمی توانست به شکل دیگری به دست بیاید.

فصل 13، از روی پالس مستطیلی، مشاهده کرد که باریک کردن یک سیگنال، طیف آن را گسترش می‌دهد و حاصلضرب طول مدت و عرض لوب اصلی را به عنوان یک ثابت نشان می‌دهد. مقیاس بندی آن مشاهده را به یک قضیه معتبر برای هر سیگنال تبدیل می کند.

ابتدا \(a \gt 0\) را بگیرید و \(\tau = at\) را جایگزین کنید، بنابراین \(dt = d\tau/a\):

برای \(a \lt 0\)، جایگزینی حدود انتگرالی انتگرال‌گیری را نیز معکوس می‌کند، و لغو آن معکوس یک علامت منفی دوم را ایجاد می‌کند. این دو به یک مدول ترکیب می شوند. نتیجه فشرده سازی، گسترش و برگشت را در یک عبارت پوشش می دهد.

دو خواندن از این نتیجه ارزش نگه داشتن دارد. قرائت مهندسی این است که سرعت پهنای باند هزینه دارد: یک ضبط را با دو برابر سرعت پخش کنید و هر فرکانس در آن دو برابر می شود، بنابراین کانالی که آن را حمل می کند باید دو برابر عرض باشد. داده ها را دو برابر سریعتر انتقال دهید - عرض هر پالس را نصف کنید - و پهنای باند مورد نیاز دو برابر می شود. هیچ راهی برای دور زدن این وجود ندارد. این ویژگی تبدیل است، نه محدودیت هیچ فناوری خاصی.

قرائت ریاضی این است که ناحیه زیر منحنی به معنای خاصی حفظ شده است. تنظیم \(\omega = 0\) در نتیجه مقیاس‌بندی، \(\tfrac{1}{|a|}X(0)\) را به دست می‌دهد، که دقیقاً مساحت سیگنال فشرده‌شده است - با \(|a|\) باریک‌تر، بنابراین \(|a|\) کوچک‌تر است. این همان \(1/|a|\) است که در قانون مقیاس بندی ضربه فصل 3 \(\delta(at) = \delta(t)/|a|\) ظاهر شد و به همان دلیل.

به معادلات تجزیه و تحلیل و سنتز در کنار هم نگاه کنید و تقارن نزدیک غیرممکن است که از دست بدهید. آنها فقط در علامت توان و در ضریب \(2\pi\) تفاوت دارند. این یک علامت تصادفی نیست، و می توان از آن سوء استفاده کرد: هر جفتی که دارید بلافاصله یک جفت دوم رایگان به شما می دهد.

از معادله سنتز که با \(\nu\) به عنوان متغیر ساختگی نوشته شده است شروع کنید و آن را در \(-\omega\) به جای \(t\) ارزیابی کنید:

سمت راست یک انتگرال تحلیلی است - انتگرال تحلیلی سیگنال \(X(jt)\) که با گرفتن تبدیلی که قبلا دارید و خواندن آن به عنوان تابعی از زمان به دست می آید. مقدار آن \(2\pi x(-\omega)\) است.

برنامه کلاسیک، یک جفت را که فصل 13 با یک محاسبه جداگانه به دست آورد، در دو خط بازیابی می کند. پالس مستطیلی نیم عرض \(T_1\) به \(2\sin(\omega T_1)/\omega\) تبدیل می شود. Duality می گوید که سیگنال \(2\sin(T_1 t)/t\) - همان عبارت که به عنوان تابعی از زمان خوانده می شود - باید به \(2\pi\) برابر پالس تبدیل شود. تقسیم بر \(2\pi\) جفت سینک به مستطیل را دقیقاً مطابق جدول نشان می دهد.

دوگانگی نیز خود خواص را سازماندهی می کند. تغییر زمان و تغییر فرکانس عبارت‌های دوگانه هستند. همینطور مشتق‌گیری در زمان و مشتق‌گیری در فرکانس. و بنابراین، همانطور که بخش 14-8 نشان خواهد داد، کانولوشن و ضرب هستند. هر زمان که یک ویژگی را یاد گرفتید، بپرسید دوگانه آن چه می گوید - نیمی از زمانی که متوجه می شوید دو مورد را یاد گرفته اید.

یک هشدار دوگانگی عبارتی است در مورد تبدیل زمان‌پیوسته، که در آن هر دو حوزه پیوسته و از نظر گستردگی بی نهایت هستند. این به سری فوریه منتقل نمی شود، جایی که یک دامنه یک شاخص گسسته و دیگری یک متغیر پیوسته در یک بازه محدود است. فصل 16 نشان خواهد داد که تبدیل زمان‌گسسته تقارن شکسته خود را دارد دقیقاً به این دلیل: در آنجا، متغیر زمان‌گسسته و متغیر فرکانس تناوبی است، بنابراین یک سیگنال و تبدیل آن هرگز نمی توانند مبادله شوند.

این دو ویژگی دلیلی هستند که تبدیل فوریه می تواند معادلات دیفرانسیل را حل کند و دلیل وجود قسمت 5 به شکلی است که دارد. معادله سنتز را با توجه به \(t\) ممشتق‌گیری کنید، مشتق را به داخل انتگرال منتقل کنید، و نمایی ضریب \(j\omega\) را پایین می آورد:

فاکتور \(j\omega\) را به عنوان یک دستورالعمل بخوانید و به شما می گوید که ممشتق‌گیری کننده ها با سیگنال‌ها چه می کنند. بزرگی آن \(|\omega|\) بدون محدودیت رشد می کند، بنابراین یک مشتق‌گیری فرکانس های بالا را در نسبت مستقیم با فرکانس تقویت می کند و بنابراین یک تولید کننده نویز عالی است - دلیل اینکه مدارهای عملی فقط در یک باند محدود ممشتق‌گیری می شوند. فاز آن یک \(+\pi/2\) ثابت است، بنابراین هر جزء با یک چهارم چرخه پیشرفت می کند، که دقیقاً همان کاری است که مشتق یک سینوسی انجام می دهد: \(\tfrac{d}{dt}\cos\omega t = \omega\cos(\omega t + \pi/2)\).

با اعمال معادلات دیفرانسیل فصل 9، این ویژگی تعیین کننده است. یک معادله با ضریب ثابت \(\sum a_k y^{(k)} = \sum b_k x^{(k)}\) به صورت ترم به یک هویت چند جمله ای در \(j\omega\) تبدیل می شود و نسبت دو چند جمله ای پاسخ فرکانسی است. فصل 15 دقیقا با همین محاسبه باز می شود.

انتگرال‌گیری عملیات معکوس است و باید با کمی دقت بیشتر با آن برخورد کرد. اگر \(y(t) = \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\)، پس \(y'(t) = x(t)\)، بنابراین \(j\omega Y(j\omega) = X(j\omega)\) و \(Y = X/(j\omega)\) - اما فقط از \(\omega = 0\) دور است. مشتق‌گیری ثابت ها را از بین می برد، بنابراین تقسیم بر \(j\omega\) نمی تواند محتوای DC سیگنال را بازیابی کند. این اطلاعات باید با دست بازیابی شوند.

هنگامی که بپرسید \(y(t)\) در دو انتهای محور زمان چه می کند، بازیابی آن ساده است. از صفر به عنوان \(t \to -\infty\) شروع می شود و به \(y(\infty) = \int_{-\infty}^{\infty}x\,dt = X(0)\) می رسد. سیگنالی که از \(0\) به \(X(0)\) افزایش می یابد دارای مقدار متوسط ​​\(X(0)/2\) است و یک \(c\) ثابت به \(2\pi c\,\delta(\omega)\) در بخش 13-7 تبدیل می شود. بنابراین عبارت گم شده \(2\pi \cdot \tfrac12 X(0)\,\delta(\omega)\) است.

قانون را روی جفتی که بهتر می دانید امتحان کنید. ضربه دارای \(X(j\omega) = 1\) و \(X(0) = 1\) است، و انتگرال اجرای آن پلهٔ واحد است، بنابراین ویژگی \(U(j\omega) = 1/(j\omega) + \pi\delta(\omega)\) را پیش بینی می کند - دقیقاً تبدیل به دست آمده در بخش 13-7 توسط یک مسیر بسیار طولانی تر از طریق تابع signum. بخش 14-7 مشتق سوم را در یک خط ارائه می دهد.

ویژگی دوگانه، که با مشتق‌گیری معادله تحلیل با توجه به \(\omega\) به دست می‌آید، یک ضریب \(-jt\) را کاهش می‌دهد و راهی سریع برای تبدیل هر سیگنال ضرب شده در \(t\) ارائه می‌کند.

با اعمال \(e^{-at}u(t) \leftrightarrow 1/(a+j\omega)\)، \(t\,e^{-at}u(t) \leftrightarrow 1/(a+j\omega)^{2}\) را در یک مرحله تولید می کند، از \(j\,\tfrac{d}{d\omega}(a+j\omega)^{-1} = j\cdot(-j)(a+j\omega)^{-2}\). \(n\) تکرار شده، جفت کلی \(\tfrac{t^{n}}{n!}e^{-at}u(t) \leftrightarrow (a+j\omega)^{-(n+1)}\) را به دست می‌دهد، که خانواده‌ای است که دوباره به عنوان قطب‌های مکرر در فصل 19 ملاقات خواهید کرد.

همه چیز تا اینجا مفید بوده است. این یکی از دلایلی است که اصلاً تبدیل به آموزش داده می شود.

فصل 7 نشان داد که خروجی یک سیستم LTI کانولوشن ورودی آن با پاسخ ضربه آن است، \(y(t) = \int h(\tau)x(t-\tau)d\tau\)، و فصل 8 نشان می دهد که ارزیابی این انتگرال چقدر دشوار است - یک انتگرال‌گیری تازه برای هر مقدار \(t\)، با دو علامت که هر کدام به صورت گذشته تغییر می کنند. حالا تبدیلش کن تبدیل \(y\) را بگیرید، ترتیب انتگرال‌گیری را عوض کنید و انتگرال داخلی را به عنوان ویژگی تغییر زمان تشخیص دهید:

در حال حاضر هیچ چیز در این مورد نباید تعجب آور باشد، زیرا فصل 12 از جهت دیگر به همین نتیجه رسیده است. نمایی های پیچیده، توابع ویژه سیستم‌های LTI هستند: در \(e^{j\omega t}\) تغذیه می شود و \(H(j\omega)e^{j\omega t}\) بیرون می آید، همان نمایی که با یک عدد مختلط مقیاس شده است. معادله سنتز هر سیگنالی را به عنوان برهم نهی نمایی می نویسد. هر کدام توسط \(H(j\omega)\) خاص خود در مسیر عبور مقیاس بندی می شوند. خروجی برهم نهی نسخه های مقیاس شده است. یعنی \(Y = HX\) در کلمات بازگو می‌شود، و خاصیت کانولوشن گواه توافق این دو حساب است.

عواقب آن در بقیه کتاب جریان دارد. یک آبشار از سیستم‌ها پاسخ فرکانسی کلی برابر با حاصلضرب \(H_1H_2\) دارند، بنابراین آبشاری ضرب است و ترتیب مهم نیست - جابجایی کانولوشن که فصل 8 با تغییر متغیر ثابت کرد اکنون آشکار است. یک اتصال موازی اضافه می شود که به \(H_1 + H_2\) می دهد. یک سیستم معکوس، اگر وجود داشته باشد، دارای \(H_{\text{inv}} = 1/H\) است، که بلافاصله نشان می‌دهد که چرا سیستمی که پاسخ فرکانسی آن در فرکانس خاصی ناپدید می‌شود، نمی‌تواند معکوس شود: اطلاعات موجود در آن فرکانس از بین رفته است و هیچ پردازشی آن را بازیابی نمی‌کند. اکولایزرها فقط در جایی کار می کنند که \(|H|\) کوچک باشد، هرگز در جایی که صفر باشد.

این ویژگی همچنین مشتق یک خطی وعده داده شده تبدیل مرحله را می دهد. از آنجایی که\(u(t) = \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau\)کانولوشن است\(\delta * u\)، و از آنجایی که انتگرال در حال اجرا هر کدام\(x\)است\(x * u\)، ویژگی انتگرال‌گیری بخش 14-6 چیزی نیست جز ویژگی کانولوشن اعمال شده با\(h = u\): \(Y = X(j\omega)\big[1/(j\omega) + \pi\delta(\omega)\big] = X(j\omega)/(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)\)، آخرین مرحله توسط ویژگی نمونه‌برداری ضربه از فصل 3.

دوگانگی در حال حاضر حفظ خود را به دست آورده است. اگر کانولوشن در زمان در فرکانس ضرب شود، گزاره دوگانه باید این باشد که ضرب در زمان در فرکانس جمع می‌شود و ضریب \(2\pi\) در جایی قرار می‌گیرد که دوگانگی می‌گوید باید.

ویژگی مدولاسیون بخش 14-2 ساده ترین نمونه است. \(p(t) = \cos\omega_0 t\) را در نظر بگیرید که تبدیل آن جفت ضربه \(\pi\delta(\omega-\omega_0) + \pi\delta(\omega+\omega_0)\) از بخش 13-7 است. در هم آمیختن هر چیزی با یک ضربه در \(\omega_0\)، آن را به \(\omega_0\) تغییر می‌دهد، بنابراین نتیجه دو نسخه با مقیاس \(\pi/2\pi = 1/2\) است - همان نوارهای کناری نیمه‌ارتفاع که قبلاً از مسیری متفاوت بدست آمده‌اند. سازگاری بین دو اشتقاق از یک نتیجه، بهترین گواه بر درستی چارچوب است.

نمونه دوم هشیارکننده‌تر است، و بر هر اندازه‌گیری که تا به حال انجام خواهید داد، نظارت می‌کند. هیچ مشاهده واقعی برای همیشه دوام نمی آورد: شما یک سیگنال را برای \(T_w\) ثانیه ضبط می کنید، به این معنی که سیگنال حقیقی را در یک پنجره مستطیلی ضرب می کنید. با خاصیت ضرب، طیفی که به دست می آورید، طیف واقعی نیست، بلکه طیف حقیقی است که با تبدیل پنجره درگیر شده است - سینکی که لوب اصلی آن دارای عرض \(4\pi/T_w\) است و لوب های جانبی آن فقط به صورت \(1/\omega\) تجزیه می شوند.

نمونه سوم از همه مهمتر است، و اکنون ارزش آن را دارد که عواقب آن مربوط به قسمت 6 باشد. همانطور که بخش 13-8 نشان داد، تبدیل یک قطار ضربه ای یکی دیگر از قطارهای ضربه ای است، و در هم پیچیدن یک طیف با یک قطار ضربه ای، کپی های دوره ای از آن طیف را تولید می کند، با فاصله فرکانس نمونه‌برداری. هر سؤال در مورد هم‌پوشانی طیفی، هر عبارت از قضیه نمونه‌برداری، و توجیه کل فیلتر کردن ضد هم‌پوشانی طیفی، از همان کاربرد خاصیت ضرب ناشی می‌شود. فصل 20 این کار را به درستی انجام می دهد.

بخش 13-9 رابطه پارسوال را بیان کرد و از آن برای تعریف چگالی طیفی انرژی استفاده کرد. خاصیت ضرب به ما امکان می دهد شکل کلی را در دو خط اثبات کنیم. \(\int x(t)y^{*}(t)dt\) را در نظر بگیرید و \(y^{*}(t)\) را با مزدوج انتگرال سنتز آن جایگزین کنید:

دو هویت دیگر به معنای معمول ویژگی نیستند، اما سریع‌ترین بررسی‌های موجود هستند و هر دو با صفر کردن یک متغیر در یکی از دو معادله جفت به دست می‌آیند. \(\omega = 0\) را در معادله تحلیل و \(t = 0\) را در معادله سنتز قرار دهید:

مقدار DC طیف مساحت زیر سیگنال است و مقدار اولیه سیگنال \(1/2\pi\) برابر مساحت زیر طیف است. هر بار که یک تبدیل را به پایان می رسانید از اولین استفاده کنید: ناحیه سیگنال را با چشم محاسبه کنید و آن را با \(X(0)\) بررسی کنید. مثال کار شده 2 دقیقاً حول آن چک ساخته شده است و رایج ترین خطا را در روش مشتق‌گیری می گیرد.

فرهنگ لغت کامل در ادامه می آید. مشتقات را به جای ردیف ها بیاموزید - هر یک از آنها جایگزینی دو خطی است، و خاصیتی که می توانید در ده ثانیه دوباره به دست آورید، تحت فشار امتحان ارزش بیشتری دارد تا ردیفی که نیمه به خاطر دارید.

مسائل 1 تا 3 قوانین تغییر و مقیاس را اعمال می کنند. 4 و 5 از مشتق‌گیری و دوگانگی برای اجتناب از انتگرال ها استفاده می کنند. 6 تا 8 کانولوشن و ضرب را اعمال می کنند. در هر صورت، ویژگی مورد استفاده خود را نقل قول کنید و قبل از حرکت، نتیجه را با \(X(0) = \int x\,dt\) بررسی کنید.