تبدیل لاپلاس و ناحیهٔ همگرایی

قسمت 4 موفقیت قابل توجهی بود. فصل 13 به هر سیگنال غیر تناوبی معقولی یک طیف داد، فصل 14 کانولوشن را به ضرب تبدیل کرد و فصل 15 فیلتر کردن را به انتخاب منحنی تبدیل کرد. جای سوال دارد که کلمه «معقول» در آن جمله چه می کرد؟

انتگرال فوریه \(\int x(t)e^{-j\omega t}dt\) فقط در صورتی همگرا می شود که \(x(t)\) به اندازه کافی سریع تجزیه شود تا انتگرال وجود داشته باشد، زیرا \(|e^{-j\omega t}|=1\) به خودی خود باعث فروپاشی نمی شود. یکپارچگی مطلق شرط کافی معمول است و برای یک کلاس کامل از سیگنال‌های مهندسی کاملا معمولی با شکست مواجه می شود.

ردیف دوم و پنجم ردیف های جدی هستند. یک سیستم ناپایدار دارای یک پاسخ ضربه است که بدون محدودیت رشد می کند، و کل سوال ثبات یک سوال در مورد چنین پاسخ هایی است. نظریه‌ای که فقط می‌تواند سیستم‌هایی را توصیف کند که قبلاً به عنوان پایدار شناخته شده‌اند، نمی‌توانند برای تصمیم‌گیری در مورد پایداری یک سیستم استفاده شوند، و نمی‌توانند توصیف کنند که وقتی بازخورد برای چیزی که نیست اعمال می‌شود چه اتفاقی می‌افتد. دستگاه قسمت 4 دقیقاً در جایی که مهندسی جالب تر است بی صدا است.

ردیف سوم و چهارم مزاحم خفیف تری هستند. یک رمپ و یک پله عجیب و غریب نیستند. آنها ورودی های تست استاندارد هستند. فصل 14 تنها با پذیرش یک ضربه در \(\omega=0\) می‌تواند این مرحله را مدیریت کند، دستگاهی که کار می‌کند اما در هر محاسبات بعدی به راحتی می‌نشیند.

یک سیگنال \(x(t)\) بگیرید که انتگرال فوریه آن واگرا می شود زیرا \(x\) رشد می کند. قبل از تبدیل، آن را رام کنید: در یک \(e^{-\sigma t}\) نمایی واقعی در حال پوسیدگی ضرب کنید که برای شکست دادن رشد انتخاب شده است. اگر \(\sigma\) به اندازه کافی بزرگ باشد، محصول \(x(t)e^{-\sigma t}\) تحلیل می‌رود، انتگرال فوریه محصول همگرا می‌شود، و ما یک طیف قانونی داریم - نه از \(x\)، بلکه از یک \(x\) اصلاح‌شده که می‌توانیم آن را ردیابی کنیم.

این دو نمایی در یکی ادغام شده اند که توان آن یک عدد مختلط است. آن عدد را \(s=\sigma+j\omega\) نامگذاری کنید و نتیجه تابعی از \(s\) به جای \(\omega\) است - یعنی تابعی در هواپیما به جای خط.

تصویر قیمت را مشخص می کند. اینکه آیا اکنون انتگرال همگرا می شود به \(\sigma\) بستگی دارد و مقادیر مختلف \(\sigma\) برای سیگنال‌های مختلف موفقیت آمیز است. برای \(x(t)=e^{2t}u(t)\)، هر \(\sigma \gt 2\) کار می کند و هیچ \(\sigma \le 2\) کار نمی کند. بنابراین تبدیل در کل صفحه \(s\) تعریف نشده است و بیان اینکه در کدام قسمت از صفحه تعریف شده است پاورقی نیست - همانطور که بخش 17-3 نشان خواهد داد بخشی از پاسخ است.

یک نکته کاربردی قبل از ادامه مطلب اکثر کتاب‌های درسی و هر درس مدارها از تبدیل یکطرفه \(X(s)=\int_{0^-}^{\infty}x(t)e^{-st}dt\) استفاده می‌کنند که حد پایین آن مبدا است. برای سیگنال‌های علّی، دو تعریف موافق هستند، و نسخه یک طرفه از مزیت جذب شرایط اولیه برخوردار است، که فصل 19 هنگام حل معادلات دیفرانسیل از آن بهره می برد. این فصل با تبدیل دو طرفه کار می کند زیرا نسخه ای است که در آن ناحیهٔ همگرایی چیز جالبی برای گفتن دارد: ROC یک تبدیل یک طرفه همیشه یک نیمه صفحه سمت راست است، بنابراین هیچ کس مجبور نیست به آن فکر کند و هیچ کس معنی آن را نمی داند.

ناحیهٔ همگرایی، که به طور کلی ROC نامیده می شود، مجموعه ای از اعداد مختلط \(s\) است که انتگرال تعیین کننده برای آنها کاملاً همگرا می شود. همه چیز در این فصل بر اساس یک مشاهده در مورد آن است: همگرایی فقط از طریق \(\sigma=\operatorname{Re}\{s\}\) به \(s\) بستگی دارد.

دلیل آن این است که \(|e^{-st}| = |e^{-\sigma t}||e^{-j\omega t}| = e^{-\sigma t}\)، بنابراین بزرگی انتگرال، که تعیین کننده همگرایی مطلق است، هرگز \(\omega\) را شامل نمی شود. اگر انتگرال برای یک مقدار \(s\) همگرا شود، برای هر \(s\) با همان قسمت واقعی همگرا می شود.

مثال اصلی را با دقت کار کنید، زیرا هر نتیجه بعدی یک تغییر در آن است. اجازه دهید \(x(t)=e^{-at}u(t)\) با \(a\) واقعی باشد. مرحله انتگرال را به \(t \ge 0\) محدود می کند:

در حد بالایی، \(|e^{-(s+a)t}| = e^{-(\sigma+a)t}\)، که اگر و فقط در صورت \(\sigma+a \gt 0\) به صفر میل می کند. تحت آن شرایط، و فقط تحت آن، براکت به \(0-\big(-1/(s+a)\big)\) ارزیابی می‌شود:

توجه داشته باشید که جبر برای هر \(a\) واقعی، مثبت یا منفی معتبر است. اگر \(a \gt 0\) سیگنال کاهش می یابد و ROC شامل محور \(j\omega\) می شود. اگر \(a \lt 0\) سیگنال رشد می کند و ROC دقیقاً در سمت راست محور قرار می گیرد. تبدیل لاپلاس در سیگنال در حال رشد تکان نخورد - فقط منطقه ای را گزارش کرد که \(\sigma=0\) را مستثنی می کند، که دقیقاً بیانیه ای است که هیچ تبدیل فوریه وجود ندارد.

این اولین ظهور موضوع اصلی این فصل است. ROC حسابداری نیست. این اطلاعات فیزیکی را حمل می کند که عبارت \(1/(s+a)\) ندارد.

تقریباً هر تبدیلی که در این دوره مشاهده می شود یک تابع منطقی است - نسبت چندجمله ای ها در \(s\). این تصادفی نیست: فصل 9 سیستم‌های زمان‌پیوسته را با معادلات دیفرانسیل خطی با ضریب ثابت توصیف می‌کند، و فصل 18 نشان می‌دهد که تبدیل چنین معادله‌ای همیشه نسبتی از چندجمله‌ای را تولید می‌کند.

ریشه \(z_i\) عدد صفرها هستند که در آن \(X(s)=0\); ریشه های \(p_i\) مخرج قطب هایی هستند که در آن \(|X(s)|\) نامحدود می شود. رسم آنها در صفحه مختلط - صفر به عنوان دایره، قطب به عنوان صلیب - نمودار قطب صفر را به دست می دهد که همراه با بهره \(K\) و ROC سیگنال را به طور کامل تعیین می کند.

قطب ها جایی هستند که تبدیل منفجر می شود، بنابراین هیچ قطبی نمی تواند در داخل ROC قرار گیرد: اگر انتگرال در آن \(s\) همگرا شود، \(X(s)\) یک عدد محدود خواهد بود. این مشاهدات منفرد، که در بخش 17-5 توسعه یافته است، تقریباً کل لیست خواص ROC را ایجاد می کند.

دو قرارداد از هواپیمای \(s\) اکنون ارزش تعمیر دارند، زیرا قسمت 5 و قسمت 7 هر دو به آنها تکیه دارند. محور عمودی \(\sigma=0\) محور \(j\omega\) است و محل تبدیل فوریه است: یک نقطه روی آن مربوط به یک نوسان خالص بدون رشد است. نیم صفحه سمت چپ \(\sigma \lt 0\) خانه نمایی در حال فروپاشی است. نیم صفحه سمت راست \(\sigma \gt 0\) از آنهایی که در حال رشد هستند. بخش واقعی یک قطب، نرخ فروپاشی عبارتی است که به آن کمک می‌کند، و بخش خیالی آن، فرکانس نوسان آن عبارت است - بنابراین یک جفت مزدوج مختلط در \(-\alpha \pm j\beta\) به \(e^{-\alpha t}\cos(\beta t+\phi)\)، سینوسی میرا شده فصل 3 کمک می‌کند.

شش عبارت هر موردی را که پیش می آید پوشش می دهد. اگر انتگرال همگرایی بخش 17-3 در نظر گرفته شود، نیازی به حفظ هیچ کدام نیست.

1. ROC از نوارهای موازی با محور \(j\omega\) تشکیل شده است. قبلاً ثابت شده است: همگرایی فقط به \(\sigma\) بستگی دارد.

2. ROC فاقد قطب است. قبلاً ثابت شده است: \(X\) هر جا که انتگرال همگرا شود متناهی است.

3. اگر \(x(t)\) مدت زمان محدودی داشته باشد و کاملاً قابل انتگرال‌گیری باشد، ROC کل صفحه \(s\) است. انتگرال در یک بازه محدود \([T_1,T_2]\) اجرا می شود، که در آن ضریب \(e^{-\sigma t}\) در بالا با \(e^{-\sigma T_1}\) یا \(e^{-\sigma T_2}\) هر کدام بزرگتر است، برای هر \(\sigma\) واقعی محدود می شود. یک عامل محدود ضربدر یک تابع انتگرال پذیر در یک بازه محدود همیشه یکپارچه می شود، بنابراین هیچ مقدار \(s\) مستثنی نمی شود.

4. اگر \(x(t)\) سمت راست باشد - صفر قبل از مقداری \(T_1\) - ROC یک نیم صفحه سمت راست است، \(\operatorname{Re}\{s\} \gt \sigma_0\). بحث اینجاست. فرض کنید انتگرال برای برخی \(\sigma_1\) همگرا شود، بنابراین \(\int_{T_1}^{\infty}|x(t)|e^{-\sigma_1 t}dt\) متناهی است. اکنون هر \(\sigma_2 \gt \sigma_1\) را بردارید. برای \(t \ge T_1\) ما \(e^{-\sigma_2 t} = e^{-\sigma_1 t}e^{-(\sigma_2-\sigma_1)t} \le e^{-\sigma_1 t}e^{-(\sigma_2-\sigma_1)T_1}\) داریم، مضرب ثابتی از انتگرال که قبلاً همگرا شده است. بنابراین همگرایی در \(\sigma_1\) باعث همگرایی در هر \(\sigma\) بزرگتر می شود و ROC بدون محدودیت به سمت راست گسترش می یابد.

5. اگر \(x(t)\) سمت چپ باشد، ROC یک نیم صفحه سمت چپ، \(\operatorname{Re}\{s\} \lt \sigma_0\) است. همان نابرابری، با علائم معکوس اجرا شود: در \(t \le T_2\) یک \(\sigma\) منفی تر فقط کمک می کند.

6. اگر \(x(t)\) دو طرفه است، ROC یک نوار عمودی است یا خالی است. سیگنال را در هر لحظه مناسب به یک قطعه سمت چپ و یک قطعه سمت راست تقسیم کنید. قطعه سمت راست در نیم صفحه سمت راست \(\sigma \gt \sigma_R\)، قطعه سمت چپ در نیم صفحه سمت چپ \(\sigma \lt \sigma_L\) همگرا می شود، و تبدیل مجموع دقیقاً در جایی وجود دارد که هر دو انجام می دهند - تقاطع آنها. اگر \(\sigma_R \lt \sigma_L\) آن تقاطع نوار \(\sigma_R \lt \sigma \lt \sigma_L\) است. اگر \(\sigma_R \ge \sigma_L\) خالی است و سیگنال اصلاً تبدیل لاپلاس ندارد.

برای تبدیل‌های عقلانی، این شش گزاره به قاعده‌ای تبدیل می‌شوند که به سرعت اعمال می‌شوند. قطب ها هواپیما را به نوارهای عمودی برش می دهند. ROC یکی از آن نوارها است و کدام یک از طرفی سیگنال تعیین می شود. یک سیگنال سمت راست نوار را به سمت راست ترین قطب می برد. علامت سمت چپ نوار سمت چپ سمت چپ ترین قطب. سیگنال دو طرفه یکی از نوارهای بین.

اکنون نکته ای که ROC را اجتناب ناپذیر می کند. سیگنال سمت چپ \(x(t)=-e^{-at}u(-t)\) را در نظر بگیرید، که برای زمان مثبت صفر است و برای زمان منفی، آینه دیدار نمایی در بخش 17-3 است. مرحله \(u(-t)\) انتگرال را به \(t \le 0\) محدود می کند:

به عنوان \(t \to -\infty\) قدر \(e^{-(\sigma+a)t}\) به صفر گرایش دارد اگر و فقط اگر \(\sigma+a \lt 0\) باشد. در آن شرایط حد ناپدید می شود و

این تنها قابل بررسی‌ترین ایده در این فصل است، و تعمیم می‌دهد: یک \(X(s)\) منطقی که قطب‌های \(N\) آن دارای قطعات واقعی متمایز هستند، \(N+1\) ROC‌های مختلف را می‌پذیرد، از این رو \(N+1\) سیگنال‌های متفاوتی را تقسیم می‌کند. مثال 2 کارکرده، هر سه حالت تبدیل دو قطبی را کار می‌کند، و معلوم می‌شود که آنها یک سیگنال علّی در حال زوال، یک سیگنال پادعلّی در حال رشد، و یک سیگنال دو طرفه هستند که در هر دو جهت رشد می‌کنند.

یک مثال واقعی دو طرفه ارزش در دست داشتن دارد. اجازه دهید \(x(t)=e^{-b|t|}\) با \(b \gt 0\). تقسیم در مبدا. قطعه سمت راست \(e^{-bt}u(t)\) برای \(\sigma \gt -b\) به \(1/(s+b)\) تبدیل می شود. قطعه سمت چپ \(e^{bt}\) برای \(t\lt 0\) است، بنابراین \(\int_{-\infty}^{0}e^{(b-s)t}dt = 1/(b-s)\) \(\operatorname{Re}\{b-s\} \gt 0\)، یعنی \(\sigma \lt b\) را ارائه کرد. افزودن:

نوار حاوی محور \(j\omega\) است و با تنظیم \(s=j\omega\)، \(2b/(b^2+\omega^2)\)، دقیقاً تبدیل فوریه فصل 13 برای همان سیگنال محاسبه شده است. این توافق یک اتفاق نیست بلکه یک قضیه است و بخش 17-8 آن را بیان می کند.

چهار مشتق کوتاه بیشتر جدول را تولید می کنند. ضربه فوری از ویژگی غربال کردن فصل 3 است: \(\int\delta(t)e^{-st}dt = e^{0}=1\)، و از آنجایی که چیزی در مورد \(s\) فرض نشده است، ROC کل هواپیما است. مرحله، مورد \(a=0\) نمایی است، که به \(1/s\) با \(\operatorname{Re}\{s\} \gt 0\) می‌دهد - قطب دقیقاً روی محور \(j\omega\) قرار می‌گیرد، به همین دلیل است که تبدیل فوریه \(u(t)\) برای وجود ضربه‌ای ضروری است.

قطب های مکرر از مشتق‌گیری جفت نمایی با توجه به \(a\) می آیند. از زمان \(\frac{\partial}{\partial a}e^{-at}u(t) = -t\,e^{-at}u(t)\) و \(\frac{\partial}{\partial a}\frac{1}{s+a} = -\frac{1}{(s+a)^2}\)، جفت \(t\,e^{-at}u(t) \leftrightarrow 1/(s+a)^2\) با ROC بدون تغییر، دنبال می‌شود. تکرار این ترفند به \(t^{n-1}e^{-at}u(t)/(n-1)! \leftrightarrow 1/(s+a)^n\) می رسد.

سینوسی ها از فرمول و خطی بودن اویلر می آیند. نوشتن \(\cos\omega_0 t = \tfrac12(e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t})\) و اعمال جفت نمایی برای هر جمله با \(a = \mp j\omega_0\):

هر دو ROC جزء \(\operatorname{Re}\{s\} \gt 0\) هستند، زیرا \(\operatorname{Re}\{\mp j\omega_0\}=0\)، بنابراین مجموع در آنجا همگرا می شود. قطب‌های \(s=\pm j\omega_0\) روی محور خیالی قرار می‌گیرند - یک نوسان بدون میرا نه رشد می‌کند و نه فروپاشی می‌کند و قطب‌های آن مرز بین این دو رفتار را مشخص می‌کنند.

همه اینها را روی یک سیستم اعمال کنید، با \(h(t)\) پاسخ ضربه فصل 7 و \(H(s)\) تبدیل لاپلاس آن - تابع انتقال. سه ویژگی که فصل 8 در حوزه زمان تعریف کرد، اکنون به عباراتی در مورد یک تصویر تبدیل می شوند.

وجود فوریه. تنظیم \(s=j\omega\) در انتگرال لاپلاس انتگرال فوریه را می دهد، بنابراین \(X(j\omega)\) دقیقا زمانی وجود دارد که ROC حاوی محور \(j\omega\) باشد. هنگامی که انجام شد، تبدیل فوریه با ارزیابی \(X(s)\) در آن محور به دست می‌آید، همانطور که مثال دو طرفه بخش 17-6 نشان داد. اگر اینطور نباشد، هیچ مقدار جبر جبر را ایجاد نمی کند.

علّیت. یک سیستم علّی \(h(t)=0\) برای \(t \lt 0\) دارد، که \(h\) را سمت راست می کند، بنابراین با ویژگی 4 ROC آن یک نیمه صفحه راست است. برعکس نیاز به مراقبت دارد - یک ROC نیمه راست تنها زمانی که \(H(s)\) منطقی باشد، سمت راست را تضمین می کند، که در این دوره همیشه اینطور است. برای توابع انتقال منطقی، قانون کار دقیق است: علّی اگر و تنها در صورتی که ROC در سمت راست سمت راست ترین قطب قرار گیرد.

ثبات. فصل 8 ثابت کرد که یک سیستم LTI دقیقاً زمانی که \(\int|h(t)|dt \lt \infty\) BIBO پایدار است. آن انتگرال انتگرال همگرایی بخش 17-3 است که در \(\sigma=0\) ارزیابی شده است. بنابراین سیستم پایدار است اگر و تنها در صورتی که ROC شامل محور \(j\omega\) باشد - شرایطی مشابه وجود فوریه، به همین دلیل است که یک سیستم پایدار همیشه پاسخ فرکانسی دارد و یک سیستم ناپایدار هرگز پاسخ فرکانسی دارد.

این دو شرایط همچنین می توانند با هم تضاد داشته باشند، و این آموزنده است تا آسیب شناسی. یک تابع انتقال با یک قطب در نیم صفحه سمت راست را می توان یک ROC داد که شامل محور \(j\omega\) است و آن را پایدار می کند - اما آن ROC یک نوار است، نه یک نیمه صفحه سمت راست، بنابراین سیستم علّی نیست. چنین سیستمی تنها با تاخیر قابل تحقق است، به عنوان یک پردازنده که بر روی داده های ضبط شده کار می کند، که دقیقاً چگونه از فیلترهای غیر علت در پردازش سیگنال آفلاین استفاده می شود. مثال 6 کار شده یک را می سازد.

بازیابی \(x(t)\) از \(X(s)\)، در اصل، یک انتگرال کانتور است. استدلال بخش 17-2 را خنثی کنید: \(X(\sigma+j\omega)\) تبدیل فوریه \(x(t)e^{-\sigma t}\) است، بنابراین تبدیل فوریه را معکوس کنید و ضریب واپاشی را دوباره ضرب کنید.

خط عمودی انتگرال‌گیری باید در داخل ROC قرار گیرد - این تنها جایی است که \(X\) تعریف می‌شود - و اینجاست که ROC برای بار دوم حفظ می‌کند: خطوط مختلف مجاز سیگنال‌های متفاوتی می‌دهند، دقیقاً همانطور که بخش 17-6 وعده داده شده است. در عمل انتگرال کانتور تقریبا هرگز ارزیابی نمی شود. برای تبدیل های منطقی، کسرهای جزئی به اضافه جدول بخش 17-7 کار را در سه مرحله انجام می دهند.

سپس هر ترم را جداگانه معکوس کنید، و در اینجا مرحله ای است که دانش آموزان از آن عبور می کنند: ROC هر ترم را جداگانه تصمیم می گیرد. قطب \(p_i\) را با ROC مقایسه کنید. اگر ROC در سمت راست \(p_i\) قرار داشته باشد، آن عبارت سمت راست است و به \(A_i e^{p_i t}u(t)\) کمک می کند. اگر ROC در سمت چپ \(p_i\) قرار داشته باشد، این عبارت سمت چپ است و \(-A_i e^{p_i t}u(-t)\) را شامل می شود. بنابراین یک تبدیل منفرد می‌تواند سیگنالی با قطعاتی در هر دو طرف مبدا تولید کند، یکی در هر قطب، و Worked Example 2 دقیقاً این کار را انجام می‌دهد.

دو یادداشت خانه داری اگر درجه صورت مساوی یا بیشتر از درجه مخرج است، ابتدا تقسیم کنید. از \(1 \leftrightarrow \delta(t)\) و \(s \leftrightarrow \delta'(t)\)، ضریب ضربه ها و مشتقات آنها را به همراه دارد. و قطب های مختلط به جفت های مزدوج می رسند که ضرایب آنها نیز مزدوج است، بنابراین این جفت بهتر است به جای معکوس شدن جداگانه، در ورودی های سینوسی میرا شده جدول دوباره ترکیب شود.

مسائل 1 تا 3 محاسبات مستقیم از تعریف هستند. 4 تا 6 ROC را روشن کنید. 7 و 8 تبدیل را به رفتار سیستم متصل می کنند. در هر پاسخ، منطقه را بیان کنید - یک عبارت به تنهایی هیچ علامتی کسب نمی کند و مهمتر از آن، هیچ سیگنالی را شناسایی نمی کند.