سیگنال‌های تصادفی و فرآیندهای تصادفی

چیزی که یاد خواهید گرفت

چرا یک شکل موج نویز تبدیل فوریه ندارد و چگونه تقسیم فصل 2 بین سیگنال‌های انرژی و توان این شکست را مدت ها قبل از برخورد ما پیش بینی کرد.
تصویر مجموعه ای از یک فرآیند تصادفی - خانواده ای از توابع نمونه، یکی به صورت تصادفی ترسیم شده است - و دو تابعی که آن را توصیف می کنند: میانگین \(\mu_x(t)\) و همبستگی خودکار \(R_{xx}(t_1,t_2)\).
ایستایی گسترده، آنچه انجام می‌دهد و نمی‌پذیرد، و ارگودیسیته - خاصیتی که به یک رکورد اندازه‌گیری شده اجازه می‌دهد تا مجموعه‌ای را که هیچ آزمایشگاهی نمی‌تواند تولید کند، ثابت کند.
تابع همبستگی خودکار: چرا \(R_x(0)\) توان متوسط است، چرا \(|R_x(\tau)| \le R_x(0)\)، و چگونه میانگین، تناوب و زمان همبستگی را مستقیماً از نمودار آن بخوانیم.
قضیه وینر-خینچین \(S_x(\omega) = \mathcal{F}\{R_x(\tau)\}\) و اینکه چرا چگالی طیفی توان شیء دامنه فرکانس صحیحی برای سیگنالی است که طیفی ندارد.
نتیجه مهندسی مرکزی \(S_{yy}(\omega) = |H(j\omega)|^2 S_{xx}(\omega)\)، مشتق شده از کانولوشن، همراه با \(\mu_y = \mu_x H(0)\).
نویز سفید، چرا یک داستان تخیلی و مفید است، پهنای باند معادل نویز، و چگونگی همبستگی متقابل با ورودی نویز، پاسخ ضربه ناشناخته را اندازه گیری می کند.
چگونه نتایج یکسان بدون تغییر به سیگنال‌های تصادفی زمان‌گسسته منتقل می‌شوند، جایی که چگالی طیفی تناوبی است و انتگرال‌ها به مجموع تبدیل می‌شوند.

بخش 29-1

جایی که جبرگرایی تمام می شود

هر سیگنال در بیست و هشت فصل قبلی یک عملکرد شناخته شده بوده است. ما \(x(t) = e^{-2t}u(t)\) یا \(x[n] = \cos(0.2\pi n)\) نوشتیم، آن را تبدیل کردیم، فیلتر کردیم و پاسخ را خواندیم. این عادت فرضیه ای را پنهان می کند که آنقدر کامل است که به راحتی نمی توان آن را از دست داد: برای محاسبه تبدیل فوریه باید از قبل سیگنال را برای همه زمان ها، گذشته و آینده بدانید.

معنی این فرض را برای سیستم‌های فصل 28 در نظر بگیرید. یک پیوند رادیویی برای انتقال پیامی وجود دارد که گیرنده قبلاً نمی داند - اگر می دانست، دلیلی برای ارسال وجود نداشت. مشاهدات شانون دقیقاً این است: اطلاعات و غیرقابل پیش بینی بودن همان چیزی است که از دو طرف دیده می شود و یک سیگنال کاملاً قابل پیش بینی چیزی را منتقل نمی کند. لحظه ای که یک سیگنال ارزش انتقال را دارد، نمی توان آن را از قبل یادداشت کرد.

شکست دوم ملموس تر است. هر مقاومت در یک گیرنده یک ولتاژ نوسانی را از هم زدن حرارتی حامل های بار خود تولید می کند. هر تقویت کننده نویز شات ناشی از گسستگی شارژ را اضافه می کند. هیچ کدام را نمی توان به عنوان فرمول نوشت و هیچکدام را نمی توان یک بار اندازه گیری کرد و دوباره استفاده کرد، زیرا اندازه گیری بعدی شکل موج متفاوتی را ارائه می دهد. با این حال، این سیگنال‌ها تصمیم می گیرند که آیا یک پیوند کار می کند یا خیر، بنابراین نظریه ای که نمی تواند چیزی در مورد آنها بگوید، نظریه ای است که نمی تواند یک گیرنده طراحی کند.

همچنین یک مانع ریاضی وجود دارد و فصل 2 آن را پیش بینی کرده بود. یک شکل موج نویز برای همیشه با توان تقریباً ثابت اجرا می شود، بنابراین انرژی کل آن \(\int|x(t)|^2dt\) واگرا می شود - این یک سیگنال توان است، نه یک سیگنال انرژی. برای اینکه تبدیل فوریه وجود داشته باشد، فصل 13 به یکپارچگی مطلق یا حداقل انرژی محدود نیاز داشت. برای یک تابع نمونه نویز چنین انتگرالی همگرا نمی شود و \(X(j\omega)\) به سادگی وجود ندارد. حتی اگر یکی را مجبور به وجود کنیم، برای هر تابع نمونه متفاوت خواهد بود و بنابراین برای توصیف نویز بی فایده است.

تغییر سوال تعمیر تحول بهتری نیست بلکه سوال بهتری است. ما از پرسیدن "این شکل موج چیست؟" و در عوض بپرسید "آمار خانواده شکل موج هایی که این منبع تولید می کند چیست؟" - مقدار متوسط آن، توان متوسط آن، و میزان توان آن در یک لحظه مقدار را کمی بعد پیش بینی می کند. معلوم می‌شود که این میانگین‌ها کاملاً خوب رفتار می‌کنند، تبدیل فوریه دارند، و با قاعده‌ای به پاکی \(Y = HX\) از سیستم‌های LTI عبور می‌کنند.

بخش 29-2

متغیرهای تصادفی، به طور خلاصه

یک متغیر تصادفی \(X\) قاعده ای است که به هر نتیجه آزمایش یک عدد اختصاص می دهد. به طور کامل با توزیع تجمعی آن \(F_X(x) = P\{X \le x\}\) یا به طور معادل با چگالی احتمال \(f_X(x) = dF_X/dx\) توصیف می شود که انتگرال آن در یک بازه احتمال فرود در آن و انتگرال کل آن 1 است.

سه میانگین تقریباً تمام وزن را در موارد زیر به همراه دارند. انتظار، میانگین وزنی احتمالی است. میانگین مربع انتظار \(X^2\) است. و اندازه گیری های واریانس در مورد میانگین پخش می شود.

انتظار، مجذور میانگین، واریانس

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}\! x f_X(x)\,dx, \qquad E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty}\! x^2 f_X(x)\,dx, \qquad \sigma_X^2 = E\big[(X-\mu_X)^2\big] = E[X^2] - \mu_X^2 \]

آخرین هویت ارزش یک بار تأیید را دارد، زیرا کل بخش 29-6 بر آن استوار است: گسترش \((X-\mu)^2 = X^2 - 2\mu X + \mu^2\) و در نظر گرفتن انتظارات به صورت ترم، با استفاده از \(E[X] = \mu\)، \(E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2\) را می دهد. انتظار خطی است - این واقعیت واحد چیزی است که هر اشتقاقی در این فصل را ممکن می‌سازد، و این مشابه مستقیم برهم‌نهی است که باعث شد فصل‌های 6 تا 8 کار کنند.

دو چگالی به طور مکرر ظاهر می شود. چگالی یکنواخت در یک بازه ثابت است و فازی را مدل می کند که هیچ چیز از آن مشخص نیست. چگالی گاوسی مدلی برای نویز حرارتی است، و برجستگی آن یک موضوع راحت نیست: قضیه حد مرکزی می گوید که مجموع بسیاری از سهم های مستقل کوچک به گاوسی گرایش پیدا می کند.

دو تراکم مورد استفاده در سراسر

\[ f_X(x) = \frac{1}{b-a},\ \ a \le x \le b \qquad\qquad f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \]

یکی از ویژگی های گاوسی در بخش 29-8 مهم است: یک متغیر تصادفی گاوسی که از طریق یک عملیات خطی هدایت می شود، گاوسی باقی می ماند. از آنجایی که یک سیستم LTI یک کانولوشن را محاسبه می‌کند - مجموع وزنی مقادیر ورودی - نویز گاوسی که وارد فیلتر می‌شود، گاوسی ظاهر می‌شود و تنها میانگین و واریانس آن تغییر می‌کند. هیچ چگالی مشترک دیگری این ثبات را ندارد و به همین دلیل است که یک گیرنده را می توان با دو عدد به جای توزیع کامل آنالیز کرد.

بخش 29-3

گروه

یک فرآیند تصادفی \(X(t)\) نه یک عدد بلکه یک تابع کامل از زمان را به هر نتیجه اختصاص می دهد. آزمایش را انجام دهید - یک مقاومت خاص را در یک لحظه خاص روشن کنید - و یک شکل موج بدست می آورید که تابع نمونه نامیده می شود. دوباره آن را اجرا کنید و یک مورد دیگر به دست می آورید. کل مجموعه شکل‌های موج ممکن، همراه با احتمالات آن‌ها، مجموعه هستند و مجموعه همان چیزی است که نظریه توصیف می‌کند. شکل موج منفرد در اسیلوسکوپ شما یک تساوی از آن است.

تصویر زیر ارزش نگه‌داشتن را دارد، زیرا حاوی دو جهت است که می‌توان میانگین‌ها را در آن گرفت و اشتباه گرفتن آنها رایج‌ترین خطا در این موضوع است.

یک فرآیند، بسیاری از توابع نمونه - یک برش عمودی یک متغیر تصادفی است

زمان را در \(t_1\) ثابت کنید. مقدار \(X(t_1)\) هنوز عددی نیست، زیرا ما نگفتیم کدام تابع نمونه رسم شده است. این یک متغیر تصادفی با چگالی خاص خود است. در لحظه دوم \(t_2\) فریز کنید و یک متغیر تصادفی دوم دریافت می کنید که معمولاً با متغیر اول مرتبط است. بنابراین یک فرآیند تصادفی یک خانواده شاخص‌شده از متغیرهای تصادفی است، یکی برای هر لحظه، و یک توصیف کامل به چگالی مشترک هر مجموعه محدودی از آنها نیاز دارد - شیئی که کسی نمی‌تواند آن را بنویسد.

تمرین مهندسی به دو لحظه اول عقب نشینی می کند و متوجه می شود که برای هر چیزی خطی کافی است.

🔑

دو تابعی که یک فرآیند را توصیف می کنند

\[ \mu_x(t) = E\big[X(t)\big], \qquad R_{xx}(t_1,t_2) = E\big[X(t_1)X(t_2)\big] \]

میانگین می گوید که فرآیند به طور متوسط در هر لحظه کجا می نشیند. خود همبستگی می گوید که مقادیر آن در دو لحظه چقدر به هم مرتبط هستند. هر دو توابع قطعی معمولی هستند - تصادفی بودن از آنها میانگین گرفته شده است - و هر دو، در اصل، قابل اندازه گیری هستند.

به دقت توجه کنید که انتظار در این تعاریف به چه معناست. این یک میانگین در سراسر گروه است، در زمان ثابت: یک میانگین عمودی در شکل. این یک میانگین در طول یک شکل موج نیست. این که آیا این دو بر هم منطبق هستند، سؤال بخش 29-5 است و پاسخ خودکار نیست.

بخش 29-4

ثابت بودن

فرآیندی که آمار آن با گذشت زمان تغییر می کند، غیرقابل حل است. آنچه مورد نیاز است نسخه احتمالی زمان ناپذیری است که فصل 5 بر سیستم‌ها تحمیل کرد: این فرض که مکانیسم تولید کننده سیگنال اهمیتی ندارد که ساعت چند است. یک مقاومت در دمای ثابت آن را برآورده می کند. یک مقاومت گرم نمی شود.

ایستایی حس دقیق این فرض را به طور کامل بیان می کند: هر چگالی مفصلی با تغییر مبدأ زمانی بدون تغییر است، به طوری که\(X(t_1),\dots,X(t_n)\)و\(X(t_1+\tau),\dots,X(t_n+\tau)\)برای هر کدام چگالی مشترک یکسان دارند\(n\)و هر\(\tau\). این یک نیاز بسیار قوی است و تقریباً هرگز در عمل قابل تأیید نیست. تضعیف قابل اجرا فقط می خواهد که دو لحظه اول تغییر ناپذیر باشد.

🔑

ایستا حس عریض (WSS)

\[ \text{(i)}\ \ \mu_x(t) = \mu_x = \text{constant} \qquad \text{(ii)}\ \ R_{xx}(t, t+\tau) = R_x(\tau) \]

میانگین تغییر نمی کند، و همبستگی بین دو لحظه فقط به شکاف بین آنها بستگی دارد، نه به جایی که جفت روی محور زمان قرار می گیرد. شرط سوم، \(E[X^2(t)] = R_x(0) \lt \infty\)، معمولاً برای حذف فرآیندهای توان بی‌نهایت گنجانده می‌شود.

ایستایی حس دقیق دلالت بر حس گسترده دارد، زیرا اگر هر چگالی تغییر ناپذیر باشد، هر لحظه نیز از آن محاسبه می‌شود. برعکس به طور کلی شکست می‌خورد - یک فرآیند می‌تواند میانگین ثابت و همبستگی تغییر ناپذیر داشته باشد در حالی که لحظه سوم آن جابجا می‌شود - با یک استثنای مهم: برای یک فرآیند گاوسی میانگین و خودهمبستگی هر چگالی مشترک را به‌طور کامل تعیین می‌کنند، بنابراین ایستایی با حس گسترده مستلزم حس دقیق است. از آنجایی که نویز حرارتی گاوسی است، این تمایز به ندرت یک مهندس ارتباطات را آزار می دهد.

دو مثال ایده را ثابت می کند. سینوسی فاز تصادفی\(X(t) = A\cos(\omega_0 t + \Theta)\)با\(\Theta\)یکنواخت روی\([0,2\pi]\)WSS است: مثال 1 کار شده نشان می دهد که میانگین آن صفر و همبستگی خودکار آن است\((A^2/2)\cos\omega_0\tau\)، بدون وابستگی باقیمانده به\(t\). با این حال فاز تصادفی را حذف کنید و\(X(t) = A\cos\omega_0 t\)یک سیگنال قطعی است که "گروه" آن یک عضو دارد. معنی آن\(A\cos\omega_0 t\)با زمان تغییر می کند و ثابت نیست. فاز تصادفی چیزی است که فرآیند را نسبت به انتخاب مبدأ زمانی بی‌تفاوت می‌کند، که توصیف منصفانه‌ای از معنای فیزیکی ثابت بودن است.

چرا WSS دقیقاً مقدار درستی از فرضیه است. هر آنچه این فصل به آن نیاز دارد - ویژگی های همبستگی خودکار، قضیه وینر-خینچین، رابطه ورودی-خروجی برای فیلترها - به تنهایی از ایستایی با حس عریض ناشی می شود. هیچ چیز به شرایط کاملاً دقیق نیاز ندارد. این همان اقتصادی است که فصل 8 را ممکن کرد: خطی بودن و تغییرناپذیری زمانی را فرض کنید، و موارد بسیار زیادی به دنبال دارد. بیشتر فرض کنید، و سود کمی کسب می کنید، اما بیشتر سیستم‌هایی را که می خواستید توصیف کنید، از دست می دهید.

بخش 29-5

ارگودیسیته

یک شکاف عملی در همه چیز در بالا وجود دارد. تعاریف میانگین را در یک مجموعه می طلبد، اما یک آزمایشگاه دارای یک مقاومت و یک اسیلوسکوپ است، و مجموعه یک داستان ریاضی است. آنچه در واقع قابل اندازه گیری است میانگین زمانی در طول یک رکورد طولانی است.

میانگین های زمانی در طول یک تابع نمونه واحد

\[ \langle x(t)\rangle = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\! x(t)\,dt, \qquad \langle x(t)x(t+\tau)\rangle = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\! x(t)x(t+\tau)\,dt \]

یک فرآیند زمانی ارگودیک است که این میانگین‌های زمانی با میانگین‌های مجموعه مربوطه، تقریباً برای هر تابع نمونه برابر باشد. Ergodicity مجوز جایگزینی یک مشاهده طولانی برای مجموعه است، و بدون آن تئوری غیرقابل استفاده خواهد بود - هر نتیجه در بخش های 29-6 تا 29-9 به صورت مجموعه بیان شده و برای رکوردهای اندازه گیری شده اعمال می شود.

🔑

Ergodic در میانگین و در خود همبستگی

\[ \langle x(t)\rangle = \mu_x \qquad\text{and}\qquad \langle x(t)x(t+\tau)\rangle = R_x(\tau) \]

یک فرآیند ارگودیک باید ثابت باشد - اگر آمارها تغییر کند، هیچ میانگین طولانی نمی تواند آنها را نشان دهد - اما یک فرآیند ثابت لازم نیست ارگودیک باشد. Ergodicity فرض قوی تر و کمتر قابل بررسی است و در مهندسی تقریباً همیشه به جای اثبات فرض شده است.

مثال متقابل استاندارد شکاف را واضح می کند. اجازه دهید \(X(t) = A\) برای همیشه، با \(A\) یک بار، به طور یکنواخت روی \([-1,1]\) کشیده شود. فرآیند ثابت است: میانگین آن \(E[A] = 0\) در هر لحظه و \(R_x(\tau) = E[A^2] = 1/3\) برای هر \(\tau\) است. اما هر تابع نمونه یک ثابت است، بنابراین میانگین زمانی آن خود \(A\) است - که فقط برای یک درک که اتفاقاً \(A=0\) رسم کرده است 0 است. میانگین گیری در طول یک رکورد در اینجا، تحقق را نشان می دهد، نه فرآیند. قرائت فیزیکی این است که تصادفی در ابتدا خسته شد و هرگز تمدید نشد. ارگودیسیته به فرآیندی نیاز دارد که با گذشت زمان به تولید تصادفی تازه ادامه دهد و یک قرعه کشی منجمد اینطور نیست.

در عمل، ارگودیسیته به همین دلیل است که طیف های اندازه گیری شده به همان شکلی به نظر می رسند. فصل 26 به FFT یک رکورد محدود می دهد. این تبدیل به شکل موج نویز اعمال می‌شود، این تبدیل خودش تصادفی است و از یک رکورد به رکورد دیگر می‌پرد. میانگین گرفتن بسیاری از این رکوردها، یا به طور معادل هموارسازی در فرکانس، به چگالی طیفی توان بخش بعدی همگرا می شود - و این کار را انجام می دهد زیرا فرآیند ارگودیک فرض می شود.

بخش 29-6

تابع همبستگی خودکار

برای یک فرآیند WSS، خودهمبستگی \(R_x(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]\) دارای مقدار غیرمنتظره ای از اطلاعات است و چهار ویژگی اجازه می دهد تقریباً با بازرسی خوانده شود.

تنظیم \(\tau = 0\) به \(R_x(0) = E[X^2(t)]\)، مقدار میانگین مربع می دهد - که برای ولتاژ یک اهم، توان متوسط است. این ارزیابی واحد دلیلی است که خودهمبستگی، به جای هر لحظه دوم، موضوع مورد توجه است.

تقارن از ایستایی ناشی می شود. از آنجایی که آمار به مبدأ زمانی بستگی ندارد، \(R_x(-\tau) = E[X(t)X(t-\tau)] = E[X(t')X(t'+\tau)] = R_x(\tau)\) پس از نوشتن \(t' = t-\tau\). همبستگی خودکار یک فرآیند WSS واقعی همیشه یک تابع زوج است.

\(|R_x(\tau)| \le R_x(0)\) محدود شده از دستگاهی می آید که ارزش به خاطر سپردن دارد، زیرا همان ترفند نابرابری کوشی-شوارتز را ثابت می کند. کمیت \(E\big[(X(t) \pm X(t+\tau))^2\big]\) یک انتظار مربع است و بنابراین نمی تواند منفی باشد. گسترش آن \(2R_x(0) \pm 2R_x(\tau) \ge 0\) را به دست می دهد، که با هر دو علامت به طور همزمان محدود می شود.

🔑

ویژگی های خودهمبستگی

\[ R_x(0) = E[X^2] = P_{\text{avg}}, \qquad R_x(-\tau) = R_x(\tau), \qquad |R_x(\tau)| \le R_x(0), \qquad R_x(\pm\infty) = \mu_x^2 \]

آخرین مورد هر زمان که فرآیند شامل اجزای دوره ای نباشد برقرار است: مقادیر دور از هم مستقل می شوند، بنابراین انتظار می رود عوامل محصول آنها به \(\mu_x\cdot\mu_x\) تبدیل شود. بنابراین همبستگی خودکار توان DC را به عنوان کف و توان کل را به عنوان اوج خود نشان می دهد، با توان AC \(\sigma_x^2\) تفاوت بین آنها.

این چهار واقعیت، نمودار \(R_x(\tau)\) را به یک نمودار تشخیصی تبدیل می کند. اوج در مبدا، توان متوسط کل است. سطحی که منحنی از مبدأ دور می شود، میانگین مجذور، توان DC است. عرض اوج مرکزی زمان همبستگی است - مدت زمانی که فرآیند به یاد می‌آورد، یا اینکه چقدر می‌توان آن را به طور مفید پیش‌بینی کرد. هر جزء تناوبی در فرآیند در خودهمبستگی به عنوان یک جزء تناوبی پوسیده نشدنی همان دوره باقی می ماند، زیرا یک سینوسی برای همیشه با خودش همبسته می ماند. به این ترتیب یک سیگنال دوره ای مدفون در نویز تشخیص داده می شود.

ارتفاع قله توان است. عرض اوج حافظه است

تبدیل فوریه همان اطلاعات

دو پانل بالا یک جفت فوریه هستند، و رابطه معکوس بین عرض آنها همان زمان متقابل پهنای باند است که فصل 14 برای سیگنال‌های قطعی ایجاد کرد: یک فرآیند با حافظه کوتاه طیف گسترده ای دارد، و یک فرآیند با یک حافظه طولانی از نظر طیفی باریک است. این مشاهدات محتوای بخش بعدی است که دقیقاً بیان شده است.

بخش 29-7

چگالی طیفی توان

ما هنوز یک توصیف دامنه فرکانس می خواهیم، و بخش 29-1 ثابت کرد که تبدیل یک تابع نمونه وجود ندارد. راه برون رفت تغییر چیزی است که وجود دارد. همبستگی خودکار یک فرآیند WSS یک تابع قطعی، یکنواخت و محدود است که برای اکثر فرآیندهای مورد علاقه کاهش می یابد، بنابراین یک تبدیل فوریه کاملا معمولی دارد. تعریف چگالی طیفی توان به عنوان آن تبدیل محتوای قضیه وینر-خینچین است.

🔑

قضیه وینر-خینچین

\[ S_x(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\! R_x(\tau)e^{-j\omega\tau}\,d\tau \qquad\qquad R_x(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\! S_x(\omega)e^{j\omega\tau}\,d\omega \]

خودهمبستگی و چگالی طیفی توان یک جفت تبدیل فوریه هستند. همه چیزهایی که فصل 14 در مورد چنین جفت هایی ثابت کرد - ویژگی های جابجایی، مقیاس بندی و کانولوشن، متقابل بودن عرض ها - بدون تغییر اعمال می شود.

این نام با تنظیم \(\tau = 0\) در تبدیل معکوس توجیه می شود. سمت چپ به \(R_x(0)\) تبدیل می شود، توان متوسط. سمت راست به کل مساحت زیر \(S_x(\omega)/2\pi\) تبدیل می شود. بنابراین \(S_x(\omega)\) واقعاً توان متوسط را روی فرکانس توزیع می‌کند، و توان در هر باند تنها با انتگرال‌گیری روی آن باند به دست می‌آید. این رابطه پارسوال از فصل 14 به شکل صحیح آن برای سیگنال‌های توان است.

توان کل، و توان در یک باند

\[ P = R_x(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\! S_x(\omega)\,d\omega, \qquad P_{[\omega_1,\omega_2]} = \frac{1}{\pi}\int_{\omega_1}^{\omega_2}\! S_x(\omega)\,d\omega \]

سه ویژگی \(S_x(\omega)\) بلافاصله دنبال می شوند و باید در هر پاسخ بررسی شوند. واقعی و حتی است، زیرا \(R_x(\tau)\) واقعی و یکنواخت است. برای هر \(\omega\) غیرمنفی است - یک چگالی توان منفی در برخی از باندها بی معنی است، و اثبات رسمی از طریق نتیجه فیلتر بخش بعدی، با عبور فرآیند از یک فیلتر باند گذر باریک و مشاهده اینکه توان خروجی نمی تواند منفی باشد، اجرا می شود. و مساحت آن تقسیم بر \(2\pi\)، توان کل است. چگالی طیفی نامزدی که فرد باشد یا به زیر صفر برسد، اشتباه است.

یک تعریف جایگزین و به همان اندازه معتبر، چگالی را از رکوردهای محدود به جای خود همبستگی ایجاد می کند. یک تابع نمونه را به \([-T,T]\) کوتاه کنید، نتیجه را \(x_T(t)\) بنامید، که اکنون دارای انرژی محدود است و بنابراین تبدیل \(X_T(j\omega)\) می‌شود، و با رشد \(T\)، میانگین \(|X_T|^2/2T\) را روی مجموعه تشکیل دهید.

تعریف پریودوگرام - همان شیء از طرف دیگر

\[ S_x(\omega) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\,E\Big[\big|X_T(j\omega)\big|^2\Big] \]

انتظار ضروری است. بدون آن، کمیت \(|X_T|^2/2T\) - پریودوگرام - با رشد \(T\) همگرا نمی شود: نوسانات آن بدون توجه به مدت زمان رکورد، به اندازه میانگین خود باقی می ماند. طولانی کردن رکورد وضوح فرکانس بهتری را خریداری می کند، اما هیچ کاهشی در واریانس ندارد، که این یک واقعیت کاملاً غیر شهودی است و دلیل این است که هر تخمینگر طیف عملی به جای محاسبه یک دوره طولانی، تعداد زیادی پریودوگرام کوتاه را میانگین می کند. FFT فصل 26 پریودوگرام ها را ارائه می کند. میانگین همگرایی را تامین می کند.

دو تعریف، یک شیء. وینر-خینچین می گوید که مسیر همبستگی و مسیر پریودوگرام همان \(S_x(\omega)\) را نشان می دهد. این هم ارزی چیزی است که موضوع را قابل استفاده می کند: تئوری با همبستگی خودکار انجام می شود، جایی که جبر آسان است، و اندازه گیری با FFT ها انجام می شود، جایی که ابزار آسان است، و این دو تضمین می شوند که توافق کنند.

گزاره های زمان‌گسسته با مجموع به جای انتگرال ها یکسان هستند. برای یک دنباله WSS، \(R_x[m] = E\{x[n]x[n+m]\}\) و \(S_x(e^{j\Omega}) = \sum_m R_x[m]e^{-j\Omega m}\)، که - مانند هر طیف زمان‌گسسته در فصل 16 - در \(\Omega\) تناوبی با دوره \(2\pi\) است. توان متوسط \(R_x[0] = (1/2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}S_x(e^{j\Omega})\,d\Omega\) است.

پنج جفت بیشتر مواردی را که در عمل انجام می‌شوند پوشش می‌دهند، و ارزش آن‌ها را دارند که جفت‌های تبدیل فصل 13 را از روی دید بشناسیم.

فرآیند	\(R_x(\tau)\)	\(S_x(\omega)\)	خواندن
سطح ثابت \(A\)	\(A^2\)	\(2\pi A^2\delta(\omega)\)	تمام توان در فرکانس صفر
سینوسی فاز تصادفی	\(\tfrac{A^2}{2}\cos\omega_0\tau\)	\(\tfrac{\pi A^2}{2}\big[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\big]\)	هرگز پوسیده نمی شود؛ دو خط
نویز مرتبه اول (مارکوف).	\(\sigma^2 e^{-a\|\tau\|}\)	\(\dfrac{2a\sigma^2}{a^2+\omega^2}\)	زمان همبستگی \(1/a\)
نویز سفید	\(\tfrac{N_0}{2}\delta(\tau)\)	\(\tfrac{N_0}{2}\)	بدون حافظه؛ توان بی نهایت
نویز کم گذر ایده آل، باند \(W\) هرتز	\(N_0 W\operatorname{sinc}(2W\tau)\)	\(\tfrac{N_0}{2}\) برای \(\|\omega\| \le 2\pi W\)	زمان همبستگی \(1/2W\)

بخش 29-8

سیگنال‌های تصادفی از طریق سیستم‌های LTI

این بخشی است که فصل برای آن وجود دارد. یک فرآیند WSS وارد یک سیستم LTI پایدار با پاسخ ضربه \(h(t)\) می شود. چه چیزی بیرون می آید فصل 7 \(y(t) = \int h(\alpha)x(t-\alpha)\,d\alpha\) را برای هر تابع نمونه مجزا ارائه کرد، و از آنجایی که کانولوشن خطی است، انتظارات مستقیماً از آن عبور می کنند.

ابتدا میانگین را در نظر بگیرید. انتظار خطی است و \(h\) قطعی است، بنابراین با انتگرال رفت و آمد می کند:

استخراج میانگین خروجی

\[ \mu_y = E\!\left[\int h(\alpha)X(t-\alpha)\,d\alpha\right] = \int h(\alpha)\,E\big[X(t-\alpha)\big]\,d\alpha = \mu_x\!\int h(\alpha)\,d\alpha = \mu_x H(0) \]

میانگین خروجی، میانگین ورودی ضربدر بهره DC است - که دقیقاً همان چیزی است که باید باشد، زیرا یک ثابت یک سیگنال در فرکانس صفر است و سیستم با \(H(0)\) به آن پاسخ می‌دهد.

حالا همبستگی خودکار. بنویسید\(y(t)\)و\(y(t+\tau)\)به عنوان دو انتگرال کانولوشن، ضرب کنید و انتظار را در هر دو بگیرید:

استخراج خودهمبستگی خروجی

\[ R_y(\tau) = E\!\left[\iint h(\alpha)h(\beta)X(t-\alpha)X(t+\tau-\beta)\,d\alpha\,d\beta\right] = \iint h(\alpha)h(\beta)\,R_x(\tau + \alpha - \beta)\,d\alpha\,d\beta \]

مرحله ای که این کار را انجام می دهد برابری دوم است: چون ورودی WSS است، انتظار درونی تنها به تفاوت دو آرگومان زمانی، \((t+\tau-\beta)-(t-\alpha) = \tau+\alpha-\beta\) بستگی دارد و زمان مطلق \(t\) ناپدید شده است. بنابراین خروجی WSS نیز هست - نتیجه ای که به تنهایی ارزش بیان کردن دارد، زیرا به این معنی است که ماشین آلات تحت فیلتر بسته شده است.

انتگرال دوتایی یک جفت کانولوشن به صورت مبدل است و خواندن آن پس از تبدیل بسیار آسان تر است. تبدیل فوریه را با توجه به \(\tau\) بگیرید و ترتیب انتگرال‌گیری را عوض کنید:

تبدیل - نمایی ها جدا می شوند

\[ S_y(\omega) = \iint h(\alpha)h(\beta)\left[\int R_x(\tau+\alpha-\beta)e^{-j\omega\tau}d\tau\right]d\alpha\,d\beta = \iint h(\alpha)h(\beta)\,S_x(\omega)e^{j\omega(\alpha-\beta)}\,d\alpha\,d\beta \]

با استفاده از ویژگی shifting در انتگرال داخلی. اکنون انتگرال دوگانه باقی مانده کاملاً فاکتور می شود: قسمت \(\alpha\) برای \(h\) واقعی \(\int h(\alpha)e^{j\omega\alpha}d\alpha = H(-j\omega) = H^*(j\omega)\) است و قسمت \(\beta\) \(\int h(\beta)e^{-j\omega\beta}d\beta = H(j\omega)\) است. محصول آنها \(|H(j\omega)|^2\) است.

🔑

رابطه اساسی ورودی-خروجی برای سیگنال‌های تصادفی

\[ S_y(\omega) = |H(j\omega)|^2\,S_x(\omega) \qquad\Longleftrightarrow\qquad R_y(\tau) = h(\tau) * h(-\tau) * R_x(\tau) \]

چگالی طیفی توان در قدر مجذور پاسخ فرکانسی ضرب می شود. فاز \(H\) به طور کامل ناپدید می شود - یک شکل موج را در زمان تنظیم مجدد می کند اما نمی تواند میزان توان نشسته در هر فرکانس را تغییر دهد.

فیلتر کردن یک سیگنال تصادفی - عبارت یکسان در هر دو حوزه

یک همبستگی دیگر ارزش تعریف کردن دارد، زیرا نتیجه را به یک تکنیک اندازه گیری تبدیل می کند. همبستگی متقابل بین خروجی و ورودی \(R_{yx}(\tau) = E[Y(t+\tau)X(t)]\) است و اجرای همان آرگومان تنها با یک کانولوشن برای بسط، \(R_{yx}(\tau) = h(\tau) * R_x(\tau)\) را می دهد.

🔑

شناسایی سیستم از طریق همبستگی متقابل

\[ R_{yx}(\tau) = h(\tau) * R_x(\tau) \;\xrightarrow{\ R_x(\tau) = \tfrac{N_0}{2}\delta(\tau)\ }\; R_{yx}(\tau) = \frac{N_0}{2}h(\tau) \]

یک سیستم ناشناخته را با نویز سفید هدایت کنید و خروجی را با ورودی ارتباط متقابل برقرار کنید: پاسخ، پاسخ ضربه است که مقیاس شده است. هرگز نیازی به اعمال هیچ ضربه ای نیست - که مهم است، زیرا یک ضربه واقعی به اندازه کافی بزرگ برای اندازه گیری بیشتر سیستم‌ها را از محدوده خطی خود خارج می کند.

بخش 29-9

نویز سفید، پهنای باند و نسبت سیگنال به نویز

ایده‌آلی‌سازی که بخش قبلی را عملی می‌کند نویز سفید است: فرآیندی که چگالی طیفی توان آن صاف است، \(S_x(\omega) = N_0/2\) برای همه \(\omega\). این نام از نور سفید وام گرفته شده است، که شامل تمام فرکانس های قابل مشاهده به یک اندازه است. تبدیل به عقب یک خودهمبستگی می دهد که یک ضربه است.

نویز سفید در هر دو حوزه

\[ S_x(\omega) = \frac{N_0}{2} \ \ \text{for all } \omega \qquad\Longleftrightarrow\qquad R_x(\tau) = \frac{N_0}{2}\,\delta(\tau) \]

گزاره دوم را به معنای واقعی کلمه بخوانید و دو صورت آن در یک زمان ظاهر می شود. هر دو لحظه مجزا با هم مرتبط نیستند، هر چند نزدیک به هم - این فرآیند اصلاً حافظه ندارد. و \(R_x(0)\) بی نهایت است، بنابراین نویز سفید دارای توان متوسط بی نهایت است و نمی تواند وجود داشته باشد. این یک داستان تخیلی و مشروع است، به همان دلیلی که انگیزه فصل 3 این بود: آنچه در واقع لازم است این است که چگالی روی باندی که سیستم به آن پاسخ می دهد صاف باشد، و هر سیستم واقعی دارای پهنای باند محدودی است. نویز حرارتی تقریباً برابر \(10^{12}\) هرتز است که برای هر مداری که هر کسی در حال ساخت است به اندازه کافی سفید است.

فیزیک ثابت را ثابت می کند. یک مقاومت در دمای مطلق \(T\) چگالی طیفی توان نویز موجود \(kT\) وات بر هرتز، یک طرفه، با \(k = 1.38\times10^{-23}\) J/K ارائه می‌کند. معادل \(N_0 = kT\) و چگالی دو طرفه \(N_0/2 = kT/2\) است. در دمای اتاق \(N_0 \approx 4\times10^{-21}\) W/Hz، عددی که ارزش به خاطر سپردن دارد، زیرا کفی را تنظیم می کند که هیچ گیرنده ای در زیر آن طراحی نمی شود.

از آنجایی که نویز سفید صاف است، توان خروجی فیلتری که توسط آن هدایت می‌شود فقط به ناحیه زیر \(|H|^2\) بستگی دارد. این مشاهدات به‌عنوان پهنای باند معادل نویز بسته‌بندی می‌شود: عرض فیلتر دیوار آجری ایده‌آل، با همان افزایش اوج، که همان توان نویز را عبور می‌دهد.

تعریف پهنای باند معادل نویز

\[ P_{\text{out}} = \frac{N_0}{2}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\!\big|H(j\omega)\big|^2 d\omega \;\triangleq\; N_0 B_N \big|H\big|_{\max}^2 \quad\Longrightarrow\quad B_N = \frac{1}{|H|_{\max}^2}\int_{0}^{\infty}\!\big|H(j2\pi f)\big|^2 df \]

🔑

پهنای باند نویز یک گذر پایین مرتبه اول

\[ B_N = \frac{1}{4RC} = \frac{\pi}{2}\,B_{3\text{dB}} \]

یک فیلتر تک قطبی \(\pi/2 \approx 1.57\) برابر صدایی که پهنای باند \(-3\) dB آن پیشنهاد می‌کند عبور می‌کند، زیرا رول‌آف ملایم آن باعث می‌شود نویز به خوبی از گوشه خارج شود. فیلترهای شارپر \(B_N\) نزدیکتر به \(B_{3\text{dB}}\) هستند، که یکی از دلایل کمی برای صرف مرتبه برای فیلترهای گیرنده است.

با در دست داشتن توان نویز، رقم شایستگی که تعیین می کند آیا یک پیوند کار می کند یا خیر، نسبت سیگنال به نویز، \(\text{SNR} = P_{\text{signal}}/P_{\text{noise}}\) است که معمولاً در دسی بل به عنوان \(10\log_{10}\) از آن نسبت ذکر می شود. هر تصمیم طراحی در فصل 28 اکنون می تواند به عنوان یک تصمیم SNR دوباره خوانده شود: حامل AM انرژی را هدر می دهد که در غیر این صورت SNR را افزایش می دهد. پهنای باند وسیع FM نویز بیشتری را می پذیرد، اما غیرخطی بودن تمایز دهنده، پهنای باند اضافی را به افزایش SNR متناسب با \(\beta^2\) تبدیل می کند. بازسازی‌کننده‌های PCM به هیچ وجه از جمع‌آوری نویز خودداری می‌کنند، به همین دلیل است که یک لینک دیجیتال یا کار می‌کند یا نه، با فاصله بسیار کمی.

یک نتیجه نهایی دایره را با فصل 15 می بندد. فرض کنید یک پالس شناخته شده \(s(t)\) با مدت زمان \(T\) در نویز سفید مدفون می شود، و ممکن است هر فیلتری را که دوست داریم انتخاب کنیم تا نسبت سیگنال به نویز خروجی را در لحظه نمونه‌برداری به حداکثر برسانیم. پاسخ یک فیلتر پایین گذر نیست و به نویز فراتر از چگالی آن بستگی ندارد: بهینه فیلتر همسان \(h(t) = s(T-t)\) است که زمان معکوس خود پالس است.

🔑

فیلتر همسان

\[ h(t) = s(T-t) \qquad\Longrightarrow\qquad \text{SNR}_{\max} = \frac{2E_s}{N_0}, \qquad E_s = \int_0^T s^2(t)\,dt \]

بهترین نسبت قابل دستیابی به انرژی پالس و هیچ چیز دیگری بستگی دارد - نه شکل آن، نه مدت آن، نه پهنای باند آن. درگیر شدن با \(s(T-t)\) با \(s(t)\) ارتباط دارد، بنابراین گیرنده بهینه گیرنده ای است که می پرسد چه مقدار از پالس مورد انتظار وجود دارد، که دقیقاً همان کاری است که همبستگی متقابل بخش 29-8 انجام می دهد.

این کتاب کجا به پایان می رسد و چه چیزی آغاز می شود. بیست و نه فصل از «سیگنال چیست» به گیرنده‌ای رسیده است که پالس شناخته‌شده‌ای را از نویز حرارتی و همچنین هر گیرنده‌ای که تا کنون می‌تواند استخراج می‌کند. تمام ابزارهای آن جمله آخر در اینجا ساخته شد: ضربه و کانولوشن قسمت 2، تبدیل قسمت های 3 و 5، قضیه نمونه‌برداری از قسمت 6، و آمار این فصل. آنچه در ادامه می آید - ارتباطات دیجیتال، پردازش سیگنال آماری، تخمین و تشخیص، فیلتر تطبیقی، و فیلترهای آموخته شده یادگیری ماشینی - همین اشیاء را می گیرد و سوالات سخت تری از آنها می پرسد. هیچ کدام جایگزین آنچه در اینجا است نمی شود. کانولوشن کانولوشن می ماند. تبدیل تبدیل باقی می ماند. و عبارت "خطی، تغییرناپذیر با زمان" همان کاری را که از فصل 6 انجام داده است ادامه می دهد.

بخش 29-10

نمونه های کار شده

1 سینوسی فاز تصادفی

مشکل اجازه دهید \(X(t) = A\cos(\omega_0 t + \Theta)\) با \(A\) و \(\omega_0\) ثابت و \(\Theta\) یکنواخت روی \([0,2\pi]\). \(\mu_x(t)\) و \(R_x(t,t+\tau)\) را پیدا کنید، تصمیم بگیرید که آیا فرآیند WSS است یا خیر، و چگالی طیفی توان و توان متوسط آن را پیدا کنید.

راه حل. چگالی \(\Theta\) \(1/2\pi\) در \([0,2\pi]\) است، بنابراین میانگین میانگین کسینوس در یک دوره کامل است:

کار کردن - میانگین

\[ \mu_x(t) = \frac{A}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(\omega_0 t + \theta)\,d\theta = \frac{A}{2\pi}\Big[\sin(\omega_0 t+\theta)\Big]_0^{2\pi} = 0 \]

صفر و مستقل از \(t\) - شرط (i) برقرار است. برای همبستگی خودکار، از \(\cos P\cos Q = \tfrac12\cos(P-Q) + \tfrac12\cos(P+Q)\) استفاده کنید:

کار - همبستگی خودکار

\[ R_x = A^2E\big[\cos(\omega_0 t + \Theta)\cos(\omega_0 t + \omega_0\tau + \Theta)\big] = \frac{A^2}{2}\cos\omega_0\tau + \frac{A^2}{2}E\big[\cos(2\omega_0 t + \omega_0\tau + 2\Theta)\big] \]

انتظار دوم دوباره یک کسینوس است که در یک دوره کامل \(\Theta\) به طور میانگین محاسبه می شود - توجه داشته باشید که \(2\Theta\) دو دوره کامل را جابجا می کند، بنابراین میانگین هنوز صفر است - \(R_x(\tau) = (A^2/2)\cos\omega_0\tau\) را ترک می کند. این تنها به \(\tau\) بستگی دارد، بنابراین شرط (ii) برقرار است و فرآیند WSS است.

چگالی طیفی توان تبدیل یک کسینوس است که در فصل 13 به صورت یک جفت ضربه ارائه می شود:

کار - چگالی

\[ S_x(\omega) = \frac{\pi A^2}{2}\Big[\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)\Big] \]

توان متوسط \(R_x(0) = A^2/2\) است، مقدار متوسط مربع آشنا یک سینوسی. بررسی در برابر چگالی: \((1/2\pi)(\pi A^2/2)(1+1) = A^2/2\) - توافق. توجه داشته باشید که خودهمبستگی دقیقاً همانطور که بخش 29-6 برای یک فرآیند حاوی یک جزء تناوبی پیش‌بینی کرده بود، کاهش نمی‌یابد.

2 خواندن یک فرآیند از همبستگی خودکار آن

مشکل یک فرآیند WSS دارای \(R_x(\tau) = 4 + 25e^{-3|\tau|}\) است. میانگین، مقدار میانگین مربع، واریانس، توان DC، توان AC و چگالی طیفی توان را بیابید. توان کل را از دو طریق بررسی کنید.

راه حل. چهار ویژگی را به ترتیب اعمال کنید. همانطور که \(|\tau|\to\infty\) می میرد نمایی و \(R_x \to 4\) که باید \(\mu_x^2\) باشد، بنابراین \(\mu_x = \pm 2\) - همبستگی خودکار نمی تواند علامت را حل کند و هیچ آمار مرتبه دومی نمی تواند. در \(\tau = 0\)،

کار کردن - لحظات

\[ E[X^2] = R_x(0) = 4 + 25 = 29\ \text{W}, \qquad \sigma_x^2 = 29 - 4 = 25\ \text{W} \]

بنابراین 4 وات در مولفه DC و 25 وات در نوسان می‌نشیند. زمان همبستگی \(1/3\) s است: بیش از یک سوم ثانیه، فرآیند تا حد زیادی خود را فراموش کرده است.

برای چگالی، ترم به ترم تبدیل کنید. یک ثابت به یک ضربه، \(4 \leftrightarrow 8\pi\delta(\omega)\) تبدیل می‌شود، و نمایی دو طرفه، جفت استاندارد \(e^{-a|\tau|} \leftrightarrow 2a/(a^2+\omega^2)\) از فصل 13 است، در اینجا با \(a = 3\):

کار - چگالی طیفی

\[ S_x(\omega) = 8\pi\,\delta(\omega) + \frac{25\cdot 6}{9+\omega^2} = 8\pi\,\delta(\omega) + \frac{150}{9+\omega^2} \]

واقعی، زوج و غیرمنفی، در صورت لزوم. بررسی توان از چگالی، با استفاده از \(\int_{-\infty}^{\infty}d\omega/(9+\omega^2) = \pi/3\):

کار کردن - چک

\[ P = \frac{1}{2\pi}\left[8\pi + 150\cdot\frac{\pi}{3}\right] = 4 + 25 = 29\ \text{W} \]

که با \(R_x(0)\) مطابقت دارد. ضربه در مبدأ دقیقاً توان DC را حمل می کند و لورنتزیان دقیقاً توان AC را حمل می کند - شکاف قابل مشاهده در خودهمبستگی از تبدیل زنده می ماند.

3 نویز حرارتی به خازن

مشکل یک مقاومت \(R\) در دمای \(T\) یک خازن \(C\) را هدایت می کند و یک گذر مرتبه اول را تشکیل می دهد. نویز حرارتی مقاومت دارای چگالی دو طرفه \(S_x(\omega) = 2kTR\) V²/Hz است. چگالی طیفی توان خروجی، همبستگی خودکار خروجی، پهنای باند معادل نویز و ولتاژ خروجی میانگین مربع را بیابید. برای \(C = 1\) nF در 290 K ارزیابی کنید.

راه حل. تابع انتقال تابع پایین گذر \(RC\) فصل 19 است:

کار - چگالی خروجی

\[ H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega RC} \;\Longrightarrow\; S_y(\omega) = |H|^2 S_x(\omega) = \frac{2kTR}{1+(\omega RC)^2} \]

معکوس کردن با جفت مشابه در مثال 2، نوشته شده به عنوان \(2kTR = (kT/C)\cdot 2RC\cdot\frac{1}{RC}\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\)، یا به سادگی با تطبیق \(2a\sigma^2/(a^2+\omega^2)\) با \(a = 1/RC\):

کار - همبستگی خودکار خروجی

\[ R_y(\tau) = \frac{kT}{C}\,e^{-|\tau|/RC} \]

پهنای باند نویز با استفاده از \(\int_0^\infty df/[1+(2\pi f RC)^2] = 1/(4RC)\) از تعریف به دست می آید:

کار - پهنای باند نویز و توان خروجی

\[ B_N = \frac{1}{4RC}\ \text{Hz}, \qquad P_{\text{out}} = 4kTR\cdot B_N = \frac{4kTR}{4RC} = \frac{kT}{C} \]

این نویز مشهور \(kT/C\) است و بارزترین ویژگی آن این است که \(R\) لغو شده است. یک مقاومت بزرگتر نویز بیشتری تولید می کند اما فیلتر را نیز باریک می کند و این دو اثر دقیقاً خنثی می شوند. به صورت عددی، با \(kT = 1.38\times10^{-23}\times 290 = 4.0\times10^{-21}\) J،

در حال کار - شماره

\[ \overline{v^2} = \frac{4.0\times10^{-21}}{1\times10^{-9}} = 4.0\times10^{-12}\ \text{V}^2 \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{rms}} = 2.0\ \mu\text{V} \]

دو میکرو ولت که به طور کامل توسط خازن و دما تنظیم می شود. به همین دلیل است که خازن‌های نمونه‌برداری در مبدل‌های داده بزرگ می‌شوند: تنها راه برای کاهش سطح نویز یک نمونه و نگه‌داشتن، افزودن ظرفیت خازنی یا خنک کردن مدار است.

4 ثابت است اما ارگودیک نیست

مشکل اجازه دهید \(X(t) = A\) برای همه \(t\)، با \(A\) یک بار، به طور یکنواخت روی \([-1,1]\) کشیده شود. نشان دهید که فرآیند WSS است، میانگین‌های زمانی یک تابع نمونه را محاسبه کنید و تصمیم بگیرید که آیا آن ارگودیک است یا خیر.

راه حل. میانگین های گروه انتظارات معمولی از \(A\) هستند:

کار - میانگین های گروه

\[ \mu_x = E[A] = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}a\,da = 0, \qquad R_x(\tau) = E[A\cdot A] = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}a^2\,da = \frac{1}{3} \]

هر دو ثابت هستند، مستقل از \(t\) و \(\tau\)، بنابراین فرآیند WSS با میانگین 0 و توان متوسط \(1/3\) W است.

حالا یک تابع نمونه بگیرید. هنگامی که \(A\) رسم شد، شکل موج ثابت \(a\) است، بنابراین میانگین های زمانی آن بی اهمیت هستند:

کار - میانگین زمانی یک رکورد

\[ \langle x(t)\rangle = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}a\,dt = a, \qquad \langle x(t)x(t+\tau)\rangle = a^2 \]

میانگین میانگین زمانی \(a\) است، نه 0، برای هر تحقق به جز موردی با \(a=0\). توان میانگین زمانی \(a^2\) است، نه \(1/3\). میانگین‌های زمان و گروه با هم موافق نیستند، بنابراین فرآیند ثابت است اما ارگودیک نیست. نکته اخلاقی عملی است: مهم نیست که چقدر این منبع را مشاهده می کنید، ارزش یک قرعه کشی را یاد می گیرید و هیچ چیز در مورد توزیع آن از آن حاصل نشده است. Ergodicity هر زمان که تصادفی یک بار حل شود و هرگز تجدید نشود، شکست می خورد - یک تحمل تولید، یک جبران ثابت اما ناشناخته، کانالی که در طول تماس تغییر نمی کند.

5 شناسایی یک سیستم با نویز

مشکل یک سیستم ناشناخته پایدار LTI توسط نویز سفید متوسط صفر با چگالی دو طرفه \(0.5\) W/Hz هدایت می‌شود. همبستگی متقاطع اندازه گیری شده خروجی با ورودی \(R_{yx}(\tau) = 2e^{-4\tau}u(\tau)\) است. \(h(t)\)، \(H(s)\)، چگالی طیفی توان خروجی و توان خروجی را بیابید. از راه دوم برق را بررسی کنید.

راه حل. با \(S_x(\omega) = 0.5\) همبستگی خودکار ورودی \(R_x(\tau) = 0.5\,\delta(\tau)\) است، بنابراین کانولوشن در بخش 29-8 فرو می‌ریزد:

کار کردن - بازیابی پاسخ ضربه

\[ R_{yx}(\tau) = h(\tau) * 0.5\,\delta(\tau) = 0.5\,h(\tau) \;\Longrightarrow\; h(t) = 4e^{-4t}u(t) \]

سیستم علّی است، همانطور که \(u(\tau)\) در اندازه گیری قبلاً به ما گفته بود، و فصل 17 تبدیل آن را به یکباره نشان می دهد: \(H(s) = 4/(s+4)\)، یک گذر پایین مرتبه اول با بهره DC 1 و یک قطب در \(-4\). چگالی خروجی از رابطه اساسی به دست می آید:

کار - چگالی خروجی

\[ S_y(\omega) = |H(j\omega)|^2 S_x(\omega) = \frac{16}{16+\omega^2}\cdot 0.5 = \frac{8}{16+\omega^2} \]

کار - توان خروجی، از طریق طیف

\[ P_y = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{8\,d\omega}{16+\omega^2} = \frac{1}{2\pi}\cdot 8\cdot\frac{\pi}{4} = 1\ \text{W} \]

برای بررسی مستقل، از مسیر دامنه زمانی استفاده کنید. برای نویز سفید در، \(R_y(0) = (N_0/2)\int h^2(t)\,dt\)، بنابراین

کار - توان خروجی، از طریق پاسخ ضربه

\[ P_y = 0.5\int_0^{\infty}16e^{-8t}\,dt = 0.5\cdot\frac{16}{8} = 1\ \text{W} \]

آن دو موافق هستند، همانطور که پارسوال می خواهد. درس گسترده تر این است که کل اندازه گیری بدون اعمال یک ضربه انجام شده است: یک مولد نویز و یک همبسته \(h(t)\) را بازیابی می کنند در حالی که سیستم به راحتی در محدوده خطی خود باقی می ماند.

6 فیلتر نویز زمان‌گسسته

مشکل نویز سفید \(x[n]\) با میانگین و واریانس صفر \(\sigma^2 = 4\) فیلتر FIR \(y[n] = x[n] + 0.5\,x[n-1]\) را هدایت می کند. \(R_y[m]\)، واریانس خروجی و \(S_y(e^{j\Omega})\) را پیدا کنید و بررسی کنید که این دو مطابقت دارند.

راه حل. رنگ سفید در زمان‌گسسته به معنای \(R_x[m] = \sigma^2\delta[m]\) است - نمونه های متوالی همبستگی ندارند، و برخلاف حالت زمان‌پیوسته هیچ چیز آسیب شناسی در مورد آن وجود ندارد، زیرا \(R_x[0] = \sigma^2\) محدود است. فرم مجزای نتیجه بخش 29-8 \(R_y[m] = \sigma^2\sum_k h[k]h[k+m]\) با \(h[0]=1\)، \(h[1]=0.5\) است:

کار - همبستگی خودکار خروجی

\[ R_y[0] = 4(1^2+0.5^2) = 5, \qquad R_y[\pm 1] = 4(1)(0.5) = 2, \qquad R_y[m] = 0 \ \ \text{for } |m|\ge 2 \]

واریانس خروجی \(R_y[0] = 5\) است، از 4 در ورودی: فیلتر دارای بهره DC 1.5 است و فرکانس‌های پایین را با بهره عبور می‌کند، بنابراین با وجود اینکه صاف‌تر است، توان را افزایش می‌دهد. خروجی با تأخیر 1 همبسته است و بیشتر از آن همبسته نیست - یک فیلتر دو ضربه ای فقط می تواند یک تاخیر حافظه ایجاد کند.

در حوزه فرکانس، \(H(e^{j\Omega}) = 1 + 0.5e^{-j\Omega}\)، بنابراین

کار - چگالی خروجی

\[ S_y(e^{j\Omega}) = \sigma^2\big|1+0.5e^{-j\Omega}\big|^2 = 4\big(1 + 0.25 + \cos\Omega\big) = 5 + 4\cos\Omega \]

با خواندن آخرین عبارت به عنوان یک سری فوریه در \(\Omega\)، و نوشتن \(4\cos\Omega = 2e^{j\Omega} + 2e^{-j\Omega}\)، ضرایب دقیقاً \(R_y[0]=5\) و \(R_y[\pm1]=2\) هستند - رابطه گسسته وینر-خینچین، تأیید شد. بررسی توان: \((1/2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}(5+4\cos\Omega)\,d\Omega = 5\)، زیرا کسینوس در یک دوره کامل به صفر انتگرال‌گیری می‌شود. چگالی در همه جا منفی نیست، به \(9\) در \(\Omega = 0\) و \(1\) در \(\Omega = \pi\) می رسد - شکل دادن پایین گذر از ورودی مسطح، که به معنای "رنگ آمیزی" نویز سفید است.

مرور کنید

خلاصه فصل

✓ چرا تبدیل شکست می خورد

تابع نمونه نویز یک سیگنال توان با انرژی بی نهایت و شکل ناشناخته است، بنابراین \(X(j\omega)\) وجود ندارد. آمار گروه جایگزین آن می شود.

✓ میانگین و خودهمبستگی

\(\mu_x(t)\) و \(R_{xx}(t_1,t_2)\) یک فرآیند را به ترتیب دوم توصیف می کنند. هر دو تابع قطعی هستند و هر دو قابل اندازه گیری هستند.

✓ WSS و ارگودیک

WSS: میانگین ثابت، \(R_x\) فقط به \(\tau\) بستگی دارد. Ergodic: میانگین زمانی برابر با میانگین های گروه است، بنابراین یک رکورد کافی است.

✓ خواندن \(R_x(\tau)\)

پیک \(R_x(0)\) توان کل است، کف \(R_x(\infty)\) \(\mu_x^2\) است، عرض زمان همبستگی است و اجزای دوره‌ای هرگز خراب نمی‌شوند.

✓ وینر–خینچین

\(S_x(\omega) = \mathcal{F}\{R_x(\tau)\}\) واقعی، زوج و غیر منفی با مساحت \(2\pi R_x(0)\). به طور معادل، پریودوگرام متوسط.

✓ از طریق فیلتر

\(S_y = |H(j\omega)|^2 S_x\) و \(\mu_y = \mu_x H(0)\). فاز مهم نیست؛ خروجی یک فیلتر هدایت شده توسط یک فرآیند WSS WSS است.

✓ نویز سفید

چگالی مسطح \(N_0/2\)، همبستگی خودکار تکانشی، توان بی نهایت - تخیلی که در باند هر سیستم واقعی دقیق است. \(N_0 = kT\).

✓ همبستگی به عنوان یک ابزار

\(R_{yx} = h * R_x\) یک سیستم را از نویز شناسایی می کند. فیلتر همسان \(s(T-t)\) SNR را در \(2E_s/N_0\) به حداکثر می‌رساند.

تمرین کنید

مشکلات

مسائل 1 تا 3 آزمون ایستایی و خواندن همبستگی ها. 4 تا 6 سیگنال فشار از طریق فیلترها. 7 و 8 محاسبات طراحی از نوع مورد نیاز یک گیرنده هستند. در جایی که چگالی طیفی درخواست می شود، قبل از ادامه بررسی کنید که پاسخ شما واقعی، یکنواخت و غیرمنفی باشد.

اجازه دهید \(X(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)\) که در آن \(A\) و \(B\) متغیرهای تصادفی غیرهمبسته با میانگین صفر با واریانس برابر \(\sigma^2\) هستند. نشان دهید که \(X(t)\) WSS با \(R_x(\tau) = \sigma^2\cos\omega_0\tau\) است. سپس نشان دهید که اگر \(A\) و \(B\) واریانس های متفاوتی داشته باشند، فرآیند دیگر WSS نیست، و مشخص کنید که کدام شرایط با شکست مواجه می شود.
یک فرآیند WSS دارای \(R_x(\tau) = 9e^{-2|\tau|} + 16\cos(10\tau)\) است. میانگین، توان متوسط کل، توان DC و توان را در جزء تناوبی بیابید. طرح \(S_x(\omega)\)، برچسب زدن ضربه ها و قسمت پیوسته.
با یک دلیل تصمیم بگیرید که کدام یک از موارد زیر می تواند یک همبستگی خودکار معتبر از یک فرآیند WSS واقعی باشد: (الف) \(e^{-|\tau|}\); (ب) \(\tau e^{-|\tau|}\)؛ (ج) \(1/(1+\tau^2)\); (د) یک پالس مستطیلی با ارتفاع واحد برای \(|\tau| \lt 1\). برای کسانی که شکست می خورند، اموال نقض شده را نام ببرید.
نویز سفید با چگالی دو طرفه \(N_0/2\) یک فیلتر باند گذر ایده آل از بهره واحد را هدایت می کند که از \(f_1 \le |f| \le f_2\) و صفر در جاهای دیگر عبور می کند. \(S_y(\omega)\)، توان خروجی و \(R_y(\tau)\) را پیدا کنید. نشان دهید که به عنوان \(f_1 \to 0\) پاسخ شما به نتیجه کم گذر ایده آل \(R_y(\tau) = N_0 f_2\operatorname{sinc}(2f_2\tau)\) کاهش می یابد.
یک فرآیند WSS میانگین صفر با \(R_x(\tau) = 5e^{-2|\tau|}\) برای سیستمی با \(h(t) = e^{-t}u(t)\) اعمال می شود. \(S_x(\omega)\)، \(S_y(\omega)\) و میانگین توان خروجی را پیدا کنید. میانگین خروجی را بیابید و توضیح دهید که چرا بدون محاسبه انتگرال همان چیزی است که هست.
فرآیند زمان‌گسسته \(y[n] = x[n] - 0.8\,y[n-1]\) توسط نویز سفید واریانس \(\sigma^2\) هدایت می شود. \(H(e^{j\Omega})\)، چگالی طیفی توان خروجی و واریانس خروجی را پیدا کنید. واریانس را با ورودی مقایسه کنید و تفاوت را از نظر فیزیکی محاسبه کنید.
یک آمپلی فایر دارای پاسخ تک قطبی با پهنای باند \(-3\) dB 1 مگاهرتز و بهره میانی باند 40 دسی بل است و تراکم نویز ورودی آن \(N_0 = 4\times10^{-21}\) W/Hz است. پهنای باند معادل نویز و توان نویز خروجی را پیدا کنید. اگر سیگنال مورد نظر 1 pW را در ورودی ارائه دهد، SNR خروجی بر حسب دسی بل چقدر است؟
یک پالس مستطیلی با دامنه \(A\) و مدت زمان \(T\) در نویز سفید با چگالی \(N_0/2\) می رسد. پاسخ ضربه فیلتر منطبق را بنویسید، خروجی آن را در صورت وجود پالس ترسیم کنید و نشان دهید که نسبت سیگنال به نویز پیک \(2A^2T/N_0\) است. توضیح دهید که چرا دوبرابر کردن \(T\) در حالی که \(A^2\) را نصف می‌کنید، پاسخ بدون تغییر باقی می‌ماند.

نکته: تقریباً هر مشکل در این فصل با تصمیم گیری در مورد اینکه سؤال در کدام حوزه است حل می شود. توان ها، واریانس ها و زمان های همبستگی از \(R_x(\tau)\) خوانده می شوند. پهنای باند فیلتر، محدود کردن باند و نویز از \(S_x(\omega)\) خوانده می شود. با Wiener-Khinchin بین آنها حرکت کنید و پاسخ را در دامنه دیگر بررسی کنید - همانطور که نمونه های کار شده هر بار انجام می دهند.