تحلیل فضایی حالت | سیگنال‌ها و سیستم‌ها

چیزی که یاد خواهید گرفت

سه چیزی که تابع انتقال فصل 19 و 25 نمی تواند بیان کند - شرایط اولیه، متغیرهای داخلی، و بسیاری از ورودی ها و خروجی ها به طور همزمان - و اینکه چرا فضای حالت هر سه را تامین می کند.
در واقع حالت چیست: کوچکترین مجموعه اعداد در زمان \(t_0\) که با ورودی آینده، آینده را به طور کامل تعیین می کند.
فرم استاندارد \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}\)، \(\mathbf{y} = C\mathbf{x} + D\mathbf{u}\)، و دوقلو گسسته آن با \(\mathbf{x}[n+1]\) در سمت چپ.
نحوه ساخت \(A, B, C, D\) از یک مدار، از یک معادله دیفرانسیل به شکل متعارف قابل کنترل، و از یک معادله تفاوت - و نحوه ترسیم نمودار شبیه‌سازی تطبیق‌کننده‌ها یا تأخیرها.
ماتریس نمایی \(e^{At}\)، چرا معادله حالت را حل می کند، سه روش برای محاسبه آن، و تقسیم پاسخ به بخش های ورودی صفر و حالت صفر.
پل پشتی: \(H(s) = C(sI-A)^{-1}B + D\)، که قطب های آن در میان مقادیر ویژه \(A\) هستند - در میان، مساوی نیستند، و تفاوت در کل نکته است.
حالت‌های طبیعی، مورب‌سازی، پایداری مجانبی در مقابل BIBO، و اینکه چگونه یک سیستم می‌تواند در پایانه‌های خود کاملاً پایدار به نظر برسد در حالی که یک حالت پنهان در داخل فرار می‌کند.

بخش 27-1

آنچه که تابع انتقال پنهان می کند

بیست و شش فصل بر اساس یک توصیف واحد از یک سیستم ساخته شده است: رابطه بین یک ورودی و یک خروجی. فصل 7 آن را به صورت کانولوشن، فصل 19 به عنوان تابع انتقال \(H(s)\)، فصل 25 به عنوان \(H(z)\) نوشت. این یک توصیف توانمند است و کامل نیست، و سه ترک جداگانه در آن ارزش دارد که قبل از ارائه تعمیر به وضوح مشخص شود.

اولین ترک شرایط اولیه است. تابع انتقال به عنوان نسبت \(Y(s)/U(s)\) با تمام شرایط اولیه صفر تعریف می شود - این یک توصیف حالت صفر بر اساس ساختار است. فصل 19 باید به تبدیل لاپلاس یک طرفه می‌رسید و \(y(0^-)\) و \(\dot y(0^-)\) را با دست به جبر می‌کشید، دقیقاً به این دلیل که \(H(s)\) جایی برای آنها ندارد. برای سیستمی که از یک خازن شارژ شده یا یک فلایویل در حال چرخش شروع می شود، تابع انتقال تنها بخشی از داستان را بیان می کند.

ترک دوم رفتار درونی است. یک تابع انتقال پایانه ها را توصیف می کند و هیچ چیز دیگری. اگر یک تقویت کننده در داخل یک حلقه بازخورد اشباع شود، یا ولتاژ خازن از امتیاز خود فراتر رفته باشد، یا سیگنال داخلی بدون محدودیت در حال رشد باشد در حالی که خروجی مودبانه باقی بماند، \(H(s)\) این را نمی گوید. بخش 27-9 سیستمی را می سازد که در خروجی خود کاملاً خوب رفتار می کند در حالی که حالتی در داخل آن مانند \(e^{3t}\) رشد می کند.

ترک سوم مقیاس است. سیستم‌های واقعی چندین ورودی و چند خروجی دارند. مبدل توان دارای نسبت وظیفه و جریان بار ورودی، ولتاژ خروجی و جریان سلف است. با توابع انتقال، این به معنای ماتریسی از آنها است، یکی در هر جفت ورودی-خروجی، که هر جبر خاص خود را دارد. و سیستمی از ورودی‌های \(p\) و خروجی‌های \(q\) به \(pq\) از آن‌ها نیاز دارد، همه مخرج یکسانی دارند و هر زمان که کارخانه تغییر کرد، همه از ابتدا مجدداً محاسبه می‌شوند.

فضای حالت هر سه را به یکباره تعمیر می کند، و این کار را با تغییر دیدگاه انجام می دهد که تقریباً به طرز شرم آور ساده است: به جای یک معادله مرتبه \(n\)، معادلات \(n\) مرتبه یک را بنویسید.

این یک نظریه جدید نیست. هیچ چیز در این فصل با هیچ چیز قبلی منافات ندارد. تابع انتقال مجدداً در بخش 27-8 به عنوان کمیتی محاسبه شده از توضیحات وضعیت ظاهر می شود و پاسخ ضربه، حالت ها و شرایط پایداری همگی قابل تشخیص خواهند بود. آنچه تغییر می کند این است که متغیرهای داخلی به جای اینکه در ابتدا حذف شوند، اکنون به طور صریح همراه هستند.

بخش 27-2

ایده دولت

فصل 5 یک سیستم با حافظه را به عنوان سیستمی تعریف کرد که خروجی آن به بیش از ورودی فعلی بستگی دارد. این تعریف سؤالی را مطرح می‌کند که پاسخی به آن نمی‌دهد: چه مقدار حافظه و در چه چیزی ذخیره شده است؟ دولت پاسخگوست.

🔑

تعریف دولت

\[ \big\{\mathbf{x}(t_0),\ u(t)\ \text{for}\ t \ge t_0\big\} \;\Longrightarrow\; \mathbf{y}(t)\ \text{for all}\ t \ge t_0 \]

حالت در زمان \(t_0\) کوچکترین مجموعه اعداد است به طوری که دانستن آنها همراه با ورودی از \(t_0\) به بعد، خروجی را از \(t_0\) به بعد تعیین می کند. همه چیز در مورد گذشته که هنوز مهم است در \(\mathbf{x}(t_0)\) فشرده می شود. هیچ چیز دیگری در مورد تاریخ لازم نیست.

کوچکترین کلمه انجام کار واقعی است. ثبت کل ورودی گذشته مطمئناً آینده را تعیین می کند، اما یک حالت نیست - حداقل نیست و متناهی نیست. حالت خلاصه کافی است، و برای یک سیستم یکپارچه از نظم \(n\) دقیقاً از اعداد \(n\) تشکیل شده است.

در سیستم‌های فیزیکی، متغیرهای حالت تقریباً همیشه متغیرهای ذخیره‌سازی انرژی هستند و این یک راه مطمئن برای یافتن آنها است. یک خازن \(\tfrac12 Cv^2\) را ذخیره می کند، بنابراین ولتاژ آن یک حالت است. یک سلف \(\tfrac12 Li^2\) را ذخیره می کند، بنابراین جریان آن یک حالت است. یک جرم انرژی جنبشی را ذخیره می کند، بنابراین سرعت آن یک حالت است و یک فنر انرژی پتانسیل را ذخیره می کند، بنابراین امتداد آن یک حالت است. دلیل آن فیزیکی است: انرژی بدون توان بی نهایت نمی تواند فوراً تغییر کند، بنابراین این متغیرها پیوسته هستند و مقادیر آنها در هر لحظه خلاصه کننده همه چیزهایی است که گذشته در سیستم ذخیره کرده است.

با شمردن آنها مرتبه را رایگان می دهد. مداری با دو خازن و یک سلف مرتبه سوم است و به سه متغیر حالت نیاز دارد. یک دمپر جرمی فنر درجه دوم است و به دو عدد نیاز دارد. که مطابق با ترتیب معادله دیفرانسیل است، و اغلب شمارش عناصر ذخیره‌سازی بسیار ساده‌تر از استخراج و بررسی معادله است.

State منحصر به فرد نیست - تعداد متغیرهای حالت منحصر به فرد است. برای مدار کار شده مثال 1، انتخاب طبیعی \((i_L, v_C)\) است، اما \((i_L,\ i_L + 2v_C)\) به همان خوبی کار می‌کند، و هر ترکیب معکوس دیگری نیز همین‌طور است. انتخاب‌های مختلف ماتریس‌های مختلفی را به \(A, B, C, D\) می‌دهند که سیستم یکسان را توصیف می‌کنند. بخش 27-9 نشان می‌دهد که همه این انتخاب‌ها با تبدیل شباهت به هم مرتبط هستند و مقادیر ویژه - بخش معنادار فیزیکی - بدون تغییر از آن باقی می‌مانند.

بخش 27-3

فرم استاندارد

متغیرهای حالت \(n\) را در بردار ستونی \(\mathbf{x}(t)\)، ورودی های \(p\) را در \(\mathbf{u}(t)\) و خروجی های \(q\) را در \(\mathbf{y}(t)\) جمع آوری کنید. برای یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان، مشتق هر متغیر حالت ترکیبی خطی از حالت‌ها و ورودی‌ها است و هر خروجی نیز به همین ترتیب است. نوشتن همه آن ترکیبات خطی به طور همزمان دو معادله ماتریسی به دست می دهد.

🔑

مدل حالت-فضای زمان‌پیوسته

\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = A\,\mathbf{x}(t) + B\,\mathbf{u}(t), \qquad \mathbf{y}(t) = C\,\mathbf{x}(t) + D\,\mathbf{u}(t) \]

اولی معادله حالت است، مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول جفت شده \(n\). دومی معادله خروجی است، جبر خالص بدون هیچ مشتقی در آن.

این چهار ماتریس دارای اندازه‌های ثابت و معانی ثابتی هستند و ارزش یادگیری آن‌ها را به‌عنوان نقش‌ها و نه نمادها دارد.

ماتریس	اندازه	نام	آنچه بر آن حاکم است
\(A\)	\(n \times n\)	ماتریس سیستم (یا حالت).	پویایی داخلی - چگونه سیستم بدون هیچ ورودی تکامل می یابد
\(B\)	\(n \times p\)	ماتریس ورودی	چگونه ورودی ها روی هر متغیر حالت فشار می آورند
\(C\)	\(q \times n\)	ماتریس خروجی	کدام ترکیب از حالت ها در خروجی ها قابل مشاهده است
\(D\)	\(q \times p\)	ماتریس پیشخور	مسیر آنی از ورودی به خروجی، دور زدن دینامیک

فقط \(A\) شامل رفتار طبیعی سیستم است. همه چیز دیگر به چگونگی ارتباط جهان با آن مربوط می شود. این جدایی چیزی است که فضای حالت را برای طراحی بسیار راحت می‌کند، و به همین دلیل است که بخش 27-8 قطب‌های داخل \(A\) را به تنهایی پیدا می‌کند.

ماتریس \(D\) فقط زمانی غیر صفر است که تغییر در ورودی بدون هیچ تاخیری به خروجی برسد. برای یک تابع انتقال کاملاً مناسب - تابعی که درجه صورت آن از درجه مخرج آن کمتر است - \(D\) صفر است و این مورد معمول برای سیستم‌های فیزیکی است که نمی‌توانند فوراً پاسخ دهند. برای چیزی مانند یک تقسیم کننده مقاومتی به موازات یک فیلتر، جایی که بخشی از سیگنال مسیر مستقیم را طی می کند، غیر صفر است.

فرم زمان‌گسسته با یک پیشروی یک مرحله ای جایگزین مشتق می شود و در غیر این صورت یکسان است.

مدل حالت-فضای زمان‌گسسته

\[ \mathbf{x}[n+1] = A\,\mathbf{x}[n] + B\,\mathbf{u}[n], \qquad \mathbf{y}[n] = C\,\mathbf{x}[n] + D\,\mathbf{u}[n] \]

در اینجا حالت یک معنای مشخص غیرمعمول دارد: دقیقاً محتوای ثبت‌های تاخیر در یک پیاده‌سازی است. معادله حالت می گوید که رجیسترها در لبه ساعت بعدی چه چیزی را نگه می دارند و معادله خروجی می گوید که اکنون چه چیزی در پایانه ها ارائه شود. بردار حالت یک فیلتر دیجیتال، به معنای واقعی کلمه، حافظه آن است.

بخش 27-4

ساخت معادلات حالت

دو مسیر برای ورود به فرم استاندارد وجود دارد. مسیر فیزیکی انتخاب متغیرهای ذخیره انرژی و نوشتن یک معادله برای هر عنصر ذخیره‌سازی است، کاری که مثال کارکرده 1 برای یک مدار RLC سری انجام می‌دهد. مسیر جبری از یک معادله دیفرانسیل شروع می شود و به طور کلی ارزش انجام آن را دارد زیرا الگوی حاصل در همه جا استفاده می شود.

با ساده ترین حالت، معادله مرتبه \(n\) بدون مشتقات ورودی شروع کنید:

یک سیستم مرتبه \(n\)، ورودی غیرممشتق‌گیری

\[ y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1\dot y + a_0 y \;=\; u \]

خروجی و اولین مشتقات \(n-1\) را به عنوان متغیرهای حالت انتخاب کنید: \(x_1 = y\)، \(x_2 = \dot y\)، تا \(x_n = y^{(n-1)}\). اینها متغیرهای فاز نامیده می شوند. سپس \(n-1\) معادلات حالت آزاد است - مشتق هر حالت به سادگی حالت بعدی است - و آخرین معادله معادله دیفرانسیل اصلی است که برای بالاترین مشتق بازآرایی شده است.

زنجیره ای از معادلات بی اهمیت، و یکی واقعی

\[ \dot x_1 = x_2, \quad \dot x_2 = x_3, \quad \dots, \quad \dot x_{n-1} = x_n, \qquad \dot x_n = -a_0x_1 - a_1x_2 - \cdots - a_{n-1}x_n + u \]

این شکل متعارف قابل کنترل است که در ماتریس‌ها جمع‌آوری می‌شود، که گاهی اوقات شکل متغیر فاز نامیده می‌شود. هر ردیف \(A\) اما آخرین ردیف 1 جابجا شده است. ردیف آخر ضرایب معادله دیفرانسیل را به صورت منفی و به ترتیب معکوس نشان می دهد.

🔑

فرم متعارف قابل کنترل

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1}\end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix} \]

چند جمله‌ای مشخصه این \(A\) \(\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_0\) است، همان چند جمله‌ای معادله دیفرانسیل - به همین دلیل است که شکل را می‌توان با بازرسی نوشت، بدون جبر.

اکنون مشتقات ورودی سمت راست را مجاز کنید. پسوند ساده فوراً از کار می افتد: اگر \(x_1 = y\)، \(\dot x_n\) حاوی \(u^{(n-1)}\) خواهد بود، و مشتقات ورودی در فرم استاندارد مجاز نیستند. راه دور دستگاهی است که در سراسر سیستم‌های خطی تکرار می شود - یک مسئله کمکی را حل کرده و سپس superpose کنید.

در نظر بگیرید

مورد کلی تک ورودی تک خروجی

\[ y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_0y \;=\; b_{n-1}u^{(n-1)} + \cdots + b_1\dot u + b_0 u \]

و یک سیگنال میانی \(w(t)\) را تعریف کنید که همان معادله را که تنها توسط \(u\) هدایت می شود را حل می کند:

متغیر کمکی

\[ w^{(n)} + a_{n-1}w^{(n-1)} + \cdots + a_0 w \;=\; u \]

زیرا سیستم خطی و تغییرناپذیر با زمان است، اگر\(u\)تولید می کند\(w\)سپس\(\dot u\)تولید می کند\(\dot w\)و هر ترکیب خطی از مشتقات\(u\)ترکیبی مشابه از مشتقات از\(w\). سمت راستی که ما واقعاً می خواهیم چنین ترکیبی است، بنابراین

خروجی، از متغیر کمکی خوانده می شود

\[ y \;=\; b_{n-1}w^{(n-1)} + \cdots + b_1\dot w + b_0 w \]

حالا متغیرهای فاز \(w\) یعنی \(x_i = w^{(i-1)}\) را در نظر بگیرید. معادله حالت دقیقاً شکل متعارف بالا است، زیرا \(w\) از معادله مشتق‌گیری نیافته تبعیت می کند. و معادله خروجی فقط یک ترکیب خطی نوشته شده است، بدون هیچ مشتقی در آن:

ماتریس خروجی حامل شمارنده است

\[ C = \begin{bmatrix} b_0 & b_1 & \cdots & b_{n-1}\end{bmatrix}, \qquad D = 0 \]

ضرایب مخرج در ردیف پایین \(A\) قرار دارند. ضرایب شمارنده در \(C\) زندگی می کنند. هر دو را می توان مستقیماً از یک تابع انتقال خواند، که این روش را به روش استاندارد تبدیل \(H(s)\) به یک مدل حالت تبدیل می کند. اگر صورت و مخرج درجه یکسانی داشته باشند، تابع انتقال کاملاً مناسب نیست. ابتدا آن را تقسیم کنید تا یک ثابت به اضافه یک باقیمانده کاملاً مناسب باقی بماند و آن ثابت \(D\) است.

بخش 27-5

نمودارهای شبیه سازی

فرم استاندارد دارای یک تصویر است و تصویر نزدیک به یک نمودار سیم کشی است. هر متغیر حالت خروجی یک انتگرالگر است. معادله حالت می‌گوید چه چیزی را به آن انتگرال‌گر وارد کنید، و معادله خروجی می‌گوید چه چیزی را باید حذف کرد. ترسیم آن نقش های چهار ماتریس را بلافاصله نمایان می کند.

مدل فضای حالت عمومی - حلقه از طریق \(A\) سیستم است، همه چیز دیگر سیم کشی است

توجه داشته باشید که بازخورد کجاست. تنها حلقه بسته در نمودار از حالت، از طریق \(A\)، به داخل یکپارچه‌ساز باز می‌گردد. این حلقه پویایی خود سیستم است. \(B\)، \(C\) و \(D\) بیرون آن قرار دارند. این تصویر پشت این ادعاست که رفتار طبیعی به تنهایی ویژگی \(A\) است.

برای شکل متعارف بخش قبل، نمودار بسیار ملموس می شود. کیس مرتبه دوم \(\ddot y + a_1\dot y + a_0 y = b_1\dot u + b_0 u\) با \(x_1 = w\) و \(x_2 = \dot w\) را در نظر بگیرید. دو انتگرال در آبشار \(x_2\) و سپس \(x_1\) تولید می کنند. ضرایب \(-a_1\) و \(-a_0\) این سیگنال‌ها را به تابستان ورودی برمی گرداند. و \(b_1\)، \(b_0\) آنها را به جلو به خروجی ضربه بزنید.

فرم متعارف قابل کنترل برای \(\ddot y + a_1\dot y + a_0 y = b_1\dot u + b_0 u\) — یک انتگرال‌گیری کننده در هر مرتبه

هر یکپارچه کننده را با یک واحد تاخیر \(z^{-1}\) جایگزین کنید و همان نمودار به شکل مستقیم یک فیلتر دیجیتالی تبدیل می شود که فصل 25 از معادله تفاوت ترسیم کرد. این یک تصادف یا یک قیاس نیست: فرم حالت-فضای و فرم های مستقیم همان ساختاری هستند که در دو نماد توضیح داده شده است، و بردار حالت محتویات خط تاخیر است.

چرا "قابل کنترل" متعارف. ورودی در یک نقطه، درست در بالای زنجیره یکپارچه وارد این ساختار می شود و از آنجا می تواند به نوبه خود به هر متغیر حالت برسد. این ویژگی - که ورودی می تواند وضعیت را در هر جایی هدایت کند - معنای کلمه قابل کنترل است و بخش 27-9 آزمایشی را برای آن ارائه می دهد. تصویر آینه ای آن، شکل متعارف قابل مشاهده، همان نمودار با جریان سیگنال معکوس و نقش های \(B\) و \(C\) رد و بدل شده است.

بخش 27-6

حل معادله حالت: ماتریس نمایی

همه چیز تا اینجا شرح بوده است. حالا \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}\) را با \(\mathbf{x}(0)\) حل کنید.

با کیس اجباری \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}\) شروع کنید. اگر \(A\) یک \(a\) اسکالر بود، پاسخ \(x(t) = e^{at}x(0)\) بود و حدس معقول این است که حالت ماتریس با نمایی ماتریس یکسان است. آن را با سری هایی که اسکالر را تعریف می کنند تعریف کنید:

ماتریس نمایی

\[ e^{At} \;=\; I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \cdots \;=\; \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!} \]

این سری برای هر مربع \(A\) و هر \(t\) همگرا می شود، زیرا فاکتوریل ها از رشد \(\|A^k\|\) پیشی می گیرند. دو خاصیت مستقیماً از آن ناشی می شود. تنظیم \(t=0\) از \(e^{A\cdot 0} = I\) خارج می شود. و مشتق‌گیری اصطلاح به اصطلاح می دهد

خاصیتی که آن را به راه حل تبدیل می کند

\[ \frac{d}{dt}e^{At} = A + A^2t + \frac{A^3t^2}{2!} + \cdots = A\left(I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \cdots\right) = A\,e^{At} = e^{At}A \]

بنابراین \(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0)\) معادله غیراجباری را برآورده می کند و با شرایط اولیه مطابقت دارد و به دلیل منحصر به فرد بودن راه حل است. ماتریس \(\Phi(t) = e^{At}\) ماتریس انتقال حالت نامیده می شود، زیرا وضعیت را از یک لحظه به لحظه دیگر منتقل می کند: \(\mathbf{x}(t_2) = \Phi(t_2-t_1)\mathbf{x}(t_1)\).

برای حالت اجباری از یک ضریب یکپارچه استفاده کنید، دقیقاً مانند معادله مرتبه اول اسکالر. در \(e^{-At}\) ضرب کنید و جمع آوری کنید:

اشتقاق عامل یکپارچه

\[ e^{-At}\dot{\mathbf{x}} - e^{-At}A\mathbf{x} = e^{-At}B\mathbf{u} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\Big[e^{-At}\mathbf{x}(t)\Big] = e^{-At}B\,\mathbf{u}(t) \]

سمت چپ یک مشتق دقیق است زیرا \(\tfrac{d}{dt}e^{-At} = -Ae^{-At}\)، با ویژگی که به تازگی ثابت شده است. انتگرال‌گیری از \(0\) به \(t\) و ضرب در \(e^{At}\) - که از \(e^{At}e^{-At} = I\) قانونی است، بنابراین نمایی ماتریس همیشه معکوس است - پاسخ کامل را می دهد.

🔑

وضعیت کامل و پاسخ خروجی

\[ \mathbf{x}(t) = \underbrace{e^{At}\mathbf{x}(0)}_{\text{zero-input}} + \underbrace{\int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)}B\,\mathbf{u}(\tau)\,d\tau}_{\text{zero-state}}, \qquad \mathbf{y}(t) = C\mathbf{x}(t) + D\mathbf{u}(t) \]

این دو عبارت دقیقاً تجزیه فصل‌های 9 و 19 هستند. اولی فقط به حالت اولیه بستگی دارد، دومی فقط به ورودی بستگی دارد، و مجموع آنها کل پاسخ است - نتیجه خطی بودن، اکنون به صورت دو عبارت جداگانه در یک فرمول قابل مشاهده است.

عبارت حالت صفر یک کانولوشن است. با خواندن آن در برابر فصل 7، هسته \(Ce^{A(t-\tau)}B\) نقش \(h(t-\tau)\) را ایفا می کند، بنابراین پاسخ ضربه سیستم فضای حالت است.

پاسخ ضربه در شرایط فضای حالت

\[ h(t) \;=\; C\,e^{At}B\,u(t) \;+\; D\,\delta(t) \]

ضربه در \(D\delta(t)\) جریان مستقیم است، و تنها زمانی وجود دارد که \(D \ne 0\) - تاییدی دیگر بر اینکه \(D\) یک مسیر آنی را نشان می‌دهد.

محاسبات\(e^{At}\)با جمع بندی مجموعه تقریباً هرگز عملی نیست. سه روش بهتر استاندارد هستند. مورد اول و مورد استفاده در مثال‌های کار شده، مسئله را تغییر می‌دهد: تبدیل لاپلاس را در نظر بگیرید\(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}\)با حالت اولیه\(\mathbf{x}(0)\)می دهد\(s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = A\mathbf{X}(s)\)، از این رو\(\mathbf{X}(s) = (sI-A)^{-1}\mathbf{x}(0)\)، و مقایسه با\(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0)\)جفت را شناسایی می کند.

🔑

ماتریس نمایی با تبدیل لاپلاس

\[ e^{At} \;=\; \mathcal{L}^{-1}\Big\{(sI-A)^{-1}\Big\} \]

ماتریس \((sI-A)^{-1}\) حلال نامیده می شود. آن را به عنوان ماتریسی از توابع گویا معکوس کنید، تبدیل لاپلاس معکوس هر ورودی را با کسرهای جزئی فصل 19 بگیرید، و \(e^{At}\) ورودی به ورودی ظاهر می شود.

روش دوم \(A\) را مورب می کند و در بخش 27-9 توسعه یافته است. سومین قضیه از قضیه کیلی-همیلتون استفاده می کند - هر ماتریس معادله مشخصه خود را برآورده می کند، بنابراین \(A^n\) ترکیبی از توان های پایین تر است، بنابراین سری نامتناهی به یک چند جمله ای درجه \(n-1\) با ضرایب وابسته به زمان فرو می ریزد. برای محاسبه دستی در مسائل مرتبه دوم، مسیر لاپلاس معمولاً سریع‌ترین است، و این مزیت استفاده مجدد از ماشین‌آلاتی است که قبلاً ساخته شده‌اند.

بخش 27-7

معادلات حالت گسسته زمان

مورد گسسته اصلاً نیازی به محاسبه ندارد - فقط تکرار، که مزیت صادقانه زمان‌گسسته است که در فصل 3 ذکر شد. با شروع از \(\mathbf{x}[n+1] = A\mathbf{x}[n] + B\mathbf{u}[n]\) و \(\mathbf{x}[0]\)، قدم به جلو بگذارید:

تکرار حالت بازگشتی

\[ \begin{aligned} \mathbf{x}[1] &= A\mathbf{x}[0] + B\mathbf{u}[0]\\ \mathbf{x}[2] &= A\mathbf{x}[1] + B\mathbf{u}[1] = A^2\mathbf{x}[0] + AB\mathbf{u}[0] + B\mathbf{u}[1]\\ \mathbf{x}[3] &= A^3\mathbf{x}[0] + A^2B\mathbf{u}[0] + AB\mathbf{u}[1] + B\mathbf{u}[2] \end{aligned} \]

این الگو غیرقابل انکار است و القایی در \(n\) آن را تایید می کند.

🔑

راه حل زمان‌گسسته

\[ \mathbf{x}[n] = A^{n}\mathbf{x}[0] + \sum_{m=0}^{n-1} A^{\,n-1-m}B\,\mathbf{u}[m], \qquad \mathbf{y}[n] = C\mathbf{x}[n] + D\mathbf{u}[n] \]

توان ماتریس \(A^n\) ماتریس انتقال حالت گسسته است که نقشی را ایفا می کند که \(e^{At}\) در زمان‌پیوسته ایفا می کند. مجموع دوباره یک کانولوشن است، این بار کانولوشن گسسته فصل 7.

خواندن کانولوشن به طور مستقیم پاسخ ضربه را می دهد. با تنظیم \(\mathbf{x}[0] = \mathbf{0}\) و \(u[m] = \delta[m]\) فقط عبارت \(m=0\) باقی می ماند، بنابراین \(\mathbf{x}[n] = A^{n-1}B\) برای \(n \ge 1\)، و

پاسخ ضربه گسسته - پارامترهای مارکوف

\[ h[n] = \begin{cases} D, & n = 0\\ C\,A^{\,n-1}B, & n \ge 1\end{cases} \]

این ضرایب \(D,\ CB,\ CAB,\ CA^2B,\dots\) پارامترهای مارکوف سیستم نامیده می شوند. آنها دقیقاً نمونه‌های پاسخ ضربه هستند و نشان می‌دهند که کل رفتار ورودی-خروجی توسط آن محصولات خاص تعیین می‌شود - واقعیتی که بخش 27-9 از آن برای توضیح اینکه چگونه یک حالت می‌تواند در \(A\) وجود داشته باشد و در عین حال در هر یک از آنها وجود ندارد استفاده می‌کند.

ساخت مدل گسسته از یک معادله تفاضلی از دستور پیوسته با تاخیر در جای انتگرالگرها پیروی می کند. برای

یک معادله اختلاف مرتبه دوم به شکل متعارف

\[ y[n] + a_1y[n-1] + a_0y[n-2] = b_1u[n-1] + b_0u[n-2] \quad\Longrightarrow\quad A = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -a_0 & -a_1\end{bmatrix},\ \ B = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\ \ C = \begin{bmatrix}b_0 & b_1\end{bmatrix} \]

با \(D = 0\) هر زمان که هیچ عبارت \(u[n]\) در سمت راست وجود نداشته باشد. تابع انتقال همان مسیری را که در زمان‌پیوسته دنبال می‌کند، با \(z\) جایگزین \(s\): \(H(z) = C(zI-A)^{-1}B + D\) می‌شود.

بخش 27-8

تابع انتقال و مقادیر ویژه

فضای حالت جایگزین تابع انتقال نشد. حاوی آن است. معادله حالت را با حالت اولیه صفر تبدیل کنید، که شرطی است که در وهله اول تابع انتقال تعریف می شود:

استخراج \(H(s)\) از مدل حالت

\[ s\mathbf{X}(s) = A\mathbf{X}(s) + B\mathbf{U}(s) \;\Longrightarrow\; (sI - A)\mathbf{X}(s) = B\mathbf{U}(s) \;\Longrightarrow\; \mathbf{X}(s) = (sI-A)^{-1}B\,\mathbf{U}(s) \]

جایگزینی با \(\mathbf{Y}(s) = C\mathbf{X}(s) + D\mathbf{U}(s)\) باعث ایجاد پل بین این دو توصیف می شود.

🔑

تابع انتقال یک مدل فضای حالت

\[ H(s) = C\,(sI-A)^{-1}B + D, \qquad\qquad H(z) = C\,(zI-A)^{-1}B + D \]

برای سیستمی با ورودی های \(p\) و خروجی های \(q\)، این یک ماتریس \(q \times p\) از توابع انتقال است که با یک وارونگی ماتریس به جای مشتقات جداگانه \(pq\) تولید می شود. این اقتصاد دلیل عملی است که فضای حالت بر کار چند متغیره تسلط دارد.

اکنون از فرمول کوفاکتور برای معکوس \(M^{-1} = \operatorname{adj}(M)/\det(M)\) استفاده کنید:

قطب ها از کجا می آیند

\[ H(s) \;=\; \frac{C\,\operatorname{adj}(sI-A)\,B \;+\; D\,\det(sI-A)}{\det(sI-A)} \]

مخرج \(\det(sI-A)\) است که دقیقاً چند جمله ای مشخصه \(A\) است. ریشه آن مقادیر ویژه \(A\) است. بنابراین، قطب‌های تابع انتقال، مقادیر ویژه \(A\) هستند - و صلاحیت بسیار مهم است: آنها جزو مقادیر ویژه هستند، نه لزوماً همه آنها. اگر ضریب \(\det(sI-A)\) نیز شمارنده را تقسیم کند، لغو می شود و آن مقدار ویژه از \(H(s)\) ناپدید می شود در حالی که کاملاً در سیستم وجود دارد.

🔑

قطب ها زیر مجموعه ای از مقادیر ویژه هستند

\[ \{\text{poles of } H(s)\} \;\subseteq\; \{\text{eigenvalues of } A\} = \{\lambda : \det(\lambda I - A) = 0\} \]

برابری زمانی برقرار است که هیچ لغوی رخ ندهد - یعنی زمانی که تحقق حداقل باشد. در غیر این صورت \(A\) دارای دینامیک است که \(H(s)\) نمی تواند آن را ببیند و رفتار حاصل موضوع بخش بعدی است.

یک ویژگی دیگر ارزش ثبت را دارد زیرا این نکته در بخش 27-2 را توجیه می کند که انتخاب متغیرهای حالت مهم نیست. فرض کنید حالت های جدید \(\bar{\mathbf{x}} = T^{-1}\mathbf{x}\) توسط یک ماتریس معکوس \(T\) تعریف شده اند. جایگزینی در سراسر یک مدل جدید با

تبدیل شباهت یک مدل حالت

\[ \bar A = T^{-1}AT, \qquad \bar B = T^{-1}B, \qquad \bar C = CT, \qquad \bar D = D \]

و تابع انتقال بدون تغییر است، زیرا

چرا تابع انتقال از تغییر مختصات جان سالم به در می برد

\[ \bar C(sI-\bar A)^{-1}\bar B = CT\big(T^{-1}(sI-A)T\big)^{-1}T^{-1}B = CT\,T^{-1}(sI-A)^{-1}T\,T^{-1}B = C(sI-A)^{-1}B \]

ماتریس های مشابه دارای چند جمله ای مشخصه و بنابراین مقادیر ویژه یکسان هستند. ماتریس های \(A,B,C,D\) یک توضیح هستند. مقادیر ویژه و تابع انتقال سیستم هستند.

بخش 27-9

حالت ها، ثبات و دینامیک پنهان

فرض کنید \(A\) دارای مقادیر ویژه \(n\) \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) با بردارهای ویژه \(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\) است. بردارهای ویژه را در کنار ستون های \(M\) قرار دهید. سپس \(AM = M\Lambda\) با قطر \(\Lambda\)، بنابراین \(A = M\Lambda M^{-1}\). از \(A^k = M\Lambda^kM^{-1}\)، هر عبارت سری نمایی همان \(M\) را دارد و مجموع به طور چشمگیری ساده می شود:

قطری شدن نمایی ماتریس

\[ e^{At} = M\,e^{\Lambda t}M^{-1} = M\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t}\end{bmatrix}M^{-1} \]

بنابراین پاسخ صفر ورودی ترکیبی از نمایی در مقادیر ویژه است:

حالت های طبیعی

\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0) = \sum_{i=1}^{n} c_i\,e^{\lambda_i t}\,\mathbf{v}_i, \qquad \mathbf{c} = M^{-1}\mathbf{x}(0) \]

هر اصطلاح یک حالت طبیعی است. رفتار زمانی آن توسط مقدار ویژه \(\lambda_i\) ثابت می شود. بردار ویژه \(\mathbf{v}_i\) الگوی متغیرهای حالت را ثابت می کند - نسبت های نسبی که در آن حرکت می کنند زمانی که آن حالت به تنهایی برانگیخته می شود. اگر حالت اولیه یک بردار ویژه خالص باشد، فقط یک حالت وجود دارد، و حالت در جهت ثابتی کاهش می‌یابد یا رشد می‌کند بدون اینکه هیچ تغییری در شکل داشته باشد.

این همان نتیجه ای است که فصل 9 از معادله مشخصه یک معادله دیفرانسیل به دست آمده است، و اکنون به عنوان یک بیانیه در مورد یک ماتریس قابل مشاهده است. مقادیر ویژه پیچیده به صورت جفت مزدوج برای یک \(A\) واقعی رخ می‌دهند و جفت عبارت‌های آن‌ها دقیقاً مانند فصل 19 در یک سینوسی میرا شده واقعی ترکیب می‌شوند.

ثبات بلافاصله دنبال می شود. هر حالتی تحلیل می‌رود اگر و تنها در صورتی که هر مقدار ویژه دقیقاً در نیم صفحه چپ باشد. یک مقدار ویژه منفرد با بخش واقعی مثبت تضمین می کند که برخی از حالت های اولیه بدون محدودیت رشد می کنند.

🔑

پایداری مجانبی

\[ \text{continuous time: } \operatorname{Re}\{\lambda_i\} \lt 0 \ \ \forall i \qquad\qquad \text{discrete time: } |\lambda_i| \lt 1 \ \ \forall i \]

در زمان‌گسسته، حالت‌ها به جای \(e^{\lambda_i t}\)، \(\lambda_i^n\) هستند، بنابراین این شرط به یک آزمون بزرگی در برابر دایره واحد تبدیل می‌شود - همان تناظر نیم صفحه چپ به واحد دایره که فصل‌های 23 تا 25 برای تبدیل z ایجاد کردند.

زمان‌پیوسته - مقادیر ویژه \(A\) در نیمه صفحه سمت چپ باز

زمان‌گسسته - مقادیر ویژه \(A\) در دایره واحد

که ما را به شکاف مشخص شده در بخش 27-1 برمی گرداند. پایداری مجانبی بیانیه ای درباره مقادیر ویژه \(A\) است. پایداری BIBO، همانطور که در فصل 8 تعریف شد و در فصل های 19 و 25 آزمایش شد، بیانیه ای در مورد قطب های \(H(s)\) است. بخش 27-8 نشان داد که قطب ها زیر مجموعه ای از مقادیر ویژه هستند. بنابراین پایداری مجانبی مستلزم پایداری BIBO است و عکس آن دقیقاً زمانی که لغو یک مقدار ویژه بد را از تابع انتقال حذف می‌کند، شکست می‌خورد.

چنین مقدار ویژه ای حالت پنهان نامیده می شود و دو راه برای مخفی کردن حالت وجود دارد. اگر ورودی نتواند آن را تحریک کند غیرقابل کنترل است - هیچ انتخابی از \(u\) هیچ انرژی به آن وارد نمی کند. اگر هرگز به خروجی نرسد قابل مشاهده نیست - ممکن است در داخل خشمگین باشد، اما \(C\) نسبت به آن کور است. هر یک از این خرابی ها حالت را از هر پارامتر مارکوف \(CA^{k}B\)، از این رو از پاسخ ضربه، از این رو از \(H(s)\) حذف می کند.

تست‌های استاندارد شرایط رتبه‌بندی ماتریسی هستند و برای یک سیستم مرتبه \(n\)-ام آنها شکل فشرده‌ای دارند.

ماتریس های کنترل پذیری و مشاهده پذیری

\[ \mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix}, \qquad \mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix} \]

زمانی که \(\mathcal{C}\) دارای رتبه \(n\) باشد، سیستم قابل کنترل است و زمانی که \(\mathcal{O}\) دارای رتبه \(n\) باشد، قابل مشاهده است. برای یک سیستم تک خروجی تک ورودی هر دو مربع هستند، بنابراین آزمایش به سادگی این است که آیا تعیین کننده غیر صفر است یا خیر. تحققی که هم قابل کنترل و هم قابل مشاهده باشد حداقل است: از کمترین متغیرهای حالت ممکن استفاده می‌کند، هیچ لغوی رخ نمی‌دهد، و مقادیر ویژه و قطب‌ها دقیقاً بر هم منطبق هستند. مثال کارکرده 6 سیستمی را می سازد که در اولین آزمایش مردود می شود و نشان می دهد که چه چیزی اشتباه است.

چرا یک مهندس باید اهمیت دهد. یک حلقه کنترل بسته در اطراف یک تابع انتقال که بی سر و صدا یک قطب ناپایدار را لغو کرده است، روی کاغذ پایدار به نظر می رسد، در شبیه سازی رفتار خوبی دارد و در لحظه ای که یک اختلال یا یک خطای مدل سازی حالت پنهان را تحریک می کند، خود را در آزمایشگاه از بین می برد. لغو یک قطب سمت چپ نیمه هواپیما یک راحتی مدل سازی است. لغو یک قطب سمت راست نیمه صفحه هرگز قابل قبول نیست و توصیف فضای حالت است که تفاوت را قابل مشاهده می کند.

بخش 27-10

نمونه های کار شده

1 مدار RLC سری به شکل حالت

مشکل منبع ولتاژ \(u(t)\) اتصال سری \(R = 3\,\Omega\)، \(L = 1\) H و \(C = \tfrac12\) F را درایو می کند. خروجی را ولتاژ خازن در نظر بگیرید. مدل حالت را بنویسید و تابع انتقال را بازیابی کنید.

راه حل. دو عنصر ذخیره سازی وجود دارد، بنابراین سیستم مرتبه دوم است و حالت های طبیعی عبارتند از جریان سلف \(i\) و ولتاژ خازن \(v_C\). برای هر عنصر یک معادله بنویسید. قانون ولتاژ Kirchhoff در اطراف حلقه معادله سلف را نشان می دهد و رابطه خود خازن معادله دیگر را نشان می دهد:

در حال کار - یک معادله برای هر عنصر ذخیره سازی

\[ L\frac{di}{dt} = u - Ri - v_C \;\Longrightarrow\; \dot i = -3i - v_C + u, \qquad C\frac{dv_C}{dt} = i \;\Longrightarrow\; \dot v_C = 2i \]

هر دو معادله مرتبه اول هستند و هیچ کدام مشتق ورودی را ندارند، بنابراین فرم استاندارد از قبل در مقابل ما قرار دارد. با \(\mathbf{x} = [\,i\ \ v_C\,]^{\mathsf T}\) و \(y = v_C\)،

کار - چهار ماتریس

\[ A = \begin{bmatrix}-3 & -1\\ 2 & 0\end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}, \qquad D = 0 \]

برای تابع انتقال، حلال را تشکیل دهید. از آنجایی که \(sI-A = \begin{bmatrix}s+3 & 1\\ -2 & s\end{bmatrix}\) با \(\det = s(s+3)+2 = s^2+3s+2\)،

در حال کار - \(H(s) = C(sI-A)^{-1}B\)

\[ (sI-A)^{-1}B = \frac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s & -1\\ 2 & s+3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \frac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s\\ 2\end{bmatrix} \;\Longrightarrow\; H(s) = \frac{2}{s^2+3s+2} \]

دو چک نتیجه استاندارد سری-RLC برای ولتاژ خازن \(\dfrac{1/LC}{s^2 + (R/L)s + 1/LC}\) است و با این مقادیر \(1/LC = 2\) و \(R/L = 3\) موافق است. و \(H(0) = 1\)، همانطور که باید: در DC خازن باز است، سلف کوتاه است، و کل ولتاژ منبع در سراسر خازن ظاهر می شود. مقادیر ویژه \(-1\) و \(-2\) هستند، هر دو در نیمه صفحه سمت چپ، بنابراین مدار بیش از حد میرایی و پایدار است.

2 معادله دیفرانسیل به شکل متعارف، و برگشت

مشکل \(\ddot y + 5\dot y + 6y = \dot u + 4u\) را به شکل متعارف قابل کنترل قرار دهید، سپس با محاسبه مجدد \(H(s)\) تأیید کنید.

راه حل. متغیر کمکی \(w\) را برای رضایت \(\ddot w + 5\dot w + 6w = u\) معرفی کنید، به طوری که \(y = \dot w + 4w\) با خطی بودن. \(x_1 = w\)، \(x_2 = \dot w\) را بگیرید. سپس \(\dot x_1 = x_2\) طبق تعریف، و معادله کمکی بازآرایی شده \(\dot x_2 = -6x_1 - 5x_2 + u\) را به دست می‌دهد. معادله خروجی \(y = 4x_1 + x_2\) است:

کار - ماتریس های متعارف

\[ A = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -6 & -5\end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix}4 & 1\end{bmatrix}, \qquad D = 0 \]

الگوی وعده داده شده در بخش 27-4 قابل مشاهده است: ضرایب مخرج \(6, 5\) در ردیف پایین \(A\) نفی می شوند و ضرایب صورت \(4, 1\) به ترتیب مشتق \(C\) به نظر می رسد. برای تأیید، \(sI-A = \begin{bmatrix}s & -1\\ 6 & s+5\end{bmatrix}\) را معکوس کنید، که تعیین کننده آن \(s^2+5s+6\) است:

کار کردن - چک

\[ (sI-A)^{-1}B = \frac{1}{s^2+5s+6}\begin{bmatrix}s+5 & 1\\ -6 & s\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{s^2+5s+6}\begin{bmatrix}1\\ s\end{bmatrix} \]

کار - و معادله خروجی

\[ H(s) = \begin{bmatrix}4 & 1\end{bmatrix}\frac{1}{s^2+5s+6}\begin{bmatrix}1\\ s\end{bmatrix} = \frac{s+4}{s^2+5s+6} = \frac{s+4}{(s+2)(s+3)} \]

که تابع انتقال معادله دیفرانسیل اصلی است. قطب ها \(-2\) و \(-3\) هستند، و از آنجایی که ریشه شمارش در \(-4\) است، هیچ چیز لغو نمی شود - این درک حداقل است، و مقادیر ویژه و قطب ها همان دو عدد هستند.

3 محاسبه نمایی ماتریس

مشکل \(e^{At}\) را برای \(A = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -2 & -3\end{bmatrix}\) پیدا کنید.

راه حل. از مسیر لاپلاس استفاده کنید. ابتدا حلال:

کار کردن - حلال

\[ sI - A = \begin{bmatrix}s & -1\\ 2 & s+3\end{bmatrix}, \quad \det = s^2+3s+2 = (s+1)(s+2), \quad (sI-A)^{-1} = \frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+3 & 1\\ -2 & s\end{bmatrix} \]

اکنون هر ورودی را با کسرهای جزئی معکوس کنید. فقط دو بسط اولیه مورد نیاز است، زیرا دو بسط دیگر مضرب آنها هستند:

کار - کسرهای جزئی

\[ \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}, \qquad \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}, \qquad \frac{s}{(s+1)(s+2)} = \frac{-1}{s+1} + \frac{2}{s+2} \]

تبدیل ترم به ترم به ماتریس نمایی می دهد:

کار کردن - نتیجه

\[ e^{At} = \begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\[3pt] -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t}\end{bmatrix} \]

دو چک، و هر دو باید هر بار انجام شود. در \(t=0\) ورودی ها \(2-1=1\)، \(1-1=0\)، \(-2+2=0\) و \(-1+2=1\) هستند، بنابراین \(e^{A\cdot 0} = I\). مشتق‌گیری و تنظیم \(t=0\) به \(0,\ 1,\ -2,\ -3\) در چهار موقعیت می دهد، که خود \(A\) است - همانطور که ویژگی تعیین کننده \(\tfrac{d}{dt}e^{At}\big|_{0} = A\) نیاز دارد. هر ورودی ترکیبی از \(e^{-t}\) و \(e^{-2t}\) است، دو حالت متعلق به مقادیر ویژه \(-1\) و \(-2\).

4 ورودی صفر به اضافه حالت صفر، جمع شده است

مشکل با \(A\) مانند مثال 3، \(B = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\)، \(C = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}\)، \(D = 0\) و \(\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) را انتخاب کنید. پاسخ خروجی کامل به یک پلهٔ واحد را پیدا کنید.

راه حل. همانطور که فرمول راه حل دعوت می کند، دو قسمت را جداگانه درمان کنید. پاسخ حالت ورودی صفر \(e^{At}\mathbf{x}(0)\) است که اولین ستون ماتریس نمایی را انتخاب می کند و خروجی اولین جزء خود را می گیرد:

در حال کار - پاسخ ورودی صفر

\[ \mathbf{x}_{\text{zi}}(t) = \begin{bmatrix}2e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t}\end{bmatrix}, \qquad y_{\text{zi}}(t) = 2e^{-t}-e^{-2t} \]

برای بخش حالت صفر، تابع انتقال سریعتر از انتگرال کانولوشن است. با این \(B\) و \(C\)،

کار - تابع انتقال و پاسخ گام

\[ H(s) = \begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}1\\ s\end{bmatrix} = \frac{1}{(s+1)(s+2)}, \qquad Y_{\text{zs}}(s) = \frac{1}{s(s+1)(s+2)} \]

کار - کسر جزئی

\[ \frac{1}{s(s+1)(s+2)} = \frac{1/2}{s} - \frac{1}{s+1} + \frac{1/2}{s+2} \;\Longrightarrow\; y_{\text{zs}}(t) = \tfrac12 - e^{-t} + \tfrac12 e^{-2t}, \quad t \ge 0 \]

با اضافه کردن این دو، پاسخ کامل به دست می آید:

در حال کار - کل

\[ y(t) = \tfrac12 + e^{-t} - \tfrac12 e^{-2t}, \qquad t \ge 0 \]

آن را در دو انتها بررسی کنید. در \(t=0\)، \(y = \tfrac12 + 1 - \tfrac12 = 1\)، که برابر با \(C\mathbf{x}(0) = x_1(0) = 1\) از \(D=0\) است. به عنوان \(t\to\infty\)، نمایی از بین می رود و \(y \to \tfrac12 = H(0)\)، افزایش DC. شرایط اولیه فقط گذرا را تحت تأثیر قرار می دهد. مقادیر ویژه \(-1,-2\) سرعت ناپدید شدن آن گذرا را تعیین می کند و ورودی به تنهایی تعیین می کند که خروجی در کجا قرار می گیرد.

5 معادله تفاوت به عنوان یک ماشین حالت

مشکل \(y[n] = 1.2\,y[n-1] - 0.32\,y[n-2] + u[n-1]\) را در فرم فضای حالت قرار دهید، مقادیر ویژه آن را پیدا کنید و پاسخ ضربه را بدست آورید.

راه حل. با تنظیم مجدد، معادله \(y[n] - 1.2y[n-1] + 0.32y[n-2] = u[n-1]\) را می خواند، بنابراین \(a_1 = -1.2\)، \(a_0 = 0.32\)، \(b_1 = 1\)، \(b_0 = 0\). بکارگیری الگوی متعارف بخش 27-7،

در حال کار - مدل حالت گسسته

\[ A = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -0.32 & 1.2\end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}, \qquad D = 0 \]

چند جمله ای مشخصه \(\det(zI-A) = z(z-1.2)+0.32 = z^2-1.2z+0.32\) است که ریشه های آن می باشد

کار کردن - مقادیر ویژه

\[ z = \frac{1.2 \pm \sqrt{1.44-1.28}}{2} = \frac{1.2 \pm 0.4}{2} = 0.8 \ \text{and}\ 0.4 \]

هر دو دارای قدر کمتر از 1 هستند، بنابراین سیستم از نظر مجانبی پایدار است. برای تابع انتقال، \((zI-A)^{-1}B = \dfrac{1}{z^2-1.2z+0.32}\begin{bmatrix}1\\ z\end{bmatrix}\)، و ضرب در \(C = [\,0\ \ 1\,]\) برگ

در حال کار - \(H(z)\) و وارونگی آن

\[ H(z) = \frac{z}{(z-0.8)(z-0.4)}, \qquad \frac{H(z)}{z} = \frac{2.5}{z-0.8} - \frac{2.5}{z-0.4} \]

بنابراین با جفت‌های فصل 24، \(h[n] = 2.5\big[(0.8)^n - (0.4)^n\big]u[n]\) - یک جمله برای هر مقدار ویژه، دقیقاً همانطور که تصویر مدال پیش‌بینی می‌کند.

در برابر معادله تفاوت مستقیماً تأیید کنید. فرمول \(h[0] = 0\)، \(h[1] = 2.5(0.8-0.4) = 1\)، \(h[2] = 2.5(0.64-0.16) = 1.2\) و \(h[3] = 2.5(0.512-0.064) = 1.12\) را می دهد. تکرار بازگشت با \(u[n]=\delta[n]\) به \(y[0]=0\) می دهد. \(y[1] = u[0] = 1\); \(y[2] = 1.2(1) = 1.2\); \(y[3] = 1.2(1.2) - 0.32(1) = 1.12\). این دو موافق هستند.

6 یک تابع انتقال پایدار که یک سیستم ناپایدار را پنهان می کند

مشکل یک سیستم دارای \(A = \begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 3\end{bmatrix}\)، \(B = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)، \(C = \begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix}\)، \(D = 0\) است. \(H(s)\) را بیابید، قابلیت کنترل و مشاهده را آزمایش کنید و آنچه را که سیستم واقعا انجام می دهد را توصیف کنید.

راه حل. ماتریس \(A\) از قبل مورب است، بنابراین حلال نیز مورب است و تابع انتقال یک محاسبه یک خطی است:

کار - تابع انتقال

\[ (sI-A)^{-1}B = \begin{bmatrix}\tfrac{1}{s+1} & 0\\[2pt] 0 & \tfrac{1}{s-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\tfrac{1}{s+1}\\ 0\end{bmatrix} \;\Longrightarrow\; H(s) = \frac{1}{s+1} \]

یک قطب در \(-1\): یک تاخیر مرتبه اول، کاملاً پایدار BIBO، و هیچ اثری از مقدار ویژه \(+3\). مقدار ویژه به جایی نرسیده است - صورت و مخرج \(H(s)\) هر دو دارای ضریب \((s-3)\) بوده و لغو شد.

تست های رتبه می گوید کدام شکست رخ داده است. با \(AB = \begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}\) و \(CA = \begin{bmatrix}-1 & 3\end{bmatrix}\)،

کار - دو تست

\[ \mathcal{C} = \begin{bmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{bmatrix}, \ \det\mathcal{C} = 0 \ \text{(uncontrollable)}; \qquad \mathcal{O} = \begin{bmatrix}1 & 1\\ -1 & 3\end{bmatrix}, \ \det\mathcal{O} = 4 \ \text{(observable)} \]

بنابراین حالت ناپایدار نمی تواند توسط ورودی تحریک شود، به همین دلیل است که پاسخ حالت صفر - و بنابراین \(H(s)\) - هرگز آن را نشان نمی دهد. اما قابل مشاهده است و معادلات حالت به وضوح می گویند که چه اتفاقی می افتد: \(\dot x_2 = 3x_2\)، بنابراین \(x_2(t) = e^{3t}x_2(0)\)، و از \(y = x_1 + x_2\) خروجی شامل آن عبارت رو به رشد است. سیستم را از حالت استراحت شروع کنید و برای همیشه مانند یک تاخیر مرتبه اول خوش اخلاق رفتار می کند. آن را با \(x_2(0)\) حتی کمی غیر صفر شروع کنید - یک شارژ سرگردان، یک خطای گرد عددی، اختلالی که مدل \(B\) شامل نمی‌شود - و خروجی بدون محدودیت رشد می‌کند.

تغییر به \(B = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\) و \(C = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}\) همان \(H(s) = 1/(s+1)\) را می دهد، اما اکنون \(\det\mathcal{C} = 4\) و \(\det\mathcal{O} = 0\): حالت قابل کنترل و غیر قابل مشاهده است. این حالت بدتر است، زیرا ورودی \(x_2\) را به سختی درایو می‌کند در حالی که خروجی بی‌صدا می‌ماند، و اولین علامت مشکل تقویت‌کننده اشباع شده یا یک قطعه از بین رفته است. در هیچ یک از این موارد تابع انتقال به شما هشدار نمی دهد، که دقیقاً استدلال بخش 27-1 است.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ ایالت

کوچکترین مجموعه اعدادی که با ورودی آینده، خروجی آینده را تعیین می کند. در سیستم‌های فیزیکی، متغیرهای ذخیره انرژی.

✓ فرم استاندارد

\(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\), \(\mathbf{y}=C\mathbf{x}+D\mathbf{u}\); زمان‌گسسته با \(\mathbf{x}[n+1]\). \(A\) به تنهایی حامل پویایی است.

✓ فرم متعارف

ضرایب مخرج در ردیف آخر \(A\)، ضرایب صورت در \(C\). یک انتگرال‌گیری کننده، یا یک تاخیر، در هر مرتبه.

✓ راه حل

\(\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)+\int_0^t e^{A(t-\tau)}B\mathbf{u}\,d\tau\); گسسته \(A^n\mathbf{x}[0]+\sum A^{n-1-m}B\mathbf{u}[m]\).

✓ بازگشت به \(H\)

\(H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\)، مخرج \(\det(sI-A)\). قطب ها زیر مجموعه ای از مقادیر ویژه \(A\) هستند.

✓ حالت ها و پنهان کردن

پایدار اگر \(\operatorname{Re}\lambda_i \lt 0\)، یا \(|\lambda_i| \lt 1\). یک حالت غیر قابل کنترل یا غیر قابل مشاهده از \(H\) ناپدید می شود اما از سیستم ناپدید نمی شود.

تمرین کنید

مشکلات

مسائل 1 تا 3 ساخت مدل های حالت. 4 و 5 آنها را حل می کنند. 6 و 7 به تابع انتقال باز می گردند. 8 مربوط به چیزی است که تابع انتقال نمی تواند به شما بگوید. در هر مشکل عددی، \(e^{A\cdot 0} = I\) را بررسی کنید و بهره DC را در برابر \(H(0)\) قبل از اینکه جواب را باور کنید بررسی کنید.

یک مدار RLC موازی توسط یک منبع جریان \(u(t)\) با \(R = 1\,\Omega\)، \(L = 1\) H، \(C = 1\) F هدایت می شود و خروجی به عنوان ولتاژ مقاومت در نظر گرفته می شود. متغیرهای حالت را انتخاب کنید، \(A, B, C, D\) را بنویسید و مقادیر ویژه را پیدا کنید.
\(\dddot y + 6\ddot y + 11\dot y + 6y = 2\ddot u + 3u\) را به شکل متعارف قابل کنترل قرار دهید. \(A, B, C, D\) را بنویسید و چند جمله ای مشخصه را بدون بسط یک تعیین کننده بنویسید.
نمودار شبیه سازی را برای \(H(s) = \dfrac{3s+2}{s^2+4s+5}\) رسم کنید، هر خروجی انتگرالگر را به عنوان یک متغیر حالت برچسب گذاری کنید و ماتریس ها را از نقشه خود بخوانید.
\(e^{At}\) را برای \(A = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -6 & -5\end{bmatrix}\) با استفاده از حلال محاسبه کنید و بررسی کنید که \(e^{A\cdot 0}=I\) و اینکه مشتق آن در مبدا \(A\) است.
برای سیستم مشکل 4 با \(B = [0\ \ 1]^{\mathsf T}\)، \(C = [1\ \ 0]\)، \(D=0\) و \(\mathbf{x}(0) = [0\ \ 2]^{\mathsf T}\)، پاسخ کامل به یک پلهٔ واحد را پیدا کنید و قطعات ورودی صفر و حالت صفر را شناسایی کنید.
با محاسبه مستقیم نشان دهید که \(A = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -2 & -3\end{bmatrix}\) و \(\bar A = \begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -2\end{bmatrix}\) دینامیک یکسانی را با یافتن یک ماتریس \(T\) با \(\bar A = T^{-1}AT\) توصیف می کنند. ستون های \(T\) کدامند؟
یک سیستم گسسته دارای \(A = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -0.15 & 0.8\end{bmatrix}\)، \(B = [0\ \ 1]^{\mathsf T}\)، \(C = [1\ \ 0]\)، \(D = 0\) است. \(H(z)\)، مقادیر ویژه، چهار پارامتر مارکوف اول را پیدا کنید و بیان کنید که آیا سیستم پایدار است یا خیر.
یک سیستم دارای \(A = \begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & -4\end{bmatrix}\)، \(B = [0\ \ 1]^{\mathsf T}\)، \(C = [1\ \ 1]\)، \(D=0\) است. \(H(s)\) را بیابید، قابلیت کنترل و مشاهده را آزمایش کنید و در یک جمله توضیح دهید که اگر این سیستم ساخته و روشن شود، مهندس چه چیزی را مشاهده می کند.

نکته: وقتی یک مسئله معادله دیفرانسیل به شما می دهد، قبل از انجام هر کار دیگری عناصر ذخیره سازی یا ترتیب را بشمارید - این عدد به اندازه هر ماتریس در پاسخ است. هنگامی که به شما \(A\) می دهد، ابتدا \(\det(sI-A)\) را پیدا کنید: مقادیر ویژه حالت ها، ثبات و مخرج \(H(s)\) را تعیین می کنند و تقریباً هر سؤالی واقعاً در مورد یکی از این سه سؤال می پرسد.