سیگنال‌ها و سیستم‌ها در ارتباطات | سیگنال‌ها و سیستم‌ها

چیزی که یاد خواهید گرفت

سه دلیل فیزیکی که سیگنال باند پایه نمی تواند به شکل فعلی منتقل شود - اندازه آنتن، تخصیص کانال و مالتی پلکس شدن - و اینکه چرا هر سه با حرکت یک طیف حل می شوند.
چگونه ویژگی مدولاسیون فصل 14 به انتقال سرکوب شده حامل دوطرفه تبدیل می شود و چرا پهنای باند ارسالی دقیقاً دو برابر پهنای باند پیام است.
تشخیص منسجم، تهی بودن مربعات، و دقیقاً میزان خروجی که در اثر خطای فاز \(\theta\) یا خطای فرکانس \(\Delta\omega\) از دست می دهید.
چرا با افزودن یک حامل، آشکارساز پوش ارزان را می‌خرد، شاخص مدولاسیون باید چه چیزی را برآورده کند، و اشتقاق بازده انرژی ناامیدکننده AM.
تبدیل هیلبرت، سیگنال تحلیلی و اینکه چگونه یک باند جانبی پهنای باندی را که DSB تلف می‌کند نصف می‌کند.
مالتی پلکسی تقسیم فرکانس، گیرنده سوپرهتروداین، و فرکانس تصویر از کجا می آید.
مدولاسیون زاویه - فرکانس لحظه ای، شاخص مدولاسیون \(\beta\)، FM باند باریک و قانون کارسون برای پهنای باند.
مسیر پالس: PAM، مالتی پلکسی تقسیم زمانی و PCM، که مستقیماً بر اساس قضیه نمونه‌برداری فصل 20 ساخته شده است.
پوشش پیچیده و بخش‌های درون‌فاز/مربع آن - نمایشی که به یک سیستم باند عبور اجازه می‌دهد کاملاً در باند پایه شبیه‌سازی شود.

بخش 28-1

اصلا چرا تعدیل کنیم

بیست و هفت فصل دستگاهی برای توصیف سیگنال‌ها و سیستم‌هایی که بر روی آنها عمل می کنند ساخته اند. این فصل آن دستگاه را صرف برنامه‌ای می‌کند که در وهله اول بیشتر آن را برانگیخت. مهندسی ارتباطات دلیلی است که تحلیل فوریه ریاضیات را رها کرده و وارد برنامه درسی مهندسی برق می شود و تقریباً همه چیز در قسمت های 3 تا 6 این کتاب دارای مشکل ارتباطی است.

با مشکل در شکل اولیه آن شروع کنید. گفتار تقریباً 300 هرتز تا 3.4 کیلوهرتز را اشغال می کند. موسیقی، تا حدود 20 کیلوهرتز؛ یک سیگنال ویدئویی، چندین مگاهرتز. این سیگنال‌های باند پایه هستند - انرژی آنها در باندی قرار می‌گیرد که با فرکانس صفر یا نزدیک به آن شروع می‌شود. فرض کنید ما به سادگی یک میکروفون را به یک آنتن وصل می کنیم و امیدواریم. سه چیز جداگانه اشتباه می کنند و هر کدام یک مشکل طیفی پنهان است.

اولین مورد اندازه آنتن است. یک آنتن تنها زمانی به طور موثر تابش می کند که طول فیزیکی آن کسری قابل توجه از طول موجی باشد که از آن خواسته می شود - یک چهارم طول موج قانون معمول است. در فرکانس 3 کیلوهرتز، طول موج \(c/f = 3\times10^8/3\times10^3 = 100\) کیلومتر است، بنابراین یک آنتن ربع موج 25 کیلومتر ارتفاع دارد. در 100 مگاهرتز طول موج 3 متر و آنتن 75 سانتی متر است. هیچ چیز در مورد پیام تغییر نکرده است. فقط باند فرکانسی که اشغال می کند دارد و آنتن به پیام اهمیتی نمی دهد.

دومی تخصیص کانال است. یک کانال فیزیکی از یک باند خاص عبور می کند و بقیه را رد می کند - یک فیبر نوری نزدیک \(2\times10^{14}\) هرتز، یک پیوند ماهواره ای در گیگاهرتز، یک جفت مس تا چند مگاهرتز. یک سیگنال باید به کانالی که از قبل در باندی که کانال تکیه‌گاه می‌کند، تحویل داده شود.

سومین مورد، و پیامدهای گسترده، مالتی پلکسی است. اگر دو بلندگو در یک کانال در باند پایه قرار گیرند، طیف آنها کاملاً همپوشانی دارند و هیچ فیلتری نمی تواند آنها را دوباره جدا کند. فصل 15 در این مورد صریح بود: یک فیلتر خطی فقط می تواند سیگنال‌هایی را که باندهای فرکانسی متفاوتی را اشغال می کنند جدا کند. به هر بلندگو باند متفاوتی بدهید و جداسازی آن بی اهمیت می شود.

هر سه مشکل یک راه حل دارند. اندازه آنتن، تخصیص کانال و مالتی پلکس شدن با همان عملیات پاسخ داده می شود: طیف \(X(j\omega)\) را بگیرید و آن را به سمت بالا محور فرکانس به فرکانس حامل انتخابی \(\omega_c\) بکشید، سپس آن را به سمت گیرنده برگردانید. این عملیات مدولاسیون است و فصل 14 قبلاً ثابت کرده است که ضرب در یک نمایی مختلط دقیقاً این کار را انجام می دهد. این فصل، به معنای واقعی، یکی از ویژگی های تبدیل فوریه است که بارها و بارها اعمال می شود.

بخش 28-2

ویژگی مدولاسیون و DSB-SC

فصل 14 ویژگی تغییر فرکانس را مشخص کرد: ضرب یک سیگنال در \(e^{j\omega_c t}\) کل طیف آن را با \(\omega_c\) ترجمه می کند. نمایی مختلط ولتاژی نیست که هر کسی بتواند تولید کند، بلکه کسینوس اینطور است و کسینوس مجموع دو عدد از آنهاست. دو بار اعمال شیفت و اضافه کردن نتیجه ای را به دست می دهد که بقیه این فصل بر آن استوار است.

استخراج قضیه مدولاسیون از خاصیت تغییر

\[ x(t)\cos\omega_c t = \tfrac12 x(t)e^{j\omega_c t} + \tfrac12 x(t)e^{-j\omega_c t} \;\;\xleftrightarrow{\ \mathcal{F}\ }\;\; \tfrac12 X\big(j(\omega-\omega_c)\big) + \tfrac12 X\big(j(\omega+\omega_c)\big) \]

سمت راست را به معنای واقعی کلمه بخوانید. طیف پیام دو بار ظاهر می شود، یک بار در مرکز \(+\omega_c\) و یک بار در \(-\omega_c\)، هر کدام در نصف ارتفاع اصلی خود. هیچ چیز تحریف نمی شود و چیزی از دست نمی رود. این طیف به سادگی در دو مکان جدید کپی شده است. سیگنالی که از این طریق تشکیل می شود، حامل سرکوب شده دو طرفه نامیده می شود - باند دو طرفه زیرا هم قسمت بالای \(\omega_c\) و هم قسمت زیر آن ارسال می شوند، حامل سرکوب شده زیرا در خود \(\omega_c\) خط طیفی گسسته ای وجود ندارد.

پیام در باند پایه - پهنای باند \(W\)

پس از ضرب در \(\cos\omega_c t\) - دو نسخه نیمه قد

🔑

پهنای باند انتقال DSB-SC

\[ s(t) = x(t)\cos\omega_c t \qquad\Longrightarrow\qquad B_{\text{DSB}} = 2W \]

پیام پهنای باند\(W\)اشغال می کند\(2W\)یک بار مدوله، زیرا گروه از\(\omega_c - W\)به\(\omega_c\)(باند کناری پایین) و باند از\(\omega_c\)به\(\omega_c + W\)(باند کناری بالایی) هر دو منتقل می شوند. کپی فرکانس منفی پهنای باند اضافی نیست - طیف سیگنال حقیقی همیشه متقارن مزدوج است و فقط نیمه مثبت آن از نظر فیزیکی اشغال شده است.

این فرض که \(\omega_c \gt W\) در اینجا کار آرامی انجام می دهد. اگر حامل کمتر از پهنای باند پیام بود، دو نسخه جابجا شده در اطراف مبدا همپوشانی پیدا می‌کردند، اضافه می‌شدند و هیچ فیلتری نمی‌توانست دوباره آنها را از هم جدا کند. این همان شرط عدم همپوشانی است که فصل 20 قبلاً با نامی دیگر آشنا کرده است: دقیقاً شرطی است که کپی های طیفی تغییر یافته تولید شده توسط نمونه‌برداری به یکدیگر هم‌پوشانی طیفی نداشته باشند. در عمل، \(\omega_c\) بزرگتر از \(W\) است، بنابراین این شرایط هرگز مورد تردید نیست.

دو ویژگی DSB-SC قبل از اینکه آن را بهبود دهیم ارزش توجه دارد. از نظر توان کارآمد است، زیرا هر وات ارسالی اطلاعات پیام را حمل می کند - هیچ خط حاملی وجود ندارد که انرژی مصرف کند در حالی که چیزی را منتقل نمی کند. از نظر پهنای باند بیهوده است، زیرا باندهای جانبی بالا و پایین تصاویر آینه ای از یکدیگر هستند و بنابراین دو بار اطلاعات یکسانی را حمل می کنند. بخش‌های 28-4 و 28-5 این دو ملک را در جهت مخالف با یکدیگر معامله می‌کنند.

بخش 28-3

تشخیص منسجم

پس از کشیدن طیف به بالا، گیرنده باید آن را به عقب برگرداند. حرکت طبیعی این است که دوباره همان کار را انجام دهیم: سیگنال دریافتی را در یک کسینوس تولید شده محلی در همان فرکانس ضرب کنیم. ضرب در کسینوس طیف را هم به بالا و هم به پایین جابجا می کند، بنابراین یکی از دو نسخه انتقال یافته پیام به مبدأ برمی گردد و بقیه به \(2\omega_c\) پرتاب می شود، جایی که یک فیلتر پایین گذر آن را دفع می کند.

دمدولاسیون محصول، با هویت مثلثاتی انجام شده است

\[ v(t) = s(t)\cos\omega_c t = x(t)\cos^2\omega_c t = \tfrac12 x(t) + \tfrac12 x(t)\cos 2\omega_c t \]

اولین عبارت پیام است، نصف شده است. دومی پیامی است که به \(2\omega_c\) ترجمه شده است که باند \(2\omega_c \pm W\) را اشغال می کند و بنابراین هر زمان که \(\omega_c \gt W\) از اولین عبارت جدا می شود. یک فیلتر پایین گذر با بریدگی بین \(W\) و \(2\omega_c - W\) \(\tfrac12 x(t)\) را بازیابی می کند و افزایش دو برابری کار را به پایان می رساند. این تشخیص منسجم یا همزمان است و کلمه منسجم کل مشکل است.

تشخیص منسجم - عبارت مورد نظر به باند پایه باز می گردد، بقیه در \(2\omega_c\) قرار می گیرند

فرض کنید نوسان ساز محلی در فرکانس مناسب اما فاز اشتباه است و \(\cos(\omega_c t + \theta)\) را تولید می کند. تکرار محصول با هویت کلی \(\cos A\cos B = \tfrac12\cos(A-B) + \tfrac12\cos(A+B)\):

اثر خطای فاز

\[ v(t) = x(t)\cos\omega_c t\,\cos(\omega_c t + \theta) = \tfrac12 x(t)\cos\theta + \tfrac12 x(t)\cos(2\omega_c t + \theta) \]

🔑

خطاهای فاز و فرکانس در آشکارساز منسجم

\[ y_\theta(t) = x(t)\cos\theta \qquad\qquad y_{\Delta\omega}(t) = x(t)\cos\big(\Delta\omega\, t + \theta\big) \]

یک خطای فاز ثابت خروجی را به وسیله \(\cos\theta\) بدون تحریف آن کاهش می دهد - اما در \(\theta = \pi/2\) خروجی به طور کامل ناپدید می شود. این ربع تهی است. خطای فرکانس به مراتب بدتر است: خروجی در یک کسینوس آهسته ضرب می شود، بنابراین پیام بازیابی شده داخل و خارج می شود و به طور دوره ای معکوس می شود.

تهی بودن مربعات صرفاً یک مزاحم نیست که باید از آن اجتناب کرد. یک منبع است دو پیام کاملاً مجزا را می‌توان بر روی یک فرکانس حامل ارسال کرد، یکی در \(\cos\omega_c t\) و دیگری در \(\sin\omega_c t\)، و هر یک برای آشکارساز قفل شده روی دیگری نامرئی است. این مالتی پلکسی دامنه مربعی است و به همین دلیل است که هر رادیوی دیجیتال مدرن سیگنال خود را به عنوان یک جفت \((I, Q)\) توصیف می کند - نقطه ای که بخش 28-9 به آن بازمی گردد.

بازیابی فاز حامل به دقت مورد نیاز، قیمت DSB-SC است. یک حلقه Costas یا یک حلقه مربع می تواند آن را از سیگنال دریافتی خود استخراج کند، اما هر دو مدار اضافه می کنند و در دهه 1920 هیچ کدام وجود نداشت. این فشار تجاری طرحی را در بخش بعدی ایجاد کرد که برای اینکه گیرنده تقریباً رایگان شود، برق را دور می‌اندازد.

بخش 28-4

AM و ردیاب پوش

بینش پشت مدولاسیون دامنه مرسوم این است که اگر دامنه ارسال شده هرگز منفی نشود، پیام را می توان با یک دیود، یک خازن و یک مقاومت - بدون نوسانگر، بدون قفل فاز، بدون ضریب، از طرح کلی شکل موج خواند. برای تضمین آن، قبل از تعدیل، یک \(A\) ثابت به پیام اضافه کنید.

سیگنال AM و شاخص مدولاسیون آن

\[ s(t) = \big[A + x(t)\big]\cos\omega_c t = A\big[1 + \mu\, m(t)\big]\cos\omega_c t, \qquad \mu = \frac{\max|x(t)|}{A} \]

در اینجا \(m(t) = x(t)/\max|x(t)|\) پیام نرمال شده به واحد پیک است و \(\mu\) شاخص مدولاسیون است. پوش \(s(t)\) - طرح کلی که به آرامی متغیر است که حامل در داخل آن نوسان می کند - \(|A + x(t)|\) است. اگر \(\mu \le 1\) همیشه \(A + x(t) \ge 0\) باشد، علامت مدول اضافی است و پوش آن \(A + x(t)\) است: پیام به اضافه یک ثابت که یک خازن آن را حذف می کند. اگر \(\mu \gt 1\) براکت در عمیق‌ترین فرورفتگی‌ها منفی شود، مدول آن گشت‌وگذارها را به سمت بالا جمع می‌کند و پوش دیگر اصلاً شبیه پیام نیست. این بیش از حد مدولاسیون است و اعوجاج غیر قابل برگشت است.

تعدیل نشده - پوش پیام است

بیش از حد مدوله شده - علامت تغییر \(A + x(t)\)

هزینه حامل اضافه شده چقدر است؟ سیگنال AM را برای پیام تک صدایی \(x(t) = A\mu\cos\omega_m t\) گسترش دهید:

AM تک آهنگ، به سه خط گسترش یافته است

\[ s(t) = A\cos\omega_c t + \frac{A\mu}{2}\cos(\omega_c + \omega_m)t + \frac{A\mu}{2}\cos(\omega_c - \omega_m)t \]

سه فرکانس مجزا: حامل و دو باند جانبی. توان آنها در یک مقاومت واحد \(A^2/2\) برای حامل و \(A^2\mu^2/8\) برای هر باند جانبی است. فقط نوارهای جانبی حامل پیام هستند. حامل یک صدای ثابت است که چیزی جز راحتی گیرنده را منتقل نمی کند. تشکیل نسبت راندمان توان را می دهد.

استخراج بازده توان AM مدوله شده با تن

\[ \eta = \frac{P_{\text{sidebands}}}{P_{\text{total}}} = \frac{2\cdot A^2\mu^2/8}{A^2/2 + A^2\mu^2/4} = \frac{\mu^2/4}{(2+\mu^2)/4} = \frac{\mu^2}{2+\mu^2} \]

🔑

AM هرگز بیش از یک سوم کارآمد نیست

\[ \eta = \frac{\mu^2}{2+\mu^2} \le \frac{1}{3} \quad\text{at}\quad \mu = 1 \]

حتی در عمیق ترین مدولاسیون قانونی، دو سوم توان ارسالی در حاملی قرار می گیرد که هیچ اطلاعاتی ندارد. در \(\mu = 0.5\) معمولی این رقم به \(0.25/2.25 \approx 11\%\) کاهش می یابد. AM سادگی گیرنده را با توان فرستنده می‌خرد، که وقتی یک فرستنده میلیون‌ها کریستال و فرستنده ضعیف در هر جای دیگر سرویس می‌داد، معامله بسیار خوبی بود.

آشکارساز پوش خود یک دیود است که یک شبکه موازی \(RC\) را تغذیه می کند. در هر پیک حامل مثبت، دیود خازن را به مقدار پیک هدایت کرده و شارژ می کند. بین پیک ها دیود بایاس معکوس است و خازن از طریق \(R\) تخلیه می شود. بنابراین ثابت زمانی باید به اندازه‌ای طولانی باشد که مقدار خود را بین پیک‌های حامل حفظ کند، اما به اندازه‌ای کوتاه باشد که پوش را به سمت پایین دنبال کند. هر دو شرط را می توان کمی کرد.

حد بالایی از درخواست خازن برای افتادن حداقل به همان سرعتی که پوش می کند ناشی می شود. با تخلیه از \(E(t)\)، نرخ اولیه سقوط خازن \(E(t)/RC\) است. پوش \(E(t) = A(1+\mu\cos\omega_m t)\) با نرخ \(A\mu\omega_m\sin\omega_m t\) سریعترین سقوط را دارد. الزام اولی برای شکست دادن دومی در هر لحظه:

استخراج ثابت زمانی پوش آشکارساز

\[ \frac{A(1+\mu\cos\omega_m t)}{RC} \;\ge\; A\mu\omega_m\sin\omega_m t \quad\Longrightarrow\quad RC \;\le\; \frac{1+\mu\cos\omega_m t}{\mu\omega_m\sin\omega_m t}\ \ \text{for all } t \]

سمت راست جایی که مشتق آن ناپدید می شود، به حداقل می رسد، که در \(\cos\omega_m t = -\mu\) اتفاق می افتد. جایگزین آن مقدار، \(1+\mu\cos\omega_m t = 1-\mu^2\) و \(\sin\omega_m t = \sqrt{1-\mu^2}\)، بنابراین حداقل \(\sqrt{1-\mu^2}/(\mu\omega_m)\) است. ترکیب با حد پایین قانون طراحی را می دهد.

🔑

پنجره طراحی پوش ردیاب

\[ \frac{1}{f_c} \;\ll\; RC \;\le\; \frac{\sqrt{1-\mu^2}}{\mu\,\omega_m} \]

\(RC\) خیلی کوچک است و خروجی از چرخه های حامل منفرد پیروی می کند و ریپل تولید می کند. خیلی بزرگ است و خازن نمی تواند سقوط پوش را ردیابی کند و باعث ایجاد بریدگی مورب می شود. این پنجره دقیقاً به دلیل \(f_c \gg f_m\) گسترده است، که راه دیگری برای گفتن این است که کل طرح به نسبت فرکانس حامل به پیام بزرگ بستگی دارد.

AM و DSB-SC پهنای باند یکسانی دارند. افزودن یک حامل، طیف را گسترش نمی دهد - حامل یک خط در \(\omega_c\) است، در داخل باند، نوارهای جانبی قبلاً اشغال شده اند. هر دو طرح به \(2W\) نیاز دارند. AM انرژی را صرف ذخیره گیرنده می کند. SSB، در مرحله بعد، پیچیدگی گیرنده را صرف صرفه جویی در پهنای باند می کند. هیچ طرحی وجود ندارد که هر دو را ذخیره کند، و تشخیص اینکه کدام منبع کمیاب است، کل طراحی سیستم است.

بخش 28-5

Single Sideband و هیلبرت تبدیل

به طیف DSB-SC برگردید. برای یک پیام واقعی، \(X(-j\omega) = X^*(j\omega)\)، بنابراین نوار کناری بالایی و باند کناری پایین بازتاب های مزدوج یکدیگر در مورد \(\omega_c\) هستند. دانستن یکی، دیگری را به طور کامل تعیین می کند. انتقال هر دو، انتقال دوبار اطلاعات یکسان است، و تعمیر واضح این است که یکی را فیلتر کنید و فقط دیگری را ارسال کنید. این مدولاسیون یک باند است و پیامی از پهنای باند \(W\) را در کانالی با پهنای باند \(W\) قرار می دهد.

فیلتر کردن آن سخت تر از آن چیزی است که به نظر می رسد. دو باند جانبی در \(\omega_c\) بدون هیچ شکافی به هم می رسند، بنابراین فیلتر باید از باند عبور به باند توقف در سراسر منطقه ای که پیام دارای محتوای کم فرکانس است، بیفتد. گفتار در اینجا راحت است زیرا تقریبا هیچ چیزی زیر 300 هرتز ندارد و یک باند انتقالی 600 هرتز باقی می‌گذارد. یک سیگنال با محتوای DC قابل توجه به هیچ وجه نمی تواند توسط SSB ارسال شود. گزینه جایگزین ساخت مستقیم باند جانبی است و انجام این کار اپراتوری را معرفی می کند که به خودی خود ارزش دانستن دارد.

تبدیل هیلبرت \(\hat{x}(t)\) را به عنوان خروجی یک فیلتر تمام گذر تعریف کنید که هر مؤلفه فرکانس مثبت را با \(-90^\circ\) و هر مؤلفه فرکانس منفی را با \(+90^\circ\) جابجا می کند.

ترانسفورماتور هیلبرت به عنوان فیلتر

\[ H_h(j\omega) = -j\,\operatorname{sgn}(\omega) = \begin{cases} -j, & \omega \gt 0\\ +j, & \omega \lt 0\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad h_h(t) = \frac{1}{\pi t} \]

قدر آن در همه جا 1 است، بنابراین هیچ دامنه ای تغییر نمی کند - فقط فازها. اکنون سیگنال تحلیلی \(x_+(t) = x(t) + j\hat{x}(t)\) را تشکیل دهید. طیف آن \(X(j\omega)\big[1 + \operatorname{sgn}(\omega)\big]\) است، که برای \(\omega \gt 0\) \(2X(j\omega)\) و برای \(\omega \lt 0\) صفر است: نیمه فرکانس منفی دقیقاً لغو شده است. انتقال این طیف یک طرفه به \(\omega_c\) و گرفتن قسمت واقعی سیگنالی تولید می کند که فقط باند بالای \(\omega_c\) را اشغال می کند.

🔑

تک باند به روش تغییر فاز

\[ s_{\text{SSB}}(t) = x(t)\cos\omega_c t \;\mp\; \hat{x}(t)\sin\omega_c t \]

علامت منفی نوار کناری بالایی را حفظ می کند، علامت مثبت پایین تر را نگه می دارد. نیازی به فیلتر تیز نیست - فقط یک تغییر فاز باند پهن \(90^\circ\) و دو ضریب. پهنای باند \(W\)، نصف پهنای باند DSB-SC یا AM است، و بازده برق DSB-SC است، زیرا هیچ حاملی ارسال نمی شود.

SSB با تشخیص منسجم دقیقاً مانند DSB-SC بازیابی می‌شود، و اگر چیزی سخت‌تر باشد: یک خطای فاز در SSB فقط خروجی را کاهش نمی‌دهد، هر جزء پیام را با همان زاویه تغییر فاز می‌دهد، که گفتار آن را تحمل می‌کند اما داده‌ها را تحمل نمی‌کند، در حالی که خطای فرکانس، هر مؤلفه‌ای را با همان تعداد هرتز آشنا تبدیل می‌کند. گیرنده

نوار کناری وستیجیال سازش مهندسی بین این دو است. یک نوار کناری به طور کامل منتقل می شود و یک اثر کوچک از دیگری حفظ می شود، با انتقال فیلتر به گونه ای که دو بقایای روی هم تداخل دارند به یک ثابت در سراسر منطقه متقاطع اضافه کنند. پهنای باند کمی بیشتر از \(W\) است، فیلتر قابل تحقق است، و محتوای DC زنده می ماند – به همین دلیل است که تلویزیون آنالوگ، که سیگنال ویدئویی آن به DC می رسد، از VSB برای حامل تصویر خود استفاده می کند.

طرح	پهنای باند منتقل شده	حامل ارسال شد؟	گیرنده	استفاده معمولی
DSB-SC	\(2W\)	خیر	منسجم	مالتی پلکس آنالوگ، حامل های فرعی QAM
AM (DSB-LC)	\(2W\)	بله	آشکارساز پوش	پخش رادیو، صدای هوانوردی
SSB	\(W\)	خیر	منسجم	تلفن راه دور، HF آماتور / دریایی
VSB	\(\approx 1.25W\)	کاهش یافته است	پوش یا منسجم	ویدئوی تلویزیون آنالوگ
FM	\(2(\Delta f + W)\)	پوش ثابت	تبعیض کننده	پخش FM، رادیو دو طرفه

بخش 28-6

ضربدری تقسیم فرکانس

انگیزه سوم بخش 28-1 اکنون نتیجه می دهد. به هر پیام حامل خاص خود را بدهید، با فاصله کافی از هم که طیف های ترجمه شده با هم تداخل نداشته باشند، سیگنال‌های مدوله شده را با هم جمع کنید و مجموع را ارسال کنید. در گیرنده یک فیلتر باند گذر یک باند را انتخاب می کند و یک آشکارساز منسجم یا پوش آن را به باند پایه برمی گرداند. این مالتی پلکسی تقسیم فرکانس است و اصل سازماندهی کل طیف رادیویی است.

کانال‌ها در فرکانس روی هم قرار گرفته‌اند که با باندهای محافظ از هم جدا شده‌اند

نوارهای محافظ وجود دارند زیرا فیلترهای واقعی دیوارهای آجری نیستند. فصل 15 نشان داد که یک فیلتر دیوار آجری ایده آل غیر علت و در نتیجه غیرقابل ساخت است. یک فیلتر عملی در یک انتقال محدود از بین می‌رود، بنابراین کانال‌های مجاور باید کمی بیشتر از \(2W\) از هم فاصله داشته باشند تا مانع از ریختن آن به همسایه شود. سلسله مراتب تلفن کلاسیک دقیقاً این کار را انجام می داد: دوازده کانال صوتی SSB، هر کدام اسماً 4 کیلوهرتز پهنا داشتند، اگرچه گفتار فقط 3.4 کیلوهرتز را اشغال می کرد، در یک گروه 48 کیلوهرتز انباشته شدند.

ساخت گیرنده‌ای که فیلتر گذر آن بتواند در کل باند پخش مجدد تنظیم شود، ناخوشایند است - فرکانس مرکزی باید در حالی که پهنای باند ثابت می‌ماند حرکت کند، بنابراین با تنظیم کردن، پهنای باند کسری تغییر می‌کند. گیرنده superheterodyne به طور کامل از مشکل جلوگیری می کند. یک نوسان ساز محلی قابل تنظیم ابتدا هر ایستگاهی را که می خواهید به یک فرکانس متوسط ثابت تبدیل می کند، و تمام فیلترهای انتخابی و بیشتر سود در فیلتری که هرگز نیازی به تنظیم مجدد ندارد، در آنجا اتفاق می افتد.

ترجمه Superheterodyne و تصویر

\[ f_{\text{LO}} = f_{\text{RF}} + f_{\text{IF}} \qquad\Longrightarrow\qquad f_{\text{image}} = f_{\text{LO}} + f_{\text{IF}} = f_{\text{RF}} + 2f_{\text{IF}} \]

تصویر به این دلیل به وجود می آید که یک ضرب کننده نسبت به علامت اختلاف فرکانس کور است. هر دو \(f_{\text{LO}} - f_{\text{IF}}\) و \(f_{\text{LO}} + f_{\text{IF}}\) روی فرکانس میانی فرود می آیند، بنابراین یک ایستگاه در هر یک به فیلتر IF می رسد. فقط یک فیلتر درشت جلوتر از میکسر می تواند فیلتر ناخواسته را رد کند، و از آنجایی که فقط به دو فرکانس جدا \(2f_{\text{IF}}\) نیاز دارد، می تواند یک مدار گسترده و به راحتی تنظیم شود. به همین دلیل است که AM پخش کننده IF با فرکانس 455 کیلوهرتز انتخاب شد: به اندازه کافی کوچک برای انتخاب IF خوب و به اندازه کافی بزرگ است که یک صفحه جلویی ساده می تواند تصویری را که در فاصله 910 کیلوهرتز قرار دارد رد کند.

بخش 28-7

مدولاسیون زاویه

هر طرحی تا کنون پیام را در دامنه یک حامل نوشته است، که پیام را در برابر هر چیزی که دامنه را مختل می کند آسیب پذیر می کند - و تقریباً هر اختلال کانال این کار را می کند. گزینه جایگزین این است که دامنه را کاملاً ثابت نگه دارید و به جای آن پیام را در زاویه بنویسید.

مدولاسیون زاویه و فرکانس لحظه ای

\[ s(t) = A\cos\theta(t), \qquad \omega_i(t) \triangleq \frac{d\theta}{dt} \]

تعریف فرکانس لحظه ای به عنوان مشتق زاویه کل ایده کلیدی است، و با همه چیزهای قبل از آن سازگار است: برای یک حامل بدون مدوله \(\theta = \omega_c t\) و \(\omega_i = \omega_c\)، همانطور که باید باشد. سپس دو انتخاب خود را نشان می دهند. انحراف فاز را متناسب با پیام تنظیم کنید و مدولاسیون فاز دارید. انحراف فرکانس را متناسب با آن قرار دهید و مدولاسیون فرکانس دارید.

PM و FM در کنار هم

\[ s_{\text{PM}}(t) = A\cos\!\big(\omega_c t + k_p x(t)\big) \qquad\qquad s_{\text{FM}}(t) = A\cos\!\Big(\omega_c t + k_f\!\!\int_{-\infty}^{t}\!\! x(\tau)\,d\tau\Big) \]

این دو عملیات مشابهی هستند که برای سیگنال‌های مختلف اعمال می‌شوند: FM \(x(t)\) PM از انتگرال \(x(t)\) است و PM \(x(t)\) FM مشتق آن است. بنابراین یک مدولاتور واحد به هر دو خدمت می‌کند، با یک انتگرال‌گیری‌کننده یا ممشتق‌گیریکننده در جلو - که دقیقاً همان‌گونه است که پیش‌تأکید و بی‌تأکید در پخش FM ساخته می‌شود.

در حال حاضر طیف، و در اینجا قطعات مدولاسیون زاویه شرکت با همه چیز در این فصل تا کنون. صدای تک صدای \(x(t) = A_m\cos\omega_m t\) را به یک مدولاتور FM ببرید. انتگرال‌گیری یک انحراف فاز \(\beta\sin\omega_m t\) می دهد که در آن \(\beta = k_f A_m/\omega_m = \Delta\omega/\omega_m = \Delta f/f_m\)، شاخص مدولاسیون، با \(\Delta f\) انحراف فرکانس اوج است. سیگنال ارسالی \(A\cos(\omega_c t + \beta\sin\omega_m t)\) است و پیام اکنون در داخل کسینوس کسینوس قرار دارد. رابطه بین پیام و سیگنال خطی نیست، بنابراین آرگومان های برهم نهی که در هر جای دیگری در این کتاب استفاده می شود، به سادگی اعمال نمی شوند، و با جابجایی چیزی نمی توان طیف را به دست آورد.

چرا طیف بی نهایت است. گسترش \(\cos(\beta\sin\omega_m t)\) و \(\sin(\beta\sin\omega_m t)\) در سری فوریه آنها - ماشین فصل 10، به کار رفته در یک تابع تناوبی از یک تابع تناوبی - ضرایبی را تولید می کند که توابع بسل \(J_n(\beta)\) هستند. نتیجه یک حامل به همراه باندهای جانبی در هر چند \(\omega_c \pm n\omega_m\) است، بی‌نهایت بسیاری از آنها. یک صدا در یک مدولاتور FM یک طیف بی‌نهایت گسترده تولید می‌کند که وضعیتی واقعاً متفاوت از سه خط مرتب AM است.

پهنای بی نهایت با غیرقابل استفاده بودن یکسان نیست، زیرا \(J_n(\beta)\) زمانی ناچیز می شود که \(n\) با یک حاشیه راحت از \(\beta\) بیشتر شود. شمارش جفت‌های قابل توجه باندهای جانبی به‌عنوان تقریباً \(\beta + 1\)، که هر کدام با فاصله \(f_m\) از هم فاصله دارند، و دو برابر شدن برای هر دو طرف حامل، تخمین مهندسی استاندارد را به دست می‌دهد.

🔑

قانون کارسون

\[ B \;\approx\; 2(\beta + 1)f_m \;=\; 2(\Delta f + f_m) \;\longrightarrow\; 2(\Delta f + W) \text{ for a general message} \]

دو محدودیت در یک فرمول موجود است. برای \(\beta \ll 1\) - FM باند باریک - پهنای باند به \(2f_m\)، همان AM کاهش می یابد. برای \(\beta \gg 1\) - پهنای باند FM - به \(2\Delta f\) نزدیک می‌شود که با انحراف تنظیم شده و اساساً مستقل از پهنای باند پیام است.

پخش FM از \(\Delta f = 75\) کیلوهرتز و \(W = 15\) کیلوهرتز استفاده می‌کند که به \(\beta = 5\) و \(B = 180\) کیلوهرتز می‌دهد — شش برابر چیزی که AM برای یک صدا نیاز دارد. این پهنای باند تلف نمی شود. این یک بهبود سیگنال به نویز را خریداری می کند که به عنوان \(\beta^2\) رشد می کند، به همین دلیل است که FM با وجود استفاده از توان فرستنده کمتر، بهتر از AM به نظر می رسد، و این اولین مثال واضح در این کتاب از پهنای باند است که عمداً با عملکرد نویز معامله می شود. دقیق کردن این معامله مستلزم توضیح خود نویز است و این فصل 29 است.

FM باند باریک سزاوار یک خط بیشتر است زیرا می توان آن را از ابزارهای خطی این فصل ساخت. برای \(\beta \ll 1\)، \(\cos(\beta\sin\omega_m t)\approx 1\) و \(\sin(\beta\sin\omega_m t)\approx\beta\sin\omega_m t\)، بنابراین \(s(t) \approx A\cos\omega_c t - A\beta\sin\omega_m t\sin\omega_c t\). این را با بسط AM از بخش 28-4 مقایسه کنید: همان سه خط، فاصله یکسان، اما نوارهای جانبی به جای اینکه در فاز با حامل وارد شوند، به صورت مربعی با حامل وارد می شوند. آن تغییر فاز، کل تفاوت بین سیگنالی است که دامنه آن متفاوت است و سیگنالی که زاویه آن متفاوت است.

بخش 28-8

نمونه‌برداری، PAM و زمان تقسیم چندگانه

همه چیز تا کنون در زمان مستمر بوده است. فصل 20 ثابت کرد که یک سیگنال باند محدود به \(W\) هرتز به طور کامل توسط نمونه های گرفته شده با \(2W\) در ثانیه تعیین می شود و فصل 21 نحوه بازسازی آن را نشان داد. این قضیه پیامدی برای ارتباطاتی دارد که بیان آن آسان است و تأثیر آن بسیار زیاد است: بین نمونه ها، کانال بیکار است و زمان بیکاری می تواند به شخص دیگری فروخته شود.

ساده ترین طرح پالس مدولاسیون دامنه پالس است. پیام نمونه‌برداری می شود و هر نمونه ارتفاع یک پالس کوتاه را تعیین می کند. فصل 20 نمونه‌برداری ضربه‌ای ایده‌آل را بررسی کرد. یک سیستم واقعی از پالس‌هایی با عرض محدود \(\tau\) استفاده می‌کند، که تفاوت بین نمونه‌برداری ضربه‌ای و آنچه معمولاً نمونه‌برداری سطح صاف نامیده می‌شود، است. تمایز در حوزه فرکانس اهمیت دارد.

PAM سطح صاف به عنوان نمونه‌برداری ضربه ای و به دنبال آن نگه داشتن

\[ s_{\text{PAM}}(t) = \Big[\textstyle\sum_n x(nT)\,\delta(t-nT)\Big] * p(t) \qquad\Longleftrightarrow\qquad S(j\omega) = \frac{1}{T}\sum_n X\big(j(\omega - n\omega_s)\big)\,P(j\omega) \]

یک قطار پالسی سطح صاف، نمونه‌برداری ضربه‌ای است که با شکل پالس در هم می‌آید، بنابراین طیف آن طیف نمونه‌برداری شده ضرب در \(P(j\omega)\) است که برای یک پالس مستطیلی با عرض \(\tau\) \(\tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2\pi)\) است. در کپی باند پایه، این سینک مسطح نیست، بنابراین پیام بازیابی شده کمی از نظر فرکانس کج می شود - اثر دیافراگم. این یک اعوجاج ثابت و شناخته شده است و توسط یک اکولایزر با پاسخ متقابل، دقیقاً همان اکولایزر فصل 22 که برای تصحیح نگه داشتن مرتبه صفر استفاده می‌شود، لغو می‌شود.

با اشغال کانال فقط برای \(\tau\) از هر \(T\) ثانیه، interleaving فوری است. نمونه پیام 1، سپس پیام 2، سپس پیام 3، سپس قبل از اتمام نمونه بعدی به پیام 1 بازگردید. این مالتی پلکسی با تقسیم زمانی است، دوگانه حوزه زمان از انباشته شدن دامنه فرکانس بخش 28-6، و این دو دقیقاً با دوگانگی فصل 14 که بین دامنه ها ایجاد شده است، مرتبط هستند.

🔑

نرخ TDM و PCM

\[ f_{\text{TDM}} = N f_s \ \ \text{pulses/s} \qquad\qquad R_b = N f_s b \ \ \text{bits/s} \]

\(N\)پیام هایی که هر کدام از آنها نمونه‌برداری شده است\(f_s\)کانال را پر کنید\(Nf_s\)پالس در ثانیه کمی کردن هر نمونه به\(b\)بیت - مدولاسیون کد پالس - قطار پالس آنالوگ را به یک جریان بیت در\(Nf_sb\)بیت در ثانیه، و یک جریان باینری در\(R_b\)بیت در ثانیه به حداقل پهنای باند Nyquist نیاز دارد\(R_b/2\)هرتز

جایی که موضوع رفت. هنگامی که پیام کمی جریان دارد، حامل دیگر نیازی به حمل شکل موج ندارد - فقط باید نمادها را حمل کند، و گیرنده فقط باید تصمیم بگیرد که کدام یک از یک مجموعه محدود ارسال شده است. مدولاسیون دامنه، فاز و فرکانس دوباره به صورت ASK، PSK و FSK ظاهر می شود. جفت مربعات بخش 28-3 به صورت فلکی QAM تبدیل می شود. و FFT فصل 26 که برای تعدیل هزاران فرعی در یک بار استفاده می شود، به OFDM تبدیل می شود. هر یک از آنها از دو ایده این فصل ساخته شده است - یک طیف را تغییر دهید و یک سیگنال باند محدود را نمونه‌برداری کنید.

بخش 28-9

پوش پیچیده

یک نمایش فصل را به هم پیوند می‌دهد و شکلی است که سیگنال‌های ارتباطی واقعاً در نرم‌افزار مدیریت می‌شوند. هر طرح بالا یک سیگنال باند عبور تولید می کند: واقعی، و با انرژی آن محدود به یک باند باریک در اطراف \(\omega_c\). هر سیگنالی از این قبیل را می توان با فاکتور گرفتن حامل نوشت.

سیگنال باند عبور، پوش پیچیده، و قطعات I/Q

\[ s(t) = \operatorname{Re}\big\{\tilde{s}(t)\,e^{j\omega_c t}\big\}, \qquad \tilde{s}(t) = s_I(t) + j s_Q(t) \;\Longrightarrow\; s(t) = s_I(t)\cos\omega_c t - s_Q(t)\sin\omega_c t \]

پوشش پیچیده \(\tilde{s}(t)\) یک سیگنال کم گذر با پهنای باند \(W\) است که هر چیزی را که سیگنال باند عبور حمل می کند را حمل می کند. بخش واقعی آن \(s_I\) جزء درون فازی است، بخش خیالی آن \(s_Q\) جزء مربعی است، و طرح های مدولاسیون این فصل اکنون با چیزی بیشتر از شکل \(\tilde{s}\) متمایز نمی شوند.

طرح	پوش پیچیده \(\tilde{s}(t)\)	چه چیزی متفاوت است
DSB-SC	\(x(t)\)	فقط دامنه واقعی، علامت گنجانده شده است
AM	\(A + x(t)\)	دامنه واقعی، مثبت نگه داشته شد
SSB (بالا)	\(x(t) + j\hat{x}(t)\)	هر دو بخش، در جفت هیلبرت
PM / FM	\(A e^{j\phi(t)}\)	فقط زاویه - \(\|\tilde{s}\|\) ثابت است
QAM	\(x_1(t) + j x_2(t)\)	دو پیام مستقل

دو پیامد عملی به دنبال دارد. اول، پوشش و فاز آنی هر سیگنال باند عبوری \(|\tilde{s}(t)|\) و \(\arg\tilde{s}(t)\) هستند، بنابراین یک آشکارساز پوش یک مدول را محاسبه می کند و یک تفکیک کننده FM مشتق یک آرگومان را محاسبه می کند - همان دو عملیات برای هر طرح. دوم، و مفیدتر، یک سیستم باند عبور می تواند به طور کامل در باند پایه شبیه سازی شود. اگر یک کانال باند گذر دارای پاسخ ضربه \(h(t)\) با پوشش پیچیده \(\tilde{h}(t)\) باشد، کانولوشن باند گذر \(s * h\) با \(\tfrac12\tilde{s} * \tilde{h}\) در باند پایه مطابقت دارد. بنابراین، رادیویی با فرکانس 2.4 گیگاهرتز را می توان با نرخ نمونه‌برداری تعیین شده توسط \(W\)، نه با \(\omega_c\)، شبیه سازی کرد.

این همچنین حلقه را با فصل 22 می بندد. نمونه‌برداری از پوشش پیچیده با نرخی بالاتر از \(2W\) به جای بالاتر از \(2(f_c+W)\) قانونی است، دقیقاً به این دلیل که نمونه‌برداری باند گذر مشروع است: آنچه مهم است عرض باند اشغال شده است، نه فاصله آن از باند اشغال شده. جفت I/Q نمونه‌برداری باند گذر است که ابتدا تبدیل به پایین در سخت افزار انجام می شود.

بخش 28-10

نمونه های کار شده

1 طیف و پهنای باند سیگنال DSB-SC

مشکل یک پیام \(x(t) = 2\cos(2\pi\cdot 1000\,t) + \cos(2\pi\cdot 3000\,t)\) یک حامل \(\cos(2\pi\cdot 10^4 t)\) را در یک مدولاتور DSB-SC مدوله می کند. اجزای فرکانس ارسالی را با دامنه آنها فهرست کنید و پهنای باند انتقال را بیان کنید.

راه حل. با استفاده از \(\cos A\cos B = \tfrac12\cos(A-B)+\tfrac12\cos(A+B)\) در هر عبارت جداگانه، ضرب کنید.

در حال کار کردن

\[ s(t) = \underbrace{\cos 2\pi(9000)t + \cos 2\pi(11000)t}_{\text{from the }2\cos\text{ term}} \;+\; \underbrace{\tfrac12\cos 2\pi(7000)t + \tfrac12\cos 2\pi(13000)t}_{\text{from the }\cos\text{ term}} \]

چهار خط: دامنه 1 در 9 کیلوهرتز و 11 کیلوهرتز، دامنه 0.5 در 7 کیلوهرتز و 13 کیلوهرتز. هر تن پیام دامنه \(a\) به یک جفت خط با دامنه \(a/2\) تبدیل شده است که به طور متقارن در اطراف حامل قرار گرفته است.

پهنای باند پیام \(W = 3\) کیلوهرتز است که توسط بالاترین جزء آن تنظیم شده است، بنابراین \(B = 2W = 6\) کیلوهرتز. آن را مستقیماً از موقعیت های خط تأیید کنید: باند اشغال شده از 7 کیلوهرتز تا 13 کیلوهرتز، عرض 6 کیلوهرتز اجرا می شود. هیچ خطی در 10 کیلوهرتز وجود ندارد - حامل واقعاً سرکوب شده است.

2 آشکارساز با خطای فاز و فرکانس

مشکل سیگنال DSB-SC \(s(t)=x(t)\cos\omega_c t\) با یک نوسان ساز محلی \(\cos(\omega_c t + \theta)\) دمدوله شده است. (الف) اگر \(\theta = 30^\circ\) پیام بازیابی شده چند دسی بل کاهش می یابد؟ (ب) نوسانگر در عوض 20 هرتز بالا کار می کند. خروجی را توصیف کنید و دوره اختلال را بیان کنید.

راه حل (الف). از بخش 28-3 خروجی پس از فیلتر پایین گذر و افزایش دو برابری \(x(t)\cos\theta\) است. با \(\theta = 30^\circ\)، \(\cos\theta = \sqrt{3}/2 = 0.866\)، بنابراین نسبت دامنه 0.866 و

کار - بخش (الف)

\[ 20\log_{10}(0.866) = -1.25 \ \text{dB} \]

از دست دادن اندک، و - این بخش مهم است - بدون اعوجاج، زیرا هر جزء فرکانس با یک عدد واقعی مقیاس بندی می شود. \(\theta\) را به \(90^\circ\) فشار دهید و خروجی به طور کامل ناپدید می شود.

راه حل (ب). با اسیلاتور در \(\omega_c + \Delta\omega\)، محصول حاوی \(\tfrac12 x(t)\cos(\Delta\omega t + \theta)\) به اضافه یک اصطلاح نزدیک به \(2\omega_c\) است که فیلتر آن را حذف می کند. بنابراین سیگنال بازیابی شده \(x(t)\cos(2\pi\cdot 20\,t)\) است: پیام ضرب در تون 20 هرتز است. در هر چرخه آن تن دو بار متورم و محو می‌شود و علامت بین آن را معکوس می‌کند، بنابراین محو شدن قابل شنیدن دارای دوره \(1/(2\times 20) = 25\) میلی‌ثانیه است. این یک تضعیف نیست که بتوان آن را روشن کرد - پیام دوباره تعدیل شده است و هیچ مقدار افزایشی آن را تعمیر نمی کند. دقت فرکانس در یک گیرنده منسجم اختیاری نیست.

3 شاخص مدولاسیون و راندمان توان

مشکل یک فرستنده AM ولت \(s(t) = 10\big[1 + 0.5\cos(2\pi\cdot 10^3 t)\big]\cos(2\pi\cdot 10^6 t)\) را به 1 Ω تولید می کند. شاخص مدولاسیون، توان حامل و باند جانبی، توان کل و بازده را بیابید. سپس اگر \(\mu\) به 1 افزایش یابد، کل توان را پیدا کنید.

راه حل. در مقایسه با \(A[1+\mu m(t)]\cos\omega_c t\) \(A = 10\) V و \(\mu = 0.5\) می دهد. گسترش به سه خط:

کار - سه خط انتقال

\[ s(t) = 10\cos\omega_c t + 2.5\cos(\omega_c+\omega_m)t + 2.5\cos(\omega_c-\omega_m)t \]

از \(A\mu/2 = 10(0.5)/2 = 2.5\) V. هر سینوسی با دامنه \(V\) \(V^2/2\) وات را به 1 Ω تحویل می دهد:

کار - توان

\[ P_c = \frac{10^2}{2} = 50\ \text{W}, \qquad P_{\text{SB}} = 2\times\frac{2.5^2}{2} = 6.25\ \text{W}, \qquad P_T = 56.25\ \text{W} \]

راندمان \(6.25/56.25 = 0.111\) یا \(11.1\%\) است. بررسی با فرمول: \(\mu^2/(2+\mu^2) = 0.25/2.25 = 0.111\) - توافق.

در\(\mu = 1\)توان حامل در 50 وات بدون تغییر است، زیرا دامنه حامل به\(\mu\)، در حالی که توان باند جانبی افزایش می یابد\(A^2\mu^2/4 = 25\)W، دادن\(P_T = 75\)W و\(\eta = 25/75 = 33.3\%\). دوبرابر کردن شاخص مدولاسیون، توان مفید را چهار برابر کرده است و در عین حال چیزی به بخش تلف شده اضافه نمی کند - دقیقاً به همین دلیل است که پخش کننده ها تا آنجایی که حد مدولاسیون بیش از حد اجازه می دهد تعدیل می کنند.

4 طراحی یک آشکارساز پوش

مشکل یک گیرنده AM یک حامل 1 مگاهرتز را کنترل می کند که در \(\mu = 0.8\) توسط صوتی مدوله شده است که بالاترین مولفه آن 5 کیلوهرتز است. \(RC\) را انتخاب کنید. اگر همان گیرنده با سیگنالی در \(\mu = 0.95\) برخورد کند چه مشکلی پیش می آید؟

راه حل. کران پایین به خازن نیاز دارد تا شارژ خود را بین پیک های حامل نگه دارد: \(RC \gg 1/f_c = 1\ \mu\text{s}\). کران بالا شرایط ردیابی است که در بخش 28-4 به دست آمده است که در بدترین حالت ارزیابی شده است که بالاترین فرکانس پیام است:

کار - محدودیت ردیابی

\[ RC \le \frac{\sqrt{1-\mu^2}}{\mu\,\omega_m} = \frac{\sqrt{1-0.64}}{0.8\times 2\pi\times 5000} = \frac{0.600}{25133} = 23.9\ \mu\text{s} \]

هر مقدار به راحتی در داخل \(1\ \mu\text{s} \ll RC \le 23.9\ \mu\text{s}\) انجام خواهد شد. \(RC = 20\ \mu\text{s}\) یک انتخاب صوتی است، که بیست دوره حامل طولانی و یک دهم کوتاه ترین دوره صوتی است.

در \(\mu = 0.95\)، شمارشگر به شدت کاهش می یابد: \(\sqrt{1-0.9025} = 0.312\)، و \(\mu\omega_m = 29845\)، بنابراین محدودیت به \(10.5\ \mu\text{s}\) کاهش می یابد. شبکه ثابت 20 میکروثانیه اکنون آن را نقض می کند و خازن نمی تواند پوش را تا شدیدترین سقوط خود دنبال کند. خروجی به یک خط تخلیه مستقیم در عمیق‌ترین فرورفتگی‌ها مسطح می‌شود - بریدگی مورب - که فقط در گذرگاه‌های با صدای بلند به صورت اعوجاج شنیده می‌شود. این درس تعمیم می‌دهد: آشکارساز باید برای عمیق‌ترین مدولاسیونی که تا به حال دیده است طراحی شود، نه معمولی.

5 انحراف FM، شاخص و پهنای باند کارسون

مشکل یک سیگنال FM \(s(t) = 10\cos\!\big(2\pi\cdot 10^8 t + 6\sin(2\pi\cdot 10^3 t)\big)\) است. فرکانس لحظه ای، انحراف اوج، شاخص مدولاسیون و پهنای باند کارسون را بیابید. با یک کانال FM پخش شده در \(\Delta f = 75\) کیلوهرتز، \(W = 15\) کیلوهرتز و با AM که همان صدا را حمل می کند مقایسه کنید.

راه حل. زاویه کل را ممشتق‌گیری کرده و بر \(2\pi\) تقسیم کنید:

کارکردن - فرکانس آنی

\[ f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d\theta}{dt} = 10^8 + \frac{1}{2\pi}\Big(6\cdot 2\pi\cdot 10^3\cos(2\pi\cdot10^3 t)\Big) = 10^8 + 6000\cos(2\pi\cdot 10^3 t)\ \text{Hz} \]

بنابراین \(\Delta f = 6\) کیلوهرتز، \(f_m = 1\) کیلوهرتز، و \(\beta = \Delta f/f_m = 6\) - که می‌توانستند مستقیماً از عبارت فاز خوانده شوند، زیرا ضریب سینوس \(\beta\) است. قانون کارسون می دهد

کار - پهنای باند

\[ B = 2(\Delta f + f_m) = 2(6000 + 1000) = 14\ \text{kHz} \]

چهارده کیلوهرتز برای حمل یک صدای 1 کیلوهرتز، جایی که DSB-SC از 2 کیلوهرتز استفاده می کرد.

برای کانال پخش، \(\beta = 75/15 = 5\) و \(B = 2(75+15) = 180\) کیلوهرتز. AM که همان صدای 15 کیلوهرتز را حمل می کند، \(2W = 30\) کیلوهرتز را اشغال می کند. بنابراین FM شش برابر پهنای باند مصرف می‌کند و در ازای آن مزیت نویز دریافت می‌کند که با \(\beta^2\) افزایش می‌یابد - شش برابر پهنای باند تقریباً بیست و پنج برابر نسبت سیگنال به نویز خروجی، یک بار که فصل 29 ابزارهایی را برای بیان معنای آن ارائه می‌کند.

6 پیوند PCM چندگانه تقسیم زمانی

مشکل بیست و چهار کانال تلفن، هر باند محدود به 3.4 کیلوهرتز، در 8 کیلوهرتز نمونه‌برداری شده، به 8 بیت کوانتیزه شده و با تقسیم زمانی مالتی پلکس شده، با یک بیت فریم اضافی در هر فریم اضافه می شود. مدت زمان فریم، نرخ بیت، مدت زمان یک بیت و حداقل پهنای باند انتقال برای سیگنال دهی باینری را بیابید.

راه حل. نمونه‌برداری با فرکانس 8 کیلوهرتز در برابر پیام 3.4 کیلوهرتز، یک محافظ \(8 - 2(3.4) = 1.2\) کیلوهرتز برای باند انتقال فیلتر ضد هم‌پوشانی طیفی باقی می گذارد - حاشیه عملی فصل 21، نه نقض Nyquist. یک فریم یک نمونه را از هر کانال حمل می کند، بنابراین با سرعت نمونه‌برداری تکرار می شود:

کار - فریم و نرخ

\[ T_f = \frac{1}{8000} = 125\ \mu\text{s}, \qquad N_b = 24\times 8 + 1 = 193\ \text{bits/frame} \]

در حال کار - نرخ بیت و پهنای باند

\[ R_b = 193 \times 8000 = 1.544\ \text{Mbit/s}, \qquad T_b = \frac{125\ \mu\text{s}}{193} = 0.648\ \mu\text{s}, \qquad B_{\min} = \frac{R_b}{2} = 772\ \text{kHz} \]

اینها اعداد حامل T1 هستند که از سال 1962 در خدمت هستند. حداقل پهنای باند\(R_b/2\)قضیه نمونه‌برداری به عقب خوانده می شود: کانالی از پهنای باند\(B\)تکیه‌گاه می کند\(2B\)دامنه پالس مستقل در ثانیه، بنابراین\(2B \ge R_b\). جایگزین را مقایسه کنید - بیست و چهار کانال SSB با فرکانس 4 کیلوهرتز، هر کدام 96 کیلوهرتز، یک هشتم پهنای باند را اشغال می کنند. هزینه انتقال دیجیتال پهنای باند است و ایمنی در برابر نویز انباشته شده را می‌خرد، زیرا یک بازسازی‌کننده می‌تواند کمی را دقیقاً بازیابی کند در حالی که یک تقویت‌کننده فقط می‌تواند سیگنال آنالوگ ضعیف را بلندتر کند.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ یک ملک، بسیاری از طرح ها

ضرب در \(\cos\omega_c t\) طیف را به \(\pm\omega_c\) در نیم ارتفاع کپی می کند. DSB-SC، AM، SSB و FDM همگی پیامدهای آن خط واحد هستند.

✓ تشخیص منسجم

ضرب دوباره و lowpass. یک خطای فاز \(\cos\theta\) هزینه دارد و در \(90^\circ\) صفر می شود. یک خطای فرکانس پیام را دوباره تعدیل می کند و با بهره قابل تعمیر نیست.

✓ معامله AM

افزودن حامل اجازه می دهد تا یک آشکارساز پوش ارائه شده \(\mu \le 1\)، با هزینه کارایی \(\mu^2/(2+\mu^2)\)، هرگز بهتر از یک سوم نباشد.

✓ SSB و تبدیل هیلبرت

\(x\cos\omega_c t \mp \hat{x}\sin\omega_c t\) یک باند جانبی را با پهنای باند \(W\) با استفاده از یک شیفتر فاز \(90^\circ\) به جای یک فیلتر غیرقابل ساخت انتقال می دهد.

✓ مدولاسیون زاویه

\(\omega_i = d\theta/dt\). FM در پیام غیرخطی است، دارای بی نهایت باندهای جانبی Bessel است و به \(B \approx 2(\Delta f + W)\) نیاز دارد.

✓ مالتیپلکس کردن هر دو راه

FDM پیام ها را در فرکانس با باندهای محافظ جمع می کند. TDM آنها را در زمان بین نمونه ها به هم می زند. دوگانگی این دو را دقیقاً به هم مرتبط می کند.

✓ پوش پیچیده

\(s = \operatorname{Re}\{\tilde{s}e^{j\omega_c t}\}\) هر طرحی را به شکل سیگنال کم گذر \(I + jQ\) کاهش می دهد و اجازه می دهد که یک سیستم باند عبور در باند پایه شبیه سازی شود.

✓ تجارت مکرر

توان، پهنای باند و پیچیدگی گیرنده را می توان رد و بدل کرد اما همه را با هم کاهش نمی دهد. کدام یک کمیاب است، این طرح را تعیین می کند.

تمرین کنید

مشکلات

مسائل 1 تا 3 طیف طرح‌های دامنه را تمرین می‌کنند. 4 و 5 تشخیص نگرانی. مدولاسیون زاویه 6 و 7. 8 یک بودجه چندگانه است. قبل از محاسبه هر چیزی، طیف را ترسیم کنید - بیشتر خطاها در این ماده هندسی هستند نه جبری.

یک پیام با طیف مثلثی \(X(j\omega) = 1 - |\omega|/(2\pi\cdot 4000)\) برای \(|\omega| \le 2\pi\cdot 4000\)، صفر در جای دیگر، یک حامل 100 کیلوهرتز را در یک مدولاتور DSB-SC مدوله می کند. طیف ارسالی را با برچسب های عددی فرکانس و دامنه ترسیم کنید و باند اشغال شده را بیان کنید.
سیگنال AM \(s(t) = \big[8 + 5\cos(2\pi\cdot 500\,t)\big]\cos(2\pi\cdot 5\times10^5 t)\) به 50 Ω منتقل می شود. \(\mu\)، دامنه هر خط باند جانبی، توان کل و بازده را پیدا کنید. آیا یک آشکارساز پوش نامه پیام را بدون تحریف بازیابی می کند؟
مشکل 2 را برای \(s(t) = \big[3 + 5\cos(2\pi\cdot 500\,t)\big]\cos\omega_c t\) تکرار کنید. پوش \(|3+5\cos|\) را در یک دوره پیام ترسیم کنید و از روی طرح توضیح دهید که یک آشکارساز پوش چه چیزی تولید می کند.
یک گیرنده DSB-SC دارای یک نوسان ساز محلی با رانش فاز آهسته \(\theta(t) = 0.1\pi\sin(2\pi\cdot 0.5\,t)\) است. خروجی دمودوله شده را بنویسید و آنچه را که شنونده می شنود توصیف کنید. چرا یک حلقه Costas مشکل را برطرف می کند؟
نشان دهید که اگر سیگنال SSB \(x(t)\cos\omega_c t - \hat{x}(t)\sin\omega_c t\) با \(\cos(\omega_c t + \theta)\) دمدوله شود و گذر پایین فیلتر شود، خروجی \(\tfrac12[x(t)\cos\theta + \hat{x}(t)\sin\theta]\) است. توضیح دهید که چرا این یک تحریف فاز به جای کاهش است و چرا گفتار از آن باقی می ماند.
یک حامل 90 مگاهرتز فرکانس توسط \(x(t) = 4\cos(2\pi\cdot 2000\,t)\) با \(k_f/2\pi = 3000\) هرتز در هر ولت مدوله می شود. \(\Delta f\)، \(\beta\) و پهنای باند کارسون را پیدا کنید. سپس اگر مدولاتور یک مدولاتور فاز با \(k_p = 3\) راد/V باشد، همان سه کمیت را بیابید و توضیح دهید که چرا وقتی \(f_m\) دو برابر می شود، مقیاس دو پاسخ متفاوت است.
نشان دهید که FM باند باریک و AM باندهای جانبی را در فرکانس های یکسان با دامنه های یکسان تولید می کنند و این دو تنها در فاز باندهای جانبی نسبت به حامل متفاوت هستند. هر دو را به عنوان نمودار فازور ترسیم کنید و از طرح برای توضیح اینکه چرا یکی دارای یک پوش ثابت است و دیگری ندارد استفاده کنید.
30 کانال، هر باند محدود به 3.4 کیلوهرتز، باید یک پیوند را به اشتراک بگذارند. (الف) با استفاده از SSB و FDM با فاصله 4 کیلوهرتز، کل پهنای باند را پیدا کنید. (ب) با استفاده از PCM و TDM در نمونه‌برداری 8 کیلوهرتز با کمیت سنجی 8 بیتی، نرخ بیت و حداقل پهنای باند انتقال باینری را پیدا کنید. ج) کوانتیزر 8 بیتی با یک 12 بیتی جایگزین می شود. پهنای باند با چه عاملی رشد می کند و در ازای آن چه چیزی خریداری می شود؟

نکته: هنگامی که مشکل مدولاسیون مقاومت می کند، طیف را رسم کنید. تقریباً تمام نتایج این فصل - پهنای باند DSB، لزوم \(\omega_c \gt W\)، منشأ فرکانس تصویر، دلیل سخت بودن فیلتر SSB، اثر دیافراگم - بلافاصله در تصویری از جایی که نسخه‌های \(X(j\omega)\) فرود می‌آیند، و در جبر نامرئی است، قابل مشاهده است.