- چرا هر ویژگی z-transform واقعاً دو عبارت است - یکی در مورد \(X(z)\) و دیگری در مورد ناحیهٔ همگرایی - و چرا دومی موردی است که در بررسی ها فراموش می شود.
- خطی بودن و شرایط منفرد که در آن ROC یک مجموع بزرگتر از تقاطع قطعات است: لغو قطب صفر.
- تغییر زمان، \(x[n-n_0] \leftrightarrow z^{-n_0}X(z)\)، و نسخه یک طرفه که شرایط اولیه را در فصل 25 آورده است.
- مقیاس گذاری در دامنه z: ضرب سیگنال در \(a^n\) مقیاس می شود و هر قطب و صفر را می چرخاند، به این ترتیب رزوناتورها خارج از مرحله ساخته می شوند.
- مشتق‌گیری در \(z\)، ویژگی که جفت‌های قطب مکرر \(n a^n u[n]\) را تولید می‌کند، و زمان معکوس، بسط و صرف.
- ویژگی کانولوشن \(y[n] = x[n] * h[n] \leftrightarrow Y(z) = X(z)H(z)\) - دلیل اینکه مجموع فصل 7 می تواند با یک محصول جایگزین شود.
- قضایای مقدار اولیه و نهایی، پیش شرطهای واقعی آنها و نحوه استفاده از آنها برای بررسی پاسخ در ده ثانیه.
از تعریف تا جعبه ابزار
فصل 23 تبدیل z دو طرفه یک دنباله را به عنوان یک سری توان در \(z^{-1}\) تعریف کرد و مشخص کرد که جفت \(\big(X(z),\,\text{ROC}\big)\) - هرگز \(X(z)\) به تنهایی - چیزی است که سیگنال را شناسایی می کند. آن فصل همچنین تعداد انگشت شماری از تبدیل ها را مستقیماً از مجموع محاسبه کرد، و در پایان آن روش شروع به گران شدن کرد. ارزیابی \(\sum_n x[n]z^{-n}\) از ابتدا برای \(n\,(0.4)^{n-3}\cos(\pi n/6)\,u[n-3]\) چشم‌انداز جذابی نیست.
همچنین غیر ضروری است. تقریباً هر دنباله‌ای که یک مهندس با آن ملاقات می‌کند، با مجموعه‌ای کوچک از عملیات‌ها - تأخیر، مقیاس‌گذاری با نمایی، ضرب در \(n\)، کانولوشن، انباشت - از چند مورد اولیه ساخته می‌شود و هر یک از این عملیات‌ها یک اثر ثابت و یک‌بار برای همیشه روی تبدیل دارند. تأثیر عملیات را بیاموزید و دیگر هرگز مجموع تعیین کننده را ارزیابی نخواهید کرد. شما سیگنال را تجزیه می‌کنید، موارد اولیه را جستجو می‌کنید و مونتاژ می‌کنید.
این دقیقاً استراتژی فصل 14 برای تبدیل فوریه و فصل 18 برای تبدیل لاپلاس است و بسیاری از نتایج در طرح کلی آشنا به نظر می رسند. با این حال، دامنه z یک پیچیدگی را اضافه می کند که آن فصل ها به همان شکل حاد نداشتند. از آنجایی که تبدیل فقط روی یک حلقه همگرا می شود، هر ویژگی دارای بند دوم است که توضیح می دهد چه اتفاقی برای آن حلقه می افتد. دانش آموزی که \(x[n-3] \leftrightarrow z^{-3}X(z)\) می نویسد و می ایستد، نصف قضیه نوشته است.
خطی بودن و کاری که با ROC انجام می دهد
خطی بودن بلافاصله از تعریف است، زیرا مجموع تعیین کننده خود یک عملیات خطی روی دنباله است. اگر \(x_1[n] \leftrightarrow X_1(z)\) در \(R_1\) و \(x_2[n] \leftrightarrow X_2(z)\) در \(R_2\)، پس برای هر ثابت \(\alpha,\beta\)،
تقسیم مجموع به دو مجموع فقط در مواردی که هر دو همگرا باشند مشروع است، بنابراین این ترکیب مطمئناً در \(R_1 \cap R_2\) معتبر است. این بیان صادقانه بند ROC است و به دلیلی به عنوان یک مهار و نه برابری بیان شده است.
ROC شامل تقاطع است و ممکن است به شدت بزرگتر باشد. دقیقاً زمانی بزرگتر است که ترکیب باعث شود یک قطب در مرز یک ROC با صفر دیگری لغو شود.
مورد لغو ارزش یک بار دیدن را دارد، زیرا مکانیسمی است که توسط آن سیگنال‌های با طول نامحدود به سیگنال‌های با طول محدود ترکیب می شوند. \(x_1[n] = (\tfrac12)^n u[n]\) و \(x_2[n] = (\tfrac12)^n u[n-1]\) را انتخاب کنید. هر دو سمت راست با یک قطب در \(z = \tfrac12\) هستند، بنابراین هر دو ROC \(|z| \gt \tfrac12\) هستند و تقاطع \(|z| \gt \tfrac12\) است. اما این دو دنباله در هر شاخصی به جز \(n = 0\) همخوانی دارند، بنابراین تفاوت آنها تنها نمونه \(\delta[n]\) است - یک سیگنال با طول محدود، که تبدیل آن ثابت \(1\) است، همگرا برای هر \(z\) در صفحه. قطب لغو شد و ROC از قسمت بیرونی سوراخ شده به همه چیز متورم شد.
شکست معکوس نیز ممکن است. اگر \(x_1[n] = 2^n u[n]\)، که ROC آن \(|z| \gt 2\) است، به \(x_2[n] = (\tfrac12)^n u[-n-1]\)، که ROC آن \(|z| \lt \tfrac12\) است، اضافه شود، این دو حلقه به هیچ وجه با هم همپوشانی ندارند. مجموع هیچ تبدیل z ندارد: هیچ مقدار \(z\) وجود ندارد که در آن سری تعیین کننده همگرا شود. این یک آسیب شناسی نیست که برای معاینه اختراع شده باشد - این بیانیه زمان‌گسسته است که سیگنالی که بدون محدودیت در هر دو جهت زمان رشد می کند، قابل نمایش نیست.
تغییر زمان
تأخیر عملیات ابتدایی سیستم‌های زمان‌گسسته است - یک ثبت تغییر، یک حافظه خوانده شده، یک نمونه از تأخیر - بنابراین تبدیل یک دنباله جابجا شده خاصیتی است که بیشتر از همه استفاده می شود. اشتقاق تغییر شاخص جمع است و نه بیشتر.
از آنجایی که جایگزینی صرفاً شرایط را مجدداً برچسب گذاری می کند، مجموعه \(|z|\) که مجموعه آنها کاملاً همگرا می شود بدون تغییر است - با یک شرط. فاکتور \(z^{-n_0}\) خود یک قطب در \(z=0\) در زمانی که \(n_0 \gt 0\) است، و یک قطب در \(z=\infty\) زمانی که \(n_0 \lt 0\) است. اگر ROC اصلی شامل نقطه مورد نظر باشد، شیفت آن را حذف می کند.
برای سیگنال سمت راست با طول نامحدود، این هرگز مهم نیست، زیرا \(z=0\) قبلاً حذف شده بود. برای سیگنال‌های با طول محدود، که ROC آنها کل صفحه است جدا از احتمالاً \(0\) یا \(\infty\) اهمیت دارد. با تاخیر \(\delta[n]\) با سه نمونه، \(z^{-3}\) به دست می‌آید که در همه جا به جز مبدا محدود است: ROC دقیقا یک نقطه را از دست داد.
تاخیر یک نمونه در \(z^{-1}\) ضرب می شود. این یک واقعیت این است که چرا \(z^{-1}\) به عنوان یک کادر با برچسب "تاخیر" در هر نمودار بلوکی زمان‌گسسته در این کتاب ترسیم شده است، و چرا معادله تفاوت در فصل 25 به یک نسبت چند جمله ای تبدیل می شود.
در اینجا تله ای وجود دارد که بیش از هر مورد دیگر در این فصل نامزدها را می گیرد و ارزش نامگذاری را دارد. این ویژگی برای \(x[n-n_0]\) اعمال می شود - کل سیگنال تغییر یافته، آرگومان و همه چیز. زمانی که فقط بخشی از عبارت جابجا شده باشد اعمال نمی شود. دنباله \((\tfrac12)^n u[n-3]\) تغییر \((\tfrac12)^n u[n]\) نیست. دنباله \((\tfrac12)^{n-3}u[n-3]\) است. هنگامی که فرم اول را ملاقات کردید، ابتدا عامل ثابت را استخراج کنید: \((\tfrac12)^n u[n-3] = (\tfrac12)^3 (\tfrac12)^{n-3}u[n-3]\). مثال کار شده 2 این کار را به طور کامل انجام می دهد.
در نهایت، نسخه ای از ویژگی که فصل 25 به آن نیاز دارد. تبدیل یک طرفه \(X_u(z) = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}\) همه چیز را قبل از \(n=0\) نادیده می‌گیرد، بنابراین جابه‌جایی نمونه‌ها را از مرز \(n=0\) می‌کشد و باید به صراحت در نظر گرفته شوند:
تکرار آرگومان به \(x[n-2] \leftrightarrow x[-2] + x[-1]z^{-1} + z^{-2}X_u(z)\) و غیره می دهد. گذشته ذخیره شده سیستم به صورت ثابت های افزایشی ظاهر می شود، که دقیقاً چگونه معادله اختلاف با شرایط اولیه غیر صفر حل می شود. تبدیل دوجانبه، که تمام زمان را می بیند، چنین اصطلاحاتی ندارد.
مقیاس گذاری در Z-Domain
ضرب کردن یک دنباله در یک \(a^n\) نمایی - جایی که \(a\) ممکن است پیچیده باشد - آنالوگ زمان‌گسسته تغییر لاپلاس \(e^{s_0 t}x(t) \leftrightarrow X(s-s_0)\) از فصل 18 است. در حوزه z، اثر یک ترجمه متغیر نیست، بلکه دارای ارزش است که به دنبال آن باشد. ساکن در
برای ROC، این سری زمانی همگرا می شود که \(z/a\) در حلقه اصلی \(r_1 \lt |z/a| \lt r_2\) قرار دارد، یعنی زمانی که \(|a|r_1 \lt |z| \lt |a|r_2\) است. هر دو شعاع در \(|a|\) ضرب می شوند. به طور معادل و مفیدتر: هر قطب و صفر \(X\) در مکانی \(p\) به \(ap\) منتقل می شود.
هر قطب و صفر در \(a\) ضرب می شود: با ضریب \(|a|\) به سمت بیرون مقیاس می شود و از طریق \(\arg a\) می چرخد.
سه کیس خاص تمام وزن عملی را به دوش می کشند. هنگامی که \(a\) واقعی و مثبت است، الگوی به سادگی به صورت شعاعی گشاد می شود - یک قطب پایدار را می توان از طریق دایره واحد به بیرون هل داد، به این ترتیب یک سیگنال پوسیده به سیگنال در حال رشد تبدیل می شود. هنگامی که \(a = -1\) الگو از طریق مبدا منعکس می شود، مربوط به ضریب متناوب \((-1)^n\). یک سیستم کم گذر به یک سیستم مرتفع تبدیل می شود، این واقعیت به طور مداوم در طراحی فیلتر استفاده می شود. هنگامی که \(a = e^{j\Omega_0}\)، به طوری که \(|a|=1\)، هیچ چیز اصلاً مقیاس بندی نمی شود و کل الگوی قطب صفر توسط \(\Omega_0\) در مورد مبدا چرخانده می شود. ROC دست نخورده است، زیرا \(|a|=1\).
معکوس، بسط و صرف
سه عملیات دیگر روی شاخص دارای تغییراتی است که از همان سبک جایگزینی ناشی می شود. زمان معکوس جایگزین \(n\) با \(-n\) می شود:
ROC با متغیر وارونه می شود: اگر \(X\) روی \(r_1 \lt |z| \lt r_2\) همگرا شود، \(X(1/z)\) روی \(1/r_2 \lt |z| \lt 1/r_1\) همگرا می شود. یک سیگنال سمت راست به سمت چپ تبدیل می شود، یک ROC خارجی به یک سیگنال داخلی تبدیل می شود و هر قطب در \(p\) در \(1/p\) دوباره ظاهر می شود. یک قطب در داخل دایره واحد در خارج از آن پرتاب می شود، دقیقاً به همین دلیل است که معکوس کردن یک سیگنال علّی پایدار در زمان چیزی پایدار اما پادعلّی تولید می کند - نقطه ای که فصل 25 هنگام بحث درباره سیستم‌های معکوس از آن استفاده می کند.
گسترش زمان - درج صفرهای \(k-1\) بین هر جفت نمونه، عملیات نمونه‌برداری در قلب پردازش چند نرخی - زمانی که \(n\) مضرب صفر صحیحی از \(k\) باشد، توسط \(x_{(k)}[n] = x[n/k]\) تعریف می‌شود. از آنجایی که فقط شاخص‌های \(n=km\) کمک می‌کنند،
با ROC \(R^{1/k}\): هر شعاع با ریشه \(k\)-امین آن جایگزین می شود و هر قطب به قطب های \(k\) تقسیم می شود که به طور مساوی روی یک دایره فاصله دارند. به تضاد با زمان‌پیوسته توجه کنید، جایی که فشرده سازی محور آرگومان تبدیل را تقسیم می کند. در اینجا، چون نمونه‌های درج‌شده به جای مقادیر درون‌یابی صفر هستند، اثر یک جایگزینی تمیز است.
مزدوج با به هم پیوستن ترم مجموع تعریف کننده به ترتیب انجام می شود، به یاد داشته باشید که مزدوج \(z^{-n}\) \((z^*)^{-n}\) است:
نتیجه آن چیزی است که اهمیت دارد. اگر \(x[n]\) واقعی است، \(x^*[n]=x[n]\)، بنابراین \(X(z) = X^*(z^*)\)، که ضرایب تابع گویا را وادار به واقعی بودن می کند و بنابراین هر قطب مختلط و صفر را مجبور می کند که همراه با مزدوج خود ظاهر شود. هر نمودار قطب صفر در این کتاب دقیقاً به همین دلیل نسبت به محور واقعی متقارن است و به همین دلیل است که یک تشدید همیشه به جای یک قطب دو قطب هزینه دارد.
مشتق‌گیری در Z-Domain
تا کنون هر ملک یک عملیات بر روی شاخص بوده است. این یک عملیات روی تبدیل است و منبع هر جفت تبدیل قطب مکرر است که تا به حال به آن نیاز خواهید داشت. عبارت سری تعریف کننده را با توجه به \(z\) ممشتق‌گیری کنید - قانونی در داخل ROC، جایی که یک سری توان به طور یکنواخت در زیر مجموعه های فشرده همگرا می شود:
مشتق‌گیری هیچ قطبی را حرکت نمی دهد، فقط نظم آن را بالا می برد، بنابراین شعاع همگرایی بدون تغییر است. ضرب یک سیگنال در \(n\) یک قطب ساده را به یک قطب دوتایی تبدیل می کند.
آن را روی جفت اسب کاری \(a^n u[n] \leftrightarrow z/(z-a)\) در \(|z| \gt |a|\) اعمال کنید. ممشتق‌گیری کردن تابع گویا با قانون ضریب،
بنابراین \(n\,a^n u[n] \leftrightarrow a z^{-1}/(1-az^{-1})^2\) با ROC \(|z| \gt |a|\). تکرار عملیات، \(n^2 a^n u[n]\)، \(n^3 a^n u[n]\) و بقیه اعضای خانواده را تولید می کند، که هر کدام یک قطب دیگر در \(z=a\) انباشته شده است. با خواندن متناظر به عقب، تبدیل معکوس یک قطب مکرر تشخیص داده می‌شود: یک قطب برابر \(m\) در \(z=a\) در یک تبدیل علّی همیشه به معنای عبارتی به شکل \(n^{m-1}a^n\) در دنباله است که به صورت چندجمله‌ای رشد می‌کند.
کانولوشن و انباشتگی
این خاصیتی است که تبدیل برای آن وجود دارد. فصل 7 نشان داد که خروجی یک سیستم LTI کانولوشن ورودی با پاسخ ضربه است، \(y[n] = \sum_k x[k]h[n-k]\)، و فصل 8 ویژگی های سیستم را خارج از شرایط در \(h[n]\) ساخته است. کانولوشن دقیق و کاملاً کلی است و همچنین برای هر ورودی طولانی تر از چند نمونه خسته کننده است. تبدیل z خستگی را به طور کامل حذف می کند.
گام میانی این دو مجموع را مبادله می کند، که در هر جایی که هر دو به طور مطلق همگرا شوند مجاز است - یعنی در تقاطع دو منطقه. مرحله بعد از آن، ویژگی تغییر زمانی است که به مجموع داخلی اعمال می شود. هیچ چیز دیگری در کار نیست: کل اثبات یک مبادله نظم و یک جانشینی است.
همانند خطی بودن، مهار می‌تواند سخت‌گیرانه باشد، و به همین دلیل: یک قطب \(H\) که با صفر \(X\) لغو شود، منطقه را بزرگ می‌کند. لغو یک قطب توسط یک صفر عمداً قرار داده شده دقیقاً همان کاری است که یک سیستم تساوی یا معکوس انجام می دهد.
یک مورد خاص شایسته نام خود است. انباشت، مجموع جاری \(y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\)، همتای زمان‌گسسته انتگرال‌گیری است و در فصل 3 به عنوان رابطه بین ضربه و گام ظاهر شد. این ویژگی به هیچ وجه جدید نیست، زیرا یک جمع در حال اجرا یک کانولوشن با پلهٔ واحد است: \(\sum_{k\le n}x[k] = \sum_k x[k]u[n-k] = x[n]*u[n]\). از آنجایی که \(u[n] \leftrightarrow 1/(1-z^{-1})\) در \(|z| \gt 1\)، ویژگی کانولوشن بلافاصله پاسخ را می دهد.
Acumulating یک قطب را در \(z=1\) معرفی می کند - نسخه زمان‌گسسته \(1/s\) که انتگرال‌گیری در فصل 18 معرفی می کند. اولین تفاوت \(x[n]-x[n-1] \leftrightarrow (1-z^{-1})X(z)\) معکوس آن است و دوباره آن قطب را لغو می کند.
قضایای ارزش اولیه و نهایی
دو نتیجه یک نمونه از یک سیگنال را بدون معکوس کردن چیزی از تبدیل آن استخراج می کنند. هر دو فقط برای سیگنال‌های علّی اعمال می‌شوند، که برای این اهداف به معنای \(x[n]=0\) برای \(n \lt 0\) است، و محدودیت یک موضوع فنی نیست - قضایا بدون آن به سادگی نادرست هستند.
قضیه مقدار اولیه کمی بیشتر از خواندن سری است. برای یک سیگنال علّی، تبدیل یک سری توان در \(z^{-1}\) بدون هیچ توان مثبت است:
زیرا هر عبارت فراتر از اولی دارای یک عامل \(z^{-1}\) است که با رشد \(|z|\) ناپدید می شود. در ادامه این ایده، \(x[1] = \lim_{z\to\infty} z\big[X(z)-x[0]\big]\)، و غیره در ادامه دنباله - که چیزی نیست جز تقسیم طولانی صورت بر مخرج، روش وارونگی سری توان از فصل 23.
قضیه ارزش نهایی دقت بیشتری دارد. تبدیل اولین تفاوت یعنی \(x[n]-x[n-1]\) را در نظر بگیرید که با خطی بودن و جابجایی \((1-z^{-1})X(z)\) است. آن تبدیل را برای یک سیگنال علّی بنویسید و اجازه دهید \(z\to 1\):
آخرین مرحله تلسکوپی مجموع است: با افزودن \(x[0]-x[-1]\)، \(x[1]-x[0]\)، \(x[2]-x[1]\) و غیره تا \(N\) فقط \(x[N]-x[-1] = x[N]\) باقی می ماند. دستکاری تنها در صورتی معتبر است که محدودیت سمت چپ واقعاً وجود داشته باشد، و این کل محتوای پیش شرط است.
هر دو به \(x[n]=0\) برای \(n\lt 0\) نیاز دارند. قضیه ارزش نهایی علاوه بر این، مستلزم آن است که هر قطب \((1-z^{-1})X(z)\) دقیقاً در داخل دایره واحد قرار گیرد - اگر یک قطب روی یا خارج از آن قرار گیرد، دنباله نوسان یا واگرا شود، هیچ مقدار نهایی وجود ندارد، و فرمول با خوشحالی یک عدد بی معنی را برمی‌گرداند.
جدول خواص در حال استفاده
جمع آوری شده در یک مکان، خواص به این شکل است. ستون ROC تزئینی نیست. هر پاسخی که آن را حذف می کند ناقص تلقی کنید.
| اموال | دنباله | تبدیل کنید | ROC |
|---|---|---|---|
| خطی بودن | \(\alpha x_1[n]+\beta x_2[n]\) | \(\alpha X_1(z)+\beta X_2(z)\) | \(\supseteq R_1\cap R_2\) |
| تغییر زمان | \(x[n-n_0]\) | \(z^{-n_0}X(z)\) | \(R\)، به جز احتمالاً \(0,\infty\) |
| z-scaling | \(a^n x[n]\) | \(X(z/a)\) | \(|a|R\) |
| مدولاسیون | \(e^{j\Omega_0 n}x[n]\) | \(X\!\big(e^{-j\Omega_0}z\big)\) | \(R\) (قطب ها می چرخند) |
| زمان معکوس | \(x[-n]\) | \(X(1/z)\) | \(1/R\) |
| گسترش زمان | \(x_{(k)}[n]\) | \(X(z^k)\) | \(R^{1/k}\) |
| صرف | \(x^*[n]\) | \(X^*(z^*)\) | \(R\) |
| مشتق‌گیری در \(z\) | \(n\,x[n]\) | \(-z\,dX/dz\) | \(R\) |
| کانولوشن | \(x_1[n]*x_2[n]\) | \(X_1(z)X_2(z)\) | \(\supseteq R_1\cap R_2\) |
| تجمع | \(\sum_{k\le n}x[k]\) | \(X(z)/(1-z^{-1})\) | \(\supseteq R\cap\{|z|\gt 1\}\) |
| تفاوت اول | \(x[n]-x[n-1]\) | \((1-z^{-1})X(z)\) | \(\supseteq R\cap\{|z|\gt 0\}\) |
| مقدار اولیه | \(x[0]\)، علّی \(x\) | \(\lim_{z\to\infty}X(z)\) | — |
| ارزش نهایی | \(x[\infty]\)، علّی \(x\) | \(\lim_{z\to1}(1-z^{-1})X(z)\) | قطب های \((1-z^{-1})X\) داخل \(|z|=1\) |
ویژگی ها فقط نیمی از جعبه ابزار هستند. نیمه دیگر فهرست کوتاهی از جفت های ابتدایی است که هر یک از آنها در فصل 23 یا در این فصل مشتق شده اند و همه چیزهای دیگر از آن جمع شده اند.
| دنباله | تبدیل کنید | ROC |
|---|---|---|
| \(\delta[n]\) | \(1\) | همه \(z\) |
| \(\delta[n-m],\ m\gt 0\) | \(z^{-m}\) | همه \(z\) به جز \(0\) |
| \(u[n]\) | \(\dfrac{1}{1-z^{-1}}\) | \(|z|\gt 1\) |
| \(-u[-n-1]\) | \(\dfrac{1}{1-z^{-1}}\) | \(|z|\lt 1\) |
| \(a^n u[n]\) | \(\dfrac{1}{1-az^{-1}}\) | \(|z|\gt |a|\) |
| \(-a^n u[-n-1]\) | \(\dfrac{1}{1-az^{-1}}\) | \(|z|\lt |a|\) |
| \(n a^n u[n]\) | \(\dfrac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}\) | \(|z|\gt |a|\) |
| \(r^n\cos(\Omega_0 n)u[n]\) | \(\dfrac{1-r\cos\Omega_0\,z^{-1}}{1-2r\cos\Omega_0\,z^{-1}+r^2z^{-2}}\) | \(|z|\gt r\) |
| \(r^n\sin(\Omega_0 n)u[n]\) | \(\dfrac{r\sin\Omega_0\,z^{-1}}{1-2r\cos\Omega_0\,z^{-1}+r^2z^{-2}}\) | \(|z|\gt r\) |
به ردیف های چهارم و ششم در برابر سوم و پنجم توجه کنید. همان عبارت جبری دو دنباله کاملاً متفاوت را ارائه می‌کند، که فقط با ROC متمایز می‌شوند - نقطه‌ای که فصل 23 کار کرد، اکنون به عنوان ورودی جدول قابل مشاهده است. هر مشکلی که \(X(z)\) بدون ROC به شما دست دهد، مشخص نشده است، و پاسخ صحیح این است که برای هر منطقه قابل قبول یک پاسخ بدهید.
نمونه های کار شده
مشکل با استفاده از ویژگی مشتق‌گیری، تبدیل z و ROC (الف) \(x[n] = n\left(\tfrac13\right)^n u[n]\) و (ب) \(y[n] = (n+1)\left(\tfrac12\right)^n u[n]\) را پیدا کنید.
راه حل (الف). از \(\left(\tfrac13\right)^n u[n] \leftrightarrow 1/(1-\tfrac13 z^{-1})\) در \(|z| \gt \tfrac13\) شروع کنید و \(n\,x[n] \leftrightarrow -z\,dX/dz\) را اعمال کنید. نتیجه در بخش 24-6 برای یک \(a\) عمومی به دست آمد. جایگزینی \(a=\tfrac13\)،
یک قطب دوتایی در \(z=\tfrac13\)، ROC بدون تغییر از بدنه قطب ساده. دو نمونه اول را مطابق با تعریف بررسی کنید: \(x[0]=0\)، و \(X(z)\to 0\) به عنوان \(z\to\infty\)، همانطور که قضیه مقدار اولیه ایجاب می کند.
راه حل (ب). دوباره ممشتق‌گیری نشوید - در عوض، با استفاده از خطی بودن تقسیم کنید: \((n+1)a^n u[n] = n a^n u[n] + a^n u[n]\). با \(a=\tfrac12\)،
شرایط \(z^{-1}\) دقیقا لغو می شود و پاسخ یک دو قطب تمیز است. با قضیه مقدار اولیه تأیید کنید: \(Y(z)\to 1\) به عنوان \(z\to\infty\)، و \(y[0] = (0+1)(1) = 1\). درست است. این جفت، \((n+1)a^n u[n] \leftrightarrow 1/(1-az^{-1})^2\)، ارزش به خاطر سپردن را دارد - این تبدیلی است که هر زمان که یک سیستم مرتبه اول با یک کپی از خودش آبشاری می‌شود، با آن مواجه می‌شوید.
مشکل تبدیل های \(x[n] = \left(\tfrac12\right)^{n-3}u[n-3]\) و \(y[n] = \left(\tfrac12\right)^{n}u[n-3]\) را پیدا کنید و تفاوت را توضیح دهید.
راه حل. اولین مورد یک تغییر واقعی است. با نوشتن \(g[n] = \left(\tfrac12\right)^n u[n]\)، دقیقاً \(x[n] = g[n-3]\) داریم - پایه و گام با هم جابجا شده اند - بنابراین ویژگی shift به طور مستقیم اعمال می شود:
دومی تغییر \(g[n]\) نیست، زیرا نمایی همچنان از مبدا محاسبه می شود در حالی که مرحله از \(n=3\) شروع می شود. با استخراج ثابت، آن را به شکل صحیح وادار کنید:
دو تبدیل با ضریب \(\tfrac18\) متفاوت هستند و بررسی مستقیم است: اولین نمونه غیر صفر \(x\) \(x[3] = (\tfrac12)^0 = 1\) است، در حالی که برای \(y\) \(y[3] = (\tfrac12)^3 = \tfrac18\) است. هر دو ROC \(|z|\gt\tfrac12\) هستند. ضریب \(z^{-3}\) یک قطب سه گانه را در مبدا اضافه می کند که قبلاً حذف شده است.
مشکل تبدیل \(x[n] = r^n\cos(\Omega_0 n)\,u[n]\) را فقط با استفاده از خطی و مقیاس بندی z استخراج کنید، سپس آن را برای \(r=0.8\)، \(\Omega_0 = \pi/4\) ارزیابی کنید.
راه حل. کسینوس را به صورت یک جفت نمایی مزدوج بنویسید، به طوری که کل دنباله به مجموع دو دنباله هندسی با نسبت های مختلط تبدیل شود:
هر عبارت \(a^n u[n]\) با \(a = re^{\pm j\Omega_0}\)، و \(|a| = r\) در هر دو مورد است، بنابراین هر دو ROC \(|z| \gt r\) هستند و محل تقاطع آنها نیز همینطور است. اعمال جفت استاندارد و خطی بودن:
صورتگر \(\tfrac12\big[2 - r\big(e^{j\Omega_0}+e^{-j\Omega_0}\big)z^{-1}\big] = 1 - r\cos\Omega_0\,z^{-1}\) است و مخرج به \(1 - r\big(e^{j\Omega_0}+e^{-j\Omega_0}\big)z^{-1} + r^2 z^{-2}\) گسترش می یابد. از این رو
با \(r=0.8\) و \(\Omega_0=\pi/4\) ما \(\cos\Omega_0 = 0.7071\) داریم، بنابراین \(r\cos\Omega_0 = 0.5657\)، \(2r\cos\Omega_0 = 1.1314\) و \(r^2 = 0.64\):
نمونه اول را بررسی کنید: \(X(z)\to 1\) به عنوان \(z\to\infty\)، و \(x[0] = (0.8)^0\cos 0 = 1\). قطب ها در \(0.8e^{\pm j\pi/4}\) - جفت چرخش بخش 24-4، در شعاع \(0.8\) و زاویه \(45^\circ\) قرار دارند.
مشکل یک سیستم LTI با \(h[n] = \left(\tfrac13\right)^n u[n]\) توسط \(x[n] = \left(\tfrac12\right)^n u[n]\) هدایت می شود. \(y[n]\) را پیدا کنید.
راه حل. مسیر مستقیم، مجموع کانولوشن \(\sum_k (\tfrac12)^k(\tfrac13)^{n-k}\) است، که می‌تواند انجام شود، اما نیاز به مراقبت با حدود انتگرال دارد. مسیر تبدیل مکانیکی است. هر دو سیگنال سمت راست با قطب های داخل دایره واحد هستند، بنابراین
ROC تقاطع \(|z|\gt\tfrac12\) است - بزرگتر از این دو شعاع، همانطور که باید برای محصول سیگنال‌های سمت راست باشد. در کسری جزئی در متغیر \(z^{-1}\) بسط دهید و \(Y = A/(1-\tfrac12 z^{-1}) + B/(1-\tfrac13 z^{-1})\) را بنویسید. ضرب و تنظیم \(z^{-1} = 2\) عبارت دوم را می کشد و \(A = 1/(1-\tfrac13\cdot 2) = 1/(1-\tfrac23) = 3\) را می دهد. تنظیم \(z^{-1}=3\) \(B = 1/(1-\tfrac12\cdot 3) = 1/(-\tfrac12) = -2\) را می دهد.
هر دو عبارت سمت راست هستند زیرا ROC بیرونی ترین قطب است. دو نمونه اول را با مجموع کانولوشن مستقیماً تأیید کنید: \(y[0] = x[0]h[0] = 1\)، و فرمول \(3-2=1\) را نشان می‌دهد. سپس \(y[1] = x[0]h[1]+x[1]h[0] = \tfrac13+\tfrac12 = \tfrac56\)، و فرمول \(\tfrac32 - \tfrac23 = \tfrac{9-4}{6} = \tfrac56\) را می دهد. درست است.
مشکل اجازه دهید \(x[n] = (0.8)^n u[n]\) و \(y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\). \(Y(z)\) و \(y[n]\) را پیدا کنید، سپس \(y[0]\) و \(y[\infty]\) را با استفاده از قضایای مقدار تأیید کنید.
راه حل. ویژگی انباشتگی را برای \(X(z) = 1/(1-0.8z^{-1})\) اعمال کنید که ROC آن \(|z|\gt 0.8\) است. آکومولاتور یک قطب در \(z=1\) ایجاد می کند، بنابراین ROC محصول تقاطع \(|z|\gt 1\) است:
کسر جزئی مانند قبل: \(Y = A/(1-z^{-1}) + B/(1-0.8z^{-1})\) با \(A = 1/(1-0.8) = 5\) و \(B = 1/(1-1/0.8) = 1/(-0.25) = -4\). از این رو
چک با دست: \(y[0] = 5-4 = 1 = x[0]\); \(y[1] = 5-3.2 = 1.8 = 1+0.8\); \(y[2] = 5-2.56 = 2.44 = 1+0.8+0.64\). همه درسته
حالا قضایا. مقدار اولیه: \(\lim_{z\to\infty}Y(z) = 1/(1\cdot 1) = 1 = y[0]\). مقدار نهایی: تنها قطب \((1-z^{-1})Y(z) = 1/(1-0.8z^{-1})\) در \(z=0.8\)، داخل دایره واحد است، بنابراین قضیه اعمال می شود، و
که با \(5-4(0.8)^n \to 5\) موافق است و البته فقط مجموع سری هندسی \(\sum_{k\ge0}(0.8)^k\) است. قضایای مقدار چیزی را به ما نگفته اند که شکل بسته به ما نگفتند، اما آنها در دو خط و بدون بسط جزئی کسری به ما گفتند - که دقیقاً استفاده از آنها به عنوان بررسی یک محاسبه طولانی تر است.
مشکل (الف) با \(x_1[n]=\left(\tfrac12\right)^n u[n]\) و \(x_2[n]=\left(\tfrac12\right)^n u[n-1]\)، تبدیل \(w[n]=x_1[n]-x_2[n]\) و ROC آن را پیدا کنید. (ب) نشان دهید که \(v[n]=2^n u[n] + \left(\tfrac12\right)^n u[-n-1]\) اصلاً تبدیل z ندارد.
راه حل (الف). اولین تبدیل استاندارد است. برای دومی، ثابت را مانند مثال 2 استخراج کنید: \(x_2[n] = \tfrac12\left(\tfrac12\right)^{n-1}u[n-1]\)، یک تغییر \(x_1\) با مقیاس \(\tfrac12\)، بنابراین \(X_2(z) = \tfrac12 z^{-1}X_1(z)\).
تقاطع دو ROC \(|z|\gt\tfrac12\) بود، با این حال پاسخ در همه جا همگرا می شود: صفر معرفی شده توسط تفریق دقیقاً روی قطب در \(z=\tfrac12\) فرود آمده و آن را لغو کرده است. بررسی سلامت در حوزه زمان - این دو دنباله برای \(n\ge1\) یکسان هستند و فقط در \(n=0\) متفاوت هستند، بنابراین \(w[n]=\delta[n]\)، که تبدیل آن در واقع \(1\) با ROC کل صفحه است. این بند بزرگ‌نمایی ویژگی خطی است که در کوچک‌ترین مثال ممکن دیده می‌شود.
راه حل (ب). دو قطعه را جداگانه بردارید. \(2^n u[n]\) سمت راست فقط برای \(|z| \gt 2\) همگرا می شود. \(\left(\tfrac12\right)^n u[-n-1]\) سمت چپ فقط برای \(|z| \lt \tfrac12\) همگرا می شود. هیچ \(z\) وجود ندارد که هر دو را برآورده کند، بنابراین تقاطع خالی است و مجموع تعیین کننده برای \(v[n]\) برای هر \(z\) در صفحه واگرا می شود.
خواندن حوزه زمانی آموزنده تر از جبر است. همانطور که \(n\to+\infty\) سیگنال مانند \(2^n\) رشد می کند. به عنوان \(n\to-\infty\) مانند \((\tfrac12)^n = 2^{|n|}\) رشد می کند. هیچ وزنه‌ای \(|z|^{-n}\) نمی‌تواند رشد را در هر دو جهت به طور همزمان مهار کند، زیرا وزنه‌ای که یک طرف را سرکوب می‌کند، طرف دیگر را تقویت می‌کند. یک سیگنال باید تحت سلطه یک پوشش نمایی باشد تا یک تبدیل داشته باشد، اما اینطور نیست.
خلاصه فصل
یک عبارت جبری در مورد \(X(z)\) و یک بیانیه هندسی در مورد ROC. نصف جواب نصف نمره را می گیرد.
\(x[n-n_0]\leftrightarrow z^{-n_0}X(z)\). کل سیگنال باید جابجا شود. زمانی که فقط مرحله جابجا شده است ثابت را استخراج کنید.
\(a^n x[n]\leftrightarrow X(z/a)\). قطب ها و صفرها در \(a\) ضرب می شوند: مقیاس شده توسط \(|a|\)، چرخش با \(\arg a\).
\(n\,x[n]\leftrightarrow -z\,dX/dz\)، که به جای جابجایی، قطب ها را روی هم می چیند و \(na^nu[n]\) را تولید می کند.
\(x*h \leftrightarrow XH\) - دلیل تبدیل. انباشتگی با \(u[n]\) کانولوشن دارد و یک قطب در \(z=1\) اضافه می کند.
\(x[0]=\lim_{z\to\infty}X\)، \(x[\infty]=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})X\)، هر دو برای سیگنال‌های علّی، دومی فقط در صورتی که قطب ها داخل \(|z|=1\) باشند.
مشکلات
مسائل 1 تا 3 تمرین خواص تک; 4 تا 6 ترکیب چند. 7 و 8 از شما می خواهند چیزهایی را ثابت کنید. ROC را با هر تبدیل بیان کنید - پاسخ بدون یک پاسخ نیست.
- تبدیل z و ROC \(x[n] = 3\left(\tfrac14\right)^{n-2}u[n-2] - 2\left(\tfrac14\right)^{n}u[n-2]\) را پیدا کنید. تا آنجا که ممکن است ساده کنید و توضیح دهید که چرا این دو عبارت لغو نمی شوند.
- برای یافتن تبدیل \(n^2 a^n u[n]\) دو بار از ویژگی مشتق‌گیری استفاده کنید و با بررسی نمونه‌ها در \(n=0\) و \(n=1\) در برابر سری توان، پاسخ خود را تأیید کنید.
- با توجه به \(x[n] \leftrightarrow X(z)\) در \(2 \lt |z| \lt 3\)، تبدیل و ROC (الف) \(x[-n]\)، (ب) \((-1)^n x[n]\)، (ج) \(x[n]*x[n]\)، (د) دنباله ای که با درج یک جفت نمونه به دست می آید را بیان کنید. \(x[n]\).
- یک سیستم LTI دارای \(h[n] = \left(\tfrac14\right)^n u[n]\) است و توسط \(x[n] = u[n] - u[n-4]\) هدایت می شود. \(Y(z)\) و \(y[n]\) را پیدا کنید و ROC را بیان کنید. \(y[0]\) و \(y[4]\) را با کانولوشن مستقیم بررسی کنید.
- وقتی \(x[n] = (0.5)^n u[n]\) دو بار جمع شده است، \(y[n]\) را پیدا کنید. از قضیه ارزش نهایی در جایی که اعمال می شود استفاده کنید و به دقت توضیح دهید که چرا در انباشت دوم اعمال نمی شود.
- تبدیل \(r^n\sin(\Omega_0 n)u[n]\) را با روش Worked Example 3 استخراج کنید و تأیید کنید که شمارشگر شما در \(n=0\) مانند دنباله ناپدید می شود.
- ویژگی مدولاسیون \(e^{j\Omega_0 n}x[n] \leftrightarrow X\!\big(e^{-j\Omega_0}z\big)\) را از تعریف ثابت کنید و از آن برای توضیح اینکه چرا ضرب یک دنباله در \((-1)^n\) یک سیستم lowpass را به یک highpass تبدیل می کند، استفاده کنید.
- ثابت کنید که اگر \(x[n]\) واقعی و علّی است با تمام قطب‌ها دقیقاً در دایره واحد، آنگاه \(\sum_{n=0}^{\infty}x[n] = X(1)\). سپس در یک جمله توضیح دهید که چرا این قضیه ارزش نهایی اعمال شده به سیگنال انباشته شده است.