Z-Transform و ناحیهٔ همگرایی

چیزی که یاد خواهید گرفت

چرا DTFT کافی نیست و چگونه وزن کردن یک دنباله توسط \(r^{-n}\) قبل از تبدیل، تبدیل \(X(z)=\sum_n x[n]z^{-n}\) را ایجاد می کند.
اینکه ناحیهٔ همگرایی همیشه یک حلقه است که بر مبدأ متمرکز است و چرا هرگز نمی تواند دارای یک قطب باشد.
مهم ترین درس این فصل: \(X(z)\) به تنهایی هیچ سیگنالی را نام نمی برد - جفت \(\big(X(z),\text{ROC}\big)\) این کار را انجام می دهد. یک عبارت، سه ROC، سه توالی کاملا متفاوت.
چهار شکلی که ROC می‌تواند بگیرد - صفحه کامل، بیرونی، داخلی، حلقوی - و نحوه خواندن شکل از دنباله، یا دنباله خارج از شکل.
چگونه علّیت و پایداری به هندسه تبدیل می‌شوند: پایداری دایره واحدی است که در ROC قرار دارد، علّیت ROC است که به \(z=\infty\) می‌رسد، و هر دو با هم هر قطب را دقیقاً در دایره واحد قرار می‌دهند.
جدولی از جفت های استاندارد مشتق شده به جای حفظ شده، از جمله سینوسی های میرا که بر کار عملی غالب هستند.
سه مسیر بازگشت به \(x[n]\): کسرهای جزئی با ROC که جهت هر عبارت را تعیین می کند، تقسیم سری توان و انتگرال کانتور.

بخش 23-1

جایی که DTFT متوقف می شود

فصل 16 تبدیل فوریهٔ گسسته زمان را ساخت و مراقب همگرایی آن بود: مجموع \(\sum_n x[n]e^{-j\Omega n}\) به معنای معمولی زمانی که \(\sum_n|x[n]| \lt \infty\) وجود دارد، و به معنای مربع میانگین زمانی که دنباله صرفاً قابل جمع مربع است وجود دارد. سپس فصل 12 و فصل 16 بین آنها، با پذیرش ضربه ها در فرکانس، به اندازه کافی برای پوشش ثابت ها و سینوسی ها، تعریف را گسترش دادند.

هیچ کدام از اینها به \(x[n] = (1.2)^n u[n]\) کمک نمی کند. شرایط مبلغ بدون محدودیت رشد می کند. هیچ مقدار از تفسیر آن را به هم نزدیک نمی کند، و هیچ انگیزه ای آن را وصله نمی کند. با این حال، چنین دنباله‌ای یک کنجکاوی ریاضی نیست - بلکه پاسخ ضربه هر سیستم زمان‌گسسته ناپایدار است، و نمی‌توان با امتناع از نوشتن پاسخ‌هایی که سعی در تثبیت آن‌ها دارد، یک حلقه بازخورد طراحی کرد.

فصل 17 دقیقاً به این مانع در زمان‌پیوسته برخورد کرد و آن را با دستگاهی حل کرد که ارزش یادآوری کامل را دارد، زیرا مورد گسسته همان ایده در نمادهای مختلف است. در آنجا انتگرال فوریه \(e^{2t}u(t)\) از هم جدا شد، و تعمیر قرار بود ابتدا در یک \(e^{-\sigma t}\) نمایی واقعی در حال زوال ضرب شود و \(\sigma\) به اندازه کافی بزرگ برای همگرایی انتخاب شود. تبدیل فوریه محصول تابعی از \(\sigma\) و \(\omega\) با هم است که تبدیل لاپلاس با \(s = \sigma + j\omega\) است.

همین کار را اینجا انجام دهید. برای مقداری مثبت \(r\) در \(r^{-n}\) ضرب کنید و تبدیل کنید:

رام کردن یک توالی در حال رشد

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\Big(x[n]\,r^{-n}\Big)e^{-j\Omega n} \;=\; \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,\big(r e^{j\Omega}\big)^{-n} \]

دو عامل نمایی در یکی ادغام شده اند. نوشتن \(z = re^{j\Omega}\) - یک عدد مختلط دلخواه به شکل قطبی، با \(r=|z|\) تامین کننده میرایی و \(\Omega = \arg z\) تامین کننده نوسان است - تبدیل z را می دهد. این DTFT دنباله دارای وزن نمایی است، و انتخاب \(r\) انتخاب سختی است که به دنباله تکیه کنیم تا بتوان آن را جمع کرد.

انگیزه دوم که اهمیت بیشتری خواهد داشت. همگرایی دلیل تعریف تبدیل است. جبر دلیل استفاده از آن است. فصل 9 سیستم‌ها را به عنوان معادلات تفاوت نوشت و فصل 25 باید آنها را حل کند. تحت تبدیل z یک تاخیر ضرب در \(z^{-1}\) می شود، بنابراین یک معادله اختلاف با ضرایب ثابت تبدیل به یک معادله چند جمله ای می شود و حل یک سیستم به فاکتورسازی کاهش می یابد. فصل 19 دقیقاً این کار را برای معادلات دیفرانسیل با تبدیل لاپلاس انجام داد. داستان گسسته قرار است به صورت موازی اجرا شود.

بخش 23-2

تعریف

🔑

تبدیل z دو طرفه

\[ X(z) \;=\; \mathcal{Z}\{x[n]\} \;=\; \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n}, \qquad z \in \mathbb{C} \]

یک سری توان در \(z^{-1}\) که ضرایب آن نمونه سیگنال است. مجموعه \(z\) که سری برای آن همگرا می شود ناحیهٔ همگرایی است و بخشی از تبدیل است.

سه مشاهده فوری قوانین اساسی را تعیین می کند.

DTFT روی دایره واحد زندگی می کند. قرار دادن \(r=1\)، به طوری که \(z=e^{j\Omega}\)، تعریف فصل 16 را دقیقا برمی گرداند. تبدیل z ارزیابی شده در \(|z|=1\) DTFT است - مشروط بر اینکه دایره واحد در ناحیهٔ همگرایی قرار داشته باشد. وقتی اینطور نیست، دنباله DTFT ندارد و تبدیل z به جای اینکه صرفاً لباس متفاوتی داشته باشد، واقعاً کلی تر است.

تبدیل یک سری توان است و ضرایب آن سیگنال است. \(X(z) = \cdots + x[-1]z + x[0] + x[1]z^{-1} + x[2]z^{-2} + \cdots\) را بخوانید و مشکل وارونگی برای دنباله های کوتاه تقریباً بی اهمیت به نظر می رسد: گسترش و خواندن. بخش 23-9 این را به یک روش تبدیل می کند.

\(z^{-1}\) تاخیر واحد است. جایگزینی \(x[n]\) با \(x[n-1]\)، هر ترم سری را با یک توان تغییر می‌دهد و \(X(z)\) را در \(z^{-1}\) ضرب می‌کند. به همین دلیل است که نمودارهای بلوکی سیستم‌های زمان‌گسسته عناصر تاخیری خود را \(z^{-1}\) برچسب گذاری می کنند و این ویژگی است که معادلات تفاوت را به جبر تبدیل می کند. فصل 24 آن را به درستی ثابت می کند، همراه با آنچه که با ROC انجام می دهد.

نسخه یک طرفه یا یک طرفه \(\mathcal{X}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}\) نیز در حال استفاده است. همه چیز قبل از \(n=0\) را نادیده می گیرد، که آن را به ابزار مناسبی برای سیستم‌هایی تبدیل می کند که در یک لحظه مشخص با شرایط اولیه شناخته شده از حالت استراحت شروع شده اند - فصل 25 دقیقاً از آن استفاده می کند. برای سیگنال علّی، این دو تعریف موافق هستند. همه چیز در این فصل دو طرفه است مگر اینکه خلاف آن ذکر شود، زیرا فقط تبدیل دوطرفه می تواند یک دنباله دو طرفه را نشان دهد و فقط ROC را به یک شی جالب تبدیل می کند.

رابطه با تبدیل لاپلاس باقی می ماند و چیزی فراتر از یک قیاس است. اگر \(x[n]\) نسخه نمونه‌برداری شده از یک سیگنال پیوسته در دوره \(T\) باشد، ساختار قطار ضربه ای فصل 20 دارای تبدیل لاپلاس \(\sum_n x(nT)e^{-snT}\) است که مجموع تبدیل z با

نقشه نمونه‌برداری بین هواپیماها

\[ z \;=\; e^{sT}, \qquad s = \sigma + j\omega \quad\Longrightarrow\quad |z| = e^{\sigma T}, \ \ \arg z = \omega T = \Omega \]

هر ویژگی از\(z\)-plane معنای خود را از این نقشه به ارث برده است. محور خیالی\(\sigma = 0\)دایره واحد می شود\(|z|=1\); نیم صفحه سمت چپ\(\sigma \lt 0\)داخلی می شود\(|z| \lt 1\); نیم صفحه سمت راست به بیرون تبدیل می شود. نقشه چند به یک است - هر نوار افقی از ارتفاع\(2\pi/T\)در\(s\)-هواپیما یک بار دور دایره می پیچد - که پوشیدن لباس دیگری است و دلیل آن\(z\)هواپیما هیچ مفهومی از "فرکانس بالا" فراتر از آن ندارد\(\Omega = \pi\).

نیمه صفحه سمت چپ به دیسک واحد - پایداری معنای خود را حفظ می کند و شکل می گیرد

بخش 23-3

ناحیهٔ همگرایی

یک سری توان در برخی از مجموعه ها همگرا می شود و در جای دیگر واگرا می شود و برای این سری مجموعه شکلی دارد که یک بار برای همیشه قابل تعیین است. معیار طبیعی همگرایی مطلق است، زیرا یک سری توانی که به طور مطلق همگرا می شوند ممکن است آزادانه بازآرایی و دستکاری شوند، و هر ویژگی ثابت شده در فصل 24 متکی به مجاز بودن برای انجام این کار است.

شرط همگرایی

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\big|x[n]\,z^{-n}\big| \;=\; \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|\,|z|^{-n} \;\lt\; \infty \]

به آنچه ناپدید شده است توجه کنید: زاویه \(z\). این شرط شامل \(|z|\) است و هیچ چیز دیگری، بنابراین اگر سری در یک نقطه همگرا شود در هر نقطه از دایره از طریق آن همگرا می شود. بنابراین ناحیهٔ همگرایی از دایره های کاملی که در مبدا متمرکز شده اند ساخته شده است، و برای تعیین آن فقط باید بپرسیم کدام شعاع کار می کند.

مجموع را در مبدا تقسیم کنید. دو نیمه خواسته های متضادی دارند:

دو نیمه، دو خواسته

\[ \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}|x[n]|\,r^{-n}}_{\text{needs } r \text{ large}} \;+\; \underbrace{\sum_{m=1}^{\infty}|x[-m]|\,r^{m}}_{\text{needs } r \text{ small}}, \qquad r = |z| \]

مجموع اول بخشی از سیگنال در زمان های غیر منفی است. هر عبارت بر \(r^n\) تقسیم می‌شود، بنابراین افزایش \(r\) فقط می‌تواند کمک کند، و اگر در \(r_0\) همگرا شود برای هر \(r \gt r_0\) همگرا می‌شود. جمع دوم جزء در زمان های منفی است. هر جمله در \(r^m\) ضرب می شود، بنابراین کاهش \(r\) تنها می تواند کمک کند، و اگر در \(r_1\) همگرا شود برای هر \(r \lt r_1\) همگرا می شود. این دو شرط با هم یک حلقه را تعریف می کنند.

🔑

ROC یک حلقه است

\[ \text{ROC} \;=\; \big\{\, z : R_- \lt |z| \lt R_+ \,\big\}, \qquad 0 \le R_- \le R_+ \le \infty \]

متمرکز بر مبدا، احتمالاً به کل صفحه، بیرون، داخل یا مجموعه خالی منحط می شود. دو شعاع متعلق به دو نیمه سیگنال هستند: \(R_-\) توسط قسمت سمت راست و \(R_+\) توسط قسمت سمت چپ تنظیم می شود.

دو واقعیت دیگر بلافاصله دنبال می شوند و به طور مداوم مورد استفاده قرار می گیرند.

ROC فاقد قطب است. در یک قطب \(|X(z)|\) بی نهایت است، بنابراین سری نمی تواند در آنجا همگرا شود. از آنجایی که ROC یک حلقه باز است و قطب ها نقاط ایزوله هستند، قطب ها باید روی یا خارج از مرزهای آن قرار گیرند - به این معنی که برای تبدیل منطقی، مرزهای ROC شعاع قطب هستند. این مشاهدات منفرد مشکل یافتن ROC را به مشکل ترتیب قطب ها بر اساس قدر کاهش می دهد.

ROC می تواند خالی باشد. اگر \(R_+ \le R_-\) هیچ شعاع هر دو خواسته را برآورده نمی کند و دنباله به سادگی تبدیل z ندارد. دنباله \(x[n] = 1\) برای همه \(n\) مثال استاندارد است: نیمه سمت راست آن به \(r \gt 1\) و نیمه سمت چپ آن به \(r \lt 1\) نیاز دارد. همان سیگنال دارای یک DTFT، به معنای ضربه ای فصل 16 است - یک یادآوری مفید که تبدیل z در یک جهت کلی تر و در جهت دیگر کمتر است.

ROC توسط شعاع قطبی محدود شده است و هیچ یک از آنها را ندارد

بخش 23-4

نمایی سمت راست

یک دنباله بیشترین وزن را در این موضوع دارد، به همان دلیلی که \(e^{at}u(t)\) در فصل 17 انجام داد: این پاسخ طبیعی یک سیستم مرتبه اول است، و هر پاسخ مرتبه بالاتر ترکیبی از این عبارات است. \(x[n] = a^n u[n]\) را با \(a\) هر عدد پیچیده ای بگیرید.

جمع بندی سریال

\[ X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\big(az^{-1}\big)^{n} = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}, \qquad \big|az^{-1}\big| \lt 1 \]

سری هندسی دقیقاً زمانی همگرا می شود که نسبت آن کمتر از یک مدول باشد و شرط \(|az^{-1}| \lt 1\) عبارت \(|z| \gt |a|\) است. بنابراین ROC نمای بیرونی دایره از طریق قطب است - این همان چیزی است که بخش 23-3 برای سیگنال سمت راست پیش‌بینی کرد که مجموع آن \(r\) بزرگ است.

🔑

جفت بنیادی

\[ a^{n}u[n] \;\;\xleftrightarrow{\ \mathcal{Z}\ }\;\; \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}, \qquad \text{ROC: } |z| \gt |a| \]

یک قطب در \(z=a\) و یک صفر در \(z=0\). شعاع قطب \(|a|\) نرخ رشد یا پوسیدگی دنباله را ثابت می کند. زاویه قطب \(\arg a\) نرخ نوسان آن را ثابت می کند.

دو شکل پاسخ هر دو ارزش نگهداری دارند. فرم \(z^{-1}\) فرمی است که برای کسرهای جزئی و برای خواندن تبدیل‌های معکوس استفاده می‌شود، زیرا با شکل جفت‌های استاندارد مطابقت دارد. فرم \(z\) فرمی است که برای مکان یابی قطب ها و صفرها استفاده می شود، زیرا نسبت چند جمله ای ها در \(z\) را می توان به روش معمولی فاکتورسازی کرد. در فرم \(z^{-1}\)، صفر در مبدأ نامرئی است و دانش آموزان به طور معمول اشتباه حساب می کنند.

سه مورد خاص ارزش نامگذاری را دارد. با \(a=1\)، توالی پلهٔ واحد است و تبدیل \(1/(1-z^{-1})\) با ROC \(|z|\gt 1\) است: قطب روی دایره واحد قرار می گیرد، بنابراین دایره حذف می شود و \(u[n]\) DTFT معمولی ندارد - دقیقاً با اضافه کردن 1 مشکل، با اضافه کردن 1 مشکل \(\Omega=0\). با \(|a| \lt 1\)، ROC شامل دایره واحد است و دنباله کاملاً قابل جمع است، با DTFT \(1/(1-ae^{-j\Omega})\) که با جایگزینی ساده به دست می آید. با \(|a| \gt 1\) توالی رشد می‌کند، ROC دایره واحد را حذف می‌کند، و اصلاً DTFT وجود ندارد - با این حال تبدیل z وجود دارد و کاملاً قابل استفاده است.

تبدیل متوجه نشد. عبارت جبری \(z/(z-a)\) در هر سه حالت یکسان است. هیچ چیز در آن ثبت نمی کند که آیا توالی پوسیده شده یا منفجر شده است. این اطلاعات به طور کامل در ROC زندگی می کنند. این اولین اشاره به نقطه مرکزی فصل است و بخش بعدی آن را اجتناب ناپذیر می کند.

بخش 23-5

سیگنال‌های سمت چپ و دو طرفه

اکنون دنباله ای را تغییر دهید که کاملاً در زمان منفی زندگی می کند: \(x[n] = -a^n u[-n-1]\) که \(-a^n\) برای \(n \le -1\) و صفر برای \(n \ge 0\) است. علامت منهای ساختگی به نظر می رسد. تماشا کنید که چه چیزی تولید می کند

جمع بندی در زمان منفی

\[ X(z) = -\!\!\sum_{n=-\infty}^{-1}\!\! a^n z^{-n} \;\overset{m=-n}{=}\; -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{a}\right)^{m} = -\,\frac{z/a}{1-z/a} = \frac{z}{z-a} = \frac{1}{1-az^{-1}} \]

سری هندسی در \(z/a\) زمانی که \(|z/a| \lt 1\) یعنی \(|z| \lt |a|\) همگرا می شود. جبر همان تابع نمایی سمت راست بخش 23-4 را از یک سیگنال کاملاً متفاوت ایجاد کرده است و تنها چیزی که این دو را متمایز می کند ناحیهٔ همگرایی است.

🔑

یک بیان، دو سیگنال

\[ \frac{1}{1-az^{-1}} \;=\; \begin{cases} \mathcal{Z}\big\{a^{n}u[n]\big\}, & |z| \gt |a| \\ \mathcal{Z}\big\{-a^{n}u[-n-1]\big\}, & |z| \lt |a| \end{cases} \]

عبارتی که بدون ROC آن نوشته می شود سیگنالی را نام نمی برد. نقل قول \(X(z)\) به تنهایی مانند نقل قول یک فاز بدون مقدار است - نیمی از یک پاسخ است، و در یک امتحان نیمی از نمره را کسب می کند.

علامت منفی با ظاهر ساختگی اکنون توضیح داده شده است: این چیزی است که باعث می شود دو مورد یک عبارت مشترک داشته باشند و به همین دلیل در هر جدول ظاهر می شود. یادگاری این است که یک قطب زمانی که ROC در خارج از دایره خود قرار دارد یک عبارت سمت راست و زمانی که ROC در داخل آن قرار دارد یک عبارت سمت چپ با یک تغییر علامت در عبارت سمت چپ ایجاد می کند.

یک دنباله دو طرفه هر دو رفتار را ترکیب می کند و ROC آن باید هر دو خواسته را به طور همزمان برآورده کند. بگیرید

یک مثال دو طرفه

\[ x[n] = \left(\tfrac12\right)^{n}u[n] \;-\; 2^{\,n}u[-n-1] \;\;\longleftrightarrow\;\; \frac{1}{1-\tfrac12 z^{-1}} + \frac{1}{1-2z^{-1}} \]

عبارت اول به \(|z| \gt \tfrac12\) و دومی به \(|z| \lt 2\) نیاز دارد، بنابراین ROC حلقوی \(\tfrac12 \lt |z| \lt 2\) است - غیر خالی، و حاوی دایره واحد است، بنابراین این دنباله دو طرفه علیرغم اینکه از یک قطعه در حال پوسیدگی ساخته شده است و یک قطعه در حال رشد است، کاملا قابل جمع است. ترکیب کسرها،

روی یک مخرج مشترک

\[ X(z) = \frac{\big(1-2z^{-1}\big)+\big(1-\tfrac12 z^{-1}\big)}{\big(1-\tfrac12z^{-1}\big)\big(1-2z^{-1}\big)} = \frac{2-\tfrac52 z^{-1}}{1-\tfrac52 z^{-1}+z^{-2}}, \qquad \tfrac12 \lt |z| \lt 2 \]

قطب در \(z=\tfrac12\) و \(z=2\)، و ROC حلقه بین آنها است. اگر ROC \(|z|\gt 2\) بود، همان عبارت یک توالی کاملاً سمت راست و به طور نمایی در حال رشد را توصیف می کرد. اگر \(|z| \lt \tfrac12\) بود، کاملاً سمت چپ. مثال 2 کار شده هر سه وارونگی را به طور کامل انجام می دهد.

بخش 23-6

چهار شکل ROC

اکنون این الگو به اندازه کافی واضح است که به عنوان مجموعه ای از قوانین بیان شود، که هر کدام از استدلال دو نیمه بخش 23-3 به جای نیاز به حفظ جداگانه، از استدلال دو نیمه پیروی می کنند.

دنباله های مدت زمان محدود اگر \(x[n]\) فقط برای \(N_1 \le n \le N_2\) غیر صفر باشد، مجموع دارای تعداد نامحدودی است و در هر جایی که هر عبارت محدود باشد همگرا می شود. شرایط با \(n \gt 0\) حاوی \(z^{-n}\) است که در \(z=0\) منفجر می شود. شرایط با \(n \lt 0\) حاوی توان های مثبت \(z\) است که به عنوان \(|z|\to\infty\) منفجر می شود. بنابراین ROC کل صفحه است، با مبدأ در صورت \(N_2 \gt 0\) و نقطه در بی نهایت در صورت حذف \(N_1 \lt 0\).

دنباله های سمت راست (\(x[n]=0\) برای \(n \lt N_1\)). فقط نیمه "نیازهای \(r\) بزرگ" وجود دارد، بنابراین ROC یک \(|z| \gt R_-\) خارجی است، که در آن \(R_-\) بزرگترین قدر قطب است. تا بی نهایت گسترش می یابد و دقیقاً زمانی که \(N_1 \ge 0\) خود نقطه \(z=\infty\) را شامل می شود - یعنی زمانی که دنباله علّی است، به طوری که سری هیچ توان مثبتی از \(z\) ندارد.

دنباله های سمت چپ (\(x[n]=0\) برای \(n \gt N_2\)). فقط نیمه "نیاز به \(r\) کوچک" وجود دارد، بنابراین ROC یک \(|z| \lt R_+\) داخلی است، با \(R_+\) کوچکترین قدر قطب. این شامل \(z=0\) دقیقا زمانی است که \(N_2 \le 0\).

دنباله های دو طرفه. هر دو نیمه وجود دارند، بنابراین ROC یک حلقه واقعی است که با دو شعاع قطب محدود شده است - یا خالی است، اگر نیاز نیمه سمت راست از نصف سمت چپ بیشتر باشد.

بیرونی — و اگر به \(z=\infty\) برسد، سببی است

داخلی - پادعلّی، و ناپایدار در اینجا

حلقه - حلقه ای بین شعاع قطب متوالی

چرخاندن قوانین به اطراف، روش عملی را ارائه می دهد، که ارزش بیان آن را به عنوان یک الگوریتم دارد، زیرا ممتحنین آن را به طور مکرر تنظیم می کنند. با توجه به یک \(X(z)\) منطقی: قطب ها را پیدا کنید، آنها را بر اساس قدر مرتب کنید، و توجه داشته باشید که شعاع های متوالی قطب متمایز صفحه را به حلقه برش می دهند. اگر قدر قطب متمایز \(P\) وجود داشته باشد، دقیقاً مناطق کاندید \(P+1\) وجود دارد - داخلی ترین دیسک، حلقه های \(P-1\) بین آنها، و بیرونی ترین قسمت بیرونی - و هر یک یک ROC قانونی است که مربوط به سیگنال متفاوتی است. داخلی ترین سیگنال سمت چپ، بیرونی ترین یک سیگنال سمت راست و هر حلقه بین یک دو طرفه می دهد. اطلاعات اضافی - علّیت، پایداری، یا ROC اعلام شده - چیزی است که یکی را انتخاب می کند.

ابهام از کجا می آید. این یک مصنوع از ریاضیات نیست. دو سیگنال واقعاً متفاوت واقعاً می‌توانند یک عبارت جبری را ایجاد کنند، زیرا مجموع تبدیل در تمام زمان‌ها گرفته شده است و توالی‌های مختلف را می‌توان به یک شکل بسته در حوزه‌های مختلف جمع کرد. خواننده زمان‌پیوسته قبلاً به این موضوع برخورد کرده است: فصل 17 ابهام یکسانی را برای تبدیل لاپلاس پیدا کرد، جایی که\(e^{at}u(t)\)و\(-e^{at}u(-t)\)به اشتراک بگذارید\(1/(s-a)\)و تنها با این که آیا متمایز می شوند\(\operatorname{Re}\{s\}\)فراتر می رود\(a\)یا زیر آن می افتد.

بخش 23-7

علّیت، ثبات و دایره واحد

نتیجه این همه توجه به مناطق این است که دو ویژگی سیستمی که یک مهندس بیشتر می‌خواهد بررسی کند، تبدیل به عباراتی درباره هندسه می‌شوند. بگذارید \(h[n]\) یک پاسخ ضربه باشد و \(H(z)\) تبدیل آن باشد - تابع سیستم و شیء فصل 25 پیرامون آن ساخته شده است.

با ثبات شروع کنید. فصل 8 نشان داد که یک سیستم LTI گسسته زمانی BIBO پایدار است که پاسخ ضربه آن کاملاً قابل جمع باشد، \(\sum_n |h[n]| \lt \infty\). \(|z|=1\) را در شرایط همگرایی بخش 23-3 تنظیم کنید و این دقیقاً شرطی است که سری ها روی دایره واحد همگرا شوند.

🔑

ثبات یک دایره در ROC است

\[ \text{BIBO stable} \iff \sum_{n}|h[n]| \lt \infty \iff |z| = 1 \ \text{lies in the ROC} \iff \text{the DTFT } H\!\left(e^{j\Omega}\right)\ \text{exists} \]

سه عبارتی که در فصل‌های 8 و 16 شواهد جداگانه‌ای داشتند، در اینجا یک بیانیه هستند. سیستم پایدار سیستمی است که پاسخ فرکانسی آن وجود داشته باشد و پاسخ فرکانسی دقیقاً زمانی وجود دارد که تبدیل در جایی که در حال ارزیابی است همگرا شود.

حالا علّیت. یک سیستم علّی \(h[n]=0\) برای \(n \lt 0\) دارد، بنابراین تبدیل آن هیچ توان مثبت \(z\) ندارد و سری به صورت \(|z|\to\infty\) همگرا می شود - هر جمله یا ثابت است یا به سمت صفر میل می کند. برعکس، یک دنباله سمت راست که ROC آن شامل نقطه در بینهایت است، نمی تواند هیچ عبارتی در توان های مثبت \(z\) نداشته باشد، بنابراین باید برای \(n \lt 0\) ناپدید شود.

علّیت، دو روش آزمایش آن

\[ \text{causal} \iff \text{ROC is } |z| \gt R_- \ \text{including } z=\infty \iff \lim_{z\to\infty}H(z) \ \text{is finite} \]

برای یک \(H(z)\) منطقی که به عنوان نسبتی از چندجمله ای ها در \(z\) نوشته شده است، این حد دقیقا زمانی محدود است که درجه صورت از درجه مخرج تجاوز نکند – زمانی که سیستم صفر بیشتر از قطب نداشته باشد. این یک آزمایش سریع و قابل اعتماد است و همتای گسسته شرایط مناسب در یک تابع انتقال در فصل 19 است. سیستمی مانند \(H(z) = z^2/(z-0.5)\) دارای یک ROC بیرونی است و در یک نگاه علّی به نظر می رسد، اما پاسخ ضربه آن از \(n=-2\) شروع می شود، و مازاد آن چیزی است که آن را از بین می برد.

کنار هم قرار دادن این دو نتیجه ای را ایجاد می کند که بر طراحی سیستم زمان‌گسسته حاکم است.

🔑

علّی و پایدار با هم

\[ \text{causal and stable} \iff \text{every pole of } H(z) \ \text{satisfies } |p_k| \lt 1 \ \text{(and no more zeros than poles)} \]

علّیت ROC را خارج از بیرونی ترین قطب مجبور می کند. پایداری دایره واحد را به ROC وادار می کند. هر دو فقط در صورتی می توانند باقی بمانند که شعاع بیرونی ترین قطب کمتر از یک باشد - بنابراین کل صورت فلکی قطب باید دقیقاً در داخل دایره واحد قرار گیرد.

اموال	زمان‌پیوسته (فصل 17 و 19)	زمان‌گسسته (این فصل)
تبدیل متغیر	\(s = \sigma + j\omega\)	\(z = re^{j\Omega}\)، با \(z=e^{sT}\)
تبدیل فوریه همچنان ادامه دارد	محور \(j\omega\)	دایره واحد \(\|z\|=1\)
شکل ROC	یک نوار عمودی	یک حلقه در مرکز مبدا
سیگنال سمت راست	ROC سمت راست ترین قطب	ROC خارج از خارجی ترین قطب
ثبات	محور \(j\omega\) در ROC	دایره واحد در ROC
علّی و پایدار	تمام قطب ها در \(\operatorname{Re}\{s\} \lt 0\)	تمام قطب های داخل \(\|z\| = 1\)

جدول را به عنوان یک ایده بخوانید. نقشه \(z=e^{sT}\) نیم صفحه سمت چپ را به داخل دایره واحد می فرستد، بنابراین "قطب ها در نیم صفحه سمت چپ" و "قطب های داخل دایره واحد" همان جمله ای هستند که در دو زبان گفته می شود. هر معیار پایداری که برای سیستم‌های پیوسته آموخته‌اید یک دوقلو گسسته دارد که با اعمال آن نقشه به دست می‌آید - به همین دلیل است که تست روث هیچ آنالوگ گسسته مستقیمی ندارد اما تست Jury که می‌پرسد آیا ریشه‌ها در داخل دایره قرار دارند یا خیر، همین نقش را بازی می‌کند.

بخش 23-8

جدول ساخته شده، نقل قول نشده است

فقط تعداد انگشت شماری از جفت ها باید وجود داشته باشند و هر یک از آنها را می توان از سری هندسی بخش 23-4 در یک یا دو خط بدست آورد. استخراج یک بار آنها سرمایه گذاری بهتری نسبت به حفظ کردن آنها است، زیرا مشتقات نیز ROC ها را تولید می کنند.

ضربه. \(\mathcal{Z}\{\delta[n]\} = \sum_n \delta[n]z^{-n} = 1\)، همگرا برای هر \(z\) - تنها تبدیل بدون هیچ محدودیتی. Shifting به \(\delta[n-k] \leftrightarrow z^{-k}\) می دهد که ROC آن \(z=0\) را برای \(k \gt 0\) و \(z=\infty\) را برای \(k \lt 0\) مستثنی می کند.

اجرای نمایی محدود. کوتاه کردن اصطلاحات \(a^nu[n]\) به \(N\)، سری هندسی نامتناهی را به یک سری محدود تبدیل می‌کند:

مجموع هندسی محدود

\[ \sum_{n=0}^{N-1}\big(az^{-1}\big)^n = \frac{1-a^{N}z^{-N}}{1-az^{-1}}, \qquad \text{ROC: all } z \ne 0 \]

قطب ظاهری در \(z=a\) با صفر عددی که باید وجود داشته باشد لغو می شود: یک دنباله با طول محدود در همه جا به جز احتمالاً در مبدا همگرا می شود، بنابراین نمی تواند در جای دیگری قطب داشته باشد. مشاهده این لغو، بهترین بررسی ممکن برای این قانون است.

ضرب در \(n\). سری هندسی را با توجه به \(z\) ممشتق‌گیری کنید. از آنجایی که \(\frac{d}{dz}z^{-n} = -nz^{-n-1}\)، چنین است که \(\sum_n n\,x[n]z^{-n} = -z\,\frac{dX}{dz}\). اعمال این روی \(X(z)=1/(1-az^{-1})\):

نمایی شیبدار

\[ \frac{dX}{dz} = \frac{-a z^{-2}}{\big(1-az^{-1}\big)^{2}} \qquad\Longrightarrow\qquad n\,a^{n}u[n] \;\longleftrightarrow\; \frac{a z^{-1}}{\big(1-az^{-1}\big)^{2}}, \quad |z| \gt |a| \]

یک قطب مکرر در \(z=a\)، دقیقاً مانند ریشه تکرار شده یک معادله مشخصه، عبارت \(n a^n\) را در راه حل های فصل 9 ایجاد می کند. ROC بدون تغییر است، زیرا ضرب در \(n\) نمی تواند نرخ رشد نمایی را تغییر دهد.

سینوسی های میرایی اینها بیشترین اهمیت را دارند، زیرا هر سیستم گسسته مرتبه دوم یکی را تولید می کند. کسینوس را به صورت مجموع دو نمایی مختلط بنویسید و جفت اصلی را دو بار با \(a = re^{\pm j\Omega_0}\) اعمال کنید:

دو قطب مزدوج با هم ترکیب می شوند

\[ r^{n}\cos(\Omega_0 n)u[n] = \tfrac12\big(re^{j\Omega_0}\big)^{n}u[n] + \tfrac12\big(re^{-j\Omega_0}\big)^{n}u[n] \;\longleftrightarrow\; \frac{\tfrac12}{1-re^{j\Omega_0}z^{-1}} + \frac{\tfrac12}{1-re^{-j\Omega_0}z^{-1}} \]

با قرار دادن دو کسر روی یک مخرج مشترک، عبارت متقاطع \(re^{j\Omega_0}+re^{-j\Omega_0} = 2r\cos\Omega_0\) و حاصل ضرب قطب ها \(r^2\) را نشان می دهد:

🔑

جفت های میرایی سینوسی

\[ r^{n}\cos(\Omega_0 n)u[n] \leftrightarrow \frac{1-r\cos\Omega_0\,z^{-1}}{1-2r\cos\Omega_0\,z^{-1}+r^{2}z^{-2}}, \qquad r^{n}\sin(\Omega_0 n)u[n] \leftrightarrow \frac{r\sin\Omega_0\,z^{-1}}{1-2r\cos\Omega_0\,z^{-1}+r^{2}z^{-2}} \]

هر دو با ROC \(|z| \gt r\). مخرج مشترک است: یک جفت قطب مزدوج در \(re^{\pm j\Omega_0}\). فقط شماره‌گذار کسینوس را از سینوس متمایز می‌کند - این همان رابطه‌ای است که جفت‌های لاپلاس فصل 18 دارند.

\(x[n]\)	\(X(z)\)	ROC
\(\delta[n]\)	\(1\)	همه \(z\)
\(\delta[n-k],\ k\gt0\)	\(z^{-k}\)	\(\|z\| \gt 0\)
\(u[n]\)	\(\dfrac{1}{1-z^{-1}}\)	\(\|z\| \gt 1\)
\(-u[-n-1]\)	\(\dfrac{1}{1-z^{-1}}\)	\(\|z\| \lt 1\)
\(a^{n}u[n]\)	\(\dfrac{1}{1-az^{-1}}\)	\(\|z\| \gt \|a\|\)
\(-a^{n}u[-n-1]\)	\(\dfrac{1}{1-az^{-1}}\)	\(\|z\| \lt \|a\|\)
\(n\,a^{n}u[n]\)	\(\dfrac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}\)	\(\|z\| \gt \|a\|\)
\(a^{n}\big(u[n]-u[n-N]\big)\)	\(\dfrac{1-a^{N}z^{-N}}{1-az^{-1}}\)	\(\|z\| \gt 0\)
\(r^{n}\cos(\Omega_0 n)u[n]\)	\(\dfrac{1-r\cos\Omega_0 z^{-1}}{1-2r\cos\Omega_0 z^{-1}+r^{2}z^{-2}}\)	\(\|z\| \gt r\)
\(r^{n}\sin(\Omega_0 n)u[n]\)	\(\dfrac{r\sin\Omega_0 z^{-1}}{1-2r\cos\Omega_0 z^{-1}+r^{2}z^{-2}}\)	\(\|z\| \gt r\)

بخش 23-9

بازگشت سیگنال

معکوس رسمی یک انتگرال کانتور است که با ضرب تعریف در \(z^{k-1}\) و انتگرال‌گیری در اطراف یک مسیر بسته در داخل ROC به دست می آید. تنها واقعیت مورد نیاز این است که \(\frac{1}{2\pi j}\oint z^{k-n-1}dz\) برابر است با 1 در زمانی که \(k=n\) و در غیر این صورت 0 است، که قضیه کوشی در ساده ترین شکل آن است.

انتگرال وارونگی

\[ x[n] \;=\; \frac{1}{2\pi j}\oint_{C} X(z)\,z^{\,n-1}\,dz, \qquad C \ \text{any closed anticlockwise contour in the ROC} \]

دانستن وجود این امر اطمینان بخش است و تقریباً هرگز با دست ارزیابی نمی شود. دو مسیر عملی همه کار را انجام می دهند.

مسیر اول: کسری جزئی. \(X(z)\) را به عنوان نسبت چندجمله‌ای در \(z^{-1}\) بنویسید، در صورت لزوم با تقسیم طولانی آن را به کسر مناسب کاهش دهید و به عبارت‌های مرتبه اول تقسیم کنید. سپس، و این مرحله ای است که نشانه ها را حمل می کند، با مقایسه شعاع قطب آن با ROC، به هر عبارت یک جهت اختصاص دهید. یک قطب در داخل مرز داخلی ROC عبارت سمت راست \(A a^n u[n]\) را ایجاد می کند. یک قطب خارج از مرز بیرونی عبارت سمت چپ \(-A a^n u[-n-1]\) را ایجاد می کند.

قاعده ای که هر اصطلاح را تعیین می کند

\[ \frac{A}{1-a z^{-1}} \;\longrightarrow\; \begin{cases} A\,a^{n}u[n], & \text{if } |a| \le R_- \ \text{(pole inside the ROC's hole)}\\ -A\,a^{n}u[-n-1], & \text{if } |a| \ge R_+ \ \text{(pole outside the ROC)} \end{cases} \]

احتیاط در حسابداری: کسر جزئی ممکن است در انجام شود\(z^{-1}\)یا در\(z\)، اما نه بی احتیاطی در\(z\). در حال گسترش\(X(z)\)مستقیما در\(z\)معمولاً شرایط فرم را تولید می کند\(Az/(z-a)\)به جای\(A/(z-a)\)و راه حل استاندارد گسترش است\(X(z)/z\)به کسر جزئی و سپس ضرب در\(z\)در پایان کار در\(z^{-1}\)در سراسر این مسئله به طور کامل اجتناب می کند و این عادت ارزش به دست آوردن است.

مسیر دوم: گسترش سری پاور. از آنجایی که \(X(z)\) سری \(\sum_n x[n]z^{-n}\) است، هر گونه گسترش آن در توان های \(z^{-1}\) دنباله را مستقیماً نشان می دهد. برای یک تابع منطقی، این تقسیم طولانی است، و ROC تصمیم می‌گیرد که به کدام روش تقسیم شود: یک ROC خارجی یک سری در توان‌های صعودی \(z^{-1}\) را فراخوانی می‌کند، که به معنای تقسیم با هر دو چند جمله‌ای نوشته شده به صورت صعودی \(z^{-1}\) است. یک ROC داخلی یک سری در توان های صعودی \(z\) را می طلبد که با معکوس کردن هر دو چند جمله ای به دست می آید. تقسیم به روش اشتباه یک سری کاملا معتبر تولید می کند که در ناحیه اشتباه همگرا می شود و سیگنال اشتباه را توصیف می کند.

این مسیر به جای یک شکل بسته، مقادیری را ارائه می‌کند، که آن را برای بررسی چند نمونه اول یک پاسخ به‌دست‌آمده با کسرهای جزئی، و برای تبدیل‌های با طول محدود یا ناجور که در آن شکل بسته وجود ندارد، ایده‌آل می‌کند. برای یک سیگنال علّی، معادل اجرای معادله تفاضل به سمت جلو از حالت سکون است، که اغلب سریع‌ترین بررسی از همه است.

همیشه \(x[0]\) را بررسی کنید. هر مسیری که انتخاب شد، مقدار اولیه به صورت رایگان در دسترس است: برای یک سیگنال علّی \(x[0] = \lim_{z\to\infty}X(z)\)، زیرا هر عبارت دیگر سری در آن حد ناپدید می شود. هزینه آن یک خط است و کسر زیادی از لغزش های جبری را می گیرد. فصل 24 این مشاهدات را به قضیه ارزش اولیه ارتقا می‌دهد و شریک ارزش نهایی آن را عرضه می‌کند.

بخش 23-10

نمونه های کار شده

1 دنباله های با طول محدود و صفحات سوراخ شده آنها

مشکل تبدیل z و ROC (الف) \(x[n]\) را با مقادیر \(1, 2, 0, -1\) در \(n=0,1,2,3\) پیدا کنید. (ب) \(y[n]\) که همان مقادیر را در \(n=-2,-1,0,1\) می گیرد. (ج) \(\delta[n-5]\).

راه حل (الف). مجموع تعریف کننده ترم را بنویسید - فقط چهار عبارت وجود دارد:

در حال کار کردن

\[ X(z) = 1 + 2z^{-1} + 0\cdot z^{-2} - z^{-3} \]

هر عبارت برای هر \(z \ne 0\) محدود است، و توان های منفی در مبدا منفجر می شوند، بنابراین ROC \(|z| \gt 0\) است - کل صفحه با منشا سوراخ شده است. نقطه در بی نهایت گنجانده شده است، زیرا \(X(\infty) = 1\)، که آزمون علّیت بخش 23-7 است که تأیید می کند که دنباله از \(n=0\) شروع می شود.

راه حل (ب). همان مقادیری که دو جا قبل جابجا شده اند، توان های مثبت \(z\) را می دهند:

در حال کار کردن

\[ Y(z) = z^{2} + 2z + 0 - z^{-1}, \qquad \text{ROC: } 0 \lt |z| \lt \infty \]

اکنون هر دو انتها حذف می شوند: مبدأ به دلیل \(z^{-1}\)، بی نهایت به دلیل \(z^2\). این قانون طول محدود به طور کامل است - و توجه داشته باشید که \(Y(z) = z^2 X(z)\)، که ویژگی شیفت فصل 24 است که قبل از اثبات ظاهر می شود.

راه حل (ج). \(\mathcal{Z}\{\delta[n-5]\} = z^{-5}\)، ROC \(|z| \gt 0\). تبدیل یک تاخیر خالص یک توان خالص است، به همین دلیل است که \(z^{-1}\) عنصر تاخیر را در یک نمودار بلوکی برچسب گذاری می کند.

2 یک عبارت، سه سیگنال

مشکل اجازه دهید \(X(z) = \dfrac{1}{\big(1-\tfrac12 z^{-1}\big)\big(1-2z^{-1}\big)}\). \(x[n]\) را برای هر یک از سه ناحیه احتمالی همگرایی پیدا کنید و بگویید کدام یک سیگنال پایدار است.

راه حل. قطب ها در \(z=\tfrac12\) و \(z=2\) هستند، بنابراین هواپیما به سه منطقه نامزد تقسیم می شود: \(|z| \lt \tfrac12\)، \(\tfrac12 \lt |z| \lt 2\)، و \(|z| \gt 2\). یک بار در \(z^{-1}\) گسترش دهید:

کار - کسر جزئی

\[ X(z) = \frac{A}{1-\tfrac12 z^{-1}} + \frac{B}{1-2z^{-1}}, \qquad A = \frac{1}{1-2z^{-1}}\bigg|_{z^{-1}=2} = -\frac13, \quad B = \frac{1}{1-\tfrac12 z^{-1}}\bigg|_{z^{-1}=\frac12} = \frac43 \]

با تنظیم \(z^{-1}=0\): \(-\tfrac13+\tfrac43 = 1\)، که با \(X(\infty)=1\) مطابقت دارد، گسترش را بررسی کنید. اکنون مسیرها را منطقه به منطقه اختصاص دهید.

(i) \(|z| \gt 2\). هر دو قطب در داخل سوراخ قرار دارند، بنابراین هر دو عبارت سمت راست هستند:

کار کردن - پاسخ علّی

\[ x[n] = \left[-\tfrac13\left(\tfrac12\right)^{n} + \tfrac43\,2^{\,n}\right]u[n] \]

علت، اما در حال رشد مانند \(2^n\): پایدار نیست، و دایره واحد در واقع خارج از این ROC است. \(x[0] = -\tfrac13+\tfrac43 = 1\) ✓ را بررسی کنید.

(ii) \(|z| \lt \tfrac12\). هر دو قطب در خارج قرار دارند، بنابراین هر دو عبارت سمت چپ هستند و علامت هر دو تغییر می کند:

کار کردن - پاسخ پادعلّی

\[ x[n] = \left[\tfrac13\left(\tfrac12\right)^{n} - \tfrac43\,2^{\,n}\right]u[-n-1] \]

صفر برای \(n\ge0\)، و به عنوان \(n\to-\infty\) عبارت \((\tfrac12)^n\) منفجر می شود: دوباره ناپایدار، دوباره مطابق با دایره واحد خارج از ROC.

(iii) \(\tfrac12 \lt |z| \lt 2\). قطب در \(\tfrac12\) در داخل سوراخ و قطب در 2 خارج است، بنابراین اصطلاحات تقسیم می شوند:

کار کردن - پاسخ پایدار

\[ x[n] = -\tfrac13\left(\tfrac12\right)^{n}u[n] \;-\; \tfrac43\,2^{\,n}u[-n-1] \]

دو طرفه، در هر دو جهت پوسیده - به عنوان \(n\to+\infty\) به دلیل \((\tfrac12)^n\to0\)، و به عنوان \(n\to-\infty\) به دلیل \(2^n\to0\). این ROC حاوی دایره واحد است، بنابراین این گزینه کاملاً قابل جمع بندی است و تنها یکی از این سه مورد با DTFT است. سه سیگنال، یک فرمول: ROC تمام کارها را انجام می داد.

3 یک سیگنال دو طرفه که به صراحت خلاصه می شود

مشکل \(X(z)\) و ROC آن را برای \(x[n] = (0.8)^{n}u[n] - (1.25)^{n}u[-n-1]\) پیدا کنید و با محاسبه مستقیم \(\sum_n |x[n]|\) نتیجه پایداری را تأیید کنید.

راه حل. هر قطعه یک جفت استاندارد است. اولی \(1/(1-0.8z^{-1})\) را با \(|z| \gt 0.8\) می دهد. دومی با فرم سمت چپ \(-a^nu[-n-1]\) با \(a=1.25\) مطابقت دارد و \(1/(1-1.25z^{-1})\) را با \(|z| \lt 1.25\) می دهد. مجموع آنها در جایی همگرا می شود که هر دو انجام می دهند:

در حال کار کردن

\[ X(z) = \frac{1}{1-0.8z^{-1}} + \frac{1}{1-1.25z^{-1}} = \frac{2 - 2.05z^{-1}}{1 - 2.05z^{-1} + z^{-2}}, \qquad 0.8 \lt |z| \lt 1.25 \]

بررسی مخرج: \((1-0.8z^{-1})(1-1.25z^{-1}) = 1 - 2.05z^{-1} + z^{-2}\)، از \(0.8+1.25 = 2.05\) و \(0.8\times1.25 = 1\). حلقه شامل دایره واحد است، بنابراین دنباله باید کاملاً قابل جمع باشد. تاییدش کنید:

کار کردن - مجموع مستقیم

\[ \sum_{n=0}^{\infty}(0.8)^{n} + \sum_{m=1}^{\infty}(1.25)^{-m} = \frac{1}{1-0.8} + \frac{0.8}{1-0.8} = 5 + 4 = 9 \]

با استفاده از \((1.25)^{-1} = 0.8\) برای جمع دوم. کل 9 است، متناهی، همانطور که وعده داده شده بود. حاصلضرب قطب دقیقاً 1 است به این معنی که دو قطب متقابل هستند، بنابراین حلق در مقیاس شعاعی لگاریتمی نسبت به دایره واحد متقارن است - پیکربندی که هر زمان که یک سیگنال به صورت نمایی در حال فروپاشی دو طرفه ساخته می شود ظاهر می شود.

4 یک سینوسی میرا، قطب ها و همه

مشکل \(X(z)\)، ROC و مکان‌های قطب آن را برای \(x[n] = (0.9)^{n}\cos(\pi n/4)\,u[n]\) پیدا کنید. آیا سیگنال پایدار است؟ اگر 0.9 1.1 شود چه تغییری می کند؟

راه حل. جفت مشتق شده را با \(r=0.9\) و \(\Omega_0 = \pi/4\) اعمال کنید. از زمان \(\cos(\pi/4)=0.70711\)،

کار کردن - ضرایب

\[ r\cos\Omega_0 = 0.63640, \qquad 2r\cos\Omega_0 = 1.27279, \qquad r^{2} = 0.81 \]

کار کردن - تبدیل

\[ X(z) = \frac{1 - 0.63640\,z^{-1}}{1 - 1.27279\,z^{-1} + 0.81\,z^{-2}}, \qquad |z| \gt 0.9 \]

مخرج به صورت \((1-0.9e^{j\pi/4}z^{-1})(1-0.9e^{-j\pi/4}z^{-1})\) تبدیل می شود، بنابراین قطب ها جفت مزدوج \(0.9e^{\pm j\pi/4}\) در شعاع 0.9 و زاویه \(\pm45^\circ\) هستند. شعاع فروپاشی را نشان می دهد - هر نمونه 0.9 از پوشش نمونه قبلی است - و زاویه نوسان را نشان می دهد، یک چرخه در هر نمونه \(2\pi/(\pi/4) = 8\). از آنجایی که \(0.9 \lt 1\) ROC \(|z| \gt 0.9\) حاوی دایره واحد است و سیگنال کاملاً قابل جمع است.

با \(r = 1.1\) هیچ چیز از نظر ساختاری تغییر نمی کند: تبدیل تبدیل به \((1-0.77782z^{-1})/(1-1.55563z^{-1}+1.21z^{-2})\) با ROC \(|z| \gt 1.1\) می شود. قطب ها خارج از دایره واحد حرکت کرده اند، ROC دیگر آن را ندارد، DTFT دیگر وجود ندارد، و دنباله نوسانی رو به رشد است. تبدیل بدون مزاحمت است. فقط ROC این فاجعه را ثبت می کند.

5 وارونگی توسط دو مسیر و یک قطب روی دایره

مشکل \(X(z) = \dfrac{1}{1 - 1.5z^{-1} + 0.5z^{-2}}\) را با ROC \(|z| \gt 1\)، با کسری جزئی و دوباره با تقسیم سری توان معکوس کنید. در مورد ثبات نظر دهید

راه حل - ابتدا قطب ها. عدد و مخرج را در \(z^2\) ضرب کنید: مخرج تبدیل به \(z^2 - 1.5z + 0.5\) می شود که ریشه آن \(\big(1.5 \pm \sqrt{2.25-2}\big)/2 = (1.5\pm0.5)/2\)، یعنی \(z=1\) و \(z=0.5\) است. بنابراین

کار - فرم فاکتور

\[ X(z) = \frac{1}{\big(1-z^{-1}\big)\big(1-\tfrac12 z^{-1}\big)}, \qquad |z| \gt 1 \]

مسیر یک کسرهای جزئی در\(z^{-1}\): \(A = 1/(1-\tfrac12 z^{-1})\)در\(z^{-1}=1\)می دهد\(A = 2\)، و\(B = 1/(1-z^{-1})\)در\(z^{-1}=2\)می دهد\(B = -1\). ROC خارج از هر دو قطب قرار دارد، بنابراین هر دو عبارت سمت راست هستند:

کار کردن - پاسخ

\[ x[n] = \left[2 - \left(\tfrac12\right)^{n}\right]u[n] \]

مسیر دو تقسیم طولانی از\(1\)توسط\(1-1.5z^{-1}+0.5z^{-2}\)در توان های صعودی از\(z^{-1}\)، یا معادل آن بازگشت\(x[n] = 1.5x[n-1]-0.5x[n-2]\)از\(x[-1]=x[-2]=0\)و\(x[0]=1\):

کار - چهار نمونه اول

\[ x[0]=1, \quad x[1]=1.5, \quad x[2]=1.5(1.5)-0.5(1)=1.75, \quad x[3]=1.5(1.75)-0.5(1.5)=1.875 \]

فرم بسته \(2-1=1\)، \(2-0.5=1.5\)، \(2-0.25=1.75\)، \(2-0.125=1.875\) را پیش‌بینی می‌کند - توافق در هر نمونه، که به اندازه‌ای که می‌توان درخواست کرد، یک چک قوی است.

ثبات. یک قطب دقیقاً روی دایره واحد قرار می‌گیرد، بنابراین ROC \(|z| \gt 1\) آن را حذف می‌کند و سیگنال مطلقاً قابل جمع‌بندی نیست - به‌طور مشهودی، زیرا \(x[n]\to2\) به جای صفر. به عنوان یک سیستم، این یک انتگرالگر گسسته با نشتی است که به معنای فصل 25 کمی پایدار است: ورودی‌های محدود نیازی به خروجی‌های محدود ندارند، زیرا ورودی پله‌ای آن را بدون محدودیت هدایت می‌کند.

6 انتخاب یک ROC برای یک سیستم

مشکل یک سیستم دارای \(H(z) = \dfrac{1}{\big(1-0.4z^{-1}\big)\big(1-0.9z^{-1}\big)\big(1-1.6z^{-1}\big)}\) است. همه ROCهای ممکن را فهرست کنید، هر کدام را به عنوان علت یا غیر و پایدار یا ناپایدار طبقه بندی کنید و بیان کنید که آیا سیستم می تواند هر دو باشد.

راه حل. سه شعاع قطبی متمایز - 0.4، 0.9 و 1.6 - صفحه را به چهار منطقه تقسیم می کنند، بنابراین چهار سیستم نامزد وجود دارد که این جبر را به اشتراک می گذارند.

ROC	پاسخ ضربه	علّی؟	دایره واحد داخل؟	پایدار؟
\(\|z\| \lt 0.4\)	کاملا چپ	نه (ضد علّی)	نه	نه
\(0.4 \lt \|z\| \lt 0.9\)	دو طرفه	نه	نه	نه
\(0.9 \lt \|z\| \lt 1.6\)	دو طرفه	نه	بله	بله
\(\|z\| \gt 1.6\)	کاملا سمت راست	بله	نه	نه

انتخاب علّی بیرونی ترین ناحیه است و به معنای دقیق آن علت است زیرا\(H(z)\)نوشته شده در\(z\)است\(z^3\)بیش از یک مکعب - درجات مساوی، بنابراین\(H(\infty) = 1\)محدود است و پاسخ در شروع می شود\(n=0\). اما آن ROC دایره واحد را حذف می کند، بنابراین سیستم به جای ته نشین شدن زنگ می زند: پاسخ ضربه آن شامل\((1.6)^n\).

انتخاب پایدار حلقوی میانی است که پاسخ ضربه آن از قطب های 0.4 و 0.9 به سمت راست و از قطب در 1.6 به سمت چپ است — برای منفی \(n\) غیرصفر است، بنابراین قبل از اینکه هیجان زده شود پاسخ می دهد و نمی تواند برای اجرا در زمان واقعی ساخته شود.

هیچ منطقه ای هر دو نیست، و هیچ زیرکی جبری یکی را ایجاد نمی کند: انسداد قطب در \(z = 1.6\) است که خارج از دایره واحد قرار دارد. این بیانیه کلی بخش 23-7 است و فصل 25 آن را به قانون طراحی تبدیل می کند که ریشه های مخرج فیلتر بازگشتی باید قبل از در نظر گرفتن هر چیز دیگری در داخل دایره واحد قرار گیرند.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ تعریف

\(X(z)=\sum_n x[n]z^{-n}\) — DTFT \(x[n]r^{-n}\) با \(z=re^{j\Omega}\). در \(|z|=1\) خود DTFT است.

✓ ROC

فقط به \(|z|\) بستگی دارد، بنابراین یک حلقوی \(R_-\lt|z|\lt R_+\) است که در مبدا متمرکز شده است، محدود به شعاع قطبی است و هیچ کدام را ندارد.

✓ جفت

\(X(z)\) به تنهایی چیزی را نام نمی برد. \(1/(1-az^{-1})\) \(a^nu[n]\) خارج از \(|a|\) و \(-a^nu[-n-1]\) در داخل آن است.

✓ چهار شکل

طول محدود → صفحه سوراخ شده. سمت راست → بیرونی؛ سمت چپ → داخلی; دو طرفه → حلقه. شعاع قطب \(P\) نامزدهای \(P+1\) را می دهد.

✓ ثبات

پایدار BIBO ⟺ دایره واحد در ROC قرار دارد ⟺ DTFT وجود دارد. چیز دیگری برای بررسی نیست.

✓ علّیت

ROC یک نمای خارجی که شامل \(z=\infty\) است. معادل \(H(z)\) صفر بیشتر از قطب ندارد. هر دو با هم: تمام قطب های داخل \(|z|=1\).

✓ جفت ها

همه چیز از سری هندسی ناشی می شود: شیفت، \(na^nu[n]\) با مشتق‌گیری، سینوسی میرا شده از جفت قطب مزدوج.

✓ وارونگی

کسرهای جزئی با ROC که جهت هر عبارت را تعیین می کند. تقسیم توان سری برای مقادیر؛ انتگرال کانتور برای رکورد.

تمرین کنید

مشکلات تمرین

مسائل 1 تا 3 تعریف و قوانین ROC را بیان می کنند. 4 و 5 مربوط به وارونگی. 6 تا 8 از تبدیل برای پاسخ به سوالات مربوط به سیستم‌ها استفاده می کنند. قبل از نوشتن هر پاسخی، نمودار قطب صفر را ترسیم کنید و ROC را سایه بزنید - بیشتر خطاهای این ماده اشتباهات هندسه هستند، نه جبر.

\(X(z)\) و ROC آن را برای \(x[n] = \big(\tfrac13\big)^{n}u[n] + \big(\tfrac14\big)^{n}u[n]\) و برای \(x[n]=\big(\tfrac13\big)^{n}u[n] + 3^{n}u[-n-1]\) پیدا کنید. توضیح دهید که چرا یکی از اینها دارای ROC دو طرفه است و دیگری ندارد.
نشان دهید که دنباله \(x[n]=1\) برای همه \(n\) هیچ تبدیل z ندارد، با نوشتن الزاماتی که هر نیمی از مجموع بر \(|z|\) تحمیل می‌کند. این را با DTFT آن از فصل 16 مقایسه کنید.
یک دنباله در خارج از \(-3 \le n \le 6\) صفر است. بدون محاسبه چیزی، ROC آن را بیان کنید و هر نقطه حذف شده را توجیه کنید.
\(X(z) = \dfrac{1+2z^{-1}}{1-0.25z^{-2}}\) را برای هر ROC قابل قبول معکوس کنید. مشخص کنید که کدام یک از پاسخ های شما پایدار و کدام یک علت است.
\(X(z)=\dfrac{z^{-1}}{(1-0.5z^{-1})^{2}}\) را با ROC \(|z|\gt0.5\) با استفاده از جفت \(na^nu[n]\) معکوس کنید، سپس سه نمونه اول خود را با تقسیم طولانی تأیید کنید.
یک سیستم علّی دارای \(H(z) = \dfrac{1-2z^{-1}}{1-0.5z^{-1}-0.14z^{-2}}\) است. قطب ها را پیدا کنید، ROC را بیان کنید و تصمیم بگیرید که آیا سیستم پایدار است یا خیر. صفرها کجا هستند و آیا موقعیت آنها بر ثبات تأثیر می گذارد؟
سیگنال \(x[n] = r^{n}\cos(\Omega_0 n)u[n]\) دارای قطب در \(re^{\pm j\Omega_0}\) است. با حرکت جفت قطب از شعاع 0.5 به شعاع 1 تا شعاع 1.4 در زاویه ثابت \(\pi/6\)، نحوه تغییر دنباله را ترسیم کنید و تغییر مربوطه را در ROC توصیف کنید.
ثابت کنید که اگر \(x[n]\) واقعی باشد، قطب ها و صفرهای \(X(z)\) در جفت های مختلط- مزدوج ظاهر می شوند. از نتیجه برای توضیح اینکه چرا یک سیستم مرتبه دوم واقعی هرگز نمی تواند دو قطب پیچیده با قدرهای متفاوت داشته باشد استفاده کنید.

نکته: قبل از نوشتن تبدیل، ROC را یادداشت کنید. اگر هر مسئله تبدیل z را با رسم قطب ها و سایه انداختن ناحیه شروع کنید، جهت هر عبارت جزئی-کسری برای شما تعیین می شود و پاسخ های پایداری و علّیت را می توان مستقیماً از تصویر خواند. فصل 24 ویژگی‌هایی را ارائه می‌کند که به شما امکان می‌دهد از مبلغ تعیین‌کننده به‌کلی اجتناب کنید، اما هر یک از آن‌ها یک بند در مورد اتفاقی که برای این منطقه می‌افتد را در خود دارد - بنابراین عادت ایجاد شده در اینجا همان چیزی است که به پرداخت ادامه می‌دهد.