- چگونه تبدیل فوریهٔ گسسته از سری فوریه زمان‌گسسته فصل 10 دقیقاً با حدی که فصل 13 در زمان‌پیوسته گرفت، خارج می شود - و چرا نتیجه حاصل جمع در یک جهت و انتگرال در جهت دیگر است.
- چرا \(X(e^{j\Omega})\) با دوره \(2\pi\) تناوبی است، چرا با شاخص عدد صحیح \(n\) اجباری شده است، و معنی آن برای کلمات "فرکانس پایین" و "فرکانس بالا" چیست.
- شرایط همگرایی - جمع مطلق، مجموع مربعات، و بسط ضربه در فرکانس که به ثابت ها و سینوسی ها اجازه می دهد اصلاً تبدیل شوند.
- جدول کاری از جفت‌ها مشتق شده به جای نقل‌قول: ضربه، دنباله هندسی \(a^n u[n]\)، پالس مستطیلی و هسته دیریکله آن، و دوگانگی سینک-مستطیل به عقب خوانده می‌شوند.
- خواص - تغییر، مدولاسیون، تفاوت، انباشت، کانولوشن، ضرب به عنوان کانولوشن تناوبی، و پارسه برای دنباله ها.
- پاسخ فرکانسی \(H(e^{j\Omega})\) یک سیستم LTI با زمان‌گسسته، معادله اختلاف را مستقیماً می‌خواند و فیلتر میانگین متحرک از نظر فرکانس چگونه به نظر می‌رسد.
- جایی که DTFT در میان اقوام خود قرار می گیرد - در مقابل CTFT فصل 13، و پیش از قضیه نمونه‌برداری از فصل 20 و DFT از فصل 26.
تکرار حد در زمان‌گسسته
فصل 13 با امتناع از کنار گذاشتن سری فوریه، تبدیل فوریه زمان‌پیوسته را به دست آورد. یک پالس دوره ای نیست، بنابراین ما یک سیگنال دوره ای اختراع کردیم که در یک دوره با آن موافق بود، ضرایب سری آن اختراع را محاسبه کردیم، و سپس دوره را تا بی نهایت پیش بردیم و آنچه را که باقی مانده بود تماشا کردیم. چیزی که زنده ماند یک تابع پوششی فرکانس بود که به تنهایی به پالس تعلق داشت.
همین مانور برای دنباله‌ها کار می‌کند، و ارزش انجام آن را دارد تا ادعا، زیرا دو تفاوت کوچک بین نسخه‌های پیوسته و گسسته، دقیقاً دو واقعیتی هستند که تحلیل فرکانس گسسته زمان را موضوع خاص خود می‌سازند.
با یک دنباله \(x[n]\) با مدت زمان محدود، صفر خارج از \(|n| \le N_1\) شروع کنید. با تکرار \(x[n]\) هر نمونه \(N\)، با \(N \gt 2N_1 + 1\)، یک دنباله تناوبی \(\tilde{x}[n]\) بسازید تا هیچ کپی با هم تداخل نداشته باشد. در طول یک دوره، این دو موافق هستند، و با رشد \(N\)، نسخه های همسایه عقب نشینی می کنند، بنابراین \(\tilde{x}[n] \to x[n]\) برای هر \(n\) ثابت. فصل 10 معادله تجزیه و تحلیل چنین دنباله‌ای را ارائه می‌کند، و در طی یک دوره \(\tilde{x}\) ممکن است با \(x\) جایگزین شود که به هر حال دنباله‌های آن صفر است:
مجموع سمت راست فقط از طریق ترکیب واحد \(k\Omega_0\) به \(k\) و \(N\) بستگی دارد. نامی به آن بدهید و محور فصل ظاهر می شود.
دقیقاً مانند فصل 13، ضرایب گسترش دوره‌ای نمونه‌هایی از یک تابع ثابت فرکانس هستند که با فاصله \(\Omega_0 = 2\pi/N\) از هم فاصله دارند و با \(1/N\) مقیاس‌بندی می‌شوند. طولانی کردن دوره نمونه‌برداری از همان پوش ریزتر. هرگز پوش را عوض نمی کند.
حالا معادله سنتز را اجرا کنید و حد را بگیرید. جایگزین کردن \(a_k\) به \(\tilde{x}[n]=\sum_{k=\langle N\rangle}a_k e^{jk\Omega_0 n}\) و نوشتن \(1/N = \Omega_0/2\pi\):
در اینجا شرکت قطعات داستان گسسته با یک پیوسته به گونه ای است که به راحتی از دست می رود. همانطور که\(N \to \infty\)فاصله گذاری\(\Omega_0\)منقبض می شود و مجموع مانند قبل به یک انتگرال تبدیل می شود. اما این مبلغ تمام می شود\(N\)مقادیر متوالی از\(k\)، و\(N\)اصطلاحات با فاصله\(2\pi/N\)گستره فرکانس کلی دقیقاً\(2\pi\)- مهم نیست چقدر بزرگ است\(N\)است. بنابراین فاصله انتگرال‌گیری برای پوشش کل محور اعداد حقیقی رشد نمی کند. می ماند\(2\pi\)گسترده برای همیشه
جفت آنالیز – سنتز
جمع آوری دو نتیجه جفت تبدیل را برای دنباله ها به دست می دهد. به طور جهانی با نوشته شده است\(e^{j\Omega}\)به جای\(\Omega\)به عنوان استدلال از\(X\)، نمادی که تا زمانی که فصل 23 آن را آشکار می کند، به نظر می رسد بی نظم است\(X(e^{j\Omega})\)است\(z\)تبدیل بر روی دایره واحد ارزیابی شده است\(z = e^{j\Omega}\); نماد به آرامی صندلی را رزرو می کرد.
تجزیه و تحلیل مجموع تمام اعداد صحیح است. سنتز یک انتگرال در هر بازه ای از طول \(2\pi\) است. نماد \(\int_{2\pi}\) دقیقاً به این معنی است - \(-\pi\) به \(\pi\) و \(0\) به \(2\pi\) پاسخ های یکسانی می دهند، زیرا انتگرال \(2\pi\) است.
معادله سنتز را به عنوان بیانیه ای در مورد بلوک های ساختمان بخوانید و آنچه را که هر عبارت فوریه در این کتاب می گوید می گوید: دنباله \(x[n]\) برهم نهی نمایی مختلط \(e^{j\Omega n}\) است که \(X(e^{j\Omega})\,d\Omega/2\pi\) مقدار هر کدام است. از آنجایی که \(\Omega\) پیوسته است، نمایی ها به صورت بی نهایت متراکم بسته بندی می شوند، و چون \(\Omega\) به یک باند \(2\pi\) محدود می شود، عرضه نمایی های متمایز از نظر وسعت محدود است.
عدم تقارن بین جمع و انتگرال یک تصادف حسابداری نیست. یک متغیر گسسته را در یک طرف و یک متغیر پیوسته را در طرف دیگر منعکس می کند. یک دنباله، که فهرستی از اعداد است، دارای یک طیف پیوسته است. یک طیف محدود به یک باند عرض \(2\pi\)، با آرگومان تصویر آینه، یک توصیف زمانی گسسته دارد. این جفت شدن را در نظر داشته باشید - نیروهای گسسته در یک حوزه در حوزه دیگر دوره ای هستند - زیرا فصل 20 از آن به صورت معکوس برای توضیح نمونه‌برداری استفاده می کند و فصل 26 از آن در هر دو جهت به طور همزمان برای ساخت DFT استفاده می کند.
چرا طیف تکرار می شود
تناوب \(X(e^{j\Omega})\) ویژگی هیچ سیگنال خاصی نیست. برای هر دنباله بدون استثنا برقرار است و اثبات یک خط طول دارد.
مرحله ای که کار را انجام می دهد \(e^{-j2\pi n}=1\) است و فقط به این دلیل در دسترس است که \(n\) یک عدد صحیح است. فصل 3 از نظر زمانی با همین واقعیت روبرو شد، زمانی که دو فرکانس مجزا که با \(2\pi\) متفاوت بودند، توالی یکسان را ایجاد کردند.
نتیجه این است که یک طیف زمان‌گسسته فقط باید در یک دوره ترسیم شود و \(-\pi \lt \Omega \le \pi\) انتخاب معمولی است. همه چیز خارج از آن پنجره یک کپی است.
همچنین واژگان را دوباره مرتب می کند. در زمان‌پیوسته، "فرکانس پایین" به معنای \(\omega\) نزدیک به صفر و "فرکانس بالا" به معنای \(\omega\) بزرگ است و دو انتهای محور هرگز به هم نمی رسند. در زمان‌گسسته محور روی خود بسته می شود. فرکانس پایین یعنی \(\Omega\) در نزدیکی \(0\) - و بنابراین نزدیک به \(\pm 2\pi\)، \(\pm 4\pi\)، و هر مضرب دیگری از \(\pi\). فرکانس بالا به معنای \(\Omega\) نزدیک به \(\pm\pi\) است، که در آن نمایی به \(e^{\pm j\pi n} = (-1)^n\) تبدیل می‌شود و توالی در هر نمونه جایگزین می‌شود، که به همان سرعتی است که لیستی از اعداد ممکن است تغییر کند. بنابراین یک فیلتر پایین گذر زمان‌گسسته از همسایگی های \(0\) و \(2\pi\) عبور می کند و همسایگی \(\pi\) را متوقف می کند، که تا زمانی که تناوب درونی شود، در یک نمودار هشدار دهنده به نظر می رسد.
همگرایی
معادله تجزیه و تحلیل یک مجموع نامتناهی است، بنابراین ممکن است نتواند همگرا شود، و معادله سنتز یک انتگرال در یک بازه محدود است، که رفتار بسیار بهتری دارد. این عدم تقارن تعیین می‌کند که چاپ ریز کجا زندگی می‌کند: برای DTFT، تمام اضطراب همگرایی متعلق به تبدیل رو به جلو است و اساساً هیچکدام به معکوس نیست. آن را با فصل 11 مقایسه کنید، جایی که سری زمان‌پیوسته به شرایط دیریکله نیاز داشت و صدای گیبس را در هر پرش ایجاد می کرد.
دو شرط کافی شامل مواردی می شود که مهم هستند. اگر \(x[n]\) مطلقاً قابل جمع باشد، مجموع به طور یکنواخت همگرا می شود و \(X(e^{j\Omega})\) تابعی پیوسته از \(\Omega\) است. اگر \(x[n]\) صرفاً انرژی محدود داشته باشد، مجموع به معنای مربع میانگین همگرا می شود: انرژی خطا بین \(x[n]\) و مجموع جزئی به صفر گرایش دارد، حتی اگر مجموع ها ممکن است در فرکانس های مجزا رفتار نادرست داشته باشند.
جمع‌پذیری مطلق به شدت قوی‌تر است، و شرط آن است که ابتدا بررسی شود زیرا آسان است. دنباله هندسی \(a^n u[n]\) دقیقاً در زمانی که \(|a| \lt 1\) قابل جمع است، به همین دلیل است که هر نمونه کار شده در این فصل دارای این محدودیت است. دنباله \(\sin(\Omega_c n)/\pi n\) مربع قابل جمع است اما مطلقاً قابل جمع نیست، و تبدیل آن - یک مشخصه پایین گذر ایده آل - دارای ناپیوستگی های پرش است، دقیقاً همانطور که نظریه میانگین مربع پیش بینی می کند.
برخی از سیگنال‌ها هیچ یک از شرایط را برآورده نمی کنند و همچنان مستحق یک طیف هستند. یک دنباله ثابت \(x[n]=1\)، یا یک \(e^{j\Omega_0 n}\) نمایی خالص، هر دو مجموع را به طور کامل خراب می کند، با این حال آشکارا از یک فرکانس تشکیل شده است و باید یک طیف خطی داشته باشد. فصل 13 همان مشکل را در زمان‌پیوسته با پذیرش ضربه‌ها در حوزه فرکانس حل کرد، و همان تعمیر در اینجا کار می‌کند، با یک اصلاح که در بخش 16-3 خواسته شده است: از آنجایی که \(X(e^{j\Omega})\) باید \(2\pi\)-تناوبی باشد، یک ضربه هرگز کافی نیست. آنها در یک قطار دوره ای بی نهایت می آیند.
اولی را با جایگزینی تأیید کنید: در بازه زمانی انتگرال‌گیری، فقط ضربه \(k=0\) در داخل قرار دارد، بنابراین سنتز \(\frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi\,e^{j\Omega_0 n}=e^{j\Omega_0 n}\) را برمیگرداند. ضربه‌ها در اینجا ضربه‌هایی در متغیر پیوسته \(\Omega\) هستند - اشیاء فصل 3، نه \(\delta[n]\).
ساختن یک جدول جفت
چهار تبدیل بیشتر بار را حمل می کنند. هر کدام یک محاسبه کوتاه است، و انجام یک بار آنها وسوسه به خاطر سپردن جدولی را که نمی‌توانید ورودی‌های آن را بازسازی کنید، از بین می‌برد.
ضربه واحد. مجموع تجزیه و تحلیل یک جمله غیر صفر دارد، در \(n=0\):
یک ضربه دارای طیف مسطح است و با جابجایی آن در زمان، مقدار آن ثابت باقی می‌ماند در حالی که فازی خطی در \(\Omega\) با شیب \(-n_0\) اضافه می‌شود. آخرین بیانیه کل محتوای ویژگی شیفت زمانی است، و ارزش دارد قبل از ملاقات با آن به عنوان یک قاعده، به این شکل به آن برسیم.
دنباله هندسی یک طرفه. با \(|a| \lt 1\)، جمع هندسی با نسبت \(ae^{-j\Omega}\) است که مدول آن \(|a|\) کمتر از یک است، بنابراین همگرا می شود:
بزرگی آن از \(|1-ae^{-j\Omega}|^2 = (1-a\cos\Omega)^2+(a\sin\Omega)^2 = 1-2a\cos\Omega+a^2\) به دست می آید که می دهد
علامت \(a\) شخصیت را کاملاً تعیین می کند. برای \(0 \lt a \lt 1\) مخرج در \(\Omega=0\) کوچکترین است، بنابراین طیف در DC به اوج می رسد و به سمت \(\Omega=\pi\) می افتد: یک دنباله به آرامی در حال فروپاشی یک سیگنال کم گذر است. برای \(-1 \lt a \lt 0\) توالی در علامت از نمونه ای به نمونه دیگر تغییر می کند و پیک به \(\Omega=\pi\) حرکت می کند: یک سیگنال Highpass. مقادیر شدید \(1/(1-a)\) و \(1/(1+a)\) هستند و تعویض علامت \(a\) صرفاً آنها را مبادله می کند.
نبض مستطیل شکل. اجازه دهید \(x[n]=1\) برای \(|n| \le N_1\) و در جای دیگر صفر شود. مجموع محدود و هندسی است. مرتب ترین راه این است که میان مدت را در نظر بگیرید تا نتیجه واقعی باشد:
دو چک آن را تایید می کند. در \(\Omega=0\) هم صورت و هم مخرج ناپدید می شوند. گسترش هر کدام به مرتبه اول به \(\Omega(N_1+\tfrac12)\big/(\Omega/2) = 2N_1+1\)، که دقیقاً \(\sum_n x[n]\) است، تعداد نمونه ها - مقدار DC صحیح را می دهد. و صفرها در جایی اتفاق می‌افتند که صورت ناپدید می‌شود اما مخرج ناپدید می‌شود، در \(\Omega = 2\pi k/(2N_1+1)\) برای \(k\) مضرب \(2N_1+1\) نیست.
این تابع با نام‌های مختلفی انجام می‌شود - هسته دیریکله، سینک دوره‌ای یا سینک مستعار. نام خانوادگی آموزنده ترین است: به نظر می رسد\(\sin(\omega \tau/2)/(\omega/2)\)پالس مستطیل شکل فصل 13، اما مخرج آن است\(\sin(\Omega/2)\)به جای\(\Omega/2\)، و این جایگزینی دقیقاً همان چیزی است که باعث می شود با پریود تکرار شود\(2\pi\)به جای پوسیدگی برای همیشه
مشخصه کم گذر ایده آل، خواندن به عقب. فصل 13 نشان داد که یک مستطیل در زمان یک سینک در فرکانس می دهد، و اشاره کرد که دوگانگی اجازه می دهد که عبارت به گونه ای دیگر خوانده شود. زمان‌گسسته همان معامله را با نقش های رد و بدل شده ارائه می دهد. \(X(e^{j\Omega})=1\) را برای \(|\Omega| \le \Omega_c\) در نظر بگیرید و در بقیه دوره صفر کنید و برعکس کنید:
در \(n=0\) عبارت نامشخص است و حد \(x[0]=\Omega_c/\pi\) را می دهد، که همچنین همان چیزی است که انتگرال مستقیماً برمی گرداند. این دنباله دو طرفه و نامتناهی است و فقط به صورت \(1/n\) تحلیل می‌رود، بنابراین قابل جمع است اما مطلقاً قابل جمع نیست. فصل 15 همین اخلاق را در زمان‌پیوسته ترسیم کرد: یک فیلتر دیوار آجری ایده آل علت و معلولی نیست، نمی توان آن را بدون هزینه کوتاه کرد و به جای طرح، یک ویژگی است.
| \(x[n]\) | \(X(e^{j\Omega})\) | شرط / تبصره |
|---|---|---|
| \(\delta[n]\) | \(1\) | مسطح در کل دوره |
| \(\delta[n-n_0]\) | \(e^{-j\Omega n_0}\) | قدر واحد، فاز خطی |
| \(a^n u[n]\) | \(\dfrac{1}{1-ae^{-j\Omega}}\) | \(|a| \lt 1\) |
| \((n+1)a^n u[n]\) | \(\dfrac{1}{(1-ae^{-j\Omega})^2}\) | \(|a| \lt 1\); جفت با خودش درگیر شد |
| \(a^{|n|}\) | \(\dfrac{1-a^2}{1-2a\cos\Omega+a^2}\) | \(|a| \lt 1\); واقعی و حتی یکنواخت |
| \(1\) برای \(|n|\le N_1\)، دیگری \(0\) | \(\dfrac{\sin[\Omega(N_1+\frac12)]}{\sin(\Omega/2)}\) | هسته دیریکله |
| \(\dfrac{\sin \Omega_c n}{\pi n}\) | \(1\) برای \(|\Omega|\le\Omega_c\)، دیگری \(0\) | فقط مربع قابل جمع |
| \(1\) برای همه \(n\) | \(2\pi\sum_k \delta(\Omega-2\pi k)\) | ضربه ها در فرکانس |
| \(e^{j\Omega_0 n}\) | \(2\pi\sum_k \delta(\Omega-\Omega_0-2\pi k)\) | یک خط، تکرار شده است |
| \(u[n]\) | \(\dfrac{1}{1-e^{-j\Omega}}+\pi\sum_k \delta(\Omega-2\pi k)\) | از انباشت، بخش 16-6 |
ویژگی های DTFT
فصل 14 ویژگی‌های تبدیل زمان‌پیوسته را فهرست‌بندی می‌کند، و فهرست زمان‌گسسته به اندازه‌ای نزدیک است که به خاطر سپردن آن به طور جداگانه باعث هدر رفتن تلاش می‌شود. آنچه مهم است تعداد انگشت شماری از مکان‌هایی است که این دو فهرست با هم تفاوت دارند و هر تفاوت به بخش 16-3 بازمی‌گردد.
تغییر زمان و تغییر فرکانس. \(n\) را با \(n-n_0\) در مجموع تحلیل جایگزین کنید و ثابت حاصل را فاکتور بگیرید:
تأخیر هر قدر را دست نخورده می گذارد و کم می کند\(\Omega n_0\)از هر فاز مدولاسیون کل طیف تناوبی را در امتداد محور فرکانس می لغزد - و از آنجایی که طیف تناوبی است، لغزش آن توسط\(2\pi\)اصلاً هیچ کاری انجام نمی دهد، که بیان مجدد حوزه فرکانس مشاهدات فصل 3 است که\(e^{j2\pi n}=1\). مورد خاص\(\Omega_0=\pi\)ارزش خط خودش را دارد: ضرب کردن یک دنباله در\((-1)^n\)طیف خود را به اندازه نیم دوره تغییر می دهد و یک سیگنال پایین گذر را به یک سیگنال بالا گذر تبدیل می کند، این دقیقا همان چیزی است که بخش 16-5 در هنگام علامت\(a\)واژگون شد.
تفاوت و انباشت. اینها همتای مجزای مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری هستند. اولین مورد بلافاصله از خطی بودن و ویژگی شیفت ناشی می شود. دوم معکوس آن است و مانند انتگرال‌گیری در فصل 14 به یک عبارت تصحیح برای مولفه DC نیاز دارد که تفاوت آن را از بین می برد.
با اعمال انباشتگی به \(\delta[n]\) که تبدیل آن \(1\) و انباشت آن \(u[n]\) است، آخرین ردیف جدول در بخش 16-5 بدون هیچ کار دیگری تولید می شود. عبارت تکانشی حامل مقدار متوسطی است که مجموع جاری ایجاد می کند و اولین تفاوت پاک می شود.
کانولوشن و ضرب. خاصیت کانولوشن دلیل وجود کل دستگاه است، و دقیقاً همانطور که در فصل 14 انجام شد می‌خواند:
فصل 7 مجموع کانولوشن \(y[n]=\sum_k x[k]h[n-k]\) را ساخته است. در اینجا آن را به یک محصول، یک فرکانس در یک زمان فرو می ریزد. جایگزینی مجموع تحلیل به جای \(y\) و مبادله ترتیب جمع آن را در سه خط ثابت می کند و مکانیسم خاصیت تغییر اعمال شده برای هر عبارت \(x[k]h[n-k]\) است.
بیانیه دوگانه جایی است که زمان‌گسسته خود را اثبات می کند. ضرب دو دنباله طیف آنها را در هم می‌پیچد - اما دو تابع تناوبی را نمی‌توان در یک محدوده نامتناهی جمع کرد، زیرا انتگرال از هم جدا می‌شود. آنچه در عوض ظاهر می شود کانولوشن دوره ای است، یک انتگرال در یک دوره واحد.
هر دو انتگرال \(2\pi\)-تناوبی هستند، بنابراین محصول آنها نیز همینطور است، و انتگرال‌گیری در یک دوره به خوبی مشخص است و یک پاسخ دوره ای \(2\pi\) را می دهد - همانطور که باید، زیرا سمت چپ یک دنباله است. این ویژگی حاکم بر پنجره است: کوتاه کردن یک دنباله طولانی آن را در یک پنجره مستطیلی ضرب می کند و بنابراین طیف آن را با کانولوشن دوره ای با هسته دیریکله بخش 16-5 آغشته می کند. فصل 26 زمانی به آن باز می گردد که داده های با طول محدود DFT را برآورده کنند.
| اموال | دنباله | تبدیل کنید |
|---|---|---|
| خطی بودن | \(\alpha x_1[n]+\beta x_2[n]\) | \(\alpha X_1+\beta X_2\) |
| تغییر زمان | \(x[n-n_0]\) | \(e^{-j\Omega n_0}X(e^{j\Omega})\) |
| تغییر فرکانس | \(e^{j\Omega_0 n}x[n]\) | \(X(e^{j(\Omega-\Omega_0)})\) |
| زمان معکوس | \(x[-n]\) | \(X(e^{-j\Omega})\) |
| صرف | \(x^*[n]\) | \(X^*(e^{-j\Omega})\) |
| متمایز کردن | \(x[n]-x[n-1]\) | \((1-e^{-j\Omega})X(e^{j\Omega})\) |
| کانولوشن | \(x[n]*h[n]\) | \(X(e^{j\Omega})H(e^{j\Omega})\) |
| ضرب | \(x_1[n]x_2[n]\) | کانولوشن دوره ای \(\big/2\pi\) |
| مشتق‌گیری فرکانس | \(n\,x[n]\) | \(j\dfrac{dX(e^{j\Omega})}{d\Omega}\) |
| افزایش زمان توسط \(k\) | \(x_{(k)}[n]\) (صفرهای \(k-1\) را وارد کنید) | \(X(e^{jk\Omega})\) |
| پارسهوال | \(\sum_n |x[n]|^2\) | \(\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{2\pi}|X(e^{j\Omega})|^2 d\Omega\) |
تقارن، انرژی و پارسوال
تقریباً هر دنباله‌ای که یک مهندس اندازه‌گیری می‌کند واقعی است و واقعیت محدودیت شدیدی را بر طیف تحمیل می‌کند. به هم آمیختن مجموع تحلیل برای \(x[n]\) واقعی، و توجه به اینکه صرف فقط علامت توان را برمیگرداند، یکباره عبارت مزدوج-تقارن را به دست می دهد.
طیف قدر یک دنباله واقعی زوج است، طیف فاز فرد است. همراه با دوره تناوبی \(2\pi\)، این به این معنی است که فاصله \(0 \le \Omega \le \pi\) - نیم دوره - شامل هر بخش از اطلاعات موجود است. نرم افزاری که طیفی را فقط تا \(\pi\) ترسیم می کند چیزی را کوتاه نمی کند.
دو نتیجه به طور مداوم استفاده می شود. اگر \(x[n]\) حقیقی و زوج باشد، پس \(X(e^{j\Omega})\) حقیقی و زوج است، به همین دلیل است که هسته دیریکله و تبدیل \(a^{|n|}\) بدون بخش خیالی بیرون آمدند. اگر \(x[n]\) حقیقی و فرد باشد، \(X(e^{j\Omega})\) کاملاً خیالی و فرد است. بنابراین، تقسیم هر دنباله واقعی به قسمت های زوج و فرد، تبدیل آن را به بخش های واقعی و خیالی تقسیم می کند، تجزیه فصل 14 که برای همین منظور استفاده می شود.
بیانیه انرژی از خاصیت ضرب با \(x_2[n]=x^*[n]\) یا مستقیماً با جایگزینی انتگرال سنتز به \(\sum_n x[n]x^*[n]\) و مبادله مجموع و انتگرال به دست می آید.
کمیت \(|X(e^{j\Omega})|^2\) طیف چگالی انرژی است: انتگرال‌گیری آن در یک باند فرکانس، با \(1/2\pi\)، بخشی از انرژی توالی که توسط آن باند حمل می‌شود را نشان می‌دهد. این تفسیر همان چیزی است که پارسوال را از یک هویت به یک ابزار تبدیل می کند - به شما امکان می دهد بدون محاسبه سیگنال فیلتر شده پاسخ دهید "چه مقدار از انرژی این سیگنال در آن فیلتر زنده می ماند". مثال کار شده 6 هر دو طرف رابطه را برای موردی ارزیابی می کند که هر یک به طور مستقل قابل بررسی است.
پاسخ فرکانس زمان‌گسسته
فصل 15 نشان داد که یک سیستم LTI زمان‌پیوسته به طور کامل توسط \(H(j\omega)\)، تبدیل پاسخ ضربه آن توصیف می شود، و این استدلال هرگز از چیزی خاص برای زمان‌پیوسته استفاده نمی کند. کلمه به کلمه منتقل می کند. \(x[n]=e^{j\Omega n}\) را وارد سیستمی با پاسخ ضربه \(h[n]\) کنید و مجموع کانولوشن فصل 7 را ارزیابی کنید:
نمایی بدون تغییر ظاهر می شود، با عدد مختلطی که فقط به \(\Omega\) بستگی دارد، مقیاس بندی می شود. نمایی های پیچیده توابع ویژه سیستم‌های LTI زمان‌گسسته هستند. \(H(e^{j\Omega})\)، DTFT پاسخ ضربه، مقدار ویژه است و به آن پاسخ فرکانسی می گویند. برای یک سینوسی واقعی، پاسخ با تقارن مزدوج دنبال می شود:
این سیستم می تواند یک سینوسی را مقیاس کند و فاز آن را تغییر دهد. نمی تواند فرکانس خود را تغییر دهد و نمی تواند آن را به چیزی جز سینوسی تبدیل کند. هر جمله در مورد فیلترینگ در این کتاب بر همین جمله استوار است.
مسیر عملی به \(H(e^{j\Omega})\) معمولاً از طریق \(h[n]\) نیست. فصل 9 سیستم‌های زمان‌گسسته را با معادلات اختلاف ضریب ثابت خطی تشریح کرد و پاسخ فرکانس را می توان مستقیماً خواند. شکل کلی را بگیرید و هر دو طرف را با استفاده از خطی بودن و خاصیت تغییر زمانی در هر جمله تبدیل کنید:
یک معادله تفاوت به نسبت چندجمله‌ای در \(e^{-j\Omega}\) تبدیل می‌شود که با بازرسی به دست می‌آید: هر تأخیر از نمونه‌های \(k\) یک عامل \(e^{-j\Omega k}\) را ایجاد می‌کند. بدون مجموع کانولوشن، بدون پاسخ ضربه، بدون حل بازگشت. فصل 9 برای یافتن \(h[n]\) برای چنین سیستم‌هایی تلاش کرد. در اینجا شرح فرکانس به صورت رایگان ارائه می شود و \(h[n]\) را می توان با گسترش \(H\) به کسری جزئی و خواندن جدول بخش 16-5 به عقب بازیابی کرد.
دو نمونه که تکرار خواهد شد. بازگشت مرتبه اول\(y[n]-ay[n-1]=x[n]\)می دهد\(H(e^{j\Omega})=1/(1-ae^{-j\Omega})\)، که پاسخ ضربه آن است\(a^n u[n]\)- جفت بخش 16-5، از انتهای دیگر رسید. را\(M\)میانگین متحرک نقطه\(y[n]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}x[n-k]\)دارای یک ساختار صرفا پیشخور است، بنابراین\(H\)یک مجموع محدود است، و مثال کار شده 5 آن را به عنوان یک فیلتر پایین گذر خام اما واقعی با صفرهای دقیق نشان می دهد.\(\Omega = 2\pi k/M\).
مقایسه دو تبدیل
ارزش این را دارد که تبدیل‌های زمان‌پیوسته و گسسته را در کنار هم قرار دهیم، زیرا تفاوت‌ها کم هستند و هر یک از آنها ساختاری هستند تا زیبایی.
| زمان‌پیوسته (فصل 13-14) | زمان‌گسسته (این فصل) | |
|---|---|---|
| تجزیه و تحلیل | \(X(j\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt\) | \(X(e^{j\Omega})=\sum_n x[n]e^{-j\Omega n}\) |
| سنتز | \(x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X e^{j\omega t}d\omega\) | \(x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X e^{j\Omega n}d\Omega\) |
| متغیر فرکانس | \(\omega\) در راد/ثانیه، نامحدود | \(\Omega\) در راد/نمونه، فقط \(2\pi\) متمایز |
| طیف | غیر پریودیک | دوره ای با دوره \(2\pi\) |
| بالاترین فرکانس | هیچ کدام | \(\Omega=\pi\)، جایی که \(e^{j\pi n}=(-1)^n\) |
| مشکل همگرایی | هر دو جهت | فقط تحلیل |
| ضرب ⟶ | پیچ خوردگی معمولی \(\big/2\pi\) | کانولوشن دوره ای \(\big/2\pi\) |
| دوگانگی | خود دوگانگی پاک | هیچکدام - این دو دامنه از نظر نوع متفاوت هستند |
فقدان دوگانگی ورودی است که ارزش مکث دارد. در زمان‌پیوسته، معادلات تجزیه و تحلیل و سنتز تنها با یک علامت و یک \(2\pi\) متفاوت است، بنابراین هر قضیه ای را می توان در هر جهت خواند - این چیزی است که به فصل 14 اجازه می دهد نیمی از فهرست اموال خود را به صورت رایگان بدست آورد. در اینجا دو معادله یک مجموع و یک انتگرال بر روی انواع مختلف متغیر هستند و چنین بازتابی امکان پذیر نیست. جبران، جفت سازی است که قبلاً در بخش 2-16 ذکر شده است: گسسته در یک دامنه، دوره ای در حوزه دیگر. یک دنباله دارای یک طیف تناوبی است. یک توالی تناوبی، همانطور که در فصل 10 یافت شد، دارای یک طیف گسسته است - و طیفی که خودش تناوبی است، زیرا هر دو است. آخرین مورد، گسسته و تناوبی در هر دو حوزه، تبدیل فوریهٔ گسسته است و فصل 26 به آن اختصاص دارد.
نمونه های کار شده
مشکل DTFT \(x[n]=a^{|n|}\) را با \(|a| \lt 1\) پیدا کنید و تأیید کنید که پاسخ دارای تقارن است.
راه حل. مجموع را در مبدا تقسیم کنید، مراقب باشید که \(n=0\) دو بار حساب نشود. برای \(n \ge 0\) دنباله \(a^n\) است. برای \(n \le -1\) \(a^{-n}\) است، بنابراین \(m=-n\) را در آنجا جایگزین کنید:
سری دوم از \(m=1\) شروع می شود، به همین دلیل است که دارای فاکتور اضافی \(ae^{j\Omega}\) است. این دو را روی یک مخرج مشترک قرار دهید. مخرج \(\big(1-ae^{-j\Omega}\big)\big(1-ae^{j\Omega}\big)=1-a(e^{j\Omega}+e^{-j\Omega})+a^2 = 1-2a\cos\Omega+a^2\) و صورت آن \(\big(1-ae^{j\Omega}\big)+ae^{j\Omega}\big(1-ae^{-j\Omega}\big) = 1-ae^{j\Omega}+ae^{j\Omega}-a^2 = 1-a^2\) است:
دنباله\(a^{|n|}\)حقیقی و زوج است، بنابراین بخش 16-7 مستلزم آن است که تبدیل آن حقیقی و زوج باشد، و پاسخ آشکارا هر دو است - شامل هیچ\(j\)و بستگی دارد\(\Omega\)فقط از طریق\(\cos\Omega\). به عنوان یک بررسی عددی با\(a=\tfrac12\): مقدار DC باید برابر باشد\(\sum_n x[n] = 1 + 2\sum_{n\ge1}2^{-n} = 3\)، و فرمول می دهد\((1-0.25)/(1-1+0.25)=0.75/0.25=3\).
مشکل برای \(x[n]=1\) در \(-2 \le n \le 2\) و صفر در جای دیگر، \(X(e^{j\Omega})\) را پیدا کنید، صفرهای آن را بیابید و مقدار را در \(\Omega=\pi\) بیان کنید.
راه حل. این هسته دیریکله از بخش 16-5 با \(N_1=2\) است، بنابراین \(2N_1+1=5\) و
صفرها جایی هستند که \(\sin(5\Omega/2)=0\) بدون \(\sin(\Omega/2)\) نیز ناپدید می شوند، یعنی \(5\Omega/2 = k\pi\) \(\Omega = 2\pi k/5\) را برای \(k=1,2,3,4\) - یعنی \(0.4\pi,\ 0.8\pi,\ 1.2\pi,\ 1.6\pi\) می دهد. در \(|\Omega|\le\pi\) که \(\pm0.4\pi\) و \(\pm0.8\pi\) است که با شکل بخش 16-5 مطابقت دارد. در \(k=5\) مخرج نیز ناپدید می شود و نسبت به \(5\) باز می گردد که شروع دوره بعدی است.
در \(\Omega=\pi\): \(\sin(5\pi/2)=1\) و \(\sin(\pi/2)=1\)، بنابراین \(X(e^{j\pi})=1\). همان شماره را از تعریف بررسی کنید: \(\sum_n x[n](-1)^n = 1-1+1-1+1 = 1\). آنها موافق هستند.
لوب اصلی از \(-0.4\pi\) تا \(0.4\pi\)، با عرض \(4\pi/5\) اجرا می شود. پالس را باز کنید - مثلا \(N_1=4\) را بگیرید - و لوب اصلی به \(4\pi/9\) باریک می شود. رابطه متقابل بین مدت و پهنای باند که فصل 14 در زمان‌پیوسته ایجاد کرد دست نخورده باقی می ماند.
مشکل یک سیستم دارای \(H(e^{j\Omega})=1\) برای \(|\Omega| \le \pi/4\) و \(0\) برای \(\pi/4 \lt |\Omega| \le \pi\) است که به صورت دوره ای تکرار می شود. \(h[n]\) را پیدا کنید، \(h[0]\) و \(h[2]\) را ارزیابی کنید و بگویید آیا سیستم می تواند ساخته شود یا خیر.
راه حل. انتگرال سنتز را در دوره \(-\pi\) به \(\pi\) اعمال کنید، جایی که \(H\) فقط در \(|\Omega|\le\Omega_c=\pi/4\) غیر صفر است:
در \(n=0\) از محدودیت استفاده کنید، یا \(e^{j0}=1\) را مستقیماً انتگرال‌گیری کنید: \(h[0] = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac14 = \Omega_c/\pi\). برای \(n=2\): \(\sin(\pi/2)/(2\pi) = 1/(2\pi) \approx 0.159\). برای \(n=4\): \(\sin(\pi)=0\)، بنابراین \(h[4]=0\)، و در واقع هر چهارمین نمونه پس از ناپدید شدن مبدا.
سیستم ساخته نمی شود. پاسخ ضربه برای \(n \lt 0\) - \(h[-2]=h[2]\) با یکنواختی غیر صفر است - بنابراین قبل از برانگیختگی پاسخ می دهد، که فصل 8 آن را غیرعلت تشخیص داد. همچنین دارای طول بی نهایت است و فقط به صورت \(1/n\) تجزیه می شود، بنابراین هیچ برش محدودی آن را به خوبی بازتولید نمی کند. کوتاه کردن آن به عبارت \(2L+1\)، \(h[n]\) را در یک پنجره مستطیلی ضرب می‌کند، که در بخش 16-6 دیوار آجری ایده‌آل را با هسته دیریکله در هم می‌پیچد و دقیقاً همان مازاد و موجی را ایجاد می‌کند که فصل 15 آن را رفتار گیبس نامید. طراحی فیلتر واقعی شغل انتخاب پنجره بهتر است.
مشکل برای \(y[n]-0.8\,y[n-1]=x[n]\)، \(H(e^{j\Omega})\) و \(h[n]\) را پیدا کنید، بهره را در \(\Omega=0\) و \(\Omega=\pi\) محاسبه کنید و فرکانس نیمه توان را پیدا کنید.
راه حل. ترم به ترم تغییر دهید. تاخیر به \(e^{-j\Omega}\) کمک می کند، بنابراین \(\big(1-0.8e^{-j\Omega}\big)Y = X\) و
با استفاده از \(1-2(0.8)\cos\Omega+0.64 = 1.64-1.6\cos\Omega\). خواندن جدول بخش 16-5 به عقب \(h[n]=0.8^n u[n]\) را نشان می دهد و بهره DC دو راه را بررسی می کند: \(\sum_n h[n] = 1/(1-0.8) = 5\) و \(|H(e^{j0})| = 1/(1-0.8) = 5\). در نهایت، \(|H(e^{j\pi})| = 1/(1+0.8) = 0.556\). فیلتر تغییرات آهسته را با افزایش 5 عبور می دهد و تناوب نمونه به نمونه را تا حدود یک نهم آن کاهش می دهد - یک گذر پایین، همانطور که پاسخ ضربه در حال فروپاشی هموار نشان می دهد.
نصف توان یعنی \(|H|^2\) به نصف پیک خود یعنی \(25\) کاهش یافته است، بنابراین \(|H|^2 = 12.5\) را تنظیم کنید:
بنابراین \(\Omega_{3\text{dB}} = \arccos(0.975) = 0.224\) راد/نمونه، حدود \(0.071\pi\). قطب را به دایره واحد نزدیک‌تر کنید - به جای \(0.8\)، \(0.95\) را انتخاب کنید - و باند عبور کمتر می‌شود در حالی که بهره DC به 20 می‌رسد: فیلتری واضح‌تر با حافظه طولانی‌تر، زیرا \(h[n]=0.95^n u[n]\) اکنون به شصت نمونه نیاز دارد تا مقدار اولیه آن به یکم t کاهش یابد.
مشکل پاسخ فرکانسی \(y[n]=\tfrac13\big(x[n]+x[n-1]+x[n-2]\big)\) را پیدا و تفسیر کنید.
راه حل. سیستم پیشخور است، بنابراین تبدیل فوری است: \(H(e^{j\Omega})=\tfrac13\big(1+e^{-j\Omega}+e^{-2j\Omega}\big)\). فاکتور گرفتن میان مدت ساختار را قابل مشاهده می کند:
فاکتور \(e^{-j\Omega}\) یک فاز خطی تاخیر تک نمونه خالص است. فاکتور واقعی \((1+2\cos\Omega)/3\) دامنه است. در \(\Omega=0\) برابر با \(1\) است، بنابراین ثابت ها دست نخورده عبور می کنند، کاری که یک میانگین باید انجام دهد. زمانی که \(\cos\Omega = -\tfrac12\)، یعنی در \(\Omega = 2\pi/3\) است، به صفر می رسد - یک عدد تهی، بنابراین یک سینوسی در دقیقاً سه نمونه در هر چرخه به طور کامل نابود می شود، که منطقی است زیرا هر سه نمونه متوالی از آن مجموع آنها صفر است. فراتر از تهی ضریب منفی است و به \((1-2)/3=-\tfrac13\) در \(\Omega=\pi\) می رسد. قدر آنجا \(\tfrac13\) است و تغییر علامت \(\pi\) را به فاز اضافه می کند.
بنابراین میانگین سه نقطه یک فیلتر پایین گذر با بهره DC واحد، تهی دقیق در \(\Omega=2\pi k/3\)، و تنها \(20\log_{10}3 \approx 9.5\ \text{dB}\) میرایی در بالاترین فرکانس - خام، اما با فاز کاملا خطی در باند عبور است، که در فصل 15 به عنوان شرط انتقال بدون اعوجاج مشخص شد. نسخه \(M\) نقطه ای به \(H(e^{j\Omega}) = \frac{1}{M}e^{-j\Omega(M-1)/2}\,\frac{\sin(\Omega M/2)}{\sin(\Omega/2)}\) تعمیم می یابد - هسته دیریکله دوباره، اکنون به عنوان یک پاسخ فیلتر.
مشکل برای \(x[n]=(\tfrac12)^n u[n]\)، انرژی کل را مستقیماً و دوباره از طیف محاسبه کنید و تأیید کنید که این دو موافق هستند.
راه حل (حوزه زمانی). انرژی یک سری هندسی در \(\tfrac14\) است:
راه حل (حوزه فرکانس). از بخش 16-5، \(X(e^{j\Omega})=1/(1-0.5e^{-j\Omega})\)، بنابراین \(|X|^2 = 1/(1.25-\cos\Omega)\). Parseval پس نیاز دارد
نتیجه استاندارد \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\Omega}{c-\cos\Omega} = \frac{1}{\sqrt{c^2-1}}\) برای \(c \gt 1\) با \(c=1.25\) اعمال می شود و \(1/\sqrt{1.5625-1} = 1/\sqrt{0.5625} = 1/0.75 = 4/3\) را می دهد. این دو موافق هستند.
مسیر فرکانس همچنین به سؤالی پاسخ می دهد که مسیر زمانی نمی تواند. چقدر از آن انرژی در زیر نهفته است\(\Omega=\pi/2\)? همان تابع اولیه، ارزیابی بیش از\(|\Omega| \le \pi/2\)به جای دوره کامل، می دهد\(\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{16}{3}\arctan 3 = 1.060\)، که است\(79.5\%\)از کل\(4/3\)- جای تعجب نیست، زیرا\(|X|^2\)برابر است\(4\)در\(\Omega=0\)و قبلاً به آن سقوط کرده است\(1/1.25=0.8\)توسط\(\Omega=\pi/2\). این معنایی است که در آن\((\tfrac12)^n u[n]\)یک سیگنال پایین گذر است، و معنایی که در آن پارسوال یک ابزار کار است تا یک هویت.
خلاصه فصل
\(X(e^{j\Omega})=\sum_n x[n]e^{-j\Omega n}\) و \(x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}Xe^{j\Omega n}d\Omega\) - جمع آوری، انتگرال بیش از یک دوره به عقب.
هر طیف گسسته با دوره \(2\pi\) تکرار می شود، زیرا \(e^{-j2\pi n}=1\). فرکانس پایین در \(0\)، فرکانس بالا در \(\pi\) قرار دارد.
جمع پذیری مطلق یک \(X\) پیوسته می دهد. انرژی محدود همگرایی میانگین مربع را می دهد. ثابت ها و سینوسی ها به قطارهای ضربه ای در \(\Omega\) نیاز دارند.
\(a^n u[n] \leftrightarrow 1/(1-ae^{-j\Omega})\) برای \(|a| \lt 1\) — گذر پایین برای \(a \gt 0\)، مرتفع برای \(a \lt 0\).
کانولوشن تبدیل به یک محصول می شود. ضرب تبدیل به کانولوشن دوره ای می شود. پارسهوال انرژی را از طریق \(|X(e^{j\Omega})|^2\) اندازه گیری می کند.
\(H(e^{j\Omega})\) با جایگزینی هر تاخیر نمونه \(k\) با \(e^{-j\Omega k}\) یک معادله تفاوت خوانده می شود - نیازی به کانولوشن نیست.
مشکلات تمرین
مسائل 1 تا 3 تعریف، 4 تا 6 ویژگی ها، و 7 و 8 اتصال سیستم را بیان می کنند. یک دوره از هر طیفی را که محاسبه می کنید ترسیم کنید. بیان تناوب آسان است و به راحتی فراموش می شود.
- DTFT \(x[n]=\delta[n+1]+2\delta[n]+\delta[n-1]\) را پیدا کنید. نشان دهید که واقعی است و از روی ویژگی های تقارن توضیح دهید که چرا باید باشد.
- \(X(e^{j\Omega})\) را برای \(x[n]=(0.6)^n u[n] - (0.6)^n u[n-4]\) محاسبه کنید. این کار را دو بار انجام دهید: یک بار با جمع کردن مستقیم چهار جمله غیر صفر، و یک بار با نوشتن دنباله به عنوان اختلاف دو دنباله هندسی جابجا شده. مطابقت پاسخ ها را تأیید کنید.
- یک دنباله دارای \(X(e^{j\Omega}) = \cos^2\Omega\) است. \(x[n]\) را بدون ارزیابی انتگرال، با بسط \(\cos^2\Omega\) در نمایی های پیچیده و تطبیق عبارات با جفت ضربه جابجا شده، پیدا کنید.
- با توجه به اینکه \(x[n]\) \(X(e^{j\Omega})\) را تبدیل کرده است، تبدیل \(y[n]=(-1)^n x[n]\) و \(w[n]=x[n]\cos(\pi n/2)\) را پیدا کنید. آنچه را که هر کدام با طیف انجام می دهند را با کلمات توصیف کنید.
- برای یافتن DTFT \(n(0.5)^n u[n]\) از خاصیت مشتق‌گیری فرکانس استفاده کنید، سپس با مشتق‌گیری صریح تبدیل \((0.5)^n u[n]\) پاسخ خود را تأیید کنید.
- با نوشتن \(\sum_{m\le n}x[m] = x[n]*u[n]\) و اعمال ویژگی convolution همراه با تبدیل \(u[n]\)، خاصیت تجمع را ثابت کنید. توضیح دهید که اصطلاح تکانشی از کجا آمده است.
- برای \(y[n]-0.5y[n-1]=x[n]+x[n-1]\)، \(H(e^{j\Omega})\) را پیدا کنید، \(|H|\) را در یک دوره ترسیم کنید و سودهای \(\Omega=0\) و \(\Omega=\pi\) را شناسایی کنید. فیلتر پایین گذر است، بالاگذر یا هیچکدام؟
- یک دنباله واقعی دارای انرژی 10 است و طیف چگالی انرژی آن \(|X(e^{j\Omega})|^2\) نسبت به \(|\Omega| \le \pi/3\) ثابت و در جاهای دیگر دوره صفر است. آن ثابت را پیدا کنید، سپس \(x[n]\) را تا ضریب فاز پیدا کنید و در مورد اینکه آیا چنین دنباله ای می تواند طول محدودی داشته باشد نظر دهید.