پردازش زمان‌گسسته سیگنال‌های زمان‌پیوسته

چیزی که یاد خواهید گرفت

چگونه مبدل های C/D و D/C به عنوان بلوک های ایده آل تعریف می شوند و دو رابطه دامنه فرکانس که آنها را توصیف می کنند.
نتیجه اصلی فصل: یک ورودی باند محدود، کل زنجیره را به یک سیستم LTI واحد با \(H_{\text{eff}}(j\omega) = H(e^{j\omega T})\) برای \(|\omega| \lt \pi/T\) تبدیل می کند - و چرا عامل \(T\) لغو می شود.
چرا آن هم ارزی در لحظه ای که همخوانی رخ می دهد فرو می ریزد: این زنجیره از زمان ثابت نمی ماند و یک صدای 7 کیلوهرتز می تواند در 1 کیلوهرتز بیرون بیاید.
نحوه تبدیل مشخصات بین راد/ثانیه، هرتز و راد/نمونه و اینکه چرا ضرایب فیلتر یکسان، فیلتر آنالوگ متفاوتی را در هر نرخ نمونه‌برداری می‌سازد.
دو سیستمی که فقط به دلیل این هم ارزی وجود دارند: ممشتق‌گیریکننده دیجیتال و تاخیر نمونه کسری.
Downsampling و Upsampling – کاری که هر کدام با طیف انجام می دهد، فیلتر ضد هم‌پوشانی طیفی که یکی نیاز دارد و فیلتر ضد تصویر دیگری به آن نیاز دارد.
تبدیل نرخ منطقی توسط \(L/M\)، و مبدل بیش از حد نمونه که فصل 21 وعده داده بود.

بخش 22-1

یک مسیر دیجیتالی بین دو نقطه آنالوگ

فصل 20 نشان داد که یک سیگنال باند محدود وقتی به لیستی از اعداد کاهش می یابد چیزی از دست نمی دهد، و فصل 21 نشان داد که چگونه شکل موج دوباره کنار هم قرار می گیرد. در مجموع آنها یک سفر رفت و برگشت را توصیف می کنند که دقیقاً به هیچ چیز نمی رسد: یک سیگنال وارد می شود، همان سیگنال خارج می شود. نکته تمرین این است که در این بین چه اتفاقی می افتد.

بین نمونه‌بردار و بازسازی‌کننده، یک محاسبات قرار دارد - یک دنباله در داخل، یک دنباله خارج، که توسط یک پردازنده انجام می‌شود. چیدمان آنقدر رایج است که ارزش آن را دارد که یک بار ترسیم شود و سپس به عنوان یک شی در نوع خود مطالعه شود. دنیای خارج از جعبه خط چین آنالوگ است: یک میکروفون، یک آنتن، یک فشار سنج در یک طرف، یک بلندگو یا یک محرک در طرف دیگر. درونش همه چیز حسابی است.

زنجیره ای که این فصل در مورد آن است - و پاسخ، از قبل بیان شده است

چرا به دردسر افتادن؟ زیرا در داخل جعبه محدودیت های مهندسی ناپدید می شوند. ضرایب یک فیلتر دیجیتال اعداد دقیق هستند. آنها با دما تغییر نمی کنند، تحمل 5٪ ندارند و پیر نمی شوند. یک پاسخ را می توان دقیقاً به صورت خطی در فاز ایجاد کرد که هیچ شبکه آنالوگ محدودی نمی تواند به آن دست یابد. یک فیلتر را می توان با بازنویسی یک جدول تغییر داد، در حین اجرا آن را تطبیق داد، یا به طور کامل با یک الگوریتم متفاوت بین یک نمونه و نمونه بعدی جایگزین کرد. سیگنال‌ها را می‌توان ذخیره کرد، معکوس کرد، با مقدار دلخواه و بدون خط تأخیر به تأخیر انداخت، و توسط عملیات‌هایی - فیلتر میانه، مرتب‌سازی، منطق تصمیم‌گیری - که اصلاً مدار آنالوگ ندارند پردازش کرد.

قیمت دو مبدل است و کل مطالب این فصل حسابداری آن قیمت است. باید به دو سوال پاسخ داد. اول، با توجه به سیستم زمان‌گسسته \(H(e^{j\Omega})\) که برنامه ریزی شده است، واقعاً چه سیستم زمان‌پیوسته ساخته شده است؟ دوم، از آنجایی که نرخ نمونه‌برداری در حال حاضر یک متغیر طراحی است و نه یک واقعیت طبیعی، چگونه فرد آن را تغییر می‌دهد - و وقتی این کار را انجام می‌دهد چه چیزی از دست می‌رود؟

تغییر واحد پول، نه تغییر ماهیت. فصل 20 با مشاهده این نکته به پایان رسید که متغیر فرکانس زمان‌گسسته چیزی نیست جز متغیر زمان‌پیوسته که در واحدهای نرخ نمونه‌برداری اندازه‌گیری می‌شود: \(\Omega = \omega T\). همه چیز در نیمه اول این فصل نتیجه همان جمله واحد است. محور فرکانس به ارز دیگری نقل‌قول می‌شود و نرخ ارز \(T\) است.

بخش 22-2

دو مبدل

قبل از اینکه بتوان چیزی در مورد آبشار ثابت کرد، هر دو مبدل باید دقیقاً تعریف شوند. مبدل پیوسته به گسسته که C/D نوشته شده است، ساده ترین شی در موضوع است: توالی مقادیر نمونه را تولید می کند.

مبدل C/D ایده آل

\[ x[n] \;=\; x_c(nT), \qquad n \in \mathbb{Z} \]

شایان ذکر است که تفاوت آن با نمونه‌بردار قطار ضربه‌ای فصل 20 چگونه است. در آنجا، \(x_p(t) = \sum_n x_c(nT)\delta(t-nT)\) یک سیگنال زمان‌پیوسته بود که ضربه‌هایی با وزن‌های مناسب را حمل می‌کرد - وسیله‌ای که صرفاً اختراع شد تا تبدیل فوریه را بتوان روی آن اعمال کرد. این چیزی نیست که مبدل بسازد. آنچه یک مبدل ارائه می‌کند، فهرستی از اعداد است که توسط \(n\) فهرست‌بندی شده‌اند، بدون واحد زمان متصل شده و هیچ حافظه‌ای از نرخی که با آن گرفته شده است. قطار ضربه ای داربست بود. دنباله ساختمان است.

با این وجود، فصل 20 رابطه فرکانس-حوزه بین دو جهان را به شکل نهایی باقی گذاشت و در اینجا تکرار می شود زیرا همه چیز زیر بر آن استوار است.

کاری که C/D با طیف انجام می دهد

\[ X\!\left(e^{j\Omega}\right) \;=\; \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X_c\!\left(j\,\frac{\Omega - 2\pi k}{T}\right) \]

مبدل گسسته به پیوسته، D/C، بازسازی‌کننده ایده‌آل فصل 21 است: هر نمونه یک پالس سینک را گذاشته و آنها را جمع می‌کند. هیچ چیز دیگری انجام نخواهد شد، زیرا فقط درونیابی باند محدود عمل نمونه‌برداری را دقیقاً معکوس می کند.

مبدل D/C ایده آل

\[ y_c(t) \;=\; \sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n]\,\frac{\sin\!\big(\pi (t-nT)/T\big)}{\pi (t-nT)/T} \]

شرح دامنه فرکانس آن در یک خط آمده است. پالس درون یابی \(\sin(\pi t/T)/(\pi t/T)\) پاسخ ضربه یک فیلتر پایین گذر ایده آل از قطع \(\pi/T\) و افزایش باند عبور \(T\) است. تغییر آن به \(t = nT\) تبدیل آن را در \(e^{-j\omega nT}\) ضرب می کند. جمع کردن \(n\) با وزن \(y[n]\) بنابراین

کاری که D/C با طیف انجام می دهد

\[ Y_c(j\omega) \;=\; T\!\!\sum_{n=-\infty}^{\infty}\!\! y[n]\,e^{-j\omega n T}\;\Big|_{|\omega| \lt \pi/T} \;=\; \begin{cases} T\,Y\!\left(e^{j\omega T}\right), & |\omega| \lt \pi/T \\ 0, & |\omega| \ge \pi/T \end{cases} \]

دو رابطه کادر را در کنار هم بخوانید. C/D یک طیف می گیرد، محور آن را با \(1/T\) گسترش می دهد، هر \(2\pi\) آن را تکرار می کند و بر \(T\) تقسیم می کند. D/C یک دوره از یک طیف را می گیرد، محور را با \(T\) فشرده می کند، همه چیز خارج از \((-\pi/T, \pi/T)\) را دور می اندازد و در \(T\) ضرب می کند. هر زمان که رونوشت‌های عملیات اول با هم همپوشانی نداشته باشند، آنها معکوس یکدیگر هستند - که قضیه نمونه‌برداری است که یک بار دیگر دیده می‌شود.

🔑

D/C و به دنبال آن C/D هویت است

\[ \text{C/D}\big\{\text{D/C}\{y[n]\}\big\} \;=\; y[n] \quad\text{always}; \qquad \text{D/C}\big\{\text{C/D}\{x_c(t)\}\big\} \;=\; x_c(t) \ \text{ only if } X_c(j\omega)=0 \text{ for } |\omega|\ge \pi/T \]

دستور مهمه بازسازی یک دنباله و نمونه‌برداری مجدد از آن با همان سرعت، همیشه دنباله اصلی را برمی‌گرداند، زیرا پالس سینک در هر لحظه نمونه به غیر از خودش، صفر است. نمونه‌برداری از یک شکل موج و بازسازی آن، تنها زمانی شکل موج اصلی را برمی‌گرداند که در ابتدا باند محدود بود.

بخش 22-3

سیستم زمان‌پیوسته موثر

حالا زنجیر را جمع کنید. فرض کنید - و این فرضیه کل داستان است - که ورودی باند محدود است به طوری که \(X_c(j\omega) = 0\) برای \(|\omega| \ge \pi/T\). سپس در دوره پایه \(|\Omega| \le \pi\) فقط عبارت \(k=0\) از مجموع تکرار باقی می ماند و رابطه C/D به یک عبارت تمیز فرو می ریزد:

مرحله 1 - بدون هم‌پوشانی طیفی به معنای یک ماکت است

\[ X\!\left(e^{j\Omega}\right) \;=\; \frac{1}{T}\,X_c\!\left(j\,\frac{\Omega}{T}\right), \qquad |\Omega| \le \pi \]

سپس سیستم زمان‌گسسته در پاسخ فرکانسی آن ضرب می‌شود، که مشروع است زیرا \(x[n]\) از یک سیستم LTI عبور می‌کند و فصل 16 نشان می‌دهد که ضرب DTFTها کاری است که چنین سیستمی انجام می‌دهد:

مرحله 2 - فیلتر دیجیتال عمل می کند

\[ Y\!\left(e^{j\Omega}\right) \;=\; H\!\left(e^{j\Omega}\right) X\!\left(e^{j\Omega}\right) \;=\; \frac{1}{T}\,H\!\left(e^{j\Omega}\right) X_c\!\left(j\,\frac{\Omega}{T}\right) \]

در نهایت، رابطه D/C به عقب تبدیل می‌شود، طیف دنباله را در \(\Omega = \omega T\) ارزیابی می‌کند و در \(T\) ضرب می‌کند. برای \(|\omega| \lt \pi/T\)،

مرحله 3 - بازسازی، و تماشای لغو \(T\)

\[ Y_c(j\omega) \;=\; T\,Y\!\left(e^{j\omega T}\right) \;=\; T\cdot\frac{1}{T}\,H\!\left(e^{j\omega T}\right) X_c(j\omega) \;=\; H\!\left(e^{j\omega T}\right) X_c(j\omega) \]

طیف خروجی، طیف ورودی ضرب در تابع ثابت \(\omega\) است. این دقیقاً امضای یک سیستم LTI زمان‌پیوسته است و عملکرد پاسخ فرکانسی آن است.

🔑

پاسخ فرکانسی موثر

\[ H_{\text{eff}}(j\omega) \;=\; \begin{cases} H\!\left(e^{j\omega T}\right), & |\omega| \lt \pi/T \\ 0, & |\omega| \ge \pi/T \end{cases} \]

زمانی معتبر است که ورودی به \(|\omega| \lt \pi/T\) باند محدود شود. پاسخ فیلتر دیجیتال که بر روی یک محور کشیده شده توسط ضریب \(1/T\) خوانده می شود و در فرکانس Nyquist کوتاه شده است، سیستم آنالوگ ساخته شده است.

سه ویژگی این نتیجه شایسته توجه جداگانه است.

اولین مورد لغو \(T\) است. مبدل C/D یک فاکتور \(1/T\) و مبدل D/C یک فاکتور \(T\) معرفی کرد و یکدیگر را نابود می کنند. بنابراین، سود سیستم مؤثر، سود فیلتر دیجیتال است، بدون تغییر، به هر میزان. فقط محور فرکانس به \(T\) بستگی دارد. این یک راحتی واقعی است: یک فیلتر دیجیتال با افزایش یکپارچگی، یک سیستم آنالوگ یکپارچه را ایجاد می کند، چه در فرکانس 8 کیلوهرتز یا 8 مگاهرتز کار کند.

مورد دوم کوتاهی در \(\pi/T\) است. هر کاری که فیلتر دیجیتال انجام می دهد، \(H_{\text{eff}}\) به طور یکسان صفر بالاتر از فرکانس Nyquist است، زیرا پایین گذر نهایی مبدل D/C هر چیز دیگری را ممنوع می کند. هیچ سیستمی با این شکل نمی تواند یک جزء خروجی بالاتر از \(f_s/2\) تولید کند - بنابراین زنجیره ای از این نوع نمی تواند هارمونیک تولید کند، نمی تواند تبدیل به بالا کند و نمی تواند پهنای باند تولید کند. اگر این همان چیزی است که مورد نظر است، ابتدا باید نرخ را افزایش داد، که بخش 22-8 برای آن است.

سومین دوره تناوب است که بی سر و صدا از بین رفته است. \(H(e^{j\Omega})\) \(2\pi\)-ادواری است و همیشه خواهد بود. \(H_{\text{eff}}(j\omega)\) به هیچ وجه دوره ای نیست، زیرا فقط یک دوره از آن استفاده می شود. پنجره کوتاه سازی \(|\omega| \lt \pi/T\) یک دوره را انتخاب می کند و بقیه را کنار می گذارد.

یک دوره از طیف توالی کل طیف آنالوگ است، بر روی یک محور کشیده

چه چیزی بدون محدودیت باند می شکند. هر خط از اشتقاق از فرضیه \(X_c(j\omega)=0\) برای \(|\omega|\ge\pi/T\) استفاده می کند، و بدون آن زنجیره به هیچ وجه یک سیستم LTI نیست. خطی باقی می‌ماند - مقیاس‌گذاری و اضافه کردن ورودی‌ها همچنان مقیاس و خروجی‌ها را اضافه می‌کند - اما دیگر تغییرناپذیر با زمان نیست، زیرا تأخیر در ورودی با کسری از دوره نمونه‌برداری، نقاطی از شکل موج را که نمونه‌گر جذب می‌کند تغییر می‌دهد. بنابراین یک سینوسی می تواند با فرکانس کاملاً متفاوتی ظاهر شود، که هیچ سیستم LTI ممکن است این کار را انجام دهد. مثال کار شده 2 دقیقاً همین را نشان می دهد.

بخش 22-4

خواندن نقشه فرکانس

با ایجاد معادل، بیشتر کارهای عملی به روانی در تبدیل فرکانس بین سه ارز در گردش کاهش می یابد. جهان زمان‌پیوسته \(\omega\) را بر حسب رادیان در ثانیه یا \(f\) را بر حسب هرتز نقل می کند. جهان زمان‌گسسته \(\Omega\) را بر حسب رادیان در هر نمونه یا گاهی اوقات فرکانس نرمال شده \(f/f_s\) را بر حسب سیکل در هر نمونه نشان می دهد. هر چهار نفر یک تعداد با لباس های متفاوت هستند.

نرخ های ارز

\[ \Omega \;=\; \omega T \;=\; \frac{2\pi f}{f_s}, \qquad f \;=\; \frac{\Omega}{2\pi}\,f_s, \qquad \Omega = \pi \ \Longleftrightarrow\ f = \frac{f_s}{2} \]

زمان‌گسسته \(\Omega\)	عادی \(f/f_s\)	در \(f_s = 8\) کیلوهرتز	در \(f_s = 44.1\) کیلوهرتز	معنی
\(0\)	\(0\)	0 هرتز	0 هرتز	دی سی
\(0.1\pi\)	\(0.05\)	400 هرتز	2205 هرتز	فرکانس پایین
\(0.5\pi\)	\(0.25\)	2000 هرتز	11025 هرتز	نرخ یک چهارم
\(\pi\)	\(0.5\)	4000 هرتز	22050 هرتز	Nyquist - سریعترین قابل نمایش
\(2\pi\)	\(1\)	8000 هرتز	44100 هرتز	خود نرخ نمونه‌برداری؛ هم‌پوشانی طیفی DC

آخرین ردیف آن جدول، ردیفی است که دانش‌آموزان آن را ناراحت می‌کنند و ارزش آن را دارد که به صراحت بیان کنیم: یک جزء دقیقاً در فرکانس نمونه‌برداری از یک ثابت قابل تشخیص نیست، زیرا هر بار در همان نقطه از چرخه‌اش نمونه‌برداری می‌شود. هیچ چیز آسیب شناسی در اینجا وجود ندارد - این تناوب \(2\pi\) فصل 3 است که به واحدهای فیزیکی می رسد.

نتیجه طراحی این است که ضرایب یکسان در هر نرخ فیلتر متفاوتی هستند. یک گذر پایین که بر روی \(\Omega_c = 0.2\pi\) برنامه ریزی شده است، در یک کدک تلفنی با فرکانس 8 کیلوهرتز با فرکانس 800 هرتز و در پخش کننده صوتی با فرکانس 44.1 کیلوهرتز با فرکانس 4410 هرتز قطع می شود - ضرب های یکسان، اضافات یکسان، رفتار فیزیکی کاملا متفاوت. یک فیلتر دیجیتال در فرکانس نرمال شده مشخص می شود و تنها زمانی تبدیل به یک شی فیزیکی می شود که یک ساعت به آن متصل شود.

این هر دو طرف را کاهش می دهد، و به طرز دلپذیری. برای برآورده کردن مشخصات آنالوگ، مشخصات را به \(\Omega\) تبدیل کنید، یک بار طراحی کنید، و سپس طرح به سادگی با تغییر مقیاس ساعت قابل استفاده مجدد است. کل کتابخانه فیلتر را می توان با فرکانس نرمال شده نوشت و در محصولاتی که نرخ نمونه‌برداری آنها سه مرتبه متفاوت است، مستقر شد.

احتیاط در مورد دو نایکیست. نرخ Nyquist ویژگی یک سیگنال است - دو برابر بالاترین فرکانس آن - در حالی که فرکانس Nyquist ویژگی یک مبدل است - نیمی از نرخ نمونه‌برداری آن. فصل 20 آنها را از هم جدا نگه داشت و شما هم همینطور: یک سیگنال بالاتر از نرخ Nyquist نمونه‌برداری می شود و یک فیلتر زیر فرکانس Nyquist قطع می شود.

بخش 22-5

ممشتق‌گیری کننده ها و تاخیرهای کسری

معادل سازی تنها ابزاری برای تحلیل نیست. به عقب بخوانید، این یک روش طراحی است: سیستم آنالوگ مورد نظر خود را نام ببرید، پاسخ فرکانسی آن را روی \(|\Omega| \lt \pi\) ترسیم کنید و فیلتر زمان‌گسسته می افتد. دو مورد کلاسیک نشان می‌دهند که این چه چیزی را می‌خرد، و هر دو سیستم‌هایی تولید می‌کنند که ساختن آن‌ها با اجزای سخت یا غیرممکن است.

با ممشتق‌گیری کننده شروع کنید. پاسخ مؤثر مورد نظر \(H_{\text{eff}}(j\omega) = j\omega\) در کل باند قابل نمایش است. جایگزینی \(\omega = \Omega/T\) فیلتر دیجیتال را بلافاصله می دهد.

مشتق‌گیری باند محدود

\[ H_{\text{eff}}(j\omega) = j\omega, \ |\omega| \lt \frac{\pi}{T} \qquad\Longrightarrow\qquad H\!\left(e^{j\Omega}\right) = \frac{j\Omega}{T}, \quad |\Omega| \lt \pi \]

پاسخ ضربه آن از DTFT معکوس فصل 16 می آید. از آنجا که \(j\Omega\) عجیب و کاملاً خیالی است، انتگرال به طور منظم تقسیم می شود:

معکوس کردن پاسخ

\[ h[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{j\Omega}{T}e^{j\Omega n}\,d\Omega = \frac{j}{2\pi T}\cdot 2j\!\int_{0}^{\pi}\!\Omega\sin(\Omega n)\,d\Omega = \frac{-1}{\pi T}\left[\frac{-\pi\cos \pi n}{n} + \frac{\sin \pi n}{n^{2}}\right] \]

برای عدد صحیح \(n\) عبارت دوم ناپدید می‌شود و \(\cos\pi n = (-1)^n\)، دنباله‌ای بسیار ساده باقی می‌ماند.

🔑

مشتق‌گیری زمان‌گسسته ایده آل

\[ h[n] \;=\; \frac{(-1)^{n}}{nT}\ \ (n \ne 0), \qquad h[0] = 0 \]

متقارن متقارن، در هر دو جهت نامتناهی و فقط به صورت \(1/n\) در حال فروپاشی است. یک مشتق‌گیری عملی، این پاسخ است که به چند ده ضربه پنجره می زند و به علت تغییر آن تغییر می کند - که یک تاخیر محض اضافه می کند اما بزرگی را دست نخورده باقی می گذارد.

آن را با اولین تفاوت ساده \(y[n] = (x[n]-x[n-1])/T\)، که پاسخ آن \(\big(1-e^{-j\Omega}\big)/T\) است، با بزرگی \(2\sin(\Omega/2)/T\) مقایسه کنید. در فرکانس‌های پایین \(2\sin(\Omega/2) \approx \Omega\) و این دو موافق هستند، اما در \(\Omega = \pi\) ممشتق‌گیریکننده واقعی \(\pi/T\) بهره می‌برد در حالی که تفاوت اول فقط \(2/T\) دارد - خطای 36%. اولین تفاوت فقط در بخش پایین باند یک ممشتق‌گیری کننده است.

مورد دوم غریب تر و مفیدتر است. تاخیر دوره‌های نمونه‌برداری \(\Delta\) را در نظر بگیرید، جایی که \(\Delta\) نیازی به یک عدد صحیح نیست. سیستم آنالوگ مورد نظر \(H_{\text{eff}}(j\omega) = e^{-j\omega\Delta T}\) است، بنابراین \(H(e^{j\Omega}) = e^{-j\Omega\Delta}\)، و پاسخ ضربه یک سینک تغییر یافته است.

تأخیر نمونه کسری

\[ h[n] \;=\; \frac{\sin\big(\pi(n-\Delta)\big)}{\pi(n-\Delta)} \qquad\Longrightarrow\qquad \Delta \in \mathbb{Z}: \ h[n]=\delta[n-\Delta]; \qquad \Delta = \tfrac12: \ h[n] = \frac{2(-1)^{n+1}}{\pi(2n-1)} \]

وقتی \(\Delta\) یک عدد صحیح است، صفرهای sinc روی هر نمونه به جز یک نمونه قرار می‌گیرند و فیلتر به یک شیفت تبدیل می‌شود، همانطور که باید. وقتی \(\Delta\) کسری است، چنین فروپاشی رخ نمی‌دهد و پاسخ بی‌نهایت و غیرعلتی است - زیرا «تأخیر نصف نمونه» بیانیه‌ای درباره شکل موج پیوسته زیربنایی است، نه درباره فهرست اعداد. هیچ موقعیت نیمه راه بین دو ورودی از یک آرایه وجود ندارد. یک موقعیت نیمه راه کاملاً مشخص در منحنی باند محدود وجود دارد که آن ورودی ها تعریف می کنند و فیلتر sinc آن را محاسبه می کند. تأخیرهای کسری از این نوع عبارتند از اینکه چگونه یک پرتوساز یک آرایه را هدایت می کند، چگونه یک ایستگاه کاری صوتی دیجیتال دو آهنگ ضبط شده را با فاصله کمی متفاوت تراز می کند و چگونه یک حلقه بازیابی زمان، لحظه نمونه‌برداری گیرنده را به حرکت در می آورد.

درون یابی یک فیلتر است. فیلتر تاخیر کسری در واقع فرمول درون یابی سینک فصل 21 است که به جای یک پیوستار در یک نقطه ارزیابی شده است. این یک راه مفید برای به خاطر سپردن آن است: هر طرح درون یابی - سینک، خطی، مکعبی، نگه داشتن - یک فیلتر است و کیفیت آن بر اساس میزان نزدیکی پاسخ فرکانسی آن به \(e^{-j\Omega\Delta}\) در باند مورد نظر شما ارزیابی می شود.

بخش 22-6

مشکل آینه

مبدل ها را می توان برعکس مرتب کرد: یک دنباله در، D/C برای ایجاد یک شکل موج، یک سیستم آنالوگ، سپس C/D برای ایجاد مجدد یک دنباله. این چیدمان به ندرت ساخته می‌شود - هیچ‌کس برای فیلتر کردن به آنالوگ تبدیل نمی‌شود و دوباره تبدیل می‌شود - اما از نظر تحلیلی ارزشمند است، زیرا این گونه است که معنای عبارت «سیستم زمان‌پیوسته معادل این فیلتر دیجیتال» را می‌دهد، و این دقیق‌ترین مشتق از نتیجه تأخیر کسری است که به تازگی نقل‌شده است.

جبر در همان سه مرحله با نقش های رد و بدل شده اجرا می شود. خروجی D/C با ساخت به \(|\omega| \lt \pi/T\) محدود می‌شود، بنابراین C/D نهایی هرگز نمی‌تواند مستعار باشد، و این بار هیچ فرضیه‌ای لازم نیست - معادل بدون قید و شرط است.

گسسته → پیوسته → گسسته

\[ X_c(j\omega) = T\,X\!\left(e^{j\omega T}\right), \qquad Y_c(j\omega) = H_c(j\omega)X_c(j\omega), \qquad Y\!\left(e^{j\Omega}\right) = \frac{1}{T}Y_c\!\left(j\tfrac{\Omega}{T}\right) \]

🔑

سیستم زمان‌گسسته معادل

\[ H\!\left(e^{j\Omega}\right) \;=\; H_c\!\left(j\,\frac{\Omega}{T}\right), \qquad |\Omega| \lt \pi \]

فقط از مقادیر \(H_c\) زیر فرکانس Nyquist استفاده می شود. هر کاری که نمونه اولیه آنالوگ در بالای \(\pi/T\) انجام دهد بی ربط است، زیرا هیچ سیگنالی در زنجیره در آنجا انرژی ندارد.

تنظیم \(H_c(j\omega) = e^{-j\omega \Delta T}\) تاخیر کسری را در یک خط بازتولید می کند. تنظیم \(H_c(j\omega) = j\omega\) دیفرانسیل را بازتولید می کند. این ساختار یک تعریف ساز است: هر عملیات آنالوگ که پاسخ آن مشخص است می تواند با خواندن آن در محور فشرده \(\omega = \Omega/T\) به حوزه گسسته منتقل شود.

یک مشکل وجود دارد و دلیل آن این است که این روش استاندارد طراحی فیلتر نیست. نمونه های اولیه آنالوگ واقعی - یک گذرگاه باترورث، یک گذر باند چبیشف - محدود به باند نیستند. آنها پاسخ غیر صفر بالاتر از \(\pi/T\) دارند، و دستور العمل بالا به سادگی آن را نادیده می گیرد، که همان قرار دادن یک فیلتر دیوار آجری است که نمونه اولیه نداشت. دو تعمیر رایج است. تغییر ناپذیری ضربه، \(h[n] = T\,h_c(nT)\) را تنظیم می‌کند، پاسخ ضربه نمونه اولیه را نمونه‌برداری می‌کند، و در نتیجه دم نمونه اولیه را به باند باز می‌گرداند - قابل قبول برای طرح‌های گذر پایین با رول کردن سریع، بی‌فایده برای بالا‌گذر. در عوض تبدیل دوخطی جایگزین \(s = \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\) می شود که کل محور \(j\omega\) را دقیقاً یک بار بر روی دایره واحد ترسیم می کند و بنابراین اصلاً نمی تواند هم‌پوشانی طیفی داشته باشد، به قیمت تاب برداشتن محور فرکانس به صورت غیرخطی. هر دو متعلق به دوره طراحی فیلتر هستند. ماشین آلاتی که بر روی آنها قرار دارند - نقشه برداری بین هواپیمای \(s\) و هواپیمای \(z\) - در فصل 23 ساخته شده است.

بخش 22-7

نمونه‌برداری و حذف

هنگامی که یک سیگنال یک دنباله است، نرخ نمونه‌برداری آن به چیزی تبدیل می شود که یک برنامه می تواند تغییر دهد. دو عملیات ابتدایی عبارتند از برداشتن نمونه ها و درج آنها، و هر یک اثر مشخصی بر روی طیف دارد که قبل از استفاده ایمن از هر کدام باید درک شود.

کاهش نمونه توسط یک ضریب عدد صحیح \(M\) هر نمونه \(M\)th را نگه می‌دارد و بقیه را دور می‌اندازد.

نمونه‌برداری پایین (کمپرسور)

\[ x_d[n] \;=\; x[nM] \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{sampling } x_c(t) \text{ at period } MT \text{ instead of } T \]

از آنجایی که نتیجه آن چیزی است که یک مبدل کندتر تولید می‌کرد، از قبل می‌دانید که باید چه انتظاری داشته باشد: کپی‌های هر \(2\pi\) در متغیر جدید، کپی هر \(2\pi/M\) در متغیر قدیمی هستند، بنابراین خطر همپوشانی \(M\) بار بیشتر است. اشتقاق این را دقیق می کند و ترفند رسیدن به پاسخ بدون خروج از حوزه گسسته است. یک دنباله میانی \(x_p[n]\) را تعریف کنید که نمونه های باقی مانده را در جای خود نگه می دارد و بقیه را صفر می کند.

نمونه‌برداری از یک دنباله با یک شانه

\[ x_p[n] = x[n]\,p[n], \qquad p[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kM] = \frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1} e^{\,j2\pi k n/M} \]

شکل دوم شانه مجموع هندسی محدود است: برای \(n\) مضرب \(M\) هر جمله 1 و میانگین 1 است، در حالی که در غیر این صورت بردارهای واحد \(M\) به طور مساوی در اطراف دایره قرار می گیرند و لغو می شوند. ضرب در \(e^{j2\pi kn/M}\) یک DTFT را در \(2\pi k/M\) تغییر می دهد، بنابراین

طیف توالی پر از صفر

\[ X_p\!\left(e^{j\Omega}\right) = \frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1} X\!\left(e^{\,j(\Omega - 2\pi k/M)}\right) \]

حذف صفرهای میانی یک نمایه سازی مجدد خالص است که محور فرکانس را با \(M\) گسترش می دهد: از زمانی که \(x_d[n] = x_p[nM]\) و هر نمونه غیر صفر از \(x_p\) باقی می ماند، \(X_d(e^{j\Omega}) = X_p(e^{j\Omega/M})\). تعویض نتیجه می دهد.

🔑

طیف یک دنباله نمونه‌برداری شده

\[ X_d\!\left(e^{j\Omega}\right) \;=\; \frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1} X\!\left(e^{\,j(\Omega - 2\pi k)/M}\right) \]

طیف اصلی توسط \(M\) گسترش می‌یابد، با \(1/M\) مقیاس‌بندی می‌شود و با کپی‌های تغییر یافته \(M-1\) روی هم قرار می‌گیرد. اگر \(X(e^{j\Omega}) = 0\) برای \(\pi/M \le |\Omega| \le \pi\)، کپی ها با هم همپوشانی ندارند و چیزی از بین نمی رود.

کاهش نمونه با 2 - عملیات مشابه، دو نتیجه، تعیین شده توسط محدودیت باند

راه حل همان فصل 21 است که برای نمونه‌بردار آنالوگ تجویز شده است: ابتدا فیلتر کنید. پایین‌گذر دیجیتالی قطع \(\pi/M\) که جلوتر از نمونه‌برگیر پایین قرار می‌گیرد، به قیمت دور انداختن عمدی باند از \(\pi/M\) به \(\pi\)، شرایط را تضمین می‌کند. آبشار آن فیلتر با نمونه‌بردار پایین‌آور، decimator نامیده می‌شود، و کلمه "decimation" در ادبیات همیشه به معنای فیلتر است. نمونه‌بردار لخت بدون فیلتر، دعوت‌کننده‌ای به aliasing است.

بحث کارایی شایان ذکر است. محاسبه یک مقدار فیلتر شده در هر نمونه ورودی و سپس پرتاب کردن، بیهوده به نظر می رسد\(M-1\)از هر\(M\)دور، و این است: یک پیاده سازی چند فازی تنها خروجی هایی را محاسبه می کند که نگه داشته می شوند، تقسیم حساب بر\(M\)بدون هیچ تغییری در نتیجه این سازماندهی مجدد در طراحی چند نرخی استاندارد است و بر چیزی جز نوشتن مجموع کانولوشن با مدول های گروه بندی شاخص های آن نیست.\(M\).

بخش 22-8

نمونه‌برداری و درون یابی

عمل مخالف صفرهای \(L-1\) را بین نمونه های متوالی وارد می کند. نتیجه، دنباله‌ای در \(L\) برابر نرخی است که اطلاعات یکسانی را حمل می‌کند، و - مهمتر از همه - دنباله‌ای است که برای توصیف طیف آن نیازی به تقریبی نیست.

نمونه‌بردار (بسط دهنده)

\[ x_e[n] = \begin{cases} x[n/L], & n = 0, \pm L, \pm 2L, \dots \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad X_e\!\left(e^{j\Omega}\right) = \sum_{m}x[m]e^{-j\Omega L m} = X\!\left(e^{j\Omega L}\right) \]

اشتقاق یک جایگزین است: فقط شاخص‌های \(n = mL\) به مجموع تبدیل کمک می‌کنند و \(e^{-j\Omega n}\) تبدیل به \(e^{-j\Omega Lm}\) می‌شود. هیچ هم‌پوشانی طیفی نمی‌تواند رخ دهد و هیچ اطلاعاتی نمی‌تواند از بین برود، زیرا هیچ چیز دور ریخته نشده است - واقعیتی که باعث می‌شود نمونه‌برداری نیمه مطمئن تبدیل نرخ باشد.

در عوض آنچه اتفاق افتاده است این است که محور فرکانس توسط \(L\) فشرده شده است. طیفی که \((-\pi, \pi)\) را اشغال می‌کرد، اکنون \((-\pi/L, \pi/L)\) را اشغال می‌کند و تکرارهای دوره‌ای \(2\pi\) که قبلاً خارج از این بازه قرار می‌گرفتند به داخل آن کشیده شده‌اند. اکنون نسخه‌های ناخواسته \(L-1\) - تصاویر - در یک دوره زمانی وجود دارد، و دقیقاً همان چیزی است که سکانس صفر پر شده را به نظر می‌رساند: پلکان صفرها آشغال‌هایی با فرکانس بالا هستند.

🔑

کمپرس نمونه‌برداری; درون یابی پاک می کند

\[ X_e\!\left(e^{j\Omega}\right) = X\!\left(e^{j\Omega L}\right), \qquad H_{\text{int}}\!\left(e^{j\Omega}\right) = \begin{cases} L, & |\Omega| \lt \pi/L\\ 0, & \pi/L \le |\Omega| \le \pi\end{cases} \]

انبساط دهنده به دنبال این گذرگاه درون یابی نامیده می شود. بهره باند عبور باید \(L\) باشد، نه 1، زیرا فیلتر باید صفرهای درج شده را پر کند نه اینکه صرفاً آنچه را که وجود دارد عبور دهد.

سود \(L\) بدون توسل به استدلال های انرژی به راحتی قابل توجیه است. پاسخ ضربه فیلتر رد تصویر ایده آل \(h[n] = \sin(\pi n/L)/(\pi n/L)\) است، یک سینک کشیده شده توسط \(L\)، که مقدار آن در \(n=0\) دقیقا 1 است و در هر مضرب دیگر \(L\) صفر است. در هم تنیدگی \(x_e\) با آن، نمونه های اصلی را در موقعیت های \(n = mL\) دست نخورده باقی می گذارد و شکاف ها را با منحنی باند محدود از طریق آنها پر می کند. DTFT آن دنباله \(L\) در باند عبور است - بنابراین بهره یک نرمال سازی نیست که برای راحتی انتخاب شده است، بلکه مقداری است که باعث می شود \(x_i[mL] = x[m]\) دقیقاً حفظ شود.

افزایش نمونه به 2 - گسترش دهنده فضا ایجاد می کند، فیلتر تصمیم می گیرد چه چیزی در آن باشد

درون‌یابی‌های ارزان‌تر، سینک ایده‌آل را با چیزی کوتاه جایگزین می‌کنند. نگه داشتن هر نمونه برای لحظه های خروجی \(L\)، نگه داشتن مرتبه صفر گسسته است، \(h[n] = 1\) برای \(0 \le n \le L-1\). پیوستن نمونه ها توسط خطوط مستقیم، هسته مثلثی \(h[n] = 1 - |n|/L\) برای \(|n| \le L\) است، که دوقلو گسسته درون یاب خطی آنالوگ است. هر دو رد کننده تصویر ضعیفی هستند - تجزیه و تحلیل افتادگی فصل 21 کلمه به کلمه اعمال می شود، زیرا مثلث کانولوشن دو مستطیل است و به همین ترتیب پاسخ \(\operatorname{sinc}^2\) دارد - اما هر دو آنقدر ارزان هستند که دائماً در گرافیک و تغییرات نرخ درشت استفاده می شوند.

بخش 22-9

تغییر نرخ منطقی و تبدیل بیش از حد نمونه

فاکتورهای عدد صحیح به ندرت آن چیزی است که تمرین ایجاب می کند. ضبط استودیویی با فرکانس 48 کیلوهرتز باید روی یک دیسک فشرده با فرکانس 44.1 کیلوهرتز صادر شود. یک کدک با فرکانس 8 کیلوهرتز باید سیستمی را که با فرکانس 16 کیلوهرتز کار می کند تغذیه کند. یک رادیو نرم‌افزاری باید بین هر نرخی که سخت‌افزار ارائه می‌کند و نرخی که دمدولاتور می‌خواهد حرکت کند. همه اینها نسبت‌های عقلانی هستند و هر نسبت عقلایی را می‌توان توسط یک درون‌یابی و به دنبال آن یک قیچی‌کننده محقق کرد.

تغییر نرخ توسط \(L/M\)

\[ \text{rate } \frac{1}{T} \ \longrightarrow\ \text{rate } \frac{L}{MT}: \qquad \uparrow L \ \longrightarrow\ \text{LPF, gain } L,\ \Omega_c = \min\!\left(\frac{\pi}{L},\frac{\pi}{M}\right) \ \longrightarrow\ \downarrow M \]

دو جزئیات این کار را انجام می دهد. اولین مورد این است که منبسط کننده باید قبل از کمپرسور بیاید. ابتدا پایین‌نمونه‌سازی اطلاعاتی را که نمونه‌برداری بعدی هرگز نمی‌تواند بازیابی کند، حذف می‌کند. نمونه‌برداری در ابتدا بدون ضرر است، بنابراین جفت به این ترتیب هر چیزی را که نرخ نهایی می‌تواند حمل کند حفظ می‌کند. دوم این است که دو فیلتری که به نظر می رسد آبشار به آن نیاز دارد - یک lowpass ضد تصویر در \(\pi/L\) و یک lowpass ضد هم‌پوشانی طیفی در \(\pi/M\) - با همان سرعت پشت هم قرار می گیرند و بنابراین در یکی ادغام می شوند که بریدگی آن محدودتر از این دو است.

نرخ متوسط می تواند هشدار دهنده باشد. تبدیل 44.1 کیلوهرتز به 48 کیلوهرتز به \(L/M = 48/44.1 = 480/441 = 160/147\) نیاز دارد، بنابراین سیگنال از نرخ اسمی \(160 \times 44.1 = 7.056\) مگاهرتز عبور می کند. هیچ چیز در واقع با آن سرعت محاسبه نمی شود: خروجی گسترش دهنده عمدتاً صفر است، ضرب فیلتر در آن صفرها نادیده گرفته می شود، و خروجی های حذف شده از decimator هرگز تشکیل نمی شوند. یک ساختار چند فازی کار را تقریباً به ارزش محاسباتی یک فیلتر در هر نمونه خروجی کاهش می‌دهد، که تنها دلیل معمولی بودن چنین تبدیل‌هایی است.

چرا اصلاً 44.1 و 48 وجود دارد. نسبت نامناسب یک حادثه تاریخی است. 44.1 کیلوهرتز به این دلیل انتخاب شد که صدای دیجیتال اولیه روی نوار ویدئویی ضبط شده بود، که در آن سه نمونه در هر یک از 245 خط فعال با سرعت 60 فیلد در ثانیه - \(3 \times 245 \times 60 = 44100\) قرار می‌گرفتند. 48 کیلوهرتز برای تجهیزات حرفه ای به عنوان یک عدد گرد با فضای سر انتخاب شد. دو تصمیم منطقی، یک 160/147 دائمی در هر زنجیره ابزار صوتی از آن زمان.

این فصل با بازخرید قولی که در پایان فصل 21 داده شد، پایان می‌یابد. فیلتر آنالوگ ضد هم‌پوشانی طیفی جلوی مبدل باید از باند سیگنال عبور کند و همه چیز را از \(f_s - f_M\) به بالا رد کند، و با نرخ‌هایی که به سختی بالاتر از Nyquist هستند، این انتقال به قدری باریک است که فقط یک فاز گران‌قیمت و با طراحی گران‌قیمت و بی‌رویه می‌تواند انجام دهد. نمونه‌برداری بیش از حد مشکل را با جابجایی آن برطرف می کند. نمونه در \(K f_s\) به جای \(f_s\). اولین نسخه در حال حاضر از \(Kf_s - f_M\) شروع می شود، بنابراین باند انتقال فیلتر آنالوگ بسیار زیاد است و یک طراحی ساده مرتبه دوم کافی است. سپس فیلتر شدید به صورت دیجیتالی در \(\Omega_c = \pi/K\) انجام می شود و دنباله توسط \(K\) به میزان مورد نظر کاهش می یابد.

🔑

آنچه را که نمونه‌برداری بیش از حد می خرد، دو برابر می شود

\[ \text{analogue transition ratio: } \frac{Kf_s - f_M}{f_M}\ \text{ instead of }\ \frac{f_s - f_M}{f_M}; \qquad \Delta\text{SNR} = 10\log_{10}K \ \text{dB} \]

سود دوم یک جایزه است. نویز کوانتیزاسیون توان \(q^2/12\) به طور یکنواخت روی \(\pm Kf_s/2\) پخش می شود. فیلتر decimation فقط کسری \(1/K\) از آن باند را نگه می‌دارد، بنابراین نویز درون باند به ازای هر دوبرابر شدن سرعت، \(10\log_{10}K\) دسی‌بل کاهش می‌یابد - 3 دسی‌بل یا نیم بیت.

همان آرگومان در خروجی به عقب اجرا می شود. فصل 21 مسئله بازسازی دیسک فشرده را به عنوان نسبت انتقال \((44.1-20)/20 = 1.205\) محاسبه کرد که نیاز به فیلترهای آنالوگ بیضوی درجه نهم در نسل اول پخش کننده ها داشت. نمونه‌برداری بیش از حد چهار برابر - نمونه‌های ذخیره‌شده را با یک فیلتر دیجیتال درون‌یابی کنید، سپس با فرکانس 176.4 کیلوهرتز تبدیل کنید - این نسبت را به \((176.4-20)/20 = 7.82\) تبدیل می‌کند و فیلتر آنالوگ را به چیزی کاهش می‌دهد که یک آپ‌آمپ واحد بسازد. مشکل آنالوگ غیرممکن با یک مشکل دیجیتالی آسان مبادله شده است، که خلاصه ای مناسب از آنچه کل فصل برای آن است.

آنچه در سرتاسر فرض شده است این است که سیستم‌های زمان‌گسسته در این نمودارها را می توان طراحی، تجزیه و تحلیل و برای پایداری بررسی کرد. برای فیلترهای با طول محدود که ساده است. برای فیلترهای بازگشتی که بیشتر کارها را به صورت اقتصادی انجام می دهند، اینطور نیست، و ابزاری که این امکان را فراهم می کند موضوع فصل 23 است. سپس فصل 26 الگوریتم هایی را ارائه می دهد که محاسبات را سریع می کنند.

بخش 22-10

نمونه های کار شده

1 یک فیلتر، دو نرخ نمونه‌برداری

مشکل یک فیلتر پایین گذر زمان‌گسسته ایده آل دارای بهره واحد برای \(|\Omega| \lt 0.3\pi\) و بهره صفر در جاهای دیگر است. (الف) چه فرکانس قطع آنالوگ را در \(f_s = 8\) کیلوهرتز و در \(f_s = 44.1\) کیلوهرتز تشخیص می دهد؟ (ب) با \(f_s = 8\) کیلوهرتز، خروجی \(x_c(t) = \cos(2\pi\,1000\,t) + \cos(2\pi\,3000\,t)\) را پیدا کنید.

راه حل (الف). از \(f = \Omega f_s/(2\pi)\) استفاده کنید. در 8 کیلوهرتز، \(f_c = 0.3\pi \times 8000/(2\pi) = 0.15 \times 8000 = 1200\) هرتز. در 44.1 کیلوهرتز، \(f_c = 0.15 \times 44100 = 6615\) هرتز. ضرایب یکسان هستند. فیلترها نیستند

راه حل (ب). ابتدا محدودیت باند را بررسی کنید. بالاترین مولفه ورودی در 3000 هرتز و فرکانس Nyquist 4000 هرتز است، بنابراین \(3000 \lt 4000\) و هیچ الایاسینگ رخ نمی دهد - نتیجه سیستم موثر اعمال می شود. نقشه هر جزء:

در حال کار کردن

\[ \Omega_1 = \frac{2\pi(1000)}{8000} = 0.25\pi \lt 0.3\pi, \qquad \Omega_2 = \frac{2\pi(3000)}{8000} = 0.75\pi \gt 0.3\pi \]

اولین مؤلفه در نوار عبور قرار دارد و دقیقاً بازتولید می شود. دومی در بند توقف قرار دارد و برداشته می شود. از این رو \(y_c(t) = \cos(2\pi\,1000\,t)\). به طور معادل: \(H_{\text{eff}}\) یک کمگذر آنالوگ ایده آل در 1200 هرتز است که از 1 کیلوهرتز عبور می کند و 3 کیلوهرتز را متوقف می کند.

2 هم‌پوشانی طیفی، عدم تغییر زمان را از بین می برد

مشکل فیلتر و نرخ مثال 1 را حفظ کنید، اما اجازه دهید ورودی \(x_c(t) = \cos(2\pi\,7000\,t)\) باشد. خروجی را پیدا کنید و توضیح دهید که چرا نتیجه ثابت می کند که زنجیره کلی یک سیستم LTI نیست.

راه حل. محدودیت باند نقض شده است: 7000 هرتز از فرکانس Nyquist 4000 هرتز فراتر می رود، بنابراین بخش 22-3 اعمال نمی شود و نمونه گیرنده باید مستقیماً کار شود. نمونه ها هستند

در حال کار - آنچه نمونه‌بردار واقعاً می‌گیرد

\[ x[n] = \cos\!\left(2\pi\,\frac{7000}{8000}\,n\right) = \cos(1.75\pi n) = \cos\big((1.75\pi - 2\pi)n\big) = \cos(0.25\pi n) \]

با استفاده از \(\cos(-\theta)=\cos\theta\) در آخرین مرحله. دنباله ای که یک تن 1 کیلوهرتز تولید می کرد یکسان است. از آنجایی که \(0.25\pi \lt 0.3\pi\) فیلتر آن را دست نخورده عبور می دهد و مبدل D/C - که فقط می تواند فرکانس های زیر \(\pi/T\) را تولید کند - آن را به صورت بازسازی می کند.

کار کردن - آنچه بیرون می آید

\[ f_{\text{out}} = \frac{\Omega}{2\pi}f_s = \frac{0.25\pi}{2\pi}(8000) = 1000\ \text{Hz} \qquad\Longrightarrow\qquad y_c(t) = \cos(2\pi\,1000\,t) \]

یک ورودی 7 کیلوهرتز یک خروجی 1 کیلوهرتز تولید کرده است. فصل 8 نشان داد که یک سیستم LTI به یک سینوسی با یک سینوسی با فرکانس یکسان، مقیاس شده و جابجا شده پاسخ می دهد. سیستمی که فرکانس را تغییر می دهد نمی تواند LTI باشد. خطی بودن باقی می ماند - دوبرابر کردن ورودی همچنان خروجی را دوبرابر می کند - اما تغییر ناپذیری زمانی اینطور نیست، زیرا جابجایی ورودی توسط، مثلاً \(T/4\)، لحظه های نمونه‌برداری را نسبت به شکل موج تغییر می دهد و دنباله ای متفاوت از یک جابجایی صرف به دست می دهد. این همان معنای دقیقی است که در آن «تغییر هم ارزی را می شکند».

3 بررسی مشتق‌گیری دیجیتال

مشکل یک زنجیره در \(f_s = 4\) کیلوهرتز با مشتق‌گیری ایده آل \(H(e^{j\Omega}) = j\Omega/T\)، \(|\Omega| \lt \pi\) اجرا می شود. بررسی کنید که \(x_c(t) = \cos(2\pi\,600\,t)\) را به درستی ممشتق‌گیری می کند و سه نمونه اول پاسخ ضربه آن را ارزیابی کنید.

راه حل. در اینجا \(T = 250\ \mu\text{s}\)، و فرکانس ورودی به راحتی در داخل باند به \(\Omega_0 = 2\pi(600)(250\times 10^{-6}) = 0.3\pi\) نگاشت می شود. پاسخ موثر در آن فرکانس است

کار کردن - سود دیده شده توسط لحن

\[ H_{\text{eff}}(j\omega_0) = H\!\left(e^{j0.3\pi}\right) = \frac{j(0.3\pi)}{250\times10^{-6}} = j(1200\pi) = j\,3769.9 \]

و \(j\omega_0 = j2\pi(600) = j\,3769.9\) - آنها به عنوان تضمین ساخت و ساز موافقت می کنند. بنابراین خروجی \(y_c(t) = 1200\pi\cos(2\pi 600 t + \pi/2) = -1200\pi\sin(2\pi\,600\,t)\) است که دقیقاً \(dx_c/dt\) است.

برای پاسخ ضربه، \(h[n] = (-1)^n/(nT)\) با \(1/T = 4000\):

کار - مقادیر نمونه

\[ h[0] = 0, \qquad h[1] = \frac{-1}{T} = -4000, \qquad h[2] = \frac{1}{2T} = 2000, \qquad h[3] = \frac{-1}{3T} = -1333.3 \]

با \(h[-n] = -h[n]\). علائم متناوب و زوال \(1/n\) نشانه گوشه تیز در \(H\) در \(\Omega = \pi\) است. کوتاه کردن پاسخ به یک پنجره محدود آن گوشه را نرم می کند، به همین دلیل است که ممشتق‌گیری کننده های عملی به جای ادعای کل \((-\pi,\pi)\)، باندی را مشخص می کنند که در آن دقیق هستند.

4 به تأخیر انداختن یک دنباله با نصف نمونه

مشکل پاسخ ضربه تاخیر نیمه نمونه ایده آل را بیابید و \(h[-1]\) را تا \(h[2]\) جدول بندی کنید. تأیید کنید که وقتی ورودی ثابت است کاری انجام نمی دهد.

راه حل. \(\Delta = 1/2\) را در \(h[n] = \sin(\pi(n-\Delta))/(\pi(n-\Delta))\) قرار دهید. از آنجایی که \(\sin(\pi n - \pi/2) = -\cos(\pi n) = -(-1)^n\) و \(\pi(n-\tfrac12) = \pi(2n-1)/2\)،

کار - فرم بسته

\[ h[n] = \frac{-(-1)^n}{\pi(2n-1)/2} = \frac{2\,(-1)^{n+1}}{\pi(2n-1)} \]

ارزیابی: \(h[-1] = 2(+1)/(\pi(-3)) = -0.2122\); \(h[0] = 2(-1)/(\pi(-1)) = 2/\pi = 0.6366\); \(h[1] = 2/\pi = 0.6366\); \(h[2] = -2/(3\pi) = -0.2122\). پاسخ در مورد \(n = \tfrac12\) متقارن است، که یک تاخیر نصف نمونه باید شبیه آن باشد، و فقط به صورت \(1/n\) تحلیل می‌رود.

برای ورودی ثابت خروجی \(\sum_n h[n]\) است که \(H(e^{j0}) = e^{-j0\cdot\Delta} = 1\) است. بنابراین یک ثابت بدون تغییر عبور می کند - درست است، زیرا به تاخیر انداختن یک ثابت کاری ندارد. از نظر عددی، مجموع جزئی \(0.6366, 1.2732, 1.0610, 1.1519,\dots\) به آرامی به سمت 1 خزش می کند، یادآور این است که این فیلتر همگرا می شود اما نه به سرعت، و هر نسخه عملی باید پنجره شود.

5 تا کجا می توان یک سکانس را از بین برد؟

مشکل یک باند سیگنال محدود به 4 کیلوهرتز در 20 کیلوهرتز نمونه‌برداری می شود. (الف) با کدام بزرگ‌ترین فاکتور عدد صحیح می‌توان دنباله را بدون فیلتر و بدون از دست دادن نمونه‌برداری کرد؟ (ب) اگر حذف با 3 مورد نیاز باشد، گذرگاه دیجیتال باید چه کاری انجام دهد، و چه چیزی دور ریخته می شود؟

راه حل (الف). سیگنال بالاترین فرکانس نقشه به

در حال کار کردن

\[ \Omega_M = \frac{2\pi(4000)}{20000} = 0.4\pi \]

نمونه‌برداری بدون تلفات توسط \(M\) به \(\Omega_M \lt \pi/M\)، یعنی \(0.4\pi \lt \pi/M\)، یعنی \(M \lt 2.5\) نیاز دارد. بزرگترین عدد صحیح \(M = 2\) است که نرخ جدیدی برابر با 10 کیلوهرتز ارائه می دهد - همانطور که باید باشد همچنان بالاتر از نرخ Nyquist 8 کیلوهرتز سیگنال است. \(M = 3\) 6.67 کیلوهرتز، زیر 8 کیلوهرتز، و هم‌پوشانی طیفی می دهد.

راه حل (ب). برای \(M = 3\) فیلتر باید در \(\Omega_c = \pi/3 = 0.333\pi\) قطع شود که از نظر فیزیکی \(0.333\pi \times 20000/(2\pi) = 3333\) هرتز است. هر چیزی بین 3333 هرتز و 4000 هرتز به عمد دور ریخته می شود قبل از اینکه نمونه‌برداری پایین آن را ببیند. این یک از دست دادن سیگنال حقیقی است - اما کنترل شده، و بسیار ارجح است به جایگزین، که در آن همان باند در بالای محتوای زیر 3333 هرتز تا می شود و آن را به طور غیر قابل برگشت خراب می کند.

6 میزان دیسک فشرده به استودیو

مشکل مبدل سرعتی را طراحی کنید که صدای 44.1 کیلوهرتز را به 48 کیلوهرتز برساند. \(L\)، \(M\)، قطع و بهره فیلتر، و نرخ متوسط اسمی را بدهید.

راه حل. نسبت مورد نیاز \(48000/44100\) است. آن را کاهش دهید: \(\gcd(48000, 44100) = 300\)، بنابراین

کار کردن - نسبت کاهش یافته است

\[ \frac{L}{M} = \frac{48000}{44100} = \frac{160}{147} \]

بررسی کنید: \(44100 \times 160/147 = 300 \times 160 = 48000\) — درست است، و \(147 = 3\times 7^2\) هیچ عاملی با \(160 = 2^5 \times 5\) ندارد، بنابراین کسری در کمترین مقدار است.

نمونه آپلود توسط \(L = 160\)، فیلتر، نمونه پایین توسط \(M = 147\). فیلتر ادغام شده واحد دارای بهره \(L = 160\) و قطع است

در حال کار - فیلتر ادغام شده

\[ \Omega_c = \min\!\left(\frac{\pi}{160},\ \frac{\pi}{147}\right) = \frac{\pi}{160} \]

نیاز ضد تصویر سخت‌تر است زیرا \(L \gt M\)، که همیشه در هنگام افزایش نرخ وجود دارد. نرخ متوسط اسمی \(160 \times 44100 = 7.056\) مگاهرتز است، اما هیچ محاسباتی در آنجا انجام نمی شود: از هر 160 خروجی بسط دهنده 159 عدد صفر و 146 از هر 147 خروجی فیلتر کنار گذاشته می شود، بنابراین اجرای چند فازی فیلتر را یک بار در هر نمونه خروجی در 48 کیلوهرتز ارزیابی می کند. قطع \(\pi/160\) با \(7.056\times10^6/320 = 22.05\) کیلوهرتز مطابقت دارد، که فرکانس نایکوئیست ماده اصلی 44.1 کیلوهرتز است - مبدل نمی‌تواند و نباید محتوای بالای آن اختراع کند.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ زنجیره

C/D \(x[n]=x_c(nT)\) را می گیرد. D/C با سینک ها درون یابی می کند. فاکتورهای طیفی آنها \(1/T\) و \(T\) در آبشار لغو می شوند.

✓ معادل

\(H_{\text{eff}}(j\omega) = H(e^{j\omega T})\) برای \(|\omega| \lt \pi/T\)، صفر بالاتر — به شرطی که ورودی باند محدود باشد.

✓ وقتی شکست می خورد

با هم‌پوشانی طیفی، زنجیره خطی می‌ماند، اما ثابت نمی‌شود: فرکانس‌های ورودی و خروجی می‌توانند متفاوت باشند.

✓ نقشه

\(\Omega = \omega T = 2\pi f/f_s\)، با \(\Omega=\pi\) در \(f_s/2\). ضرایب یکسان، فیلتر متفاوت در هر نرخ.

✓ کاهش نمونه

\(X_d = \frac1M\sum_{k} X(e^{j(\Omega-2\pi k)/M})\). ایمن فقط اگر \(\Omega_M \lt \pi/M\)؛ در غیر این صورت، ابتدا lowpass - که از بین رفتن است.

✓ نمونه‌برداری

\(X_e(e^{j\Omega}) = X(e^{j\Omega L})\)، بدون اتلاف، اما با تصاویر \(L-1\) برای حذف با یک گذر کم از قطع \(\pi/L\) و به دست آوردن \(L\).

✓ نرخ های منطقی

با \(L\) درون یابی کنید، سپس با \(M\) از بین ببرید و یک فیلتر قطع \(\min(\pi/L,\pi/M)\) را به اشتراک بگذارید. هرگز اول از بین نبرید

✓ نمونه‌برداری بیش از حد

یک فیلتر آنالوگ ملایم و \(10\log_{10}K\) dB رد کوانتیزاسیون نویز را به قیمت یک دمنده دیجیتال خریداری می کند.

تمرین کنید

مشکلات تمرین

مسائل 1 تا 3 نقشه فرکانس و نتیجه سیستم موثر را تمرین می کنند. 4 و 5 مربوط به سیستم‌هایی است که فقط در این چارچوب وجود دارند. 6 تا 8 چند نرخی هستند. در هر مشکل تغییر نرخ، قبل از بیان پاسخ، حد باند را بیان کنید.

یک فیلتر باند گذر دیجیتال از \(0.2\pi \le |\Omega| \le 0.45\pi\) عبور می کند. وقتی زنجیره با فرکانس 10 کیلوهرتز کار می کند، باند عبور آن را بر حسب هرتز و دوباره در 32 کیلوهرتز بدهید. کدام تغییر در سخت افزار می تواند بدون تغییر یک ضریب، باند عبور را با ضریب 3.2 به سمت بالا افزایش دهد؟
یک زنجیره با \(f_s = 10\) کیلوهرتز از یک کم گذر دیجیتال ایده آل با \(\Omega_c = 0.4\pi\) استفاده می کند. \(y_c(t)\) را برای \(x_c(t) = 2\cos(2\pi\,1500\,t) + \cos(2\pi\,4600\,t)\) پیدا کنید. دو جزء را جداگانه بررسی کنید و برای هر کدام بگویید که آیا می توان از نتیجه سیستم موثر استفاده کرد یا خیر.
نشان دهید که اگر \(H(e^{j\Omega})\) واقعی است و حتی در آن صورت \(H_{\text{eff}}(j\omega)\) حقیقی و زوج است، بنابراین سیستم موثر فاز صفر دارد. فاز صفر در مورد علّیت چه چیزی را بیان می کند و در عمل چگونه با مشکل برخورد می شود؟
با شروع از \(H(e^{j\Omega}) = j\Omega/T\)، نشان دهید که فیلتر تفاضل دوم \(y[n] = (x[n]-2x[n-1]+x[n-2])/T^2\) یک مشتق‌گیری دوگانه دارد و بهره آن را با \(-\omega^2\) دقیق در \(\Omega = 0.2\pi\) و در \(\Omega = 0.8\pi\) مقایسه کنید.
\(h[n]\) را برای تأخیر نمونه \(\Delta = 1/4\) در \(n = 0, 1, 2\) محاسبه کنید و بررسی کنید که \(\sum_n h[n] = 1\) با پاسخ در \(\Omega = 0\) مطابقت دارد.
یک دنباله فقط برای \(|\Omega| \lt 0.6\pi\) \(X(e^{j\Omega}) \ne 0\) دارد. 2 بدون پیش فیلتر نمونه‌برداری شده است. طیف به دست آمده را ترسیم کنید، ناحیه هم‌پوشانی طیفی را شناسایی کنید، و محدوده \(\Omega\) را در دنباله نمونه‌برداری شده که هنوز خراب نشده است، بیان کنید.
یک مبدل از 8 کیلوهرتز به 11.025 کیلوهرتز طراحی کنید: \(L\)، \(M\) را با کمترین عبارات، قطع و بهره فیلتر، و نرخ متوسط اسمی بدهید.
یک ADC توسط \(K = 64\) قبل از فیلتر decimation بیش از حد نمونه‌برداری می شود. نویز کوانتیزاسیون درون باند چند دسی بل کاهش می‌یابد و چند بیت وضوح اضافی را نشان می‌دهد؟ توضیح دهید که چرا یک مبدل \(\Sigma\Delta\) بسیار بهتر از این شکل عمل می کند.

نکته: تقریباً هر خطای این فصل از فراموشی بررسی محدودیت باند قبل از اعمال \(H_{\text{eff}}(j\omega) = H(e^{j\omega T})\) ناشی می شود. آن را به یک انعکاس تبدیل کنید: \(f_s/2\) را یادداشت کنید، آن را با بالاترین فرکانس ورودی مقایسه کنید و تنها پس از آن شروع به نقشه برداری فرکانس کنید. اگر مقایسه ناموفق بود، به خود نمونه‌ها برگردید - همانطور که در مثال کارکرده 2 انجام می‌دهد - و در مورد ترتیب، نه سیستم مؤثر، استدلال کنید.