سیگنال‌ها و سیستم‌ها — یادداشت‌های ریاضی تکمیلی

۰۱ · از اینجا شروع کنکتابی دیگر در کنار کتاب اصلی

ابتدا یک فصل از کتاب اصلی را بخوان؛ هر جا یک گام جبری، حد یا نمادگذاری سریع و مبهم بود، به این یادداشت‌ها برگرد. بخش‌های ۲ تا ۷ را هم می‌توانی پیش از کتاب، به‌عنوان آمادگی کوتاه ریاضی بخوانی.

یک عادت مفید

برای هر فرمول سه سؤال بپرس: چه چیزی تغییر می‌کند؟ سیگنال در کجا می‌تواند ناصفر باشد؟ این عبارت تحت چه شرایطی وجود دارد؟ همین سؤال‌ها پیش از شروع محاسبه جلوی بسیاری از اشتباه‌ها را می‌گیرند.

مثال‌های اینجا توضیحات افزوده‌اند. فایل‌های کتاب اصلی و ZIP آن جداگانه حفظ شده‌اند. راهنمای انتهای صفحه نشان می‌دهد کدام یادداشت‌ها را همراه هر فصل بخوانی.

۰۲ · زبان ریاضینمادگذاری و یکاها

نماد	معنی	نکتهٔ مهم
\(x(t),x[n]\)	سیگنال زمان‌پیوسته؛ دنبالهٔ زمان‌گسسته	\(t\) عددی حقیقی و \(n\) عددی صحیح است. گسسته‌بودن زمان الزاماً به معنای کوانتیده‌بودن دامنه نیست.
\(j,\;z^*,\;\|z\|\)	\(j^2=-1\)؛ مزدوج مختلط؛ اندازه	\(\|z\|^2=zz^*\) که مقداری حقیقی و نامنفی است.
\(f,\;\omega\)	فرکانس بر حسب هرتز؛ فرکانس زاویه‌ای بر حسب رادیان بر ثانیه	\(\omega=2\pi f\).
\(\Omega\)	فرکانس زاویه‌ای زمان‌گسسته بر حسب رادیان بر نمونه	اگر فاصلهٔ نمونه‌ها \(T_s\) ثانیه باشد، \(\Omega=\omega T_s\) است؛ فرکانس‌های با اختلاف مضرب صحیح \(2\pi\) معادل‌اند.
\(X(j\omega),X(e^{j\Omega})\)	تبدیل فوریهٔ زمان‌پیوسته؛ تبدیل فوریهٔ زمان‌گسسته	در این یادداشت‌ها برای زمان‌پیوسته از \(\omega\) و برای زمان‌گسسته از \(\Omega\) استفاده می‌شود؛ حتی اگر متن دیگری برای هر دو از یک حرف استفاده کند.
\(X(s),X(z)\)	تبدیل لاپلاس؛ تبدیل Z	ناحیهٔ همگرایی بخشی از پاسخ است.
\(*\)	کانولوشن دو سیگنال	ستاره در بالانویس معنای مزدوج مختلط دارد. جای نماد و بافت عبارت را ببین.

قرارداد تبدیل فوریهٔ زمان‌پیوسته در اینجا همان قرارداد فرکانس زاویه‌ایِ کتاب است:

\[X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt,\qquad x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega.\]

ضریب \(1/(2\pi)\) در تبدیل معکوس می‌آید، چون متغیر فرکانس از نوع زاویه‌ای است. در قرارداد هرتز، توان تابع نمایی \(-j2\pi ft\) است و تبدیل معکوس این ضریب را ندارد.

بررسی یکاها: اگر \(x(t)\) بر حسب ولت و \(t\) بر حسب ثانیه باشد، یکای \(X(j\omega)\) ولت‌ثانیه است. انتگرال کانولوشن هم یک ضریب ثانیه وارد می‌کند؛ مجموع گسسته چنین ضریبی ندارد.

۰۳ · پیش از فصل‌های ۳، ۱۰ تا ۱۹ و ۲۳ تا ۲۶اعداد مختلط، کار با نوسان‌ها را ساده می‌کنند

عدد مختلط را می‌توان به شکل دکارتی یا قطبی نوشت:

\[z=a+jb=re^{j\theta},\quad r=\sqrt{a^2+b^2},\quad z^*=a-jb.\]

برای زاویه از روشی استفاده کن که ربع صفحه را تشخیص دهد، مثل \(\operatorname{atan2}(b,a)\)؛ استفادهٔ تنها از \(\tan^{-1}(b/a)\) ممکن است ربع اشتباه را بدهد. در ضرب، اندازه‌ها ضرب و زاویه‌ها جمع می‌شوند. مزدوج‌گیری علامت زاویه را عوض می‌کند.

\[e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta,\qquad \cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}2,\qquad \sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}.\]

یک سینوس یا کسینوس به دو تابع نمایی تبدیل می‌شود. آن‌وقت مشتق‌گیری، انتقال زمانی و فیلترکردن با سیستم LTI به کار با ضرایب اسکالر تبدیل می‌شوند.

مثال حل‌شده · میرایی و چرخش

برای \(s=-2+j3\)،

\[e^{st}=e^{-2t}(\cos3t+j\sin3t).\]

اندازه مطابق \(e^{-2t}\) کاهش می‌یابد و زاویه با نرخ \(3\) رادیان بر ثانیه زیاد می‌شود. در \(t=1\) اندازه برابر \(e^{-2}\) است، نه \(e^{\sqrt{13}}\). بخش حقیقیِ \(s\) رشد یا میرایی و بخش موهومی آن چرخش را تعیین می‌کند.

چرا توابع نمایی برای سیستم LTI ویژه‌اند؟

با فرض همگرایی انتگرال، \(x(t)=e^{st}\) را در فرمول کانولوشن قرار بده:

\[y(t)=\int h(\tau)e^{s(t-\tau)}\,d\tau=e^{st}\underbrace{\int h(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau}_{H(s)}.\]

شکل نماییِ خروجی مانند ورودی است و فقط ضریبی جدید می‌گیرد. این همان خاصیت تابع ویژه است. در تحلیل فوریه \(s=j\omega\) انتخاب می‌شود؛ تحلیل لاپلاس بخش حقیقیِ ناصفر را هم می‌پذیرد.

این دو حالت را اشتباه نگیر: ورودیِ \(e^{st}\) در این محاسبه در تمام زمان وجود دارد. ضرب آن در \(u(t)\) یک زمان شروع و معمولاً یک پاسخ گذرا ایجاد می‌کند؛ در نتیجه خروجیِ کامل الزاماً \(H(s)e^{st}u(t)\) نیست.

۰۴ · ابزارهای پایهٔ حساب دیفرانسیل و انتگرالانتگرال‌ها، مجموع‌ها و جمله‌های مرزی

سه رابطهٔ مقدماتی بخش بزرگی از محاسبات را انجام می‌دهند:

\[\frac{d}{dt}e^{at}=ae^{at},\quad \int e^{at}\,dt=\frac{e^{at}}a+C\;(a\ne0),\quad \sum_{n=0}^{N-1}r^n=\frac{1-r^N}{1-r}\;(r\ne1).\]

فرمول مجموع متناهی برای \(r\) مختلط هم درست است. مجموع را در \(r\) ضرب و از خودش کم کن؛ همهٔ جمله‌ها به‌جز اولی و آخری حذف می‌شوند. برای مجموع نامتناهی، شرط همگرایی هم لازم است:

\[\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac1{1-r}\quad\text{only when }|r|<1.\]

مثال کار شده · جایی که یک تبدیل وجود دارد

برای \(a>0\) واقعی،

\[\int_0^\infty e^{-(a+j\omega)t}\,dt=\left[\frac{-e^{-(a+j\omega)t}}{a+j\omega}\right]_0^\infty=\frac1{a+j\omega}.\]

جملهٔ مرزی در بی‌نهایت صفر می‌شود، چون اندازه برابر \(e^{-at}\) است. نوسان به‌تنهایی صفرشدن این جمله را تضمین نمی‌کند. با جایگزین‌کردن \(a+j\omega\) با \(s+a\)، شرط \(\operatorname{Re}s>-a\) به دست می‌آید.

خاصیت مشتق از انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء می‌آید

\[\int_{-\infty}^{\infty}x'(t)e^{-j\omega t}\,dt=\left[x(t)e^{-j\omega t}\right]_{-\infty}^{\infty}+j\omega X(j\omega).\]

وقتی جملهٔ مرزی صفر شود و تبدیل‌ها تعریف شده باشند، مشتق‌گیری متناظر با ضرب در \(j\omega\) است. این خاصیت فرض‌هایی دارد و مجوز حذف جمله‌های مرزی در همهٔ مسئله‌ها نیست.

برای تغییر متغیری مثل \(v=2t-3\)، رابطهٔ \(dt=dv/2\) را هم بنویس و حدود انتگرال را عوض کن. همین ضریب کوچک است که بعداً ضریب تغییر مقیاس فوریه و ضربه را ایجاد می‌کند.

۰۵ · پیش از فصل‌های ۴ و ۷پیش از رسم شکل‌موج، تکیه‌گاه را تبدیل کن

تکیه‌گاه ناحیه‌ای است که سیگنال می‌تواند در آن ناصفر باشد. فرض کن تکیه‌گاه \(x(v)\) بازهٔ \(0\le v\le2\) باشد. برای \(y(t)=x(2t-4)\) این نامساوی را حل کن:

\[0\le2t-4\le2\quad\Longrightarrow\quad2\le t\le3.\]

عرض پالس به نصف عرض اولیه فشرده شده و شروع آن به \(t=2\) منتقل شده است. نوشتن عبارت به شکل \(2t-4=2(t-2)\) انتقال زمانی درست را نشان می‌دهد.

مثال حل‌شده · وارونگی زمانی

برای \(y(t)=x(1-2t)\)،

\[0\le1-2t\le2\quad\Longrightarrow\quad-\tfrac12\le t\le\tfrac12.\]

مقداری که قبلاً در \(v=0\) بود در \(t=1/2\) ظاهر می‌شود؛ مقدارِ قبلی در \(v=2\) به \(t=-1/2\) می‌رود. دنبال‌کردن این دو نقطه، هم وارونگی و هم عرض را بررسی می‌کند.

به‌طور کلی، در \(x(at+b)\) نقطهٔ اولیهٔ \(v=v_0\) به \(t=(v_0-b)/a\) می‌رود، به شرط آنکه \(a\ne0\).

نکتهٔ زمان‌گسسته: \(x[2n]\) فقط نمونه‌های با اندیس زوج را نگه می‌دارد. عبارتی مثل \(x[n/2]\) برای \(n\) فرد تعریف نشده است، مگر قاعده‌ای جدا تعیین شود. در افزایش نرخ نمونه‌برداری با ضریب ۲، قاعدهٔ معمول قراردادن صفر در اندیس‌های فرد است؛ این کار به‌خودی‌خود درون‌یابی نیست.

۰۶ · پیش از فصل‌های ۳، ۷ و ۲۰ضربه را با اثرش در انتگرال می‌فهمیم

ضربهٔ زمان‌پیوسته یک توزیع است، نه یک تابع معمولی که فقط در یک نقطه مقدار بسیار بزرگی دارد. اثر تعریف‌کنندهٔ آن روی تابع آزمونِ هموارِ \(\varphi\) چنین است:

\[\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)\delta(t-t_0)\,dt=\varphi(t_0).\]

در محاسبات مهندسی، از خاصیت غربالی برای سیگنال‌هایی استفاده می‌شود که در محل ضربه رفتار مناسبی دارند. اگر ضربه روی کران انتگرال باشد یا در تابعی ناپیوسته ضرب شود، باید به قراردادها دقت کرد.

مثال حل‌شده · ضریب تغییر مقیاس

\[\delta(at-b)=\frac1{|a|}\delta\!\left(t-\frac ba\right),\qquad a\ne0.\]

بنابراین

\[\int_{-\infty}^{\infty}(t^2+1)\delta(2t-4)\,dt=\frac12(2^2+1)=\frac52.\]

پیداکردن محل ضربه در \(t=2\) فقط نیمی از محاسبه است. تغییر مقیاس زمان، مساحت ضربه را هم تغییر می‌دهد.

مشتق توزیعی پلهٔ واحد برابر \(du/dt=\delta(t)\) است. یک پرش با اندازهٔ \(A\) در \(t_0\) جملهٔ \(A\delta(t-t_0)\) را به مشتق اضافه می‌کند؛ علاوه بر مشتق‌های معمول بین پرش‌ها.

\[x(t)=u(t)-u(t-2)\quad\Longrightarrow\quad x'(t)=\delta(t)-\delta(t-2).\]

دو شیء متفاوت: ضربهٔ گسستهٔ \(\delta[n]\) دنباله‌ای معمولی است که در اندیس صفر مقدار ۱ و در بقیهٔ اندیس‌ها مقدار صفر دارد. ضربهٔ پیوسته مساحت واحد دارد. با \(\delta(t)^2\) مانند یک تابع انتگرال‌پذیر معمولی رفتار نکن؛ این حاصل‌ضرب در نظریهٔ استاندارد توزیع‌ها تعریف نشده است.

۰۷ · پیش از فصل‌های ۲، ۱۰ و ۱۲انرژی، توان و تصویرکردن

مربع اندازه، یعنی \(|x|^2=xx^*\)، هم برای سیگنال حقیقی و هم مختلط مناسب است. با قرارداد معمولِ میانگین زمانی متقارن داریم:

\[E_x=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt,\qquad P_x=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2dt.\]

در زمان‌گسسته از مجموع و ضریب \(2N+1\) استفاده کن. طبق این قرارداد، توان متوسط یک سیگنال ناصفر با انرژی متناهی صفر است. یک سیگنال تناوبی ناصفر با انرژی متناهی در هر دوره، انرژی کل نامتناهی و توان متوسط مثبت و متناهی دارد. بعضی سیگنال‌ها نه انرژی متناهی دارند و نه توان متوسط متناهی.

مثال کارآمد · پوسیدگی در مقابل پایداری

\[x(t)=e^{-at}u(t),\ a>0:\quad E_x=\int_0^\infty e^{-2at}dt=\frac1{2a},\quad P_x=0.\]

برای \(x(t)=A\cos(\omega_0t+\phi)\) با \(A\) حقیقی و \(\omega_0\ne0\)، میانگین‌گیری از رابطهٔ \(\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2\) روی یک دوره، \(P_x=A^2/2\) را می‌دهد.

می‌توان با سیگنال مانند بردار رفتار کرد

روی یک بازهٔ مشخص، ضرب داخلی را با \(\langle x,g\rangle=\int x(t)g^*(t)dt\) تعریف کن. این کمیت میزان هم‌راستایی را می‌سنجد. ضریب بهترین تقریبِ کمترین مربعاتِ \(cg\) برابر است با:

\[c=\frac{\langle x,g\rangle}{\langle g,g\rangle}.\]

ضرایب فوریه از همین فرمول تصویرکردن روی توابع نمایی مختلطِ متعامد به دست می‌آیند. مزدوج‌گیری دلیل علامت منفیِ توان نمایی در فرمول تحلیل است.

۰۸ · همراه با فصل‌های ۶ تا ۸کانولوشن: هم‌پوشانی را به نامساوی تبدیل کن

کانولوشن پاسخ ناشی از همهٔ سهم‌های انتقال‌یافتهٔ ورودی را با هم جمع می‌کند:

\[y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau,\qquad y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k].\]

در انتگرال، \(t\) ثابت است و \(\tau\) تغییر می‌کند. شرط ناصفربودنِ هر دو عامل را بنویس، اشتراک بازه‌ها را بگیر و بعد انتگرال بگیر.

مثال حل‌شده · دو پالس مستطیلی

فرض کن \(x(t)=1\) روی \([0,2]\) و \(h(t)=1\) روی \([0,1]\) برقرار باشد و هر دو در بقیهٔ زمان‌ها صفر باشند. آن‌وقت:

\[0\le\tau\le2,\quad0\le t-\tau\le1\quad\Longrightarrow\quad\max(0,t-1)\le\tau\le\min(2,t).\]

تابع زیر انتگرال روی این اشتراک برابر ۱ است. پس انتگرالش طول هم‌پوشانی را می‌دهد:

\[y(t)=\begin{cases}0,&t<0,\\t,&0\le t<1,\\1,&1\le t<2,\\3-t,&2\le t<3,\\0,&t\ge3.\end{cases}\]

وقتی هم‌پوشانی زیاد می‌شود، خروجی بالا می‌رود؛ وقتی پالس کوتاه‌تر کاملاً داخل پالس بلندتر است ثابت می‌ماند؛ و هنگام جداشدن پالس‌ها پایین می‌آید.

تکیه‌گاه‌ها جمع می‌شوند: کانولوشن یک پالس با عرض ۲ و یک پالس با عرض ۱، تکیه‌گاهی از ۰ تا ۳ دارد.

یک مثال نماییِ علّی

برای \(x(t)=e^{-at}u(t)\) و \(h(t)=e^{-bt}u(t)\)، با \(a,b>0\) حقیقی، اگر \(t\ge0\) باشد بازهٔ هم‌پوشانی \(0\le\tau\le t\) است:

\[y(t)=e^{-bt}\int_0^t e^{(b-a)\tau}d\tau=\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}u(t),\quad a\ne b.\]

وقتی \(a=b\) است، پس از بیرون‌آوردن عامل \(e^{-at}\) از جملهٔ ثابت انتگرال بگیر: \(y(t)=te^{-at}u(t)\). نباید در عبارت اول بر صفر تقسیم کرد.

سه بررسی: خروجیِ پالس از ۰ شروع می‌شود، در ۳ پایان می‌یابد و مساحتش \(2\times1=2\) است. برای سیگنال‌های مطلقاً انتگرال‌پذیر، \(\int(x*h)=(\int x)(\int h)\). در زمان‌گسسته به‌جای اندازه‌گیری طول بازه، تعداد نمونه‌های صحیح را بشمار.

۰۹ · همراه با فصل‌های ۱۰ تا ۱۶تحلیل فوریه، تصویرکردن روی نوسان‌هاست

روی یک دورهٔ \(T_0\)، توابع نماییِ \(e^{jk\omega_0t}\) با \(\omega_0=2\pi/T_0\) متعامدند:

\[\int_{t_0}^{t_0+T_0}e^{j(k-m)\omega_0t}dt=\begin{cases}T_0,&k=m,\\0,&k\ne m.\end{cases}\]

برای \(k\ne m\)، مقدار تابع اولیه در دو کران یکسان است، چون فاز به‌اندازهٔ مضرب صحیحی از \(2\pi\) تغییر می‌کند. سری فوریه را در \(e^{-jm\omega_0t}\) ضرب و انتگرال‌گیری کن؛ همهٔ جمله‌ها به‌جز جملهٔ \(m\) حذف می‌شوند:

\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0t},\qquad a_k=\frac1{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt.\]

مثال کار شده · دو خط در یک کسینوس

برای \(x(t)=3\cos(\omega_0t+\pi/4)\)، فرمول اویلر ضرایب \(a_1=(3/2)e^{j\pi/4}\) و \(a_{-1}=(3/2)e^{-j\pi/4}\) را می‌دهد و تمام ضرایب دیگر صفرند. سپس پارسوال نتیجهٔ \(P_x=|a_1|^2+|a_{-1}|^2=9/2\) را می‌دهد که با محاسبه در حوزهٔ زمان یکسان است.

همگرایی مشخص می‌کند برابری به چه معناست

برای شکل‌موج تناوبیِ تکه‌ای هموار، سری فوریه در نقاط پیوستگی به مقدار تابع و در محل پرش به میانگین حدود چپ و راست همگرا می‌شود. با افزودن جمله‌ها، ناحیهٔ فراجهش گیبس نزدیک پرش باریک‌تر می‌شود، اما ارتفاع نسبیِ حدیِ آن از بین نمی‌رود. همگرایی در میانگین مربعی مربوط به انتگرالِ مربع خطاست و برابری نقطه‌به‌نقطه در همه‌جا را لازم نمی‌داند.

طیف را با اندازه و فاز بخوان

برای \(x(t)=e^{-at}u(t)\)، \(a>0\):

\[X(j\omega)=\frac1{a+j\omega},\quad |X(j\omega)|=\frac1{\sqrt{a^2+\omega^2}},\quad\angle X(j\omega)=-\tan^{-1}(\omega/a).\]

تأخیر \(x(t-t_0)\) طیف را در \(e^{-j\omega t_0}\) ضرب می‌کند. اندازه تغییر نمی‌کند، اما شیب \(-t_0\) به فاز اضافه می‌شود. پس حتی اگر نمودار اندازه عوض نشده باشد، تغییر فاز می‌تواند نشان‌دهندهٔ انتقال زمانی باشد.

وجود مهم است. یکپارچگی مطلق شرط کافی برای تبدیل فوریه CT معمولی است. سیگنال‌های انرژی محدود نیز تبدیل \(L^2\) را تایید می کنند. ثابت ها و سینوسی های ابدی با استفاده از توزیع ها مدیریت می شوند. به عنوان مثال، \(\mathcal F\{1\}=2\pi\delta(\omega)\). اینها معانی مختلفی از "تبدیل وجود دارد" است.

۱۰ · همراه با فصل‌های ۱۷ تا ۱۹ و ۲۳ تا ۲۵عبارت تبدیل به ناحیهٔ همگرایی نیاز دارد

تبدیل لاپلاس و تبدیل Z وزن‌هایی وارد می‌کنند که می‌توانند یک انتگرال یا مجموع فوریهٔ واگرا را همگرا کنند:

\[X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt,\qquad X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}.\]

با نوشتن \(s=\sigma+j\omega\)، وزن نماییِ حقیقیِ \(e^{-\sigma t}\) دیده می‌شود. با نوشتن \(z=re^{j\Omega}\)، وزن \(r^{-n}\) ظاهر می‌شود. ناحیهٔ همگرایی مشخص می‌کند کدام وزن‌ها برای همگرایی کافی‌اند.

مثال حل‌شده · یک کسر، دو سیگنال

برای \(a\) حقیقی، یک عبارت یکسانِ تبدیل لاپلاس دوطرفه می‌تواند دو سیگنال متفاوت را نمایش دهد:

\[\begin{aligned}e^{-at}u(t)&\longleftrightarrow\frac1{s+a},&&\operatorname{Re}s>-a,\\-e^{-at}u(-t)&\longleftrightarrow\frac1{s+a},&&\operatorname{Re}s<-a.\end{aligned}\]

انتگرال اول به سوی مثبت بی‌نهایت و دومی به سوی منفی بی‌نهایت می‌رود. شرط‌های همگرایی نامساوی‌هایی با جهت مخالف‌اند. کسر جبری به‌تنهایی مشخص نمی‌کند کدام سیگنال منظور است.

برای \(a\) حقیقی و ناصفر، نمونهٔ زمان‌گسسته از مجموع هندسی به دست می‌آید:

\[a^nu[n]\longleftrightarrow\frac1{1-az^{-1}},\ |z|>|a|;\qquad -a^nu[-n-1]\longleftrightarrow\frac1{1-az^{-1}},\ |z|<|a|.\]

رابطهٔ ناحیهٔ همگرایی با تحلیل فوریه و پایداری

پاسخ فرکانسی معمول با قرارگرفتن روی محور موهومی \(s=j\omega\) یا دایرهٔ واحد \(z=e^{j\Omega}\) به دست می‌آید، به شرط اینکه آن مجموعه داخل ناحیهٔ همگرایی باشد. برای پاسخ ضربهٔ معمولی، سیستم LTI دقیقاً زمانی پایدار BIBO است که پاسخ ضربه در زمان‌پیوسته مطلقاً انتگرال‌پذیر یا در زمان‌گسسته مطلقاً جمع‌پذیر باشد. وجود یک جملهٔ گذردهی مستقیمِ متناهیِ \(D\delta(t)\) هم مجاز است؛ این جمله مستقیماً \(Dx(t)\) را به خروجی اضافه می‌کند.

برای تابع تبدیل زمان‌پیوستهٔ علّی، گویا و سره، پس از حذف عوامل مشترک، پایداری BIBO مستلزم قرارگرفتن همهٔ قطب‌ها در نیم‌صفحهٔ باز چپ است. در حالت زمان‌گسستهٔ علّی و گویا، قطب‌ها باید اکیداً داخل دایرهٔ واحد باشند. فرض علّی‌بودن ضروری است؛ بدون آن باید ناحیهٔ همگرایی را مشخص کرد. سره‌بودن هم در زمان‌پیوسته مهم است: مشتق‌گیر ایده‌آلِ \(H(s)=s\) قطب متناهی ندارد، اما پایدار BIBO نیست.

مثال: \(h[n]=2^nu[n]\) علّی اما ناپایدار است، چون ناحیهٔ همگرایی آن \(|z|>2\) است و دایرهٔ واحد را شامل نمی‌شود. سیگنال پادعلّیِ \(-2^nu[-n-1]\) همان کسر جبری را دارد، ولی ناحیهٔ همگرایی آن \(|z|<2\) است و مجموع قدرمطلق نمونه‌هایش متناهی است.

۱۱ · همراه با فصل‌های ۹، ۱۹، ۲۵ و ۲۷شرایط اولیه هم می‌توانند پاسخ ایجاد کنند

تابع تبدیل، پاسخ حالت صفر را توصیف می‌کند: بخشی از پاسخ که از ورودی ایجاد می‌شود، با فرض اینکه سیستم در ابتدا در حال سکون بوده است. حالت اولیهٔ ذخیره‌شده می‌تواند حتی با ورودی صفر هم خروجی ایجاد کند.

معادلهٔ \(y'(t)+ay(t)=x(t)\) را برای \(t\ge0\)، با \(a>0\) حقیقی، شرط \(y(0^+)=y_0\) و بدون ورودی ضربه‌ای در مبدأ در نظر بگیر. ضرب در عامل انتگرال‌سازِ \(e^{at}\) می‌دهد:

\[\frac d{dt}\big(e^{at}y(t)\big)=e^{at}x(t).\]

از ۰ تا \(t\) انتگرال بگیر و سپس بر \(e^{at}\) تقسیم کن:

\[y(t)=\underbrace{y_0e^{-at}}_{\text{zero-input response}}+\underbrace{\int_0^t e^{-a(t-\tau)}x(\tau)d\tau}_{\text{zero-state response}}.\]

نمونه کار شده · ورودی ثابت

برای \(x(t)=1\) در \(t\ge0\)،

\[y(t)=y_0e^{-at}+\frac{1-e^{-at}}a.\]

در \(t=0^+\) نتیجه برابر \(y_0\) است. وقتی \(t\to\infty\)، پاسخ به \(1/a\) میل می‌کند. بررسی مقدار اولیه و نهایی معمولاً از تکرار کل حل سریع‌تر است.

با قرارداد لاپلاس یک‌طرفه و جملهٔ مناسبِ مقدار اولیه، تحت این فرض‌ها \(\mathcal L_+\{y'\}=sY-y_0\) داریم. پس \((s+a)Y=X+y_0\). با قراردادن \(y_0=0\)، رابطهٔ \(H(s)=1/(s+a)\) به دست می‌آید.

پیش از استفاده از قضیهٔ مقدار نهایی، شرایط قطب‌ها را بررسی کن. یک قطب روی محور موهومی ممکن است نوسان نامیرا باقی بگذارد؛ در نتیجه مقدار وسوسه‌انگیزی که از \(\lim_{s\to0}sY(s)\) می‌گیری لزوماً حد واقعیِ پاسخ در زمان نیست.

۱۲ · همراه با فصل‌های ۲۰ تا ۲۲ و ۲۶نمونه‌برداری و هم‌ارزی فرکانس‌ها

نمونه‌برداری از \(e^{j2\pi ft}\) در زمان‌های \(t=n/f_s\) دنبالهٔ \(e^{j2\pi fn/f_s}\) را می‌دهد. جایگزینی \(f\) با \(f+kf_s\)، برای \(k\) صحیح، هر نمونه را در \(e^{j2\pi kn}=1\) ضرب می‌کند. بنابراین تنها از روی نمونه‌ها نمی‌توان این فرکانس‌ها را از هم تشخیص داد.

نمونه کار شده · هم‌پوشانی طیفی قابل مشاهده

با نرخ \(f_s=1000\) نمونه بر ثانیه، یک کسینوس ۷۰۰ هرتزی همان نمونه‌های یک کسینوس ۳۰۰ هرتزی را تولید می‌کند:

\[\cos(2\pi700n/1000)=\cos(2\pi(-300)n/1000)=\cos(2\pi300n/1000).\]

با کم‌کردن نرخ نمونه‌برداری، فرکانس \(-300\) هرتز به دست می‌آید؛ زوج‌بودن کسینوس باعث می‌شود نمونه‌هایش با کسینوس ۳۰۰ هرتزی برابر باشند. اما یک نمایی مختلط در \(-300\) هرتز جهت چرخش خود را حفظ می‌کند.

اگر سیگنال پیوسته در محدودهٔ \(|f|\le B\) باندمحدود باشد، انتخاب \(f_s>2B\) بازسازی ایده‌آل را ممکن می‌کند. تابع سینک را با \(\operatorname{sinc}(v)=\sin(\pi v)/(\pi v)\) تعریف می‌کنیم و مقدار آن در صفر را ۱ می‌گیریم:

\[x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t-nT_s}{T_s}\right),\quad T_s=1/f_s.\]

این فرمول ایده‌آل، باندمحدودبودن سیگنال و بی‌نهایت نمونهٔ دقیق را فرض می‌کند. در سامانهٔ واقعی، پیش از نمونه‌برداری از فیلتر آنالوگ ضد هم‌پوشانی طیفی استفاده می‌شود. فیلترکردن پس از نمونه‌برداری نمی‌تواند نسخه‌های طیفیِ هم‌پوشان را به‌طور یکتا از هم جدا کند. نامساویِ اکید، ابهام‌های مرزی در فرکانس نایکوئیست را کنار می‌گذارد.

DFT یک مجموع متناهی با تفسیر تناوبی است

\[X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N},\qquad x[n]=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N}.\]

اگر نرخ نمونه‌برداری \(f_s\) باشد، فاصلهٔ خانه‌های فرکانسی مجاور \(\Delta f=f_s/N\) است. خانه‌های بالاتر از \(N/2\) پس از پیچیدن محور فرکانس، به فرکانس‌های منفی مربوط می‌شوند. DFT مقدارهای DTFT یک رکورد متناهی روی این شبکه است؛ تبدیل معکوس آن را می‌توان نمایش یک امتداد تناوبی با دورهٔ \(N\) هم دانست.

کانولوشن خطی و دوری: ضرب دو DFT با طول \(N\)، کانولوشن دوری می‌دهد. برای دنباله‌هایی با طول \(L\) و \(M\)، هر دو را دست‌کم تا \(L+M-1\) نمونه با صفر پُر کن تا با ضرب DFTها کانولوشن خطی به دست آید. صفرگذاری شبکهٔ فرکانسی را متراکم‌تر می‌کند، اما مشاهدهٔ جدیدی اضافه نمی‌کند و توان ذاتیِ تفکیک فرکانس‌های نزدیک را افزایش نمی‌دهد.

۱۳ · همراه با فصل ۲۷فضای حالت، صورتِ جفت‌شدهٔ معادلهٔ مرتبه‌اول است

بردار حالتِ \(\mathbf q(t)\) اطلاعات کافی از گذشته را نگه می‌دارد تا با دانستن ورودی آینده، رفتار آینده پیش‌بینی شود. مدل خطی و تغییرناپذیر با زمان چنین است:

\[\dot{\mathbf q}=A\mathbf q+B\mathbf u,\qquad\mathbf y=C\mathbf q+D\mathbf u.\]

برای \(m\) حالت، \(p\) ورودی و \(r\) خروجی، ابعاد ماتریس‌ها به‌ترتیب \(A:m\times m\)، \(B:m\times p\)، \(C:r\times m\) و \(D:r\times p\) هستند. بررسی ابعاد بسیاری از خطاها را آشکار می‌کند.

تابع نماییِ اسکالر جای خود را به نماییِ ماتریسی می‌دهد که با یک سری توانی همگرا تعریف می‌شود:

\[e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\cdots,\qquad\mathbf q(t)=e^{At}\mathbf q(0)+\int_0^t e^{A(t-\tau)}B\mathbf u(\tau)d\tau.\]

مثال کارکرده · دو حالت بدون جفت

اگر \(A=\operatorname{diag}(-1,-3)\) باشد، آنگاه \(e^{At}=\operatorname{diag}(e^{-t},e^{-3t})\). با ورودی صفر و حالت اولیهٔ \((2,-1)^T\)، حالت سیستم \((2e^{-t},-e^{-3t})^T\) می‌شود. برای \(C=[1\;1]\)، خروجی برابر \(2e^{-t}-e^{-3t}\) است.

اگر \(A=V\Lambda V^{-1}\) قطری‌پذیر باشد، \(e^{At}=Ve^{\Lambda t}V^{-1}\). همهٔ ماتریس‌ها قطری‌پذیر نیستند؛ مقادیر ویژهٔ تکراری ممکن است جمله‌هایی مانند \(te^{\lambda t}\) ایجاد کنند.

\[H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\qquad\text{for zero initial state}.\]

پایداری داخلی با پایداری ورودی–خروجی فرق دارد. قرارگرفتن همهٔ مقادیر ویژهٔ \(A\) در نیم‌صفحهٔ باز چپ، پایداری مجانبیِ زمان‌پیوسته را تضمین می‌کند. یک مُد ناپایدارِ مشاهده‌ناپذیر یا کنترل‌ناپذیر ممکن است در تابع تبدیلِ ساده‌شده دیده نشود. پس پایداربودنِ ظاهری تابع تبدیل به‌تنهایی ثابت نمی‌کند همهٔ حالت‌های داخلی میرا می‌شوند.

۱۴ · همراه با فصل‌های ۲۸ و ۲۹امید ریاضی، میانگین‌گیری روی پیشامدهاست

متغیر تصادفی به هر پیشامد یک عدد نسبت می‌دهد؛ فرایند تصادفی به هر پیشامد یک شکل‌موج. با ثابت‌کردن زمان یک متغیر تصادفی داریم و با ثابت‌کردن پیشامد یک نمونهٔ شکل‌موج.

\[\mathbb E[X]=\sum_x xP(X=x)\quad\text{or}\quad\int xf_X(x)dx,\qquad\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[|X-\mu|^2]=\mathbb E[|X|^2]-|\mu|^2.\]

برای توزیع گسسته از مجموع و وقتی چگالی وجود دارد از انتگرال استفاده کن. امید ریاضی حتی برای متغیرهای وابسته هم خطی است. نوشتن \(\mathbb E[XY]\) به شکل \(\mathbb E[X]\mathbb E[Y]\) به فرض دیگری مثل استقلال نیاز دارد.

مثال کار شده · یک شکل موج می تواند توان متوسط و غیر صفر داشته باشد

فرض کن \(X(t)=A\cos(\omega_0t+\Phi)\)، که در آن \(A\) عددی حقیقی و ثابت، \(\omega_0\ne0\) و \(\Phi\) دارای توزیع یکنواخت روی \([0,2\pi)\) است. میانگین‌گیری روی فاز \(\mathbb E[X(t)]=0\) را می‌دهد، درحالی‌که \(\mathbb E[X(t)^2]=A^2/2\).

با استفاده از \(\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]\)، میانگین جملهٔ دوم که به فاز وابسته است صفر می‌شود:

\[R_X(\tau)=\mathbb E[X(t+\tau)X(t)]=\frac{A^2}{2}\cos(\omega_0\tau).\]

میانگین ثابت است و خودهمبستگی فقط به اختلاف زمان وابسته است؛ پس این فرایند در معنای وسیع ایستا است.

برای فرایند WSS که می‌تواند مختلط هم باشد، در اینجا از قرارداد \(R_X(\tau)=\mathbb E[X(t+\tau)X^*(t)]\) استفاده می‌کنیم. چگالی طیفی توان، تبدیل فوریهٔ همین خودهمبستگی است؛ در معنای معمول یا توزیعیِ مناسب:

\[S_X(\omega)=\int R_X(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau,\qquad R_X(0)=\frac1{2\pi}\int S_X(\omega)d\omega.\]

برای کسینوس با فاز تصادفیِ بالا، \(S_X(\omega)=(\pi A^2/2)[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\). انتگرال‌گیری از آن با ضریب \(1/(2\pi)\) دوباره \(A^2/2\) را می‌دهد.

برای عبور ورودی WSS با گشتاورهای مرتبهٔ دوم لازم از یک فیلتر LTI پایدار، \(S_Y(\omega)=|H(j\omega)|^2S_X(\omega)\). اندازه به توان دو می‌رسد، چون در محاسبهٔ توان، سیگنال در مزدوج خودش ضرب می‌شود.

سه تمایز مهم: ایستایی به‌تنهایی مجوز جایگزینی میانگینِ مجموعه با میانگین زمانی نیست؛ شرط ارگودیک‌بودنِ مناسب هم لازم است. متغیرهای ناهمبسته الزاماً مستقل نیستند. همچنین گاوسی‌بودن تک‌تک متغیرها، گاوسی‌بودن مشترک آن‌ها را تضمین نمی‌کند؛ نتایج معمول فیلترکردن خطیِ گاوسی به همین ساختار مشترک نیاز دارند.

۱۵ · پیش از دیدن پاسخ، خودت حل کنهشت تمرین کوتاه

برای هر پاسخ یکی دو خط بنویس. هر جا مهم است، دامنهٔ تعریف یا شرط همگرایی را هم بیاور.

1. قدر مختلط: پیدا کردن |(1 + j) / (1 − j)| و زاویه آن

صورت و مخرج را در \(1+j\) ضرب کن؛ حاصل نسبت \((1+j)^2/2=j\) است. اندازهٔ آن ۱ و زاویه‌اش \(\pi/2\) به پیمانهٔ \(2\pi\) است.

2. تکیه‌گاه: x(t) فقط در [-1، 2] غیر صفر است. کجا می تواند x(3-2t) غیر صفر باشد؟

\[-1\le3-2t\le2\quad\Longrightarrow\quad\tfrac12\le t\le2.\]

برای بررسی دوباره، دو سر بازه را دنبال کن: \(-1\) به ۲ و ۲ به \(1/2\) منتقل می‌شود.

3. ضربه: انتگرال t2 δ(3t - 6) را روی محور اعداد حقیقی ارزیابی کنید.

\[\delta(3t-6)=\tfrac13\delta(t-2),\qquad\int t^2\delta(3t-6)dt=\tfrac43.\]

4. انرژی گسسته: انرژی x[n] = (1/2)ⁿ u[n] را بیابید.

\[E_x=\sum_{n=0}^{\infty}(1/4)^n=\frac1{1-1/4}=\frac43.\]

طبق قرارداد میانگین زمانی متقارن، توان متوسط صفر است.

5. کانولوشن: x = [1، 2]، h = [1، −1]، هر دو از n = 0 شروع می‌شوند.

کانولوشن خطی در اندیس‌های ۰، ۱ و ۲ برابر \([1,1,-2]\) است. مجموع ضرایب هم بررسیِ \((1+2)(1-1)=0=1+1-2\) را تأیید می‌کند.

6. ROC: یک سیستم علّی دارای H(z) = 1 / (1 - 0.8 z-1) است. آیا BIBO پایدار است؟

پاسخ ضربهٔ علّی برابر \(0.8^nu[n]\) و ناحیهٔ همگرایی \(|z|>0.8\) است. دایرهٔ واحد در این ناحیه قرار دارد و \(\sum|h[n]|=1/(1-0.8)=5\)؛ پس سیستم پایدار BIBO است.

7. نمونه‌برداری: یک کسینوس 900 هرتز با سرعت 1200 نمونه بر ثانیه نمونه‌برداری می شود. کدام فرکانس مثبت کمتر نمونه های مشابهی دارد؟

با کم‌کردن ۱۲۰۰ هرتز به \(-300\) هرتز می‌رسیم؛ سپس با تقارن کسینوس، فرکانس ۳۰۰ هرتز به دست می‌آید. این برابری مربوط به نمونه‌های کسینوس است؛ شکل‌موج‌های پیوسته بین نمونه‌ها متفاوت‌اند.

8. واریانس: X 2- یا +2 را با احتمال مساوی می گیرد. میانگین، میانگین مربع و واریانس آن را بیابید.

\(\mathbb E[X]=0\)، \(\mathbb E[X^2]=4\) و \(\operatorname{Var}(X)=4\). صفر بودن میانگین، به معنای صفر بودن قدرت سیگنال نیست.

۱۶ · همراهِ کتاب اصلیراهنمای مطالعهٔ فصل‌ها

اگر پوشه‌ها کنار هم بمانند، لینک هر فصل نسخهٔ فارسی همان فصل را باز می‌کند. بستهٔ ZIP شامل متن انگلیسی، ترجمهٔ فارسی، یادداشت‌های تکمیلی و همهٔ فایل‌های لازم برای نمایش آفلاین فرمول‌هاست.

فصل کتاب	یادداشت‌های مرتبط
01 · مقدمه ای بر سیگنال‌ها و سیستم‌ها	2 · نشانه گذاری, 3 · اعداد مختلط
02 · طبقه بندی سیگنال‌ها	2 · نشانه گذاری, 7 · انرژی و فرافکنی
03 · سیگنال‌های ابتدایی و توابع تکینگی	3 · اعداد مختلط, 6 · ضربه ها
04 · عملیات سیگنال و تبدیل	5 · عملیات سیگنال
05 · طبقه بندی و ویژگی های سیستم‌ها	2 · نشانه گذاری, 11 · شرایط اولیه
06 · سیستم‌های زمان ثابت خطی	3 · اعداد مختلط, 8 · کانولوشن
07 · کانولوشن و پاسخ ضربه	5 · عملیات سیگنال, 8 · کانولوشن
08 · ویژگی های سیستم‌های LTI	8 · کانولوشن, 10 · همگرایی
09 · سیستم‌های توصیف شده توسط معادلات دیفرانسیل و دیفرانسیل	4 · حساب دیفرانسیل و انتگرال و جمع, 11 · شرایط اولیه
10 · بازنمایی سیگنال‌های دوره ای سری فوریه	3 · اعداد مختلط, 7 · انرژی و فرافکنی, 9 · تحلیل فوریه
11 · خواص و همگرایی سری فوریه	9 · تحلیل فوریه
12 · طیف فرکانس و پاسخ سیستم	7 · انرژی و فرافکنی, 9 · تحلیل فوریه
13 · تبدیل فوریه زمان‌پیوسته	4 · حساب دیفرانسیل و انتگرال و جمع, 9 · تحلیل فوریه
14 · خواص تبدیل فوریه	5 · عملیات سیگنال, 6 · ضربه ها, 9 · تحلیل فوریه
15 · پاسخ فرکانس و فیلترینگ	3 · اعداد مختلط, 9 · تحلیل فوریه, 10 · همگرایی
16 · تبدیل فوریه زمان‌گسسته	3 · اعداد مختلط, 9 · تحلیل فوریه, 12 · نمونه‌برداری و DFT
17 · تبدیل لاپلاس و ناحیهٔ همگرایی	4 · حساب دیفرانسیل و انتگرال و جمع, 10 · همگرایی
18 · ویژگی های تبدیل لاپلاس	4 · حساب دیفرانسیل و انتگرال و جمع, 10 · همگرایی, 11 · شرایط اولیه
19 · تجزیه و تحلیل سیستم با استفاده از تبدیل لاپلاس	10 · همگرایی, 11 · شرایط اولیه
20 · قضیه نمونه‌برداری	6 · ضربه ها, 12 · نمونه‌برداری و DFT
21 · بازسازی و هم‌پوشانی طیفی	12 · نمونه‌برداری و DFT
22 · پردازش زمان‌گسسته سیگنال‌های زمان‌پیوسته	12 · نمونه‌برداری و DFT, 9 · تحلیل فوریه
23 · تبدیل Z و ناحیهٔ همگرایی	4 · حساب دیفرانسیل و انتگرال و جمع, 10 · همگرایی
24 · خواص Z-Transform	10 · همگرایی, 5 · عملیات سیگنال
25 · تجزیه و تحلیل سیستم‌های زمان‌گسسته	10 · همگرایی, 11 · شرایط اولیه
26 · تبدیل فوریهٔ گسسته و FFT	3 · اعداد مختلط, 12 · نمونه‌برداری و DFT
27 · تحلیل حالت-فضا	11 · شرایط اولیه, 13 · فضای حالت
28 · سیگنال‌ها و سیستم‌ها در ارتباطات	9 · تحلیل فوریه, 12 · نمونه‌برداری و DFT, 14 · احتمال
29 · سیگنال‌های تصادفی و فرآیندهای تصادفی	7 · انرژی و فرافکنی, 14 · احتمال