- چگونه یک معادله اختلاف ضریب ثابت به یک تابع سیستم منطقی \(H(z)\) در سه خط تبدیل می شود و چرا این معادله به تنهایی هرگز سیستم را به طور کامل مشخص نمی کند.
- نحوه خواندن پاسخ ضربه از نمودار قطب صفر: هر قطب یک حالت است، شعاع آن فروپاشی را تنظیم می کند و زاویه آن نوسان را تعیین می کند.
- دو تست ROC که همه چیز را حل می‌کنند: علت به این معنی است که ROC بیرونی‌ترین قسمت بیرونی است، پایدار به این معنی است که ROC دارای دایره واحد است - و هر دو با هم به این معنی است که هر قطب داخل آن است.
- تبدیل یک طرفه، و چگونگی تقسیم کردن شرایط اولیه پاسخ به یک ورودی صفر و یک بخش حالت صفر.
- چگونه پاسخ فرکانس را با هندسه به دست آوریم - بردارها از قطب ها و صفرها تا نقطه ای از دایره واحد - و چرا یک قطب نزدیک دایره یک اوج تشدید ایجاد می کند.
- اتصالات: آبشار، موازی و بازخورد، با قطب های حلقه بسته به عنوان ریشه های \(1+G(z)F(z)=0\).
- ساختارهای تحقق - فرم مستقیم I و II - و اینکه چرا سیستم‌های معکوس می‌توانند پایدار، علّی، هر دو یا هیچکدام باشند، جایی که حداقل فاز از آنجا می‌آید.
از معادله تفاوت تا تابع سیستم
فصل 9 استدلال می کند که سیستم‌های فیزیکی زمان‌گسسته به عنوان معادلات تفاوت می رسند. یک فیلتر دیجیتال با یک بازگشت، یک حلقه کنترل توسط یک قانون به روز رسانی، یک مدل اقتصادی با رابطه بین خروجی این سه ماهه و دو مورد آخر مشخص می شود - همیشه یک شکل، یک معادله اختلاف ضریب ثابت خطی که خروجی را به مقادیر گذشته خودش و به ورودی مربوط می کند:
فصل 9 با یافتن ریشه های مشخصه و تطبیق یک راه حل خاص که کار می کند اما پر زحمت است و بخش های طبیعی و اجباری پاسخ را در بخش های جداگانه نگه می دارد، چنین معادلاتی را حل کرد. تبدیل z کل کار را به یکباره انجام می دهد، و آن را با دو ویژگی از فصل 24 و هیچ چیز دیگری انجام می دهد: خطی بودن، و این واقعیت که تاخیر نمونه های \(k\) تبدیل را در \(z^{-k}\) ضرب می کند.
هر دو طرف را متحول کنید. هر عبارت در سمت چپ یک کپی با تاخیر از \(y\) است، بنابراین \(a_k z^{-k}Y(z)\) را ارائه می دهد. هر عبارت سمت راست به \(b_m z^{-m}X(z)\) کمک می کند. برای لحظه ای فرض کنید که سیستم از حالت سکون شروع می شود، به طوری که تبدیل دو طرفه بدون شرایط مرزی اعمال می شود - بخش 25-4 این فرض را حذف می کند.
معادله ای که شامل دنباله های تاخیری \(N+M+2\) است به نسبت دو چند جمله ای تبدیل شده است که ضرایب آنها مستقیماً از بازگشت خوانده می شود. این نسبت تابع سیستم است و همتای زمان‌گسسته تابع انتقال فصل 19 است.
همچنین، و این همان نقطه ای است که فصل را به هم پیوند می دهد، تبدیل z پاسخ ضربه است. تنظیم \(x[n]=\delta[n]\) باعث ایجاد \(X(z)=1\) می شود، بنابراین \(Y(z)=H(z)\) و \(y[n]=h[n]\). ویژگی کانولوشن فصل 24 از جهت دیگر همین را می گوید: \(y[n]=x[n]*h[n]\) به \(Y(z)=X(z)H(z)\) تبدیل می شود، بنابراین نسبت \(Y/X\) هر ورودی باشد \(H(z)\) است. شرح معادله تفاوت و توضیح ضربه-پاسخ فصل 7 دو نما از یک شی هستند.
برای یک LCCDE عملکرد سیستم همیشه منطقی است. صورت آن سمت ورودی بازگشت، مخرج آن سمت بازخورد را حمل می کند و مخرج به تنهایی رفتار طبیعی سیستم را تعیین می کند.
قطب ها، صفرها و شکل پاسخ ضربه ای
دو چند جمله ای را فاکتور بگیرید. نوشتن ریشه های صورت به عنوان \(c_1,\dots,c_M\) و ریشه های مخرج به عنوان \(d_1,\dots,d_N\)،
\(c_m\) صفرها و \(d_k\) قطب ها هستند. در حال حاضر فرض کنید که قطب ها متمایز هستند و \(M \lt N\)، بنابراین نسبت کاملاً مناسب است. یک بسط کسری جزئی در متغیر \(z^{-1}\) سپس \(H\) را به مجموع عبارت‌های مرتبه اول تقسیم می‌کند و هر یک از آنها یک جفت استاندارد از فصل 24 هستند.
هر قطب دارای یک اصطلاح \(d_k^{\,n}\) است که فصل 9 آن را حالت طبیعی نامید. هیچ چیز در پاسخ ضربه از جای دیگری نمی آید: صفرها حالت ایجاد نمی کنند، آنها فقط ضرایب \(A_k\) را که حالت ها با آنها مخلوط شده اند، ثابت می کنند، و کاملاً ممکن است که یک صفر مقداری \(A_k\) را صفر کند و یک حالت را به طور کلی خاموش کند.
چون قطب \(d_k\) به طور کلی پیچیده است، آن را به صورت \(d_k = r_k e^{j\theta_k}\) بنویسید و رفتار حالت آن شفاف می شود: \(d_k^{\,n} = r_k^{\,n}e^{j\theta_k n}\). قدر قطب رشد یا پوسیدگی را کنترل می کند و زاویه قطب نوسان را کنترل می کند. این جمله واحد همان چیزی است که نمودار قطب صفر برای آن است.
دو اصلاح تصویر را کامل می کند. اولاً، اگر ضرایب \(a_k, b_m\) واقعی باشند - و برای هر سیستمی که از نظر فیزیکی قابل تحقق هستند - پس ویژگی مزدوج فصل 24 قطب های پیچیده را مجبور می کند که به صورت جفت مزدوج رخ دهند. ترکیب یک جفت \(re^{\pm j\theta}\) با ضرایب مزدوج یک جمله واقعی منفرد به شکل \(2|A|r^{n}\cos(\theta n + \angle A)\) می دهد: یک نوسان در حال فروپاشی که فرکانس آن زاویه قطب است. بنابراین یک رزونانس همیشه دو قطب هزینه دارد، نه یک قطب.
دوم، یک قطب تکرار شده \(q\) نه تنها به \(d^n\) بلکه خانواده \(d^n, nd^n, \dots, n^{q-1}d^n\) با خاصیت z-ممشتق‌گیری کمک می کند. ضریب چند جمله ای رشد می کند، اما تا زمانی که \(|d| \lt 1\) نمایی برنده می شود و حالت همچنان کاهش می یابد - به آرامی و پس از افزایش اولیه.
در نهایت، به حالت شدید \(N=0\) توجه کنید، که مخرج آن ثابت \(a_0\) است و هیچ بازخوردی وجود ندارد. سپس \(H(z)\) یک چند جمله ای در \(z^{-1}\) است، همه قطب های آن در مبدا قرار دارند و \(h[n] = b_n/a_0\) برای \(0\le n\le M\) و در غیر این صورت صفر است. پاسخ ضربه دارای طول محدود است: این یک سیستم FIR است. به محض اینکه هر \(a_k\) با \(k\ge1\) غیرصفر باشد، بازگشت خروجی را به خود باز می گرداند، پاسخ ضربه هرگز خاتمه نمی یابد، و سیستم IIR است - تمایز فصل 9 از بازگشت، اکنون به صورت وجود یا عدم وجود قطب های دور از مبدا قابل مشاهده است.
علّیت و ثبات از ROC
فصل 8 دو ویژگی را تعریف کرد که مهندس از نظر پاسخ ضربه بیشتر به آنها اهمیت می دهد: اگر \(h[n]=0\) برای \(n \lt 0\) یک سیستم علّی است و اگر \(\sum_n|h[n]| \lt \infty\) BIBO پایدار است. هر دو به گزاره‌هایی درباره ناحیهٔ همگرایی تبدیل می‌شوند، و پس از ترجمه به سؤالاتی در مورد اینکه نقاط در یک تصویر کجا قرار دارند تبدیل می‌شوند.
ابتدا علّیت را در نظر بگیرید. دنباله‌ای که برای \(n\) منفی محو می‌شود دارای تبدیلی است که فقط دارای توان‌های غیر مثبت \(z\) است، بنابراین هیچ چیز مانند \(|z|\to\infty\) منفجر نمی‌شود. برعکس، فصل 23 نشان داد که یک دنباله سمت راست همیشه دارای یک ROC است که بیرون یک دایره است. برای یک \(H(z)\) منطقی، مرز آن نمای بیرونی بزرگترین قدر قطب است.
گنجاندن نقطه در بی نهایت مستلزم محدود بودن \(\lim_{z\to\infty}H(z)\) است، که برای یک تابع گویا به این معنی است که درجه صورتگر نباید از درجه مخرج، \(M \le N\) تجاوز کند. یک "تابع سیستم" با صفرهای بیشتر از قطب ها، سیستمی را توصیف می کند که به ورودی های آینده نیاز دارد.
ثبات حتی مستقیم تر است. مجموع تعیین کننده را روی دایره واحد ارزیابی کنید، جایی که \(|z|=1\) و بنابراین \(|z^{-n}|=1\) برای هر \(n\):
سمت چپ دقیقا زمانی که سمت راست همگرا می شود. بنابراین تبدیل در \(|z|=1\) همگرا می شود اگر و فقط اگر \(h[n]\) کاملاً قابل جمع باشد - ROC حاوی دایره واحد است اگر و فقط اگر سیستم پایدار باشد. این نیز بیانیه ای است که DTFT فصل 16 وجود دارد، به همین دلیل است که یک سیستم پایدار پاسخ فرکانسی دارد و یک سیستم ناپایدار ندارد.
این ترکیب یکباره به شرح زیر است: علّیت ROC را مجبور می‌کند تا بیرونی‌ترین قطب باشد، و نیروی پایداری که بیرونی حاوی \(|z|=1\) باشد، که دقیقاً زمانی اتفاق می‌افتد که هر قطب دقیقاً در داخل دایره واحد قرار گیرد.
دو تصویر همان \(H(z)\) جبری را با دو قطب مشابه نشان می دهند و سیستم‌های متفاوتی هستند. با یک قطب خارج از دایره واحد، ممکن است علّیت یا پایداری داشته باشید، اما نه هر دو، و هیچ مقدار جبر آن را تغییر نخواهد داد - انتخاب توسط هندسه اجباری است. این پژواک زمان‌گسسته از نتیجه فصل 19 برای تبدیل لاپلاس است، جایی که نیمه صفحه سمت چپ نقشی را ایفا می کند که درون دایره واحد در اینجا بازی می کند. نقشه برداری \(s \to z\) ضمنی در نمونه‌برداری، که قسمت 6 ایجاد شد، \(\operatorname{Re}s \lt 0\) را به \(|z| \lt 1\) منتقل می کند.
برای سیستمی که به عنوان معادله تفاوت داده می شود، اگر فقط یک پاسخ بله یا خیر می خواهید، اصلاً نیازی به محاسبه ریشه ها نیست. برای مخرج مرتبه دوم مشترک\(D(z)=z^2 + a_1 z + a_2\)با ضرایب واقعی، یک استدلال کوتاه تست می دهد. بنویسید\(D(z)=(z-p_1)(z-p_2)\). محصول ریشه است\(a_2\)، بنابراین\(|a_2| = |p_1||p_2| \lt 1\)ضروری است. و اگر هر دو ریشه در داخل دایره واحد قرار دارند، پس\(D(1)\)و\(D(-1)\)هر دو مثبت هستند: برای ریشه های واقعی هر عامل\((1-p_i)\)و\((1+p_i)\)مثبت است و برای یک جفت پیچیده است\(D(1)=|1-p_1|^2\)و\(D(-1)=|1+p_1|^2\)قدر مربع هستند. آن دو شرط را بخوانید\(1+a_1+a_2 \gt 0\)و\(1-a_1+a_2 \gt 0\)، که در یک نابرابری واحد ترکیب می شوند.
این شرایط لازم و کافی است. آنها مورد مرتبه دوم معیار هیئت منصفه، آنالوگ زمان‌گسسته آزمون روث هستند، و به شما اجازه می دهند تا ثبات را از ضرایب بدون حل ضریب درجه دوم تأیید کنید.
معادلات تفاوت با شرایط اولیه
همه چیز تا اینجا استراحت اولیه را فرض می کرد. با این حال، یک سیستم واقعی اغلب با انرژی از قبل ذخیره شده روشن می شود - فیلتری با محتویات غیرصفر در رجیسترهای تاخیر آن، یک انباشته کننده با کل در حال اجرا. فصل 9 با حل معادله همگن به طور جداگانه و ثابت کردن ثابت ها از شرایط اولیه به این موضوع پرداخت. تبدیل z یک طرفه این کار را در یک گذر انجام می دهد، زیرا شرایط اولیه به طور خودکار وارد جبر می شود.
از بخش 24-3 به یاد بیاورید که با \(X_u(z)=\sum_{n\ge0}x[n]z^{-n}\)، تاخیر دارای شرایط مرزی است:
جایگزین کردن اینها در معادله تفاضل و حل \(Y(z)\) همیشه مجموع دو تابع گویا را ایجاد می کند. یکی حامل عامل \(X(z)\) است و اگر ورودی صفر باشد ناپدید می شود. دیگری به طور کامل از مقادیر ذخیره شده \(y[-1], y[-2],\dots\) ساخته شده است و اگر سیستم در حالت استراحت شروع به کار کند ناپدید می شود.
در اینجا \(A(z)=\sum_k a_kz^{-k}\) مخرج \(H\) است و \(\mathcal{I}(z)\) شرایط شرط اولیه را جمع آوری می کند. هر دو بخش دارای قطب های یکسانی هستند - حالت های خود سیستم - بنابراین رفتار طبیعی از هر قسمتی که از آن ناشی می شود یکسان است.
آخرین مشاهده ارزش مکث دارد، زیرا توضیح می دهد که چرا تقسیم "طبیعی به علاوه اجباری" فصل 9 و این تقسیم "صفر ورودی به اضافه حالت صفر" تجزیه یکسان نیستند. پاسخ حالت صفر شامل حالت‌های طبیعی نیز می‌شود - آنها از طریق گسترش کسری جزئی \(H(z)X(z)\)، که قطب‌های آن شامل قطب‌های \(H\) می‌شوند، می‌رسند. تقسیم طبیعی/اجباری اصطلاحاتی را که از آن قطب آمده اند مرتب می کند. تقسیم صفر ورودی/وضعیت صفر آنها را بر اساس علت ایجاد شده مرتب می کند. هر دو به یک \(y[n]\) جمع می‌شوند و Worked Example 3 هر دو را محاسبه می‌کند.
یک نکته دیگر به اصرار فصل 9 بر شرایط استراحت اولیه مرتبط است. سیستمی با شرایط اولیه غیر صفر LTI نیست: دوبرابر کردن ورودی خروجی را دو برابر نمی کند، زیرا انرژی ذخیره شده تحت تاثیر قرار نمی گیرد. بخش حالت صفر به تنهایی LTI است و بخشی است که \(H(z)\) توصیف می کند. به همین دلیل است که عملکرد سیستم یکی از ویژگی های سیستم است در حالی که پاسخ کل نیست.
پاسخ فرکانس از پلات قطب صفر
فصل 16 تبدیل فوریهٔ گسسته زمان را تعریف کرد و فصل 15 از آن برای توصیف فیلتر استفاده کرد. پیوند به فصل حاضر یک جایگزین است: وقتی ROC حاوی دایره واحد است، ارزیابی \(H(z)\) در \(z=e^{j\Omega}\) پاسخ فرکانس را نشان می دهد.
همانطور که\(\Omega\)اجرا می شود از\(0\)به\(2\pi\)، نکته\(e^{j\Omega}\)یک بار در خلاف جهت عقربه های ساعت به دور دایره واحد حرکت می کند و از ساعت شروع می شود\(z=1\)(که DC است)، عبور از\(z=j\)در\(\Omega=\pi/2\)، رسیدن\(z=-1\)در\(\Omega=\pi\)- بالاترین فرکانس زمان‌گسسته، همانطور که در فصل 3 توضیح داده شد - و بازگشت. را\(2\pi\)- تناوبی هر پاسخ فرکانس گسسته در زمان‌گسسته اکنون از نظر هندسی واضح است: دور زدن دوباره از همان نقاط بازدید می کند.
صورت و مخرج را در \(z^{N}\) ضرب کنید تا فرم فاکتور بر حسب \((z-c_m)\) و \((z-d_k)\) قرار دهید. گرفتن قدر، حاصل ضرب اعداد مختلط را به حاصل ضرب فواصل در صفحه و گرفتن آرگومان ها آن را به مجموع زوایا تبدیل می کند.
از هر صفر و هر قطب تا نقطه \(e^{j\Omega}\) روی دایره یک بردار رسم کنید. بهره حاصلضرب طول بردار صفر تقسیم بر ضرب طول بردار قطب است. فاز مجموع زوایای بردار صفر منهای مجموع زوایای بردار قطب است.
قوانین طراحی بدون جبر بیشتر دنبال می شوند. یک قطب در شعاع\(r\)و زاویه\(\theta\)زمانی که یک بردار مخرج کوتاه تولید می کند\(\Omega\)نزدیک است\(\theta\)و هرچه آن بردار کوتاه‌تر باشد، بهره بزرگ‌تر است - بنابراین پاسخ یک اوج نزدیک دارد\(\Omega=\theta\)، و قله بلندتر و باریکتر می شود\(r\to 1\). یک صفر روی دایره واحد در زاویه\(\phi\)باعث می شود که بردار صورتگر ناپدید شود\(\Omega=\phi\)، بنابراین پاسخ در آنجا یک عدد تهی دارد. قطب ها نوارهای عبوری را شکل می دهند، صفرها نوارهای توقف را حک می کنند و کل صنعت طراحی فیلتر در حال قرار دادن آنها است.
ارتباطات و بازخورد
فصل 8 قواعد اتصال متقابل را در حوزه زمان تعیین کرد: سیستم‌ها در آبشار پاسخ‌های ضربه‌ای خود را در هم می‌پیچانند، سیستم‌ها به صورت موازی آنها را اضافه می‌کنند. تحت خاصیت کانولوشن، آنها ضرب و جمع می‌شوند، به همین دلیل است که جبر بلوکی در حوزه تبدیل انجام می‌شود و هرگز در حوزه زمان انجام نمی‌شود.
از آنجا که ضرب در رفت و آمد است، یک آبشار ممکن است آزادانه مرتب شود - واقعیتی با پیامدهای مهندسی واقعی، زیرا ترتیب بخش ها سطوح سیگنال داخلی و بنابراین رفتار سرریز حسابی یک پیاده سازی نقطه ثابت را تغییر می دهد، بدون اینکه اصلاً تابع انتقال تغییر کند.
بازخورد نیاز به یک خط جبر دارد. اجازه دهید مسیر رو به جلو \(G(z)\) و مسیر بازخورد \(F(z)\) باشد، با سیگنال فیدبک که از ورودی کم شود. نوشتن \(E(z)\) برای سیگنال خطا که در واقع مسیر رو به جلو را هدایت می کند،
قطب های حلقه بسته ریشه های معادله مشخصه هستند، نه قطب های \(G\). بازخورد قطب‌ها را به حرکت در می‌آورد، که هم نحوه تثبیت یک گیاه ناپایدار و هم نحوه بی‌ثبات شدن یک گیاه پایدار با سود زیاد است.
نتیجه سزاوار تاکید است زیرا دلیل اصلی استفاده از بازخورد است. سیستم حلقه باز \(G(z)\) دارای هر قطبی است که دارد. با بستن حلقه، ریشه های \(1+GF=0\) جایگزین آنها می شود که به بهره حلقه بستگی دارد. افزایش بهره آن ریشه ها را در امتداد مسیرهای پیوسته در صفحه z می کشد و پایداری تنها زمانی حفظ می شود که هر مسیر در دایره واحد باقی بماند. مثال کار شده 5 محدوده دقیق بهره را محاسبه می کند که یک حلقه ساده برای آن ثابت می ماند، و پاسخ یک بازه محدود است - بهره بیشتر بهتر نیست.
ساختارهای تحقق
یک تابع سیستم یک مشخصات است. یک ساختار روشی برای محاسبه آن با جمع کننده، ضرب کننده و تاخیر است. همان \(H(z)\) را می توان در بسیاری از ساختارها تحقق بخشید، همه با دقت بی نهایت دقیق و زمانی که محاسبات متناهی باشد، متفاوت هستند.
واقعی ترین درک معادله تفاوت را با صدای بلند می خواند. تنظیم مجدد \(\sum_k a_k y[n-k] = \sum_m b_m x[n-m]\) با \(a_0=1\) بازگشت \(y[n] = \sum_m b_m x[n-m] - \sum_{k\ge1}a_k y[n-k]\) را به دست می دهد: مجموع وزنی ورودی های گذشته را محاسبه کنید، مجموع وزنی خروجی های گذشته را کم کنید. به عنوان یک نمودار، این فرم مستقیم I است، و به تاخیرهای \(M\) برای زنجیره ورودی به علاوه \(N\) برای زنجیره خروجی نیاز دارد.
این اتلاف است و خاصیت کانولوشن دلیل آن را می گوید. فرم مستقیم I، آبشار \(B(z)\) و به دنبال آن \(1/A(z)\) است و ممکن است یک آبشار دوباره مرتب شود. \(1/A(z)\) را در ابتدا قرار دهید و خروجی آن را \(w[n]\) بنامید، و هر دو بخش اکنون سیگنال یکسانی را به تاخیر می اندازند — بنابراین یک زنجیره تاخیر می تواند هر دو را انجام دهد.
این Direct Form II است و از تاخیرهای \(\max(M,N)\) به جای \(M+N\) استفاده می کند - حداقل ممکن است، به همین دلیل است که آن را متعارف می نامند. هر تاخیر یک کلمه خاطره در اجرای واقعی است، بنابراین صرفه جویی زیبایی نیست.
دو ساختار دیگر از جبر بخش 25-2 دنبال می شود. فاکتورسازی \(H(z)\) در بخش‌های مرتبه دوم و ضرب آنها به آبشار تحقق می‌دهد. گسترش آن در کسرهای جزئی و جمع کردن، تحقق موازی را می دهد. هر دو در عمل بر یک فرم مستقیم مرتبه بالا ترجیح داده می شوند، زیرا حساسیت یک قطب به خطای گرد در یک ضریب به شدت با ترتیب چند جمله ای که به آن تعلق دارد افزایش می یابد. تقسیم یک فیلتر مرتبه دهم به پنج بخش مرتبه دوم، هر خطای ضریب را محلی نگه می دارد.
| ساختار | ساخته شده از | تاخیر | استفاده معمولی |
|---|---|---|---|
| فرم مستقیم I | بازگشت به معنای واقعی کلمه خوانده شد | \(M+N\) | تدریس؛ صنوبر ساده |
| فرم مستقیم II | \(1/A(z)\) سپس \(B(z)\) | \(\max(M,N)\) | تک بخش متعارف |
| آبشار | فاکتور شده \(H(z)\) | \(\max(M,N)\) | فیلترهای IIR درجه بالا |
| موازی | کسری جزئی از \(H(z)\) | \(\max(M,N)\) | حساسیت ضریب پایین |
سیستم‌های معکوس و فاز حداقل
فرض کنید سیگنالی توسط یک کانال شناخته شده \(H(z)\) تحریف شده است و شما می خواهید آن را برگردانید. درخواست طبیعی یک سیستم \(H_i(z)\) است به طوری که آبشار این دو هویت، \(h[n]*h_i[n] = \delta[n]\) است. تغییر شکل، نیاز به سادگی \(H(z)H_i(z)=1\) است.
وارونگی قطب ها و صفرها را مبادله می کند. هر چیزی که باعث شد \(H\) به خوبی رفتار کند، اکنون به صفرهای آن بستگی دارد که قبلاً بی ضرر بودند.
این مبادله پیامد شدیدی دارد. برای اینکه \(H_i\) علّی و پایدار باشد، همه قطب های آن باید در دایره واحد قرار گیرند - یعنی همه صفرهای \(H\) باید داخل دایره واحد قرار گیرند. سیستمی که قطب ها و صفرهای آن کاملاً در داخل دایره واحد قرار دارند فاز حداقل نامیده می شود و دقیقاً همان دسته از سیستم‌هایی است که دارای معکوس علّی و پایدار هستند.
اگر \(H\) یک صفر در خارج از دایره داشته باشد، هنوز هم ممکن است آن را معکوس کنید، اما باید چیزی را رها کنید: یک معکوس پایدار وجود دارد اما علّی نیست، و یک معکوس علّی وجود دارد اما پایدار نیست. در عمل، یک تاخیر می‌پذیرد و معکوس غیر علّی را روی یک پنجره محدود تقریب می‌زند، این همان کاری است که یک اکولایزر کانال تطبیقی انجام می‌دهد.
شیء تکمیلی سیستم تمام گذر است که دارای یک قطب در \(d\) و یک صفر در نقطه بازتاب \(1/d^*\) است. برای هر \(\Omega\)، دو بردار از آن قطب و آن صفر تا \(e^{j\Omega}\) دارای نسبت ثابتی هستند، بنابراین \(|H(e^{j\Omega})|\) ثابت است: سیستم به تنهایی تغییر فاز می دهد. هر سیستم منطقی را می توان به عنوان یک سیستم فاز حداقل در آبشار با یک تمام گذر نوشت، به این ترتیب یک صفر دردسرساز خارج از دایره قرنطینه می شود - آن را در داخل منعکس کنید تا قسمت حداقل فاز را بدست آورید، و تفاوت را با یک عامل تمام گذر محاسبه کنید که پاسخ بزرگی را دست نخورده باقی می گذارد.
نمونه های کار شده
مشکل یک سیستم علّی از \(y[n] - 0.75\,y[n-1] + 0.125\,y[n-2] = x[n]\) اطاعت می کند. \(H(z)\)، قطب های آن و \(h[n]\) را پیدا کنید. آیا سیستم پایدار است؟
راه حل. هر عبارت را با استفاده از ویژگی shift با شرایط اولیه صفر تبدیل کنید:
مخرج را فاکتور بگیرید. ضرب بالا و پایین در \(z^2\) \(z^2-0.75z+0.125\) را به دست می دهد که ریشه آن \(\big(0.75\pm\sqrt{0.5625-0.5}\big)/2 = (0.75\pm0.25)/2\) است، یعنی \(z=0.5\) و \(z=0.25\). معادل \(1-0.75z^{-1}+0.125z^{-2} = (1-0.5z^{-1})(1-0.25z^{-1})\)، که می توانید با گسترش آن بررسی کنید: ضریب \(z^{-1}\) \(-(0.5+0.25)=-0.75\) و ضریب \(z^{-2}\) \(0.5\times0.25=0.125\) است.
هر دو قطب در داخل دایره واحد قرار دارند و سیستم علّی است، بنابراین ROC \(|z|\gt0.5\) است که حاوی \(|z|=1\) است: سیستم پایدار است. اکنون در کسرهای جزئی، \(H = A/(1-0.5z^{-1}) + B/(1-0.25z^{-1})\) را گسترش دهید. تنظیم \(z^{-1}=2\) عبارت دوم را حذف می کند و به \(A = 1/(1-0.25\times2) = 1/0.5 = 2\) می دهد. تنظیم \(z^{-1}=4\) \(B = 1/(1-0.5\times4) = 1/(-1) = -1\) را می دهد.
بازگشت را بررسی کنید، که برای ورودی ضربه ای \(h[0]=1\)، \(h[1]=0.75h[0]=0.75\)، \(h[2]=0.75(0.75)-0.125(1)=0.4375\) می دهد. فرم بسته \(2-1=1\) را می دهد. \(1-0.25=0.75\); \(2(0.25)-0.0625=0.4375\). هر سه موافق هستند.
مشکل برای \(H(z) = \dfrac{1}{(1-0.5z^{-1})(1-2z^{-1})}\)، هر ROC ممکن را فهرست کنید و \(h[n]\) مربوطه را ارائه دهید و در هر مورد بیان کنید که آیا سیستم علّی است یا خیر.
راه حل. قطب ها در \(z=0.5\) و \(z=2\) هستند، بنابراین هواپیما به سه ناحیه حلقوی تقسیم می شود: \(|z|\lt0.5\)، \(0.5\lt|z|\lt2\)، و \(|z|\gt2\). ابتدا یک بار برای همیشه گسترش دهید: \(H = A/(1-0.5z^{-1}) + B/(1-2z^{-1})\) با \(A = 1/(1-2\times2) = -\tfrac13\) و \(B = 1/(1-0.5\times0.5) = 1/0.75 = \tfrac43\).
اکنون با استفاده از دو جفت فصل 24 \(a^nu[n]\) (خارج) و \(-a^nu[-n-1]\) (داخل) هر عبارت را بر اساس اینکه ROC در خارج یا داخل قطب آن عبارت قرار دارد معکوس کنید.
| ROC | \(h[n]\) | علّی؟ | پایدار؟ |
|---|---|---|---|
| \(|z|\gt2\) | \(\big[-\tfrac13(0.5)^n+\tfrac43 2^n\big]u[n]\) | بله | خیر |
| \(0.5\lt|z|\lt2\) | \(-\tfrac13(0.5)^nu[n]-\tfrac43 2^nu[-n-1]\) | خیر | بله |
| \(|z|\lt0.5\) | \(\big[\tfrac13(0.5)^n-\tfrac43 2^n\big]u[-n-1]\) | خیر | خیر |
ردیف میانی را مستقیماً از نظر پایداری بررسی کنید: \(\sum_n|h[n]| = \tfrac13\sum_{n\ge0}(0.5)^n + \tfrac43\sum_{n\le-1}2^{n} = \tfrac13(2) + \tfrac43(1) = 2\)، که محدود است. و دایره واحد همان طور که تئوری وعده داده بود در \(0.5\lt|z|\lt2\) قرار دارد. نمونه اول ردیف بالا را بررسی کنید: \(-\tfrac13+\tfrac43 = 1\) که با \(\lim_{z\to\infty}H(z)=1\) مطابقت دارد.
درسی همان درسی است که فصل 23 روی آن اصرار داشت و این فصل اکنون فیزیکی شده است. همین عبارت یک تقویت‌کننده علّی را توصیف می‌کند که فرار می‌کند، یک فیلتر پایدار که باید آینده را ببیند، و سیستمی که هیچکدام از این دو نیست. فقط ROC آنها را متمایز می کند.
مشکل حل \(y[n] - 0.5\,y[n-1] = x[n]\) برای \(n\ge0\) با \(x[n]=u[n]\) و \(y[-1]=4\). قسمت های ورودی صفر و حالت صفر را شناسایی کنید.
راه حل. از تبدیل یک طرفه استفاده کنید تا عبارت تاخیری مقدار مرزی خود را داشته باشد: \(y[n-1] \leftrightarrow y[-1] + z^{-1}Y(z) = 4 + z^{-1}Y(z)\). با \(X(z)=1/(1-z^{-1})\)،
دو عبارت سمت راست قبلاً با علت از هم جدا شده اند: اولی از ورودی آمده است، دومی از مقدار ذخیره شده. تقسیم کنید و آنها را یکی یکی درمان کنید.
(ضرایب: تنظیم \(z^{-1}=1\) \(1/(1-0.5)=2\) را می دهد؛ تنظیم \(z^{-1}=2\) \(1/(1-2)=-1\) را می دهد.) بخش ورودی صفر اصلاً نیازی به گسترش ندارد:
در برابر بازگشت \(y[n]=0.5y[n-1]+1\) تأیید کنید: \(y[0]=0.5(4)+1=3\)، \(y[1]=0.5(3)+1=2.5\)، \(y[2]=0.5(2.5)+1=2.25\). فرم بسته \(2+1=3\)، \(2+0.5=2.5\)، \(2+0.25=2.25\) را می دهد. درست است.
دو قرائت از پاسخ. مقدار ثابت \(2\) بهره DC \(H(1)=1/(1-0.5)=2\) است که بر یک پلهٔ واحد اعمال می شود، دقیقاً همانطور که بخش 25-5 پیش بینی می کند. و توجه داشته باشید که حالت \((0.5)^n\) در هر دو بخش با ضرایب \(-1\) و \(+2\) ظاهر می‌شود که به \(+1\) جمع می‌شود - تصویری ملموس از این که چرا ورودی صفر/حالت صفر یک تقسیم متفاوت از طبیعی/برای حالت طبیعی است.
مشکل برای \(y[n] = \tfrac12\big(x[n]+x[n-1]\big)\)، \(H(z)\)، نمودار قطب صفر و بزرگی و فاز پاسخ فرکانسی را پیدا کنید. سود را در \(\Omega = 0\)، \(\pi/2\) و \(\pi\) ارزیابی کنید.
راه حل. تبدیل به \(H(z) = \tfrac12\big(1+z^{-1}\big) = \dfrac{z+1}{2z}\) می دهد: یک صفر در \(z=-1\) و یک قطب در \(z=0\). هیچ بازخوردی وجود ندارد، بنابراین سیستم با \(h[n]=\{\tfrac12,\tfrac12\}\) FIR است و به دلیل بی اهمیتی که مجموع محدودی از اعداد متناهی محدود است، پایدار است.
\(z=e^{j\Omega}\) را تنظیم کنید و ضریب نیم زاویه را که مانور استاندارد فیلترهای متقارن FIR است استخراج کنید:
بنابراین \(\big|H(e^{j\Omega})\big| = \big|\cos(\Omega/2)\big|\) و برای \(0\le\Omega\le\pi\) که کسینوس غیر منفی است، \(\angle H = -\Omega/2\). فاز دقیقاً خطی است، بنابراین هر فرکانس با همان نیم نمونه به تأخیر می افتد - تاخیر گروهی ثابت که فیلترهای متقارن FIR را در شرایط فصل 15 ارزشمند می کند.
سه دستاورد: در \(\Omega=0\)، \(\cos0 = 1\). در \(\Omega=\pi/2\)، \(\cos(\pi/4) = 0.7071\)، که \(-3\) dB است. در \(\Omega=\pi\)، \(\cos(\pi/2)=0\)، یک عدد دقیق تهی. این یک فیلتر پایین گذر است و یک فیلتر ضعیف - انتقال از باند عبور به باند توقف کل محور فرکانس را اشغال می کند.
تصویر هندسی تهی را بدون جبر توضیح می دهد. صفر در \(z=-1\) قرار دارد، که نقطه \(e^{j\pi}\) روی دایره واحد است، بنابراین وقتی \(\Omega\) به \(\pi\) رسید، طول بردار شمارنده صفر است و بهره باید ناپدید شود. قطب در مبدا در فاصله 1 از هر نقطه از دایره واحد قرار دارد، بنابراین یک عامل ثابت ایجاد می کند و هیچ چیزی را شکل نمی دهد - قطب ها در مبدا فقط تاخیر اضافه می کنند.
مشکل یک انباشته با بهره، \(G(z) = \dfrac{K}{z-1}\)، در یک حلقه بازخورد منفی واحد قرار می گیرد. تابع سیستم حلقه بسته، محدوده \(K\) برای پایداری، و پاسخ برای \(K=1\) را بیابید.
راه حل. با \(F(z)=1\)، فرمول بخش 25-6 را می دهد
قطب حلقه باز در \(z=1\)، روی دایره واحد قرار داشت: یک انباشته، تا حدی پایدار، که خروجی آن برای همیشه پس از یک مرحله تغییر می کند. با بستن حلقه، آن قطب به \(z = 1-K\) منتقل شد. برای یک سیستم حلقه بسته علّی، پایداری مستلزم آن است که قطب جدید دقیقاً در داخل دایره واحد قرار گیرد:
هر دو انتهای آن فاصله آموزنده است. در \(K=0\) حلقه شکسته می شود و قطب در \(z=1\) قرار می گیرد. در \(K=2\)، قطب به سمت \(z=-1\) هدایت شده است، و پاسخ ضربه حلقه بسته \(2(-1)^{n-1}\) برای همیشه بدون پوسیدگی در نوسان است. فراتر از \(K=2\)، قطب دایره را روی محور منفی واقعی ترک می کند و سیستم با دامنه فزاینده نوسان می کند. سود بیشتر اوضاع را بدتر کرده است نه بهتر.
در \(K=1\) قطب دقیقاً در مبدا فرود می آید، \(H(z)=z^{-1}\) و \(h[n]=\delta[n-1]\). سیستم حلقه بسته یک تاخیر یک نمونه خالص است: هر ورودی را به طور کامل پس از یک مرحله بازتولید می کند و در زمان محدود ته نشین می شود. این پاسخ زمان‌گسسته است، و هیچ همتای زمان‌پیوسته ای ندارد - یک قطب در مبدا به معنای حالتی است که نه تنها سریع، بلکه تمام شده است.
مشکل برای\(H(z) = \dfrac{1}{1-0.9z^{-1}+0.81z^{-2}}\)، علّی: قطب ها را به شکل قطبی قرار دهید، پیدا کنید\(h[n]\)، پایداری را با معیار مرتبه دوم آزمایش کنید و بهره را در آن محاسبه کنید\(\Omega=0\), \(\pi/3\)و\(\pi\).
راه حل. مخرج در \(z\) \(z^2-0.9z+0.81\) است. حاصلضرب ریشه ها \(0.81\) است و مزدوج هستند، بنابراین \(|p|^2 = 0.81\) و \(|p| = 0.9\) به یکباره. جمع \(0.9 = 2(0.9)\cos\theta\) است که \(\cos\theta = 0.5\) و \(\theta = \pi/3\) را می دهد. قطب ها \(p, p^* = 0.9e^{\pm j\pi/3}\) هستند.
پایداری بر اساس معیار بخش 25-3، با \(a_1=-0.9\) و \(a_2=0.81\): \(|a_2| = 0.81 \lt 1\) و \(|a_1| = 0.9 \lt 1+0.81 = 1.81\). هر دو نگه دارند، بنابراین سیستم پایدار است - توسط \(|p|=0.9\lt1\) تأیید شده است.
برای \(h[n]\)، \(H(z)/z = z/\big[(z-p)(z-p^*)\big]\) را گسترش دهید که باقیمانده آن در \(p\) \(A = p/(p-p^*) = p/(2j\operatorname{Im}p)\) است. با \(\operatorname{Im}p = 0.9\sin60^\circ = 0.7794\)، مخرج \(1.5588j = 1.5588e^{j\pi/2}\) است، بنابراین \(A = \big(0.9e^{j\pi/3}\big)/\big(1.5588e^{j\pi/2}\big) = 0.5774e^{-j\pi/6}\). اضافه کردن عبارت مزدوج یک دنباله واقعی به دست می دهد:
سه نمونه اول را در برابر بازگشت \(h[n]=0.9h[n-1]-0.81h[n-2]+\delta[n]\) بررسی کنید که \(h[0]=1\)، \(h[1]=0.9\)، \(h[2]=0.9(0.9)-0.81=0\) را می دهد. فرمول \(1.1547\cos(-30^\circ)=1.1547(0.8660)=1.000\) را می دهد. \(1.1547(0.9)\cos(30^\circ)=1.0392(0.8660)=0.900\); \(1.1547(0.81)\cos(90^\circ)=0\). هر سه مسابقه.
حالا دستاوردها در\(\Omega=0\), \(H(1) = 1/(1-0.9+0.81) = 1/0.91 = 1.099\). در\(\Omega=\pi\), \(H(-1) = 1/(1+0.9+0.81) = 1/2.71 = 0.369\). در\(\Omega=\pi/3\)به جای آن از هندسه استفاده کنید: بردار از\(p\)به\(e^{j\pi/3}\)طول دارد\(1-0.9 = 0.1\)، زیرا هر دو در یک شعاع قرار دارند، در حالی که بردار از\(p^*\)طول دارد\(\sqrt{1+0.81-2(0.9)\cos120^\circ} = \sqrt{2.71} = 1.646\). از این رو
افزایش حدود 6 در زاویه قطب در برابر 1.1 در DC و 0.37 در \(\Omega=\pi\): یک قله تشدید برجسته، که به طور کامل توسط بردار کوتاه از قطبی که یک دهم شعاع در داخل دایره قرار دارد ایجاد می شود. شعاع را به \(0.99\) فشار دهید و آن بردار به \(0.01\) کوچک می شود، قله ده برابر می شود و حالت \((0.99)^n\) برای صدها نمونه حلقه می زند. وضوح در فرکانس و تداوم در زمان همان واقعیتی است که دو بار دیده شده است.
خلاصه فصل
تبدیل LCCDE به \(H(z)=B(z)/A(z)\) می دهد، که همچنین \(\mathcal{Z}\{h[n]\}\) و نسبت \(Y/X\) برای هر ورودی است.
هر قطب \(re^{j\theta}\) به \(r^n\cos(\theta n+\phi)\) کمک می‌کند: شعاع کاهش می‌یابد، زاویه نوسان را تنظیم می‌کند، صفرها فقط وزن‌ها را تنظیم می‌کنند.
علت به این معنی است که ROC بیرونی ترین قسمت بیرونی است. پایدار به این معنی است که حاوی \(|z|=1\) است. هر دو با هم به این معنی است که هر قطب در داخل است.
تبدیل یک طرفه \(Y = H X + \mathcal{I}/A\) را تقسیم می کند. فقط قسمت حالت صفر LTI است، به همین دلیل استراحت اولیه اهمیت دارد.
بر روی دایره واحد ارزیابی کنید. بهره، نسبت طول بردار صفر به بردار قطب است - قطب ها اوج می گیرند، صفرها تهی می شوند.
Direct Form II از تاخیرهای \(\max(M,N)\) استفاده می کند. معکوس پایدار علّی فقط در صورتی وجود دارد که صفرها نیز در داخل باشند: فاز حداقل.
مشکلات
مسائل 1 تا 3 از معادله به پاسخ می روند. 4 تا 6 به ثبات و رفتار فرکانس مربوط می شود. 7 و 8 به جای محاسبات، استدلال می خواهند. قبل از محاسبه هر چیزی، نمودار قطب-صفر را ترسیم کنید - اکثر این موارد را می توان از روی تصویر نیمه پاسخ داد.
- یک سیستم علّی \(y[n]-\tfrac16 y[n-1]-\tfrac16 y[n-2] = x[n]\) را برآورده می کند. \(H(z)\)، قطب های آن، \(h[n]\) و پاسخ گام را پیدا کنید. \(h[0]\)، \(h[1]\) و \(h[2]\) را مستقیماً از بازگشت تأیید کنید.
- برای \(H(z) = \dfrac{1-\tfrac13z^{-1}}{\big(1-\tfrac12z^{-1}\big)\big(1+\tfrac14z^{-1}\big)}\)، برای هر ROC قابل قبول، \(h[n]\) را بدهید و بگویید کدام گزینه هم علت و هم پایدار است.
- حل \(y[n]-\tfrac14y[n-2] = x[n]\) برای \(n\ge0\) با \(x[n]=\delta[n]\)، \(y[-1]=0\) و \(y[-2]=8\). پاسخ های ورودی صفر و حالت صفر را از هم جدا کنید.
- از معیار مرتبه دوم برای یافتن هر \(a\) واقعی که \(y[n]=a\,y[n-1]-0.5a\,y[n-2]+x[n]\) برای آنها پایدار است استفاده کنید. یک نقطه داخلی و یک نقطه بیرونی را با محاسبه قدر قطب تایید کنید.
- یک سیستم FIR دارای \(h[n]=\{1,0,-1\}\) برای \(n=0,1,2\) است. \(H(z)\)، صفرهای آن و \(\big|H(e^{j\Omega})\big|\) را به صورت بسته پیدا کنید. در کدام فرکانس‌ها خروجی یکسان صفر است، و چرا نمودار قطب صفر این را آشکار می‌کند؟
- یک مسیر رو به جلو \(G(z) = \dfrac{K}{(z-0.5)}\) در یک حلقه بازخورد منفی وحدت قرار می گیرد. قطب حلقه بسته را به عنوان تابعی از \(K\)، محدوده \(K\) برای پایداری، و مقدار \(K\) را که یک پاسخ مرگبار می دهد، پیدا کنید.
- نشان دهید که اگر \(H(z)\) علّی و پایدار باشد با صفر در \(z=z_0\) که در آن \(|z_0|\gt1\)، آنگاه معکوس پایدار علّی وجود ندارد. سپس دو سازش موجود و اینکه یک اکولایزر واقعاً از کدام یک استفاده می کند را توضیح دهید.
- با استفاده از ROC و نه جبر، توضیح دهید که چرا تابع سیستم به تنهایی نمی تواند به شما بگوید که آیا یک سیستم پایدار است یا خیر، اما عملکرد سیستم همراه با عبارت "سیستم علّی است" می تواند. با سیستمی که قطب های آن در \(0.4\) و \(1.5\) هستند، نشان دهید.